Prüfungsvorbereitung

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Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur in Wahrscheinlichkeitstheorie am 2.4.08
Aufgabe 1
Seien X1, X2 die Augenzahlen beim Werfen zweier unabhängiger und homogener Würfel.
a) Berechnen Sie P(X1 + X2 = 8);
b) Seien A:= {X1 gerade}, B:= {X1 + X2 durch 4 teilbar}. Berechnen Sie P(A | B). Sind die
Ereignisse A und B unabhängig?
Aufgabe 2
Bei einer Impfung sei die Wahrscheinlichkeit für unangenehme Nebenwirkungen p = 2 ‰.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei mehr als zwei von 1000 geimpften Personen
solche unangenehmen Nebenwirkungen auftreten?
Welchen Wert liefert die Poisson-Approximation?
Aufgabe 3
Sei (Xn) n0ù eine Folge von Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (S, A, P).
∞
a) Für alle n0ù sei P(Xn = 0) = 1/n² = 1 - P(Xn = n). Berechnen Sie P( ∑ 2 − X n < ∞ ) .
n =1
b) Sei (Xn) n0ù unabhängig, wobei für alle n0ù P(Xn = 1) =
Berechnen Sie P( limsup{ X n = 1} ).
1
n
= 1 - P(Xn = 0).
n→ ∞
Aufgabe 4
a) Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
1. mindestens zwei Augenzahlen gleich sind?
2. sich im dritten Wurf das Ergebnis des ersten oder zweiten Wurfs wiederholt?
b) In einer Firma werden Transistoren auf zwei Anlagen A1 und A2 hergestellt. 80 % werden
von A1, die restlichen 20 % von A2 produziert. Der Ausschußanteil von A1 beträgt 10 %, der
von A2 5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
1. ein aus der Produktion zufällig ausgewählter Transistor dem Ausschuß angehört?
2. ein Transistor von A2 produziert wurde, wenn er dem Ausschuß angehört?
3. ein Transistor von A1 produziert wurde, wenn er fehlerfrei ist?
c) Seien A und B Ereignisse in einem W-Raum (S, A, P) mit P(AcB) = 0.7, P(B(A) = 0.4,
P(B|A) = 0.5. Berechnen Sie daraus die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(A1B), P(A(B), P(B).
Aufgabe 5
Zwei Kugeln werden rein zufällig auf drei Urnen U1, U2, U3 verteilt. Seien X1 := Anzahl der
Kugeln in U1, X2 := Anzahl der nichtleeren Urnen. Bestimmen Sie
- die gemeinsame W-Funktion von X1 und X2;
- die Marginal-W-Funktion von X1 sowie die Marginal-W-Funktion von X2;
- die Kovarianz von X1 und X2.
Aufgabe 6
a) Es werden sechs Runden Roulett gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der
folgenden Ereignisse?
(i) "höchstens dreimal rot"; (ii) "genau dreimal rot und einmal Null".
b) In einer Urne sind zehn Kugeln; davon sind vier weiß, drei rot, zwei schwarz und eine
2
grün. Es wird rein zufällig eine Stichprobe von vier Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in der Stichprobe
1) sich zwei weiße und je eine rote und eine schwarze Kugeln befinden?
2) alle Farben vertreten sind?
3) sich keine grüne Kugel befindet?
Aufgabe 7 (aus DVP Frühjahr 07)
Seien X und Y unabhängige und identisch verteilte Bernoullivariable mit dem Parameter
p=1/4. Seien weiter S := X + Y, N := 1{X=0, Y=1} + 2A1{X=0, Y=0}.
a) Berechnen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von S und N sowie die
Marginalwahrscheinlichkeitsfunktionen von S und von N.
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte von S und von N sowie die Kovarianz von S und N.
Aufgabe 8
Gegeben ist die Funktion F: ú 6 ú gemäß F(x) = 0 für x < -1/2, F(x) = 1/3 für -1/2 # x < 0,
F(x) = 1/3 + 4/3 x für 0 # x < 1/2, F(x) = 1 für x $ 1/2.
Zeigen Sie, daß F eine Verteilungsfunktion ist und berechnen Sie die zugehörige
Quantilfunktion F (-1). Geben Sie einen Median von F an.
Aufgabe 9
Die Zeit (in Stunden), die ein Angler benötigt, um einen Fisch zu fangen, lasse sich durch
eine Zufallsvariable X mit der Dichte
für x < 0.5
⎧ 0
f ( x ) = ⎨ 0.5− x
für x ≥ 0.5
⎩e
angemessen beschreiben. Fangzeiten mit verschiedenen Angeln werden als unabhängige und
identisch wie X verteilte Zufallsvariablen betrachtet.
Wie viele Angeln muß der Angler auslegen, wenn er mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit
innerhalb einer Stunde wenigstens einen Fisch fangen möchte?
Aufgabe 10
⎧ 13
für − 1 ≤ x ≤ 0
⎪ 1 − 0.8
für 0 < x ≤ 32 .
Gegeben ist die Funktion f: ú 6 ú gemäß f ( x ) = ⎨ 15 x
⎪ 0
sonst
⎩
a) Weisen Sie nach, daß f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
b) Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte f. Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Aufgabe 11
Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt und es sei Y:= X -2.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte von Y.
Untersuchen Sie, ob Y einen endlichen Erwartungswert hat, und berechnen Sie diesen
gegebenenfalls.
Aufgabe 12
Sei B = {(x,y)0ú² | x$0, y$0, x+y#2}. Der zweidimensionale Zufallsvektor X = (X1, X2)T
habe die Dichte
3
⎧ 83 ( x1 + x 2 ) für ( x1 , x 2 ) ∈ B
f ( x1 , x 2 ) = ⎨
.
sonst
0
⎩
Berechnen Sie cov(X1, X2).
Aufgabe 13 (aus DVP Frühjahr 06)
Seien B:= {(x,y) 0 ú² | 0#x#1, 0#y#1}, f: ú² 6 ú gemäß
⎧ x + y für ( x , y ) ∈ B
f ( x, y) = ⎨
.
sonst
⎩ 0
Weisen Sie zunächst nach, daß f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Sei Z = (X,Y) ein zweidimensionaler stetiger Zufallsvektor mit der Dichte f. Berechnen Sie
1) die Marginaldichte fX von X und die Marginaldichte fY von Y;
2) die Kovarianzmatrix C = C(Z) von Z sowie den Korrelationskoeffizienten D = D(X,Y).
Aufgabe 14 (aus DVP Frühjahr 07)
a) Die reelle Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion F(x) = 1 - (x+1)-2 für x$0, bzw.
F(x) = 0 für x<0. Bestimmen Sie die Dichte der reellen Zufallsvariablen Y := X².
b) Der zweidimensionale Zufallsvektor Z = (X1, X2)T sei normalverteilt mit dem
⎛ 1 0.5 ⎞
Erwartungswert : = 0 = (0,0)T und der Kovarianzmatrix C = ⎜
⎟.
⎝ 0.5 1 ⎠
Bestimmen Sie die Dichte der reellen Zufallsvariablen W := 2X1 - 5X2.