Rationale Punkte über eine algebraische Kurve (points

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
T HEODOR S CHNEIDER
Rationale Punkte über eine algebraische Kurve (points
rationnels sur une courbe algébrique)
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 20, p. 1-7
15, no 1 (1973-1974),
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20-01
Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
(Théorie
nombres)
des
année, 1973/74,
15e
n°
29 avril 1974
20, 7 p.
ÜBER
RATIONALE PUNKTE
[POINTS
EINE ALGEBRAISCHE KURVE
Theodor SCHNEIDER
von
[Freiburg
Ich
einem Résultat
beginne mit
AIGÉBRIQUE]
RATIONNELS SUR UNE COURBE
i.
Br.]
C. L. SIEGEL
von
[2].
Er hat dort mit der
die die schönen Transzendenzresultate der Verte der Besselfunktionen
auf
angewandt
GoooPunktionen, gezeigt : Sei
eine
y
Méthode,
lieferte,
algebraische Funktion
von
x ,
Gleichung die Koeffizienten algebraische Zahlen sind. Es sei x 0 ein
regulärer Punkt der Funktion. Das Abelsche Intégral
y dt sei keine algebraische
in deren
=
x0
Funktion.
Es
genüge 03BE ~
einer
0
algebraischen Gleichung
absolut ~ M sind. Es sei
ten ganz rational und
si1
c
wo
und
l
nur von
c
abhängt.
e
exp(-(log
irgendeine positive Zahl, und
e
M)~ ,
die Zahl
genügt
Dann
Grades, deren Koeffizien-
J..
y dt
keine r
braischen
Grades mit rationalen Koeffizienten. Die
Gleichung
Méthode gestattet aber nicht, algebraische Funktionen zu behandeln.
Wenn auch das
Siegelschen
Résultat, das ich
nun
Ahnlichkeit
eine gewisse
algeSiegelsche
fUr
algebraische Funktionen angebe, mit dem
aufweist, so ist zum Beweis doch ein neuer Weg
erforderlich. Ich zeige den folgenden Satz.
f(z) algebraisch in z vom Grade
Sei f(z) um z
0 regulär. Es sei
SATZ. - Sei
len Zahlen.
=
mit ganzrationalen
z
=
r/s
das
r ~
und
s
s >
0 . Die Verte
seien ebenfalls rationale Zahlen. FUr
nur von
und
g
f
abhëngt,
so
q
Uber dem
r/s
f(z) bel
ferner
von
irgendein
dass fUr
s >
Körper der rationader gektirzte Bruch
so
e >
die
0
z
=
0
und bel
existiert ein
Abschätzung
g:ilt.
Bemerkungen :
1* Es ist leicht
Die s
=
jx)Î
sehen, dass das Résultat bezüglich des Exponenten scharf ist.
zeigt das folgende Beispiel :
Sei
z
zu
1
=
f(z)= (l -z)-~=y~ so ist
- (l - (l/S))~ und dièse Zahlen
0
(s" )
und mit der
Bezeichnung
z
=
1 -
y~
und
y = (S - i)/s
sind rational fUr
x
=
r/s
folgt
liefert
S e N . Andererseits ist
2° Sei
ex
algebraisch
vom
k , und
Grade
=
f(r/s)
0 ,
=
u/v
rational,
so
folgt
und
algebraisch
wenn
Grade £ , zeigt
vom
man
p-adischen Ubertragung des Satzes im Ridoutschen Sinne steht die
Schwierigkeit entgegen, dass die p-adische Funktion f(x) p-adisch fUr rationales
x
r~g im allgeme inen nicht mehr einen rationalen Zahlenwert annimmt, wenn die
Funktion f(z) bei gewöhnlicher Bewertung fUr z
r/s rational ist.
3~ Einer
=
=
Siegel untersuchten Fall, wo
keine algebraische Funktion, sondern das Integral einer algebraischen Funkist, anwenden.
40 Man kann die folgende Methode auch auf den
f(z)
tion
Ich kann aber nicht das
von
Siegelsche Resultat zeigen, sondern
nur
die schwchere
Abschâtzung
fUr die sonst gleiche Aussage erhalten.
eine Funktion
Beweis : Wir bilden mit
mit einem
geeigneten
p
und beweisen unter den
von ~ 1},
und nicht samtlich verschwindenden
ganzrationalen
cik
Voraussetzungen des Satzes und unter Annahme der Negation
d. h.
$(z)
folgt, dass f(z) eine algebraische
Funktion h6chstens (q - l)-ten Grades ist im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
es eine Funktion sei, die vom
q-ten Grade algebraisch sein soll. Aus diesem Widerspruch folgt die Richtigkeit von (1) und damit der Satz.
dass
identisch verschwindet,
1 0 Wir wollen
uns
woraus
zunachst Uber die Koeffizienten
verschaffen und dann über eine Induktion das
ten
Interpolationsreihe
Die Koeffizienten
noch
von
$(z)
clk mögen
die
notwendigen Aussagen
identische Verschwinden einer geeigne-
cik
beweisen.
unter Annahme einer ganzen Zahl
geeignet gewählt werden soll, allein durch
die
p , die
Forderung, dass
später
03A6(r/s) =
0
sein soll, bestimmt werden. Bestimmt heisst, dass wir mittels des Schubfachschlusses
die Existenz fUr
tionaler
cik
Zwecke
geeigneter, nicht sämtlich verschwindender, ganzranachweisen. Dabei wird die Negation von (1) noch nicht benutzt. Es
unsere
sei die rationale Zahl
f(r/s)
mit
keit der
von
von
Grôssenordnung
unabhängigem 03B3 gilt
v
u/v
bezeichnet. Dabei besteht eine Abhängig-
denjenigen
derart, dass mit
von
s
(siehe
hierzu die Arbeit
liefert demnach eine
[l~j).
einzige
Die
Bedingung
homogène Gleichung fUr die
lineare
cik
mit rationa-
Multiplikation der Gleichung mit sp~~ ,
ganzrationalen Koeffizienten, die unter Beachtung
len Koeffizienten. Durch
wird
daraus eine solche mit
von
dem
kleiner als
Betrag nach
sind. Damit ist die Gleichung, wie mittels des Schubfachschlusses
lösbar in nicht sämtlichen verschwindenden,
fUr e>0
(2)
ganzrationalen
zu
sehen ist,
cik , fUr die gilt
und
)r/s)l
20 Nun soll unter der Annahme
s
-((1/q)+~)
und der Wahl
von
e.
mit
gezeigt werden, dass $(z) identisch verschwindet. Daraus folgt, dass
eine algebraische Funktion niederer als q-ten Grades ist im Widerspruch
Voraussetzung, und aus diesem Widerspruch folgt der Satz.
~
e.
f(z)
Das identische Verschwinden
Interpolationsreihe
fUr
von
$(z)
und
;(z)
sehen wir
zwar aus
einer
aus
zur
dem Verschwinden einer
Interpolationsreihe, deren
sämtliche Koeffizienten verschwinden.
interpolieren $(z) an den Stellen
~0 , ~1 , ~2 ,...,
einer noch später zu fixierenden natürlichen Zahl m
Wir
mit
und ~n
Gleiche Werte
von ~n
=
0
fUr allé Indizes
bedeuten dabei
Interpolation
~n ,... .
n ~ jm, j
von
=
Dabei sei
0,1,... .
entsprechend höherer
Ordnung.
Wir zeigen
03A6(03BD)(0) = 0
und
03A6(03BD)(r s)
=0
für alle 03BD = 0 , 1, 2, ..., woraus
das Verschwinden sämtlicher Koeffizienten der genannten Interpolationsreihe von
$(z) folgt. Wir haben $(z) so gewählt, dass 03A6(r s) verschwindet.
Aïs nächstes zeigen wir
03A6( )(0)
= 0
für
=
0, 1,
... ,
m -
2. Es ist
und wegen des Eisensteinschen Satzes fUr
derart, dass
ganzrationale Zahl v~
ganzrational ist.
,
(Siehe
Abschatzung
,~ (0~
nicht Null ist,
Die
(5)
Die
gen
für
bei
$(o)
=
...
p ~
=
0
0
folgt daraus
r/s
die Stelle
0
fUr genügend grosses
03A6( -1)(0)
=
p > 0 ,
s , aiso
umschl1esst,
s >
Si .
sei aïs Induktionsannahme
aufgefasst.
mit einem von
ergibt
s
unabhängi-
80 dass wir
c1 ,
e.
e
und
unabhängig ist.
~ (m - 1) von
=
$ ~" ’(o)
...
fUr festes
p
)$(z))
Abschätzung von
s
=
=
=
folgt
erhalten fUr
von
tz)
s-((1/q)+~)
aus
Die Annahme
Aus
$(o)
( z,Î
0 , integriert Uber einen Kreis
=
Voraussetzung
Annahme, dass
folgt
Cauchysche Integralformel
der linken Seite nach oben wird die
herangezogen. Es ist wegen
der r~s umschliesst,
und unter der
Somit ist
die zitierte
ganzrational, also, falls
Zur
algebraische Funktionen existiert eine
s
genUgend
Daraus
grosses
folgt,
zusammen
1 . Also verschwindet
unabhängigem
m.
s
Nachdem wir
bei festem
mit
03A6( )(0)
so
(4),
fUr
=
p
dass
alle
03A6( )(0)
und
m, da auch
03A6( )(0)
v..
verschwindet
= 0 , 1 ,..., m - 2
=
0
fUr
~==0~1,...,m-2 erreicht haben, wenden wir fUr die Untersuchung der
höheren Ableitungen von $(z) an den beiden Stellen r/s und 0 Induktion
an
und
folgendermassen vorgehen : Wir haben zwei Induktionsschlüsse durchzuftthren, erstens haben wir unter der Voraussetzung des Verschwindens
zwar
mUssen wir offenbar
von
03A6(l)(r/s)
für l
03A6(l)(0)
und
0 , ... , j- 1
=
fUr
~~(r/s) zeigen und zweitens soll unter der Vorausset03A6(l)(r/s) fUr 1 0 , ... , j und des Verschwindens
zung des Verschwindens
$~~(o) fUr
~~(o) fUr ~=0,...,j(m-l)-l das Verschwinden
das Verschwinden
zu
von
=
von
von
von
x,
=
j(m - 1) ,
... ,
(j
+
l)(iR - l) -
nachgewiesen werden. Ist dies gezeigt,
1
verschwindet mit den bereits gezeigten Anfangsbedingungen
ständiger Induktion sowohl an
hoher Ordnung, und damit sind
der Stelle
z
0
=
wir offenbar mit
wie bei
unserem
so
$(z) mittels vollz
r/s von beliebig
=
Beweis
Es sind also
fertig.
noch die beiden Induktionsschlüsse auszuführen.
Wir beweisen zuerst das Verschwinden
Verschwindens
für l
~~(r/s)
von
$ ~(r/s)
von
fUr allé ~
j
unter der Annahme des
und des Verschwindens
von
j(m - l) .
1/jt
Es ist
ganzrational, also unter der Annahme
Nun ziehen wir die
Cauchysche Formel heran und erhalten unter den genannten
Annahmen
n
und daraus durch
mit
von
$ (o)
s
Abschätzung des Integrals
unabhangigem
c~ .
Hieraus
folgt
zusammen
mit
(6)
und mit
Wir erhalten aber fUr
fUr
und
1 , und offenbar ist
alle j
allé 3 $
1
mit
=
zu
genUgend grosses
genUgend grossem
und
$ (û) ~ 0
zusammen
mit
s
unmöglich,
=
m~
und
m..
und fUr allé
aus
diesem
m >
m0
Widerspruch
(8)
der Annahme des Verschwindens von
~~’(o)
angenommen wird. Unter der weiteren
(9)
fUr
fUr
Induktionsvoraussetzung
ergibt dies
Bei j 2 , was nach dem ersten Induktionsschluss
genUgte sogar j > 1 ) und L in dem fraglichen
ergibt sich so eine nur von p ,
c 3 abhangige, von
derart dass
m
fUr ein seiches
und des Verschwindens von
~=0,l~..~,j-l
nur
gennant
0 . Schliesslich haben wir noch den zweiten Induktionsabschluss
zeigen, nämlich dass unter
falls
(6)
m ,
fUr
s >
s~ unmoglich
angenommen verden darf
m
sogar
(es
unabhangige Zahl
wird, und damit ist auch der zweite
Induktionsschluss bewiesen.
Bfable
,
dann
also zu ~ ein ~1 > 0 und ~ > ~1 , z. B. ~1 = ~ 2
gross,
nun
genUgend
m
gross,
genUgend
so
gross, und
zu
diesen Werten
f olgt der behauptete Satz.
von
p
und
m
p
genUgend
schliesslich
s
20-07
BIBLIOGRAPHIE
[1]
SCHNEIDER (Theodor). - Zur Charakterisierung algebraischer Funktionen mit
Hilfe des Eisensteinischen Satzes, Math. Z., t. 60, 1954, p. 98-108.
[2]
SIEGEL (Carl Ludwig). - Uber einige Anwendungen diophantischer
Abh. preuss. Akad. Wiss., Berlin, 1929, n° 1, 71 p.
(Texte
Theodor SCHNEIDER
Mathematisches Institut
der
Albert-Ludwigs-Universität
40 Hebelstrasse
D~.~ 800 FRE IBURG i. Br.
(Allemagne fédérale)
reçu
Approximationen,
en
juillet
1974)