Ein Beweis der Primzahlzwillingsvermutung

Ein Beweis der Primzahlzwillingsvermutung
By Berndt Gensel at Spittal an der Drau
Stand: 11. September 2017
Zusammenfassung. Die Primzahlzwillingsvermutung “ Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge” ist ein sehr altes, aber immer noch ungelöstes mathematisches Problem (vgl.
[1], [2], [3]). Die vorliegende Arbeit entwickelt ein Sieb, mit dem alle Primzahlzwillinge auf
der Ebene ihrer Erzeuger bis zu einer beliebigen Grenze extrahiert werden können. Mit Hilfe
dieses Siebes und unter Annahme einer irrationalen Verteilung der Primzahlen auf dem Zahlenstrahl kann die Primzahlzwillingsvermutung schließlich bewiesen werden.
Notationen
Es seien
N die Menge der natürlichen Zahlen,
P die Menge der Primzahlen,
P∗ die Menge der Primzahlen ≥ 5,
sowie P− = {p ∈ P∗ | p ≡ −1(mod 6)} und E− = {n ∈ N | 6n − 1 ∈ P− }
und P+ = {p ∈ P∗ | p ≡ +1(mod 6)}
und E+ = {n ∈ N | 6n + 1 ∈ P+ }
und E = E− ∩ E+
und E∗ = E− ∪ E+ .
1. Erzeugermengen
Es ist wohlbekannt, dass jede Primzahl p ≥ 5 die Form 6k − 1 oder 6k + 1 hat. Wir
wollen k den Erzeuger von p nennen. P∗ enthält alle Primzahlen ≥ 5. Primzahlzwillinge sind
dadurch ausgezeichnet, dass sie je Paar einen gemeinsamen Erzeuger haben.
Hilfssatz 1.1. Für alle Primzahlquadrate z gilt z ≡ +1(mod 6).
Beweis. Primzahlquadrate haben die Form
2
Gensel, Primzahlzwillinge
(6u ± 1)2 = 36u2 ± 12u + 1
= 6u(6u ± 2) + 1
= 6k + 1, mit k = u(6u ± 2) ∈ N.
Es sei
(
κ(p) =
p+1
6
p−1
6
für p ∈ P−
für p ∈ P+
)
∈ N.
(1.1)
die Erzeugerfunktion der Elemente von P∗ . Eine natürliche Zahl x ist Element von E, wenn
sowohl 6x−1 wie auch 6x+1 Primzahlen sind. Das ist genau dann der Fall, wenn der folgende
Satz gilt.
Satz 1. Eine natürliche Zahl x ist genau dann ein Element von E, wenn es kein p ∈ P∗
gibt, für das eine der folgenden Kongruenzen erfüllt wird:
x ≡ −κ(p)(mod p)
(1.2)
x ≡ +κ(p)(mod p)
(1.3)
Beweis.
A) p ∈ P∗− , also p = 6k − 1:
Wenn (1.2) gilt, dann gibt es ein n ∈ N mit
x = −k + n · (6k − 1)
6x = −6k + 6n · (6k − 1)
6x + 1 = −6k + 6n · (6k − 1) + 1
= (6n − 1)(6k − 1)
⇒ 6x + 1 ≡ 0(mod(6k − 1)) ⇒ x ∈
/E
Für (1.3) wird der Beweis mit 6x − 1 geführt:
6x − 1
= 6k + 6n · (6k − 1) − 1
= (6n + 1)(6k − 1)
⇒ 6x − 1 ≡ 0(mod(6k − 1))
⇒x∈
/E
B) p ∈ P∗+ , also p = 6k + 1: Es wird in gleicher Weise vorgegangen mit (1.2) und 6x − 1
sowie (1.3) und 6x + 1:
6x − 1 = (6n − 1)(6k + 1) ⇒ 6x − 1 ≡ 0(mod(6k + 1))
6x + 1 = (6n + 1)(6k + 1) ⇒ 6x + 1 ≡ 0(mod(6k + 1))
Gensel, Primzahlzwillinge
3
Damit ist gezeigt, dass x ∈
/ E, wenn die Kongruenzen (1.2) oder (1.3) gelten. Gleichzeitig
können sie nicht gelten, da sie einander ausschließen.
Wenn umgekehrt x ∈
/ E, dann ist 6x − 1 oder 6x + 1 keine Primzahl. Es sei 6x − 1 ≡ 0(mod p)
und p ∈ P− . Dann ist
6x − 1 ≡ p(mod p)
≡ (6k − 1)(mod p)
6x ≡ 6k(mod p)
x ≡ k(mod p).
Für p ∈ P+ zeigen wir
6x − 1 ≡ −p(mod p)
≡ −(6k + 1)(mod p)
6x ≡ −6k(mod p)
x ≡ −k(mod p).
Die anderen beiden Fälle können in gleicher Weise behandelt werden. Somit gilt entweder (1.2)
oder (1.3), wenn x ∈
/ E.
Ohne Beschränkung für p bedeutet Satz 1 jedoch kein praktikables Entscheidungskriterium. Wenn√man aber beachtet, dass der kleinste echte Teiler einer Zahl 6x − 1 bzw. 6x + 1
kleiner als 6x + 1 ist, kann p in den Kongruenzen (1.2) und (1.3) beschränkt werden durch
√
p̂(x) = max(p ∈ P∗ | p ≤ 6x + 1).
Da wir uns auf Primzahlen als Module beschränken, sind die Kongruenzen unabhängig voneinander. Wir haben somit:
)
x ≡ −κ(p)(mod p)
, p ∈ P∗ , p ≤ p̂(x).
(1.4)
x ≡ +κ(p)(mod p)
Damit ist ein überprüfbares Kriteriensystem definiert, anhand dessen für ein natürliches x ≥ 4
ermittelt werden kann, ob x ein Element von E ist oder nicht.
Folgerung 1.1. Indem der Untersuchungsraum nur die Erzeuger x der Folgen
y = 6x − 1 und y = 6x + 1 | x ∈ N
enthält, beschränkt sich die Suche nach Primzahlzwillingen auf eine Teilmenge
N∗ = {y = 6x ± 1 | x ∈ N}
der natürlichen Zahlen, die alle Primzahlen ≥ 5 enthält und deren Mächtigkeit nur bei einem
Drittel der der natürlichen Zahlen liegt.
4
Gensel, Primzahlzwillinge
2. Das Zwillingssieb
Die Kongruenzen in (1.4) lassen sich noch in folgender Weise vereinigen:
x2 ≡ κ(p)2 (mod p) für p ∈ P∗ , p ≤ p̂(x),
(2.1)
denn wenn x ≡ ±κ(p)(mod p), dann gibt es eine ganze Zahl t mit x = ±κ(p) + tp. Quadriert
ergibt das x2 = κ(p)2 + p(t2 p ± 2tκ(p)). Somit gilt x2 ≡ κ(p)2 (mod p). Daraus läßt sich ein
System von Sieben bilden mit einer Siebfunktion ψ(x, q), für die gilt
x2 − κ(p)2 ≡ ψ(x, p)(mod p)
oder
ψ(x, p)
=
(x2
−
für p ∈ P∗ , p ≤ p̂(x).
(2.2)
κ(p)2 ) Mod p
Offensichtlich ist ψ(x, p) in x eine periodische Funktion mit der Periodenlänge p. Es gilt genau
dann ψ(x, p) = 0, wenn (1.4) für p erfüllt wird. Wir wollen das durch ψ(x, p) erzeugte Sieb mit
Sp bezeichnen. Für das System der Siebe S5 , . . . , Sp lassen sich die aggregierten Siebfunktion
Ψ(x, p) =
p
Y
ψ(x, q)
q
∗
q∈
P
und
(2.3)
Ψ̂(x) = Ψ(x, p̂(x))
bilden. Da der Wertevorrat von ψ(x, p) offensichtlich aus ganzen Zahlen zwischen 0 und p − 1
besteht, hat Ψ(x, p) und Ψ̂(x) rationale Werte zwischen 0 und < 1.
Eine natürliche Zahl x wird durch die Siebe S5 , . . . , Sp genau dann “aussiebt”, wenn
Ψ(x, p) = 0. Damit kann die Aussage von Satz 1 in folgender Weise umformuliert werden:
Satz 1a. x ist genau dann Element von E, wenn gilt:
Ψ̂(x) 6= 0.
Es sei
xp = min(x ∈ N | p̂(x) = p).
(2.4)
Für x ≥ xp “wirkt” das Sieb Sp , d.h. xp ist der Einsetzpunkt für das Sieb Sp . In jedem Sieb Sp
gibt es ab xp in jeder ψ–Periode genau p − 2 Positionen mit ψ(x, p) > 0 und zwei Positionen
mit ψ(x, p) = 0, einmal wenn (1.2) und einmal, wenn (1.3) erfüllt wird. Wir sprechen von a–
und b–Balken des Siebes Sp . Aus (1.4) ist leicht nachzuvollziehen, dass der Abstand zwischen
a– und b–Balken 2κ(p) beträgt.
√
Es ist p ≤ p̂(x) ≤ 6x + 1 und damit p2 ≤ 6x + 1. Dann ist
xp =
p2 − 1
6
(2.5)
die kleinste diese Releation erfüllende Zahl, die wegen Hilssatz 1.1 eine natürliche Zahl ist.
Gensel, Primzahlzwillinge
5
Satz 2. Für jedes p ∈ P∗ ist ψ(xp , p) = 0.
Beweis.
x2p − κ(p)2 Mod p,
1
(p2 − 1)2
=
36
= κ(p)2 p(p ± 2) + κ(p)2 ,
ψ(xp , p) =
x2p
x2p − κ(p)2 Mod p = κ(p)2 p(p ± 2) Mod p
= 0.
Das bedeutet, dass jedes Sieb Sp an Position xp mit einem Siebbalken beginnt. Es ist
leicht nachzuprüfen, dass Sp für p ∈ P− mit einem a–Balken und im anderen Fall mit einem
b–Balken, 2κ(p) hinter dem a–Balken beginnt.
Da jedes Sieb nur zwei Balken je Periode hat, besitzt S5 die höchste Balkendichte von
40%. Allgemein gilt für die Balkendichte
2
%(p) = .
p
(2.6)
Für jedes x ≥ xp kann die lokale Position im Sieb Sp relativ zum Phasenbeginn 1) mittels
einer Positionsfunktion τ (x, p) bestimmt werden:
x + κ(p) ≡ τ (x, p)(mod p) mit
τ (x, p)
= (x + κ(p)) Mod p.
(2.7)
Zwischen der Siebfunktion ψ(x, p) und der Positionsfunktion τ (x, p) besteht folgender
Zusammenhang:
ψ(x, p) = x2 − κ(p)2 Mod p
= τ (x, p) · (x − κ(p)) Mod p
(2.8)
= τ (x, p) · (τ (x, p) − 2κ(p)) Mod p.
Offensichtlich ist ψ(x, p) = 0 genau dann, wenn entweder τ (x, p) = 0 (a–Balken) oder
τ (x, p) = 2κ(p) (b–Balken) ist.
Satz 3. Das Sieb S5 hat für p > 5 an allen Positionen xp + 1 einen Siebbalken. Es gilt
ψ(xp + 1, 5) = 0.
1)
Für p ∈
P
−
ist xp und für p ∈
P
+
xp − 2κ(p) der Phasenbeginn.
6
Gensel, Primzahlzwillinge
Beweis. Es ist κ(5) = 1 und mit (2.7) gilt
xp + 1 ≡ τ (xp , 5)(mod 5)
| ·6
6xp + 6 ≡ 6τ (xp , 5)(mod 5)
| −5
6xp + 1 ≡ (6τ (xp , 5) − 5)(mod 5)
2
p = 6xp + 1 ≡ (6τ (xp , 5) − 5)(mod 5)
≡ 6τ (xp , 5)(mod 5)
≡ (5τ (xp , 5) + τ (xp , 5))(mod 5)
≡ τ (xp , 5)(mod 5).
Also ist
τ (xp , 5) = p2 Mod 5.
Für p > 5 endet p als ungerade Zahl auf 1, 3, 7 oder 9 und somit p2 auf 1 oder 9.
(1 ∨ 9) Mod 5 = 1 ∨ 4 und somit
τ (xp + 1, 5)
=2∨0
⇒ ψ(xp + 1, 5) = 0.
Folgerung 2.1. Infolge der Periodizität der Siebe gilt Satz 3 auch für alle Positionen
xp + 5t + 1 | t = 0, 1, 2, . . .
ψ(xp + 5t + 1, 5) = 0 | t = 0, 1, 2, . . . .
3. Durchlässigkeit der Siebe S5 , . . . , Sp
Es sei p0 = min(t > p | t, p ∈ P∗ ) die auf p folgende Primzahl. Dann bleibt p̂(x) infolge
der Definition von xp im Intervall
Ap := xp , xp0 − 1
(3.1)
konstant bei p. Die Länge des Intervalls sei mit dp bezeichnet.
dp ist abhängig vom Abstand aufeinanderfolgender Primzahlen. Da diese nur geradzahlig
sein können, gilt mit a = 2, 4, 6, . . .
dp =
=
=
≥
(p + a)2 − 1 p2 − 1
−
6
6
2ap + a2
6
a
a
(p + )
3
2
2
(p + 1).
3
(3.2)
Gensel, Primzahlzwillinge
7
Wenn a = 2, dann ist (p, p + 2) ein Primzahlzwilling. Deshalb ist p ∈ P− und somit
2
2
(p + 1) = (6κ(p) − 1 + 1) = 4κ(p).
3
3
0
Andererseits gilt wegen p < 2p (vgl. [3], S. 188)
dp =
=
=
<
p02 − 1 p2 − 1
−
6
6
p02 − p2
6
(p0 + p)(p0 − p)
6
3p · p
p2
= .
6
2
p2 ist ungerade. Die letzte gerade Zahl ist p2 − 1. Somit gilt für die obere Schranke
p2 − 1
= 3xp
2
und damit
4κ(p) ≤ dp ≤ 3xp .
(3.3)
Die Definition (2.7) der Positionsfunktion τ (x, t) enthält das Kongruenzensystem
x + κ(t) ≡ τ (x, t)(mod t),
t ≤ p | t ∈ P∗ .
(3.4)
Es erfüllt die Voraussetzungen des Chinesischen Restsatzes [3, S. 27]. Demzufolge ist es
(mod 5 · 7 · . . . · p) eindeutig lösbar. Mit
p]5 :=
p
Y
t∈
P
t
(3.5)
∗
2)
ist es (mod p]5 ) eindeutig lösbar. Mit anderen Worten gibt es p]5 unterschiedliche Tupel mit
(τ (x, 5), τ (x, 7), . . . , τ (x, p)) im Zusammenwirken der Sieben S5 , . . . , Sp ab xp . Mithin hat
die aggregierte Siebfunktion Ψ(x, p) die Periodenlänge p]5 :
Ψ(x + a · p]5 , p) = Ψ(x, p) | a ∈ N.
Es sei
Kp = {x ≥ xp | Ψ(x, p) > 0}.
Die Menge Kp enthält alle natürlichen Zahlen ≥
(3.6)
xp , die nicht durch das Zusammenwirken der Siebe S5 , . . . , Sp ausgesiebt werden. Da ab xp0 bereits das Sieb Sp0 wirkt, sind die
Elemente von Kp ab hier nicht mehr notwendig Primzwillingserzeuger. Andererseits gibt es
keinen solchen (> xp0 ), der nicht Element von Kp ist.
2)
Es ist p]5 = 61 p], mit dem Primorial p].
8
Gensel, Primzahlzwillinge
Definition 1. Eine natürliche Zahl x heißt “ωp –Zahl”, wenn x ein Element von Kp ist,
also Ψ(x, p) > 0 gilt.
Es sei
Âp := [xp , xp + p]5 − 1]
das Periodenintervall der Siebe S5 , . . . , Sp . Offensichtlich ist dp p]5 und es gilt für alle p
Ap ⊂ Âp .
Hilfssatz 3.1. Am Beginn xp + a · p]5 | a ∈ N jeder weiteren Periode von S5 , . . . , Sp
kann kein Siebeinsetzpunkt xq eines ”späteren” Siebes Sq liegen.
Beweis. Die Gleichung
p2 − 1
q2 − 1
+ a · p]5 =
und damit p2 + a · p] = q 2
6
6
ist wegen ggT(p, q) = 1 für keine Primzahl q erfüllbar.
Im Umkehrschluss folgt, dass jedes Sieb Sp0 immer im Inneren des Periodenbereiches
der ”vorangehenden” Siebe S5 , . . . , Sp einsetzt. Außerdem ist leicht nachzuvollziehen, dass
für p ≥ 11 gilt
p]5 − 1
.
(3.7)
2
Der Wertevorrat der Funktion τ (x, t) umfasst definitionsgemäß t Zahlen 0, 1, . . . , t − 1,
von denen 2 im Sieb St zum Aussieben führen und t − 2 nicht. Somit gibt es im Zusammenwirken der Siebe S5 , . . . , Sp
xp0 <
ω(p) =
p
Y
P∗
(t − 2)
(3.8)
t∈
ωp –Zahlen in Âp . Liegen diese in Ap , so sind sie Elemente von E, also Primzwillingserzeuger,
da hier ausschließlich die Siebe S5 , . . . , Sp wirken. Setzen wir (3.8) ins Verhältnis zur Periodizität von (3.4), so entsteht
η(p) =
p
Y
t−2
ω(p)
=
,
p]5
t
∗
P
(3.9)
t∈
als ein Maß für die mittlere “Durchlässigkeit” des Zusammenwirkens der Siebe S5 , . . . , Sp oder
als Dichte der ωp –Zahlen in Âp . Offensichtlich ist η(p) eine streng monoton fallende Funktion.
Ihr Kehrwert
δ̄(p) =
1
η(p)
beschreibt den mittleren Abstand zwischen den ωp –Zahlen ab xp .
(3.10)
Gensel, Primzahlzwillinge
9
Satz 4.
η(p) >
3
p
für p ∈ P∗ , p > 7.
Beweis. Es sei Tp = {t ∈ P∗ | t ≤ p} und Up = {u ≡ 1(mod 2) | 5 ≤ u ≤ p}. Da
alle Primzahlen > 2 ungerade Zahlen sind, gilt Tp ⊂ Up für p > 7 3) . Alle Faktoren von η(p)
sind kleiner als 1, daher ist
p
Y
u−2
3 5 7
p−4 p−2
3
η(p) >
= · · · ... ·
·
= .
u
5 7 9
p−2
p
p
Up
u∈
In Umkehrung von Satz 4 ergibt sich für den mittleren Abstand der ωp –Zahlen
δ̄(p) <
p
.
3
(3.11)
Entsprechend (3.8) gilt für die Anzahl der ωp0 –Zahlen in Âp0
ω(p0 ) = ω(p) · (p0 − 2).
In Âp verteilen sich die ω(p) ωp –Zahlen auf p]5 Positionen. In Âp0 gibt es dann p0 · ω(p)
ωp –Zahlen, das p0 –Fache. Im Vergleich zu den ωp0 –Zahlen zeigt sich
p0 · ω(p) − ω(p0 ) = p0 · ω(p) − (p0 − 2) · ω(p) = 2ω(p).
(3.12)
Wir verlieren durch das Wirken von Sp0 im Intervall Âp0 demnach genau 2ω(p) potentielle
Primzwillingserzeuger im Vergleich zu den
p0 ]5 · %(p0 ) = p0 ]5 ·
2
= 2p]5
p0
Siebbalken von Sp0 . Anders ausgedrückt hat das Sieb Sp0 in Âp0 2ω(p) “schlagende” Balken
und 2p]5 −2ω(p) redundante Balken, Positionen, die durch Balken der Siebe S5 , . . . , Sp bereits
ausgesiebt sind, und das unabhängig von p0 .
Das Sieb Sp0 siebt also in Âp0 von den p0 · ω(p) ωp –Zahlen effektiv nur 2ω(p) Positionen
aus. Das ergibt eine ”Siebrate” von
σ(p0 ) :=
2ω(p)
2
3
= 0 < 0 < η(p0 ).
p0 · ω(p)
p
p
Somit ist die Siebrate σ(p0 ) des Siebes Sp0 immer kleiner als die Durchlassrate η(p0 ) der
Siebe S5 , . . . , Sp0 ab Position xp0 (nach erfolgter Aussiebung). Da diese Relation ad infinitum
besteht, bestärkt sie die Annahme der Richtigkeit der Primzahlzwillingsvermutung.
3)
Für p ≤ 7 gilt
T
p
=
U.
p
10
Gensel, Primzahlzwillinge
4. Die Funktion η(p)
Ein interessanter Bezug der η–Funktion besteht zur Primzahlzwillingskonstanten C2 (vgl.
[3], S. 202)
Y
1
3 Y p(p − 2)
1−
=
C2 =
.
(p − 1)2
4
(p − 1)2
∗
P
P
p∈
p>2
p∈
C2 ist der Grenzwert der Funktion χ(p)
χ(p) =
p
3 Y q(q − 2)
mit C2 = lim χ(p).
p→∞
4
(q − 1)2
∗
q∈
P
χ(p) ist offensichtlich eine streng monoton fallende Funktion, deshalb gilt
χ(p) > C2 , für alle p ∈ P∗ .
Es sei
η1 (p) =
p
Y
q−1
.
q
∗
q∈
P
Offensichtlich gilt η(p) < η1 (p) 4) und
χ(p) =
p
p
3 Y q(q − 2)
3 Y q 2 (q − 2)
3 η(p)
=
= ·
2
2
4
(q
−
1)
4
q(q
−
1)
4
η1 (p)2
∗
∗
q∈
P
P
q∈
und damit
4
4
η(p) = χ(p) · η1 (p)2 sowie η(p) > C2 · η1 (p)2
3
3
und
lim
p→∞
η(p)
η1 (p)2
4
≥ C2 ≈ 0, 880173.
3
Es ist wohl bekannt, dass
x Y
3
p − 1 −1
> log x
=
η1 (x)
p
P
p∈
ist (vgl. [2], S. 40). Somit gilt
η1 (p) <
η(p) <
4)
3
und wegen η(p) < η1 (p)
log p
3
log p
In dieser Logik ist unsere η–Funktion die Funktion η2 (p).
Gensel, Primzahlzwillinge
Abbildung 1.
pη(p)2 für p = 5 . . . 149
und schließlich mit Satz 4
3
3
> η(p) > .
log p
p
Da beide Schranken für p → ∞ gegen 0 streben, gilt auch
lim η(p) = 0.
p→∞
Die mit Satz 4 gefundene untere Schranke für η(p) lässt sich noch verbessern.
Satz 5. η(p) >
√1
p
| p ≥ 19.
Beweis. Wir betrachten die Eigenschaften von pη(p)2 für zwei Fälle:
A) p0 ≥ p + 4:
0
0 2
p η(p ) − pη(p)
2
=
=
=
>
0
− 2)2
η(p) p
−p
p02
0 0
2 p (p − 4) + 4
η(p)
−p
p0
4
2
0
η(p) p − 4 − p + 0
p
2
4η(p)
> 0.
p0
2
0 (p
11
12
Gensel, Primzahlzwillinge
Also gilt in diesem Fall p0 η(p0 )2 > pη(p)2 .
B) p0 = p + 2:
0
0 2
p η(p ) − pη(p)
2
=
=
=
=
0
− 2)2
η(p) p
−p
p02
p
−
1
pη(p)2
p0
p − p0
2
pη(p) ·
p0
2p
−
η(p)2 < 0.
p+2
2
0 (p
Somit ist p0 η(p0 )2 = pη(p)2 − v(p) mit
2p
v(p) :=
η(p)2 .
p+2
Die “Verlustfunktion” v(p) ist monoton fallend, denn es ist für zwei aufeinander folgende
Primzahlzwillinge p, p + 2 und p + 6, p + 8:
2(p + 6)
η(p + 6)2
p+8
2
(p + 4)2
=
·
η(p + 2)2
p+8
p+6
2
(p + 4)2
p2
=
·
·
η(p)2
p+8
p+6
(p + 2)2
p(p + 4)2
= v(p) ·
< v(p).
(p + 2)(p + 6)(p + 8)
v(p + 6) =
Da dies für den kleinsten Abstand zweier Primzahlzwillinge gilt, ist es auch für beliebige
Abstände gültig. Wie aus Abbildung 1 ersichtlich wird, liegt das Minimum von p0 η(p0 )2
bei p0 = 19 und p = 17:
17 · η(17)2 > 1, 165 und v(17) < 0, 123 −→ 19 · η(19)2 > 1.
Da im Fall A) pη(p)2 wächst und im Fall B) immer gilt v(p) < 0, 123, ist für p ≥ 19
1
< p.
pη(p)2 > 1 −→
η(p)2
Bei genaueren Hinsehen ergibt sich noch folgende Situation. Der größte Primzahlzwilling < 200 ist (197, 199). Die nächste Primzahl 211 gehört zu P+ und es ist 211·η(211)2 > 1, 5159.
Dagegen ist v(197) < 0, 0148, und alle weiteren v(p) sind noch kleiner, da v(p) monoton fallend ist. Somit ist für p > 200
3
1
2
2
< p < (p + 1) ≤ dp .
pη(p)2 > −→
2
2
η(p)
3
3
Damit ist für p > 200 das Quadrat des mittleren Abstandes zwischen den ωp –Zahlen immer
kleiner als dp
δ̄(p)2 < dp für p > 200.
(4.1)
Gensel, Primzahlzwillinge
13
5. Symmetrie der Lage der ωp –Zahlen
(0)
Im Intervall Âp hat das Element xp := p]5 eine besondere Bedeutung. Da p]5 durch
alle Primzahlen zwischen 5 und p teilbar ist, gilt
≡ 0(mod q) | q ≤ p, q ∈ P∗
p]5
und damit
(0)
xp
6≡ ±κ(q)(mod q) | q ≤ p, q ∈ P∗ .
Somit ist xp eine ωp –Zahl, also Element von Kp . Wegen xp < p]5 < xp + p]5 liegt xp
innerhalb des Intervalls Âp , allerdings im Endbereich. Weiter ist für alle Primzahlen q zwischen
5 und p
(0)
(0)
(0)
xp + κ(q) ≡ κ(q)(mod q) und damit
(0)
τ (xp , q)
= (p]5 + κ(q)) Mod q und wegen q | p]5
= κ(q).
(0)
xp ist dadurch ausgezeichnet, dass alle Siebe S5 , . . . , Sp an dieser Position einen τ –Wert von
κ(q) aufweisen. Das bedeutet aber auch, dass für alle q ≤ p gilt
(0)
τ (xp − κ(q), q) = 0 und
(0)
τ (xp + κ(q), q) = 2κ(q), oder mit Hilfe der ψ − Funktion
(0)
ψ(xp
(5.1)
± κ(q), q) = 0.
(0)
An den Positionen xp ± κ(q) befinden sich daher Balken in den Sieben S5 , . . . , Sp . Offensichtlich besteht Symmetrie um p]5 bzgl. der Lage der Balken.
(0)
xp
Satz 6. In jedem Sieb Sq besteht für alle Primzahlen zwischen 5 und p um die Position
= p]5 ψ–Symmetrie:
ψ(p]5 − a, q) = ψ(p]5 + a, q) | 5 ≤ q ≤ p, q ∈ P∗ .
Beweis. Entsprechend (2.2) gilt
ψ(x, q) = x2 − κ(q)2 Mod q.
Wir setzen p]5 − a für x ein und erhalten
ψ(p]5 − a, q) = (p]5 − a)2 − κ(q)2 Mod q
= p]25 − 2ap]5 + a2 − κ(q)2 Mod q
= a2 − κ(q)2 Mod q.
Für x = p]5 + a erhalten wir
ψ(p]5 + a, q) = (p]5 + a)2 − κ(q)2 Mod q
= p]25 + 2ap]5 + a2 − κ(q)2 Mod q
= a2 − κ(q)2 Mod q
= ψ(p]5 − a, q).
14
Gensel, Primzahlzwillinge
Abbildung 2.
Symmetriebereiche in Âp
(0)
Damit gibt es am Ende von Âp einen Symmetriebereich der Länge 2xp um xp = p]5 .
Doch auch im Rest des Intervalls herrscht Symmetrie.
Satz 7. In jedem Sieb Sq besteht für alle Primzahlen zwischen 5 5) und p um die Mitte
zwischen den Position p]52−1 und p]52+1 ψ–Symmetrie:
p]5 + 1
p]5 − 1
− a, q = ψ
+ a, q | 5 ≤ q ≤ p, q ∈ P∗ .
ψ
2
2
Beweis. Wegen der Periodizität der Siebfunktionen gilt
ψ(x, q) = ψ(x + p]5 , q) und wegen Satz 6
= ψ(p]5 − x, q).
Somit herrscht Symmetrie um die Mitte zwischen x und p]5 − x
x + p]5 − x
p]5
1 p]5 − 1 p]5 + 1
(1)
xp :=
=
=
+
.
2
2
2
2
2
Mit x =
p]5 +1
2
+ a erhalten wir
ψ p]52+1 + a, q
= ψ p]5 − p]52+1 − a, q
= ψ p]52−1 − a, q .
Abbildung 2 stellt schematisch (und unmaßstäblich) die Symmetriebereiche in Âp dar.
(1)
Der Symmetriebereich um xp hat die Länge p]5 − 2xp . Sie wächst stärker als die Länge des
(0)
Symmetriebereichs um xp , da p]5 schneller wächst als xp 6) . Auch lassen sich die Anzahlen
5)
6)
Im Fall p = 5 ist p]5 + p]52−1 zu verwenden, da p]52−1 = 2 < x5 = 4.
p] −2x
Bereits für p = 29 beträgt das Verhältnis 5p]5 p mehr als 0, 99999974.
15
Gensel, Primzahlzwillinge
der ωp –Zahlen in den beiden Symmetriebereichen grob abschätzen. Es sei ω (0) (p) die Anzahl
(0)
(1)
der ωp –Zahlen um xp und ω (1) (p) die um xp . Dann ist
ω (0) (p0 ) ≤ 2xp0 η(p) =
p02 − 1
ω(p) ω(p) und
3p]5
ω (1) (p0 ) ≥ ω(p0 ) − 2xp0 η(p) ω(p0 ) − ω(p) = ω(p)(p0 − 3).
(5.2)
(1)
Demzufolge liegt die große Mehrheit der ωp –Zahlen im Symmetriebereich um xp .
Folgerung 5.1. Da alle Siebe Sq | q ≤ p, q ∈ P∗ dieselben Symmetrieachsen xp und
(1)
xp haben, weist das Zusammenwirken der Siebe S5 , . . . , Sp ebenfalls diese Symmetrieeigenschaft auf
(0)
Ψ (p]5 − a, p) = Ψ (p]5 + a, p) für 1 ≤ a ≤ xp
Ψ
p]5 −1
2
und − a, p
= Ψ p]52+1 + a, p für 1 ≤ a ≤
p]5 −1
2
− xp .
Folgerung 5.2. Auch die 2ω(p) Aussiebungen des Siebes Sp0 (vgl. (3.12)) weisen die(1)
(0)
selbe Symmetrie um xp0 und xp0 auf. Das heißt, auch die “schlagenden” Balken des Siebes
(0)
(1)
Sp0 sind symmetrisch um um xp0 und xp0 verteilt.
Wir wollen die Symmetriehälften bezeichnen mit
Sp(1) := [xp ,
p]5 − 1
] und Sp(0) := [p]5 − xp , p]5 − 1].
2
Aus (3.7) folgt, dass der Siebeinsetzpunkt xp0 des Siebes Sp0 für p ≥ 11 immer in das Innere
(1)
von Sp fällt. Es sei
ι(p) := p]5 Mod 6 oder p]5 ≡ ι(p)(mod 6).
Der Wertevorrat von ι(p) ist offensichtlich {−1, +1} und es gilt mit ι(5) = −1
(
−ι(p) wenn p0 ∈ P−
0
ι(p ) =
ι(p)
wenn p0 ∈ P+ .
p]5 −ι(p) ist folglich durch 6 teilbar. Somit ist p]5 −ι(p)
eine ganze gerade Zahl. Andererseits ist
3
p]5 + ι(p) nicht durch 3 teilbar, weil nur eine von drei Zahlen durch 3 teilbar ist. Mit gleicher
Argumentation lässt sich begründen, dass auch p]5 +5ι(p)
eine ganze Zahl ist.
6
Satz 8. An den Positionen p]5 −ι(p)
und p]5 +5ι(p)
befinden sich ωp –Zahlen:
3
6
p]5 − ι(p)
p]5 + 5ι(p)
Ψ
, p > 0 und Ψ
, p > 0.
3
6
16
Gensel, Primzahlzwillinge
p]5 −ι(p)
,p
3
p]5 −ι(p)
,q
3
Beweis. Wir beweisen zunächst Ψ
> 0. Das ist äquivalent zu ψ
für alle Primzahlen 5 ≤ q ≤ p. Deshalb steht im Folgenden q für alle Primzahlen zwischen 5
und p.
Nach (2.2) ist
p]5 − ι(p) 2
p]5 − ι(p)
2
− κ(q) ≡ ψ
, q (mod q).
3
3
Da q teilerfremd zu 9 ist, gilt auch
!
p]5 − ι(p)
p]5 − ι(p) 2
2
− κ(q)
≡ 9ψ
, q (mod q)
9
3
3
und da ι(p)2 = 1, ist
2
p]5 −ι(p)
2
9
− κ(q)
= p]5 (p]5 − 2ι(p)) + 1 − 9κ(q)2
3
≡ 1 − 9κ(q)2 (mod q)
und damit
9ψ
p]5 − ι(p)
,q
3
≡ 1 − 9κ(q)2 (mod q).
(5.3)
Andererseits gilt 6κ(q) ≡ ±1(mod q) und somit
(6κ(q))2 ≡ 1(mod q).
(5.4)
(5.3) mit 4 multipliziert und (5.4) eingesetzt ergibt
2
36ψ p]5 −ι(p)
,
q
≡
4
−
(6κ(q))
(mod q)
3
12ψ
p]5 −ι(p)
,q
3
≡ 3(mod q) und damit
≡ 1(mod q).
Diese Kongruenz ist niemals mit ψ p]5 −ι(p)
,
q
= 0 erfüllbar.
3
p]5 +5ι(p)
p]5 +5ι(p)
Für Ψ
,
p
>
0
gehen
wir
in
analoger
Weise
vor,
indem
wir
ψ
,
q
6
6
mit 36 multiplizieren und gelangen zu
36ψ
p]5 +5ι(p)
,q
6
2
≡ 25 − (6κ(q))
(mod q)
≡ (25 − 1)(mod q)
3ψ
p]5 +5ι(p)
,q
6
Auch diese Kongruenz ist mit ψ
≡ 2(mod q).
p]5 +5ι(p)
,q
6
= 0 niemals erfüllbar.
Infolge Satz 7 befinden sich ωp –Zahlen dann auch an den Positionen
p]5 −
p]5 − ι(p)
p]5 + 5ι(p)
und p]5 −
.
3
6
>0
Gensel, Primzahlzwillinge
17
Folgerung 5.3. Mit einer analogen Beweisführung lässt sich zeigen, dass auch
p]5 + 5ι(p)
± 2ι(p)
6
und ihre Spiegelbilder um p]25 für alle Primzahlen 5 ≤ q ≤ p ωp –Zahlen sind. Die Beweisführung führt am Ende zu den Kongruenzen
ψ p]5 +17ι(p)
,
q
≡ 8(mod q)
6
und
3ψ p]5 −7ι(p)
,
q
≡ 4(mod q),
6
±
2ι(p),
q
= 0 nicht erfüllbar sind.
die mit ψ p]5 +5ι(p)
6
Satz 9. An den Positionen p]52−1 und p]52+1 befinden sich ωp –Zahlen:
p]5 − 1
p]5 + 1
Ψ
, p > 0 und Ψ
, p > 0.
2
2
Beweis. Dieser Satz lässt sich in analoger Weise wie Satz 8 beweisen, indem statt durch
3 durch 2 geteilt wird und statt ι(p) immer 1 steht. Trotzdem soll hier ein etwas anderer Weg
beschritten werden.
Entsprechend (2.7) gilt mit x = p]52+1
τ p]52+1 , q
= p]52+1 + κ(q) Mod q und somit
2τ p]52+1 , q Mod q = (p]5 + 1 + 2κ(q)) Mod q
= 2κ(q) + 1.
Wegen τ (x + c, q) = (τ (x, q) + c) Mod q und mit
(
1 für q ∈ P−
cq := 2κ(q) −
0 für q ∈ P+
gilt
a. für q ∈ P− :
2τ
p]5 +1
2
+ cq , q ) Mod q = (p]5 + 1 + 2κ(q) + 2cq ) Mod q
= (2κ(q) + 1 + 4κ(q) − 2) Mod q
= (6κ(q) − 1) Mod q
= q Mod q = 0.
b. für q ∈ P+ :
2τ
p]5 +1
2
+ cq , q Mod q = (p]5 + 1 + 2κ(q) + 2cq ) Mod q
= (2κ(q) + 1 + 4κ(q)) Mod q
= (6κ(q) + 1) Mod q
= q Mod q = 0.
18
Gensel, Primzahlzwillinge
Somit gilt in beiden Fällen τ
τ
p]5 +1
2 ,q
p]5 +1
2
+ cq , q = 0 und damit
= q − cq
(
4κ(q)
=
4κ(q) + 1
für q ∈ P−
für q ∈ P+
.
Die rechte Seite kann niemals die Werte 0 oder 2κ(q) annehmen. Also ist
p]5 + 1
p]5 + 1
ψ
,q > 0 ⇒ Ψ
, p > 0.
2
2
(1)
Wegen der Symmetrie um xp ist dann auch
p]5 − 1
p]5 − 1
ψ
,q > 0 ⇒ Ψ
, p > 0.
2
2
Dem Beweis ist zu entnehmen, dass
p]5 + 1
τ
+ cq , q = 0
2
und damit
ψ
p]5 + 1
+ cq , q
2
=0
gilt. Wegen der Symmetrie gilt das auch für p]52−1 − cq . An diesen Positionen um p]52−1 und
p]5 +1
befinden sich b– bzw. a–Balken der Siebe S5 , . . . , Sp . Für die Positionen x, für die 6x−1
2
oder 6x+1 keine Primzahlen sind, gibt es immer einen Primteiler t < p0 (x) von 6x±1, dessen
Sieb St an dieser Position einen Balken hat. Somit sieben die Siebe S5 , . . . , Sp die Positionen
p]5 −1
− x hund p]52+1 + x für x =
2
i 1, 2,h3, ..., cp lückenlos aus.i Das heisst, dass sich in den
Intervallen
p]5 −1
2
− cp , p]52−1 − 1 und
p]5 +1
2
+ 1, p]52+1 + cp keine ωp –Zahlen befinden.
Definition 2. Es seien a und b ωp –Zahlen mit a < b. Ein Intervall [a + 1, b − 1] heißt
ωp –Lücke der Länge b − a, wenn sich darin keine ωp –Zahlen befinden.
Demgemäß haben wir um p]52−1 und p]52+1 ωp –Lücken mindestens der Länge cp + 1.
Andererseits sehen wir auch, dass sich eine ωp –Lücke niemals über die Symmetrieachse p]25
hinweg erstrecken kann. Das bedeutet, dass eine maximale ωp –Lücke immer mindestens zweimal in Âp auftritt. Da entsprechend (5.1) für alle Siebe S5 , . . . , Sp sich um p]5 ebenfalls Balken befinden, finden wir auch hier zwei ωp –Lücken, allerdings nur jeweils der Mindestlänge
κ(p) + 1. Dieser Befund deckt sich mit der Tatsache, dass sich im Intervall [p] + 2, p] + p]
keine Primzahlen befinden können.
(0)
(1)
In Erweiterung der Folgerung 5.1 gilt die Symmetrie um xp und xp auch für ωp –
Lücken.
Gensel, Primzahlzwillinge
19
6. Die statistische Verteilung der ωp –Zahlen
Die mit (3.1) definierten Intervalle Ap , p ≥ 5 überdecken den Bereich der natürlichen
Zahlen ≥ 4 lückenlos und dicht. Es gilt
\
[
Ap = ∅.
Ap und
N = {1, 2, 3} ∪
P
p∈
∗
p∈
P
∗
Sie bilden jeweils den Anfang der Periodenbereiche Âp der ωp –Zahlen. Wir wollen sie im Folgenden als A-Bereiche bezeichnen. Jede ωp –Zahl, die in einem A-Bereich liegt, ist ein Primzwillingserzeuger. Im Gegensatz zu den A-Bereichen überlappen sich die Periodenbereiche Âp
sehr stark. So reicht beispielsweise der Periodenbereich Â23 über 1740 A-Bereiche bis in den
Periodenbereich Â14929 hinein und der nächste Â29 über 7864 A-Bereiche bis hinein in Â80429 .
Offensichtlich ist die Abfolge der Primzahlen auf dem Zahlenstrahl ungeordnet. Zwar
kann aus der Kenntnis der Primzahlen bis p nach der Formel von Gandhi (vgl. [3], S. 140) die
unmittelbar folgende Primzahl p0 bestimmt werden. Doch daraus erwächst keine Ordnung der
Primzahlabstände. Es folgen kleinere Abstände auf größere und umgekehrt in scheinbar regelloser Folge. Da nach dem Primzahlensatz die Abstände der Primzahlen tendenziell wachsen,
kann die Abfolge der Primzahlabstände auch nicht zyklisch sein. In Analogie zu den Dezimalziffern irrationaler Zahlen wollen wir die Anordnung irrational nennen.
Die Siebeinsetzpunkte xp sind nach (2.5) proportional zu den Quadraten der Primzahlen.
Sie sind somit auf dem Zahlenstrahl ebenfalls irrational angeordnet mit abnehmender Dichte.
Und gemäß Hilfssatz 3.1 und (3.7) setzt jedes Sieb Sp0 immer im Innern des Symmetriebereichs
(1)
Sp der vorangegangenen Siebe S5 , . . . , Sp ein.
Andererseits haben die Siebe ein strenge regelmäßige innere Struktur. Jedes Sieb Sp startet am Siebeinsetzpunkt xp mit einem Balken. Die weiteren Balken wechseln im Abstand von
2κ(p) bzw. 4κ(p) ± 1 und sind somit abhängig von p. Mithin folgen sie in ihrer Lage auf dem
Zahlenstrahl der Irrationalität der Verteilung der Primzahlen.
Die Symmetrie der Siebe S5 , . . . , Sp in ihrem Periodenbereich Âp wiederholt sich beim
Übergang Sp → Sp0 in Âp0 p0 –fach. Infolge der irrationalen Lage des Siebeinsetzpunktes xp0
und infolge Hilfssatz 3.1 verschiebt sich die Lage der ωp –Lücken der Siebe S5 , . . . , Sp relativ
zu xp0 unsystematisch, gestört durch die 2ω(p) Aussiebungen (vgl. (3.12)) des Siebes Sp0 .
Welche der 2p]5 Balken dabei ωp –Zahlen treffen, ist wegen der genannten Irrationalität ungeordnet. Trotzdem besteht in Âp0 auch bezüglich der 2ω(p) Aussiebungen wieder Symmetrie
(vgl. Folgerungen 5.1 und 5.2), allerdings nur im gesamten Periodenbereich. In den einzelnen
(1)
Symmetriehälften, namentlich in Sp0 aber ist die wiederholte Symmetrie durch die Aussiebungen irrational gestört.
(1)
Aus all dem folgt, dass die ωp –Lücken in den Symmetriehälften, namentlich in Sp irrational verteilt sind. Es folgen kleinere auf größere Abstände und umgekehrt in ungeordneter
Folge bei einem Mittelwert von δ̄(p). Mehrere vom Autor vorgenommene empirische Untersuchungen an Häufigkeitsverteilungen dieser Lücken für unterschiedliche p zeigen eine sehr gute
Annäherung an eine geometrische Verteilung mit dem Erwartungswert δ̄(p) und der Varianz
δ̄(p)2 − δ̄(p):
G(d) = P (X ≤ d) = 1 − (1 − η(p))d und damit
P (X > d) = (1 − η(p))d .
20
Gensel, Primzahlzwillinge
Abbildung 3.
Kumulierte Häufigkeiten der ωp –Lücken für p = 1511 im Intervall [xp , 7xp ] im
Vergleich mit der Geometrischen Verteilung
Abbildung 3 zeigt exemplarisch die kumulierten Häufigkeiten der ωp –Lücken für p = 1511
im Intervall von xp = 380520 bis 7xp = 2663640 im Vergleich mit der Geometrischen Verteilung. In diesem Intervall befinden sich 95012 ω1511 –Zahlen, davon 217 im A-Bereich. Der χ2 –
Anpassungstest mit 50 Größenklassen bei einer Schrittweite von 0, 2δ̄(p) ergibt einen Testwert
von weniger als 0, 0582. Es zeigt sich eine sehr gute Anpassung. Die theoretische Häufigkeit
von ωp –Lücken, die größer als δ̄(p)2 sind, ist sehr klein:
2
P (X > δ̄(1511)2 ) = (1 − η(1511))δ̄(1511) < 2, 40 · 10−10 .
Noch kleiner ist hier die Häufigkeit für ωp –Lücken, die größer als dp sind:
P (X > d1511 ) < 1, 88 · 10−125 .
Wie sich allgemein leicht zeigen lässt, sind
lim (1 − η(p))δ̄(p) = e−1 < 0, 4 und
p→∞
2
lim (1 − η(p))δ̄(p) = 0.
p→∞
Folgerung 6.1. Somit sind tendenziell mehr als 60% aller ωp –Lücken kleiner als δ̄(p)
und fast alle kleiner als δ̄(p)2 .
Gensel, Primzahlzwillinge
21
7. Beweis der Primzahlzwillingsvermutung
Unter der Annahme einer irrationalen Verteilung der Primzahlen auf dem Zahlenstrahl
kann die Primzahlzwillingsvermutung schließlich bewiesen werden.
Beweis. Der Beweis wird indirekt geführt. Wir nehmen an, dass es nur endlich viele
Primzahlzwillinge und damit auch nur endlich viele Primzwillingserzeuger gibt. Es sei xo der
größte Primzwillingserzeuger. Er liegt im A-Bereich Apo mit po = p̂(xo ), am Beginn des
Periodenbereichs Âpo . In den nachfolgenden A-Bereichen At mit t > po kann es demzufolge
keine Primzwillingserzeuger und damit auch keine ωt –Zahlen mehr geben. Dann haben wir
in allen (unendlich vielen) Bereichen Ât ab Âp0o ωt –Lücken mit Längen > dt , und das noch
jeweils an ihrem Beginn. Dann sind aber wegen (4.1) für p0o > 200 die Lücken immer auch
größer als δ̄(t)2 .
Weil
1. die ωt –Lücken in ihren Periodenbereichen Ât irrational verteilt sind,
2. die Periodenbereiche selbst auf dem Zahlenstrahl irrational angeordnet sind und weil
3. fast alle ωt –Lücken kleiner als δ̄(t)2 sind,
können sich am Anfang aller Periodenbereiche Ât für t > po nicht nur ωt –Lücken befinden,
die alle größer als δ̄(t)2 sind.
Somit kann die Beweisannahme nicht richtig sein, und die Primzahlzwillingsvermutung
ist bewiesen.
Literatur
[1] St. Baier: Primzahlzwillinge, Diplomarbeit, Freie Universität Berlin, 1997.
[2] P. Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie , Springer, 2008.
[3] P. Ribenboim: Die Welt der Primzahlen , Springer, 2011.
Berndt Gensel, Hochraingasse 3, A-9800, Spittal an der Drau, Österreich
e-mail: www.gensel.at