Analysis - Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

Hochschule München
Fakultät 03, Fahrzeugtechnik
Skript zur Vorlesung
Analysis
Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
July 3, 2013
Erstversion erstellt von Sindy Engel
erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
Contents
1 Mengen
1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mengenrelationen . . .
1.1.2 Operationen . . . . . .
1.2 Spezielle Mengen . . . . . . .
1.3 Menge der reellen Zahlen . . .
1.4 Darstellung und Eigenschaften
1.4.1 Anordnung der Zahlen
1.4.2 Intervalle . . . . . . .
1.5 Beschränktheit von Mengen .
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2 Komplexe Zahlen
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen . . .
2.2.1 Arithmetische Form . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form
2.2.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . .
2.3 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . .
2.4.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . .
2.4.2 Multiplikation und Division . . . . . . .
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3 Reelle Zahlenfolgen
3.1 Definition von Zahlenfolgen . . . . . .
3.1.1 Darstellung . . . . . . . . . . .
3.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . .
3.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . .
3.3.2 Beschränktheit und Konvergenz
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4 Funktionen einer Variablen
4.1 Funktionsbegriff . . . . . . . .
4.2 Eigenschaften von Funktionen
4.3 Umkehrfunktion . . . . . . . .
4.4 Verkettete Funktion . . . . . .
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Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf
4.5
4.6
Analysis
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen . . . . . .
Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . .
4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . .
4.6.3 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
4.6.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . .
4.6.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . .
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5 Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen
5.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . .
5.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . .
5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte . . . . . .
5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung für
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen . .
6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral
6.1.1 Bestimmtes Integral . . . . . .
6.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . .
6.1.3 Unbestimmtes Integral . . . . .
6.2 Integrationsverfahren . . . . . . . . . .
6.2.1 Partielle Integration . . . . . .
6.2.2 Substitution . . . . . . . . . . .
6.2.3 Partialbruchzerlegung . . . . .
6.2.4 Numerische Integration . . . . .
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Extremwerte und
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7 Reihen
7.1 Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen
7.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe . . . . . . . . . . .
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Fakultät 03
Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf
Analysis
8 Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren
8.1 Einführung: Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Gradient, Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene . . . . .
8.2.4 Extremwertuntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Ausgleichsgerade/ Parabel . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Vektorfelder und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . .
Variablen 49
. . . . . . 49
. . . . . . 49
. . . . . . 49
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. . . . . . 64
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. . . . . . 68
9 Ebene Kurven
9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . .
9.2 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . .
9.3 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Standardfläche einer explizit gegebene Funktion . .
9.3.2 Standardfläche einer Kurve in Parameterdarstellung
9.3.3 Formeln für Sektorflächen . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Explizit gegebene Funktion . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . .
9.5 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Krümmungskreisradius . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Krümmungskreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . .
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10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . .
10.2.1 Isoklinenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen .
10.2.3 Durch Substitution lösbare Differentialgleichungen
10.2.4 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . .
10.2.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . .
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Analysis
10.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführbare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Lineare Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
10.4.1 Lösung des homogenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Lösung des inhomogenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.3 Überführung auf ein System 1. Ordnung: Zustandsform . . . . . .
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Fakultät 03
1 Mengen
1.1 Begriffe
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte. Die Objekte
heißen Elemente.
x ∈ M : x ist Element in M
x∈
/ M : x ist nicht Element in M
Leere Menge: M = = {}
Beispiel 1.1 Mengen
M1 = {2, 4, 6} aufzählende Form
M2 = {x|(x > 1) ∧ (x < 5)} beschreibende Form
1.1.1 Mengenrelationen
A=B
Gleichheit von 2 Mengen
(A = B) ⇐⇒ (a ∈ A ⇐⇒ a ∈ B)
A⊆B
A ist in B enthalten
(A ⊆ B) ⇐⇒ (a ∈ A ⇒ a ∈ B)
A⊂B
A ist echt in B enthalten
(A ⊂ B) ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ ∃ b ∈ B ∧ b ∈
/ A)
1.1.2 Operationen
A∪B
Vereinigung von A u. B
(a ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (a ∈ A ∨ a ∈ B)
A∩B
Schnitt von A u. B
(a ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈ B)
A\B
Differenz von A u. B
Ā
Komplementärmenge
bzgl. einer Grundmenge
M
(a ∈ A\B) ⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈
/ B)
∀a ∈ M : a ∈ Ā ⇐⇒ (a ∈
/ A)
6
Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf
Analysis
1.2 Spezielle Mengen
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, . . . }
Menge der ganzen Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }
Menge der rationalen Zahlen: Q = x|x = ab , a ∈ Z; b ∈ Z\ {0}
x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimalbruch
Menge der reellen Zahlen: R = {x|x = ein Dezimalbruch}
Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche (π, e, . . . )
Menge der komplexen Zahlen: C = {x|x = a + bj, a, b ∈ R; j 2 = −1}
1.3 Menge der reellen Zahlen
1.4 Darstellung und Eigenschaften
Zahlengerade
Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R
1. Mögliche Operationen
a + b, a − b, a · b,
a
, b 6= 0
b
2. Kommutativgesetz
a+b=b+a
a·b=b·a
3. Assoziativgesetz
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
4. Distributivgesetz
a(b + c) = a · b + a · c
HS München
7
Fakultät 03
Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf
Analysis
1.4.1 Anordnung der Zahlen
3 mögliche Beziehungen:
∀ a, b ∈ R
a<b
a=b
a>b
1.4.2 Intervalle
a, b ∈ R, a < b
1. endliche Intervalle
[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b}
[ a; b [ = {x| a ≤ x < b}
] a; b ] = {x| a ≤ x < b}
]a; b [ = {x| a < x < b}
abgeschlossenes Intervall
halboffenes Intervall
halboffenes Intervall
offenes Intervall
2. unendliche Intervalle
[a; ∞[ = {x| a ≤ x < ∞}
]a; ∞[ = {x| a < x < ∞}
]-∞; b] = {x| -∞ < x ≤ b}
]-∞; b[ = {x| -∞ < x < b}
]-∞; 0[ = R−
]0; ∞[ = R+
[ 0; ∞ [ = R+
0
]-∞; ∞[ = R
1.5 Beschränktheit von Mengen
Definition 1.1 Beschränktheit
Eine Zahlenmenge M heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn eine Zahl S ∈ R
existiert, so dass gilt x ≤ S (x ≥ S) ist, für alle x ∈ M
Jedes S mit dieser Eigenschaft heißt obere (untere) Schranke.
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8
Fakultät 03
2 Komplexe Zahlen
2.1 Grundbegriffe
Definition 2.1 Imaginäre Einheit j
Die Definition der Imaginären Einheit j, ergibt sich aus der Lösung der folgenden
Gleichung
x2 + 1 = 0
→ x2 = −1
√
x = ± | {z
−1}
j
Die imaginäre Einheit j ist eine Zahl, für die gilt:
j 2 = −1
Definition 2.2 Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl z ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären
Zahl bj:
z = a + bj
a heißt Realteil,
b heißt Imaginärteil von z.
Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet.
Es gilt C = {Z|Z = a + bj, j 2 = −1; a, b ∈ R}
9
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Analysis
Gauß´sche Zahlenebene
Der Betrag ergibt sich zu: |Z| = r =
√
a2 + b 2
Konjugiert komplexe Zahl
Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zahl
Die Zahl Z̄ = a − bj heißt konjugiert komplex zu Z = a + bj.
Dies entspricht in der Gauß’schen Zahlenebene einer Spiegelung an der Re(Z)-Achse.
2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen
2.2.1 Arithmetische Form
Z = |{z}
a +
Realteil
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b
|{z}
j,
a, b ∈ R
Imaginärteil
10
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2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form
Beziehungen:
|Z| = r
b
tan ϕ =
a
b
sin ϕ =
r
a
cos ϕ =
r
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
Z = r (cos ϕ + j sin ϕ) ,
0 ≤ ϕ < 2π
bzw.
0° ≤ ϕ < 360°
2.2.3 Exponentialform
Euler’sche Formel: e jϕ = cos ϕ + j · sin ϕ
Z = r · e jϕ ,
0 ≤ ϕ < 2π
bzw.
0° ≤ ϕ < 360°
2.3 Umrechnungen
arithmetische in goniometrische bzw. in Exponentialform
Z = a + bj
Z = r (cos ϕ + j · sin ϕ)
bzw:
Z = r · e j·ϕ
mit:
√
r = a2 + b 2
b
ϕ = arctan
a
Exponentialform in arithmetische
Z = r · ejϕ
a = r · cos (ϕ)
b = r · sin (ϕ)
Z = r · cos (ϕ) + j · r · sin (ϕ)
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11
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2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen
2.4.1 Addition und Subtraktion
Definition 2.4 Summenbildung
Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen, durch Addition bzw.
Subtraktion der Komponenten (vgl. Vektoraddition)
Z1
Z2
Z1 + Z2
Z1 − Z2
= a1 + b 1 j
= a2 + b 2 j
= (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 )
= (a1 − a2 ) + j (b1 − b2 )
Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ausschließlich in der
arithmetischen Form möglich!
2.4.2 Multiplikation und Division
In arithmetischer Form
Multiplikation
Z1 · Z2 = (a1 + jb1 ) · (a2 + jb2 )
→ Real- und Imaginärteil sortieren
= a1 a2 + a1 b 2 j + a2 b 1 j − b 1 b 2
= (a1 a2 − b1 b2 ) + j (a1 b2 + a2 b1 )
Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen
Z = a + bj
Z̄ = a − bj
Z · Z̄ = (a + bj) · (a − bj)
= a2 − b 2 j 2
= a2 + b 2
es entsteht eine reelle Zahl!
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12
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Analysis
Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zahlen, wird ausgenutzt zur
Bildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zahlen.
Z1
Z2
Z1
Z2
Z1
=⇒
Z2
= a1 + b 1 j
= a2 + b 2 j
a1 + b 1 j
=
Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner
a2 + b 2 j
a1 + b 1 j a2 − b 2 j
=
·
a2 + b 2 j a2 − b 2 j
a1 a2 + b1 b2 + (a2 b1 − a1 b2 ) j
=
a22 + b22
a1 a2 + b 1 b 2
a2 b 1 − a1 b 2
=
+j
2
2
a2 + b 2
a22 + b22
Goniometrische Form/ Exponentialform
Multiplikation
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
in Exponentialform:
Z1 · Z2 = r1 · r2 · ej(ϕ1 +ϕ2 )
analog in goniometrischer Form:
Z1 · Z2 = r1 · r2 (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + j sin (ϕ1 + ϕ2 ))
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden
multipliziert, indem man die Beträge multipliziert, die Winkel jedoch addiert.
Division
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
Z1
=
·e
Z2
r2
Z1
r1
= (cos (ϕ1 − ϕ2 ) + j sin (ϕ1 − ϕ2 ))
Z2
r2
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden dividiert,
indem man die Beträge dividiert, die Winkel jedoch subtrahiert.
Potenzieren und radizieren
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Analysis
Potenzieren
Z1 = r1 · ejϕ1
Z1n = r1 · ejϕ1
n
Z1n = r1n · en·jϕ1
Z1n = r1n (cos (nϕ1 ) + j sin (nϕ1 ))
Eine komplexe Zahl in goniometrischer bzw. in Exponentialform wird mit n
potenziert, indem man den Betrag mit n potenziert, den Winkel jedoch mit
n multipliziert.
Radizieren
1 = x2 ⇒ x = 1 ∨ x = −1
1 = x4 ⇒ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = j ∨ x = −j
da:
2
j 4 = j 2 = (−1)2 = 1
2
(−j)4 = (−j)2 = (1)2 = 1
√
◦
Für den Ausdruck n x existieren n Lösungen im Abstand von 360
, bei konstanten
n
Beträgen. Für die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Z = a + bj = r · ejϕ gilt:
√
n
ϕ
Z = r n · ej ( n +k·
1
360◦
n
)
Für
k = 0, 1, . . . , n − 1
Die Lösung für k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet.
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Analysis
Anwendung: Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Allgemeine Sinusschwingung:
s (t) = A · sin (ωt + ϕ)
Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Form:
s(t) = A · (cos (ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ)) = A · ej(ωt+ϕ)
=⇒ s (t) = Im (s(t))
Zwei gleichfrequente Schwingungen überlagern:
s1 (t) = A1 · sin (ωt + ϕ1 )
s2 (t) = A2 · sin (ωt + ϕ2 )
Gesucht wird die Summenfunktion:
sΣ (t) = s1 (t) + s2 (t) = A1 · sin (ωt + ϕ1 ) + A2 · sin (ωt + ϕ2 ) = AΣ sin (ωt + ϕΣ )
Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imaginärteil bestimmt. Bildung der komplexen Summe:
s (t) = s1 (t) + s2 (t)
= A1 · ej(ωt+ϕ1 ) + A2 · ej(ωt+ϕ2 )
= A1 · ejϕ1 ·ejωt + A2 · ejϕ2 ·ejωt
| {z }
| {z }
A1
A2
jωt
= A1 + A2 ·e
| {z }
A
Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise:
1. Übergang zur komplexen Form
s1 (t) = A1 · ejωt
mit A1 = A1 · ejϕ1
s2 (t) = A2 · ejωt
mit A2 = A2 · ejϕ2
2. Addition der komplexen Amplituden
A = A1 + A2
3. Rücktransformation: Bildung des Imaginärteils der komplexen Sinusschwingung
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15
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3 Reelle Zahlenfolgen
3.1 Definition von Zahlenfolgen
Definition 3.1 Zahlenfolge
Unter einer reellen Zahlenfolge (ZF) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen.
Jedem n ≥ K (meistens K = 0 oder K = 1) n ∈ N wird in eindeutiger Weise eine
reelle Zahl an zugeordnet.
an heißt n-tes Glied der ZF.
(an ) = a0 , a1 , a2 , . . .
3.1.1 Darstellung
1. Analytische Darstellung
Das n-te Folgeglied lässt sich direkt berechnen
an =
1
n
2. Rekursive Darstellung
Das n-te Folgeglied berechnet sich aus dem (n − 1)-ten Folgeglied (ggf. n − 2 . . . )
an = a2n−1 − 1; a0 = 2
→ (an ) = 2, 3, 8, 63 . . .
3. Graphische Darstellung - Zahlenstrahl
Bsp. an ) = n2 − 1
16
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Analysis
4. Graphische Darstellung - Koordinatensystem
3.2 Spezielle Folgen
1. Arithmetische Folge
Differenz von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich d
a0 , d ∈ R
an = an−1 + d rekursive Darstellung
mit a0 = 1, d = 2 ⇒ (an ) = an−1 + 2 = 1, 3, 5, 7 . . .
an =
analytische Darstellung
2. Geometrische Folge
Quotient von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich q
a0 , q ∈ R
an = q · an−1 rekursive Darstellung
1
1
1 1 1
mit a0 = 1, q = ⇒ (an ) = · an−1 = 1, , , . . .
2
2
2 4 8
an =
analytische Darstellung
3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen
3.3.1 Konvergenz
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Analysis
Definition 3.2 Konvergenz
Eine Zahlenfolge (an ) heißt
1. konvergent gegen den Grenzwert g ∈ R, wenn zu jedem > 0 ein N ∈ N
existiert, so dass gilt |an − g| < , d.h. an ∈ U (g)
lim (an ) = g
n→∞
2. Nullfolge, wenn
lim (an ) = 0
n→∞
3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist
4. bestimmt divergent, wenn
lim (an ) = ∞
n→∞
lim (an ) = -∞
n→∞
5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, aber nicht bestimmt divergent ist.
Definition 3.3 Alternierende Zahlenfolge
Eine ZF heißt alternierend, wenn benachbarte Folgenglieder unterschiedliche
Vorzeichen besitzen.
Beispiel 3.1 Einfache alternierende ZF
1
, n>0
n2
1
1 1
...
(an ) = -1; ; − ;
4
9 16
an = (-1)n ·
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18
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Analysis
Konvergenz elementarer Folgen
1. Arithmetische Folge an = a0 + n · d

, d > 0 bestimmt divergent

, d = 0 konvergent
lim (an ) =
n→∞

, d < 0 bestimmt divergent
2. Geometrische Folge an = a0 · q n

für




für

für
lim (an ) =
n→∞


für



für
3. Gebrochen rationale Folge cn =
|q| < 1
q=1
q = -1
q>1
q < -1
p(n)
q(n)
mit den Polynomen
p(n) = ak nk + ak−1 nk−1 + · · · + a1 n + a0
q(n) = bl nl + bl−1 nl−1 + · · · + b1 n + b0
vom Grad k bzw l




lim (cn ) =
n→∞



4.
5.
6.
7.
1
=
n→∞ n
√
lim n a =
für
für
für
für
k > l,
k > l,
k<l
k=l
ak
bl
ak
bl
>0
<0
lim
n→∞
lim
n→∞
,
a>0
√
n
n=
an
=
n→∞ n!
lim
Fakultät:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · 1
8.
9.
na
=
, a∈R
n→∞ n!
n
1
lim 1 +
=
n→∞
n
lim
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Analysis
Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen
lim (an ) = a; lim (bn ) = b
n→∞
1.
2.
3.
4.
n→∞
lim (an + bn ) = a + b
lim (an ) · c = a · c
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = a · b
n→∞
lim
n→∞
an
bn
=
a
b
b 6= 0 bn 6= 0
Die Regeln gelten auch für bestimmt divergente Zahlenfolgen, wenn man definiert:
1.
∞+∞=∞
2.
±∞ ± a = ±∞

 ±∞; c > 0
∓∞; c < 0
c · (±∞) =

n.d.; c = 0
3.
c
=0
±∞
∞ · ±∞ = ±∞
-∞ · ±∞ = ∓∞
3.3.2 Beschränktheit und Konvergenz
Definition 3.4 Beschränktheit
Eine Folge (an ) heißt beschränkt gegen eine obere bzw. untere Schranke S ∈ R, falls
für alle Folgenglieder gilt ai ≤ S bzw. ai ≥ S, i ∈ N.
Satz:
1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Jede nach oben bzw. unten beschränkte monoton steigende bzw. fallende Folge
ist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum.
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20
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4 Funktionen einer Variablen
4.1 Funktionsbegriff
Definition 4.1 Funktion
Eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ D ⊆ R in eindeutiger Weise ein Element
y ∈ W ⊆ R zuordnet, heißt reelle Funktion.
f : D → W ; y = f (x)
Darstellungsmöglichkeiten
1. Verbale Darstellung
2. Tabelle von Messwerten
3. Grafische Darstellung
4. Analytische Darstellung
a) Explizite Darstellung
y = f (x),
y = f (x) = x2
b) Implizite Darstellung
F (x, y) = 0
4.2 Eigenschaften von Funktionen
Definition 4.2 Beschränkung
21
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Analysis
Funktionen sind per Definition beschränkt auf den Definitionsbereich D.
Eine Funktion f : D → W heißt beschränkt, falls ein c > 0 existiert mit
|f (x)| ≤ c,
∀x ∈ D.
Ansonsten heißt die Funktion unbeschränkt.
Definition 4.3 Monotonie
monoton wachsend
f (x1 ) ≤ f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
streng monoton wachsend
f (x1 ) < f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
monoton fallend
f (x1 ) ≥ f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
streng monoton fallend
f (x1 ) > f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
Definition 4.4 Periodizität
Eine Funktion f heißt auf D periodisch mit der Periode p 6= 0, wenn gilt:
x∈D ⇒ x+p∈D
und
f (x) = f (x + p) = f (x + k · p)
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22
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Analysis
Definition 4.5 Symmetrie
Eine Funktion f heißt auf D gerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f (x) = f (−x)
Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)
Eine Funktion f heißt auf D ungerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f (x) = −f (−x)
Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um den
Nullpunkt)
4.3 Umkehrfunktion
Es sei y = f (x) eine Funktion x ∈ D, d.h. sie ordnet jedem Element aus D genau ein
Element aus W zu.
Gilt auch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y ∈ W gehört genau ein x ∈ D, so
heißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f −1 bezeichnet wird.
Df −1 = Wf
Wf −1 = Df
Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion:
1. Auflösen der Gleichung nach x
2. formales Vertauschen von x und y
y = f −1 (x)
wird nicht angewandt bei technischen Größen
4.4 Verkettete Funktion
Definition 4.6 Verkettete Funktion
Es seien y1 = f (x), x ∈ Df und y1 = g(x), x ∈ Dg . Funktionen mit der Eigenschaft
Wg ⊆ Df heißt (f ◦ g)(x) = f (g(x)) verkettete Funktion.
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23
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Analysis
4.5 Stetigkeit
Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert
1. Sei f = D → W, x0 ∈ D; g ∈ R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert,
von f an der Stelle x0 , wenn
lim f (xn ) = g
n→∞
für jede von links bzw. rechts gegen x0 konvergierende Folge (xn ) ∈ D gilt.
Schreibweise:
links: lim− f (x) = g
x→x0
rechts: lim+ f (x) = g
x→x0
g = ±∞ heißt uneigentlicher Grenzwert.
2. g heißt Grenzwert von f in x0 falls
g = lim+ f (x) = lim− f (x)
x→x0
x→x0
Schreibweise:
g = lim f (x)
x→x0
3. f heißt stetig in x0 , falls
g = lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ansonsten unstetig. f heißt stetig auf D, falls f ∀x ∈ D stetig ist. (Grafisch:
Graph in einem Zug zeichenbar)
4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen
Sprung
lim f (x) = g1 6= g2 = lim+ f (x)
x→x−
0
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x→x0
24
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Lücke
Analysis
lim f (x) = lim+ f (x) = g
x→x−
0
x→x0
Definition 4.8 Stetige Ergänzung
Hat f (x) in x0 eine Lücke, so heißt die durch den Grenzwert der Lücke
vervollständigte Funktion, stetig ergänzt.
(
f (x), x 6= x0
f¯(x) =
g,
x = x0
Polstelle
lim f (x) = ±∞, lim+ f (x) = ±∞
x→x−
0
x→x0
4.6 Funktionsklassen
4.6.1 Ganzrationale Funktionen
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25
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Analysis
Definition 4.9 Ganzrationale Funktion
Eine Funktion der Gestalt
pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0
heißt ganzrationale Funktion oder Polynom n-ten Grades.
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom lässt sich aufspalten in:
pn (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
wobei die xn , die (ggf. komplexen) Nullstellen darstellen.
4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen
Definition 4.10 Gebrochenrationale Funktion
Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrationale Funktion.
f (x) =
pm (x)
am x m + · · · + a0
=
pn (x)
b n x n + · · · + b0
Sie heißt echt gebrochen, falls m < n, ansonsten unecht.
Falls x0 NS von pm (x) und pn (x) ist, so hat f (x) dort eine Lücke.
Falls x0 nur NS von pn (x), so hat f (x) dort einen Pol.
4.6.3 Wurzelfunktion
m
f (x) = x n =
√
n
xm
Beispiel 4.1 Wurzelfunktion
3
f (x) = 3x 2 = 3 ·
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√
2
x3
D = R+
0
26
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Analysis
4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition 4.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Sei a ∈ R mit a > 0, a 6= 0, dann heißt
f (x) = ax D = R
Exponentialfunktion mit Basis a. x heißt Exponent.
Es gilt ferner:
f −1 (x) = loga x, D = R+
Logarithmusfunktion von x zur Basis a.
Rechenregeln:
1.
ax · ay = ax+y
2.
ax
= ax−y
ay
3.
(ax )y = ax·y
4.
loga (x · y) = loga x + loga y
5.
x
loga ( ) = loga x − loga y
y
6.
loga xy = y · loga x
7.
loga x = loga b · logb x
⇒
loga x
= logb x (Basiswechsel)
loga b
4.6.5 Trigonometrische Funktionen
1.
f (x) = sin x,
Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; ungerade
Funktion
Umkehrfunktion: − π2 ; π2 Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehrfunktion
h π πi
f −1 (x) = arcsin x Df −1 = [−1; 1], Wf −1 = − ;
2 2
HS München
27
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2.
f (x) = cos x,
Analysis
Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; gerade Funktion
Umkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehrfunktion
f −1 (x) = arccos x Df −1 = [−1; 1], Wf −1 = [0; π]
3.
f (x) = tan x =
sin x
cos x
o
n
π
Df = x|x ∈ R, x 6= (2k − 1) , k ∈ G , Wf = R
2
Periode p = π; ungerade Funktion
Umkehrfunktion auf: ] − π2 ,
4.
f (x) = cot x =
π
2
[ f −1 = arctan x Df −1 = R, Wf −1 = ] − π2 ,
π
2
[
1
tan x
Df = {x|x ∈ R, x 6= k · π, k ∈ G} , Wf = R
Periode p = π; gerade Funktion
4.6.6 Hyperbelfunktionen
1.
2.
3.
4.
ex − e−x
sinh x =
2
D = R,
W =R
cosh x =
ex + e−x
2
D = R,
W = [ 1; ∞ [
tanh x =
sinh x
ex − e−x
= x
cosh x
e + e−x
D = R,
W = ] − 1; 1 [
coth x =
cosh x
ex + e−x
= x
sinh x
e − e−x
D = R\ {0} ,
HS München
W = R\ [−1; 1]
28
Fakultät 03
5 Differentialrechnung für Funktionen
einer Variablen
5.1 Differentialrechnung
Definition 5.1 Differenzierbarkeit
Eine Funktion f auf ] a; b [ heißt an der Stelle x0 (x0 ∈ ]a; b[) differenzierbar, falls der
Grenzwert des Differenzenquotienten
f (x) − f (x0 )
∆y
= lim
x→x0
∆x→0 ∆x
x − x0
lim
existiert.
f 0 (x0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x0 . f heißt diffenzierbar im Intervall ] a; b [,
falls f ∀x ∈ ] a; b [ differenzierbar ist.
Definition 5.2 Tangente und Normale
Tangente:
t(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
29
Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf
Analysis
Normale:
n(x) = f (x0 ) −
1
f 0 (x
0)
(x − x0 )
5.1.1 Differential einer Funktion
Definition 5.3 Differential
Das Differential dy = df = f 0 (x0 ) · dx einer Funktion beschreibt den Zuwachs der
Ordinate auf der, an der Stelle x0 errichteten Tangente bei einer Änderung der Abzisse
von ∆x = dx.
∆y Zuwachs der Funktionswerte
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x)
Für kleine ∆x = dx → dy ≈ ∆y
5.1.2 Differentiationsregeln
Seien f (x), g(x) Funktionen
Summenregel
y(x) = f (x) + g(x)
y 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
Produktregel
y(x) = f (x) · g(x)
y 0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
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30
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Analysis
Quotientenregel
f (x)
g(x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
y 0 (x) =
g 2 (x)
y(x) =
Kettenregel
y(x) = f (g(x)) = f (x) ◦ g(x)
y 0 (x) = g 0 (x) · f 0 (g(x))
Innere Ableitung mal äußerer Ableitung
Ableitung der Umkehrfunktion
Sei f : D → W umkehrbar und differenzierbar. dann hat f −1 : W → D die
Ableitung:
0
f −1 (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
5.1.3 Mittelwertsätze
Satz: Satz von ROLLE
Eine Funktion f (x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar und sei
f (a) = f (b). Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f 0 (x0 ) = 0
Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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31
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Analysis
Eine Funktion f (x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar. Dann existiert
(a)
mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f 0 (x0 ) = f (b)−f
(Steigung der Sekante)
b−a
5.1.4 Regel von l’HOSPITAL
Seien f (x), g(x) differenzierbar auf ] a, b [ und g 0 (x) 6= 0 ∀ x ∈ ] a, b [
Weiterhin seien
lim f (x) = lim g(x) = ±∞ oder 0
x→a
x→a
Dann gilt
lim =
x→a
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f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→a g (x)
32
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Analysis
5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte
Monotonie:
streng monoton steigend
f 0 (x) > 0
monoton steigend
f 0 (x) ≥ 0
streng monoton fallend
f 0 (x) < 0
monoton fallend
f 0 (x) ≤ 0
Krümmung:
f 0 (x)
f 00 (x)
>0
>0
>0
<0
<0
>0
streng monoton steigend
Linkskurve
Rechtskurve
<0
<0
streng monoton fallend
Linkskurve
Rechtskurve
Extremwerte:
lokales Maximum:
f (xH ) > f (x) ∈ U (xH )
lokales Minimum:
f (xT ) < f (x) ∈ U (xT )
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33
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Analysis
5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung für Extremwerte
und Wendepunkte
Extremwerte:
1.
f 0 (xE ) = 0
2.
f 0 (xE ) = · · · = f (n−1) (xE ) = 0,
f n (xE ) 6= 0
wenn n ungerade → bei xE kein Extremwert
(
f (n) (xE ) > 0 ⇒ Minimum
n gerade:
f (n) (xE ) < 0 ⇒ Maximum
Häufig ist schon f 00 (xE ) 6= 0.
Wendepunkte:
Änderung des Krümmungsverhaltens in xW
1.
f 00 (xW ) = 0
2.
f 00 (xW ) = · · · = f (n−1) (xW ) = 0,
f n (xW ) 6= 0
n gerade → kein Wendepunkt
n ungerade → Wendepunkt
Häufig ist schon f 000 (xW ) 6= 0.
5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen
t(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
Berechnung von x1 (Nullstelle von t0 (x))
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x1 − x0 )
x1 = −
f (x0 )
+ x0
f 0 (x0 )
Allgemein:
xn = −
f (xn−1 )
+ xn−1
f 0 (xn−1 )
Konvergenzkriterium für Startwert x0
f (x0 ) · f 00 (x0 ) [f 0 (x )]2 < 1
0
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34
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6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral
6.1.1 Bestimmtes Integral
Rechteck: ∆xk · f (xk )
Zb
f (x) dx = lim
n
X
n→∞
a
f (xk )∆xk
k=1
Eigenschaften
Zb
Zb
1.
f (x) dx = f (t) dt
a
2.
a
Zb
f (x) dx = −
a
3.
f (x) dx = 0
Zb
Zc
f (x) dx +
a
5.
f (x) dx =
Zb
Zb
f (x) dx +
f (x) dx
a
Zb
k · f (x) dx = k ·
a
7.
Zc
b
Zb
a
6.
f (x) dx
b
Za
a
4.
Za
f (x) dx
a
Zb
g(x) dx =
a
(f (x) + g(x)) dx
a
Zb
f (x) ≤ g(x) auf [a, b] =
Zb
f (x) dx ≤
a
g(x) dx
a
35
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Analysis
6.1.2 Stammfunktion
Definition 6.1 Stammfunktionen
F (x) heißt Stammfunktion von f (x), falls F 0 (x) = f (x) .
Satz: Stammfunktion
Seien F1 (x), F2 (x) zwei Stammfunktionen von f (x). Dann unterscheiden sich
F1 (x), F2 (x) nur um eine additive Konstante.
F1 (x) = F2 (x) + C
Sei F (x) eine Stammfunktion von f (x), dann gilt:
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
6.1.3 Unbestimmtes Integral
Definition 6.2 Unbestimmtes Integral
R
R
Unter f (x) dx versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f (x). f (x) dx
heißt unbestimmtes Integral.
Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei F (x) irgend eine Stammfunktion von f (x), dann ist
alle reellen Zahlen durchläuft.
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36
R
f (x) dx = F (x) + C wobei C
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Analysis
6.2 Integrationsverfahren
6.2.1 Partielle Integration
(u · v)0 = u0 v + uv 0
⇒ u·v
Zb
0
0
= (u · v) − u v
Zb
0
u · v dx =
a
Z
0
Zb
0
(u · v) dx −
a
Zb
Zb
v]ba
−
u · v 0 dx = u · v −
Z
0
u0 v dx
a
u · v dx = [u ·
Za
|
u0 · v dx
a
u0 · v dx
6.2.2 Substitution
R
Allgemeines Verfahren zur Lösung von: f (x)dx
1. Aufstellung der Substitutionsgleichung:
u = g1 (x) ⇒
du
du
= g10 (x) ⇒ dx = 0
dx
g1 (x)
x = g2 (u) ⇒
dx
= g20 (u) ⇒ dx = g20 (u) · du
du
|
{z
}
oder
Ableitung nach u
2. Durchführung der Substitution:
Einsetzen in das Integral ⇒ Integral, das nur noch von u abhängt, x muss wegfallen
Z
Z
f (x)dx = h(u)du
3. Berechnung des neuen Integrals in Abhängigkeit von u:
Z
h(u)du = H(u) + C
4. Rücksubstition:
Z
Z
f (x)dx = h(u)du = H(u) + C = F (x) + K
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37
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Analysis
6.2.3 Partialbruchzerlegung
Echt gebrochenrationale Funktion:
f (x) =
Z(x)
,
N (x)
N (x), Z(x) sind Polynome, Nennergrad>Zählergrad, falls nicht zuerst Polynomdivision .
Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion:
1. Bestimmung der Nullstellen (Beschränkung hier auf reelle NS) des Nenners mit
Vielfachheit.
2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet:
A
x − x0
A1
A2
+
x0 : Zweifache Nullstelle ⇒
x − x0 (x − x0 )2
..
..
..
.
.
.
A1
An
x0 : n-fache Nullstelle ⇒
+ ··· +
x − x0
(x − x0 )n
x0 : einfache Nullstelle ⇒
3. Berechnung der Konstanten A bzw. Ai durch Summation der Brüche, Hauptnennerbildung und Einsetzen geeigneter Werte.
R
Berechnung des Integrals f (x)dx:
Nach der Partialbruchzerlegung von f (x), werden die Brüche einzeln integriert.
Formeln hierfür:
Z
A
dx = A · ln |x − x0 | + C
x − x0
Z
Ai
Ai
dx =
i
(x − x0 )
(1 − i)(x − x0 )i−1
6.2.4 Numerische Integration
Gesucht ist eine (angenäherte) Lösung von
Z b
f (x)dx
a
Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.
Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = b
mit der festen Schrittweite: h = b−a
= xi − xi−1
n
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Analysis
Trapez-Regel (Verfahren 2. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Geradenstücke
Z
b
f (x)dx =
a
h
2
f (a) + 2
n−1
X
!
f (xk ) + f (b)
+R
k=1
Der Rest R lässt sich abschätzen durch:
|R| ≤
b−a 2
h max |f 00 (x)|
a≤x≤b
12
Simpson-Regel (Verfahren 4. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Parabelstücke (gerade Anzahl von Teilintervallen n = 2m)
Z
a
b
h
f (x)dx =
3
f (a) + 2
m−1
X
f (x2k ) + 4
k=1
m
X
!
f (x2k−1 ) + f (b)
+R
k=1
Der Rest R lässt sich abschätzen durch:
|R| ≤
b−a 4
h max |f (4) (x)|
a≤x≤b
180
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39
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7 Reihen
7.1 Unendliche Reihe
7.1.1 Einführung
Zahlenfolge (geordnete Menge reeller Zahlen):
(an ) = 1, 4, 9, 16 . . .
Partialsumme:
s 1 = a1 = 1
s 2 = a1 + a2 = 1 + 4 = 5
s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 4 + 9 = 14
..
.
sk = a1 + a2 + a3 + · · · + ak
Definition 7.1 Unendliche Reihe
Die Folge (sn ) der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge (an ) heißt unendliche
Reihe.
Symbolische Schreibweise:
∞
X
an = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
n=1
Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
P
Eine unendliche
Reihe ∞
n=1 an heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen
Pn
(sn ) = k=1 ak einen Grenzwert besitzt.
lim sn = lim
n→∞
n→∞
n
X
ak = s
k=1
40
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Analysis
Symbolische Schreibweise:
∞
X
an = s
n=1
P
Konvergiert die Summe der Beträge ∞
n=1 |an |, so heißt die Reihe absolut konvergent.
Die Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergiert:
Ist s = ∞ heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.
7.1.2 Konvergenzkriterien
Notwendige Bedingung
Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe
P∞
n=1
an mit an > 0 ist die Bedingung
lim an = 0
n→∞
notwendig!, aber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfüllen
und trotzdem divergieren).
Quotienten- und Wurzelkriterium
Erfüllen alle Glieder einer unendlichen Reihe
an+1 =q<1
lim
n→∞ an P∞
n=1
an die Bedingung:
bzw.
lim
n→∞
p
n
|an | = q < 1
so ist die Reihe konvergent.
Ist q > 1 so ist die Reihe divergent.
Für q = 1 kann keine Aussage getroffen werden (Extrauntersuchung notwendig)
Rechenregeln für konvergente Reihen
1. Konstante Faktoren
∞
X
an = s
n=1
⇒
∞
X
n=1
HS München
c · an = c ·
∞
X
an = c · s
n=1
41
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Analysis
2. Summen konvergenter Reihen
∞
X
⇒
∞
X
n=1
∞
X
an ±
n=1
∞
X
an = s
bn = t
n=1
bn =
n=1
∞
X
(an ± bn ) = s ± t
n=1
3. Produkte absolut konvergenter Reihen
∞
X
an = s
n=1
∞
X
an ·
n=1
∞
X
bn = t
n=1
∞
X
bn
seien absolut konvergent
∞
X
= s·t=
wn
n=1
n=1
wn = an · b1 + an · b2 + an · b3 + an · b4 + · · · + an · bk + . . .
7.2 Potenzreihen
7.2.1 Einführung
Definition 7.3 Potenzreihe
Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ:
(I)
P (x) =
∞
X
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 . . .
n=0
oder
(II)
P (x) =
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . .
n=0
x0 heißt Entwicklungszentrum.
Für x0 = 0 erhalten wir die Gleichung (II) in der Form (I).
HS München
42
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Analysis
7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen
Definition 7.4 Konvergenzbereich
Die Menge aller x-Werte für die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereich
der Potenzreihe.
Konvergenzverhalten: P
P∞
n
n
Zu jeder Potenzreihe ∞
n=0 an (x − x0 ) gibt es eine positive Zahl r,
n=0 an x bzw.
Konvergenzradius genannt, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert für |x| < r bzw. |x − x0 | < r
2. Sie divergiert für |x| > r bzw. |x − x0 | > r
3. An den Randpunkten |x| = r bzw. |x − x0 | = r kann keine Aussage getroffen
werden → hier müssen Extrauntersuchungen durchgeführt werden
Berechnung des Konvergenzradius
Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe
∞
X
an x
n=0
n
bzw.
∞
X
an (x − x0 )n
n=0
kann nach folgenden Formeln berechnet werden:
an oder r = lim √1
r = lim r→∞ an+1 r→∞ n an
Eigenschaften von Potenzreihen
1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.
2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert
und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe.
HS München
43
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Analysis
3. Zwei Potenzreihen dürfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches (Durchschnitt) gliedweise addiert und subtrahiert werden. Sie dürfen auch miteinander
multipliziert (Cauchy-Produkt: ausmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzreihen konvergieren mindestens im gemeisamen Konvergenzbereich der Ausgangsreihen.
HS München
44
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Analysis
7.3 Taylor-Reihen:
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
7.3.1 Einführung
Ziel: Funktion f (x) als Potenzreihe darstellen
∞
X
f (x) =
an x n
n=0
oder
f (x) =
∞
X
an (a − x0 )n
n=0
Zweck:
Annäherung einer Funktion durch ein Polynom
Herleitung von Näherungsformeln
Integration durch Potenzreihenentwicklung
Näherungsweises Lösen von transzendenten Gleichungen
Beispiel: Geometrische Reihe
∞
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .
p (x) =
konvergiert für |x| < 1
n=0
=
HS München
1
= f (x)
1−x
45
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Analysis
7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
Mac Laurinsche Reihe
Annahme:
1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
ist möglich und eindeutig
2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbar.
d.h. f (0) , f 0 (0) , f 00 (0) . . . können berechnet werden
Ableitungen:
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a2 x2 + 4a4 x3 + . . .
f 00 (x) = 2a2 + 6a2 x + 12a4 x2 + . . .
f 000 (x) = 6a2 + 24a4 x + . . .
für x = 0:
f (0) = a0
f 0 (0) = a1
f 00 (0) = 2a2
f 00 (0)
f 00 (0)
=
2
2!
f 000 (0)
f 000 (0)
⇒a3 =
=
6
3!
f n (0)
⇒an =
n!
⇒a2 =
f 000 (0) = 6a3
f (n) (0) = n! · an
Entwicklung in eine Mac Laurinsche Reihe:
Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich f (x) in eine Potenzreihe der Form
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (x) = f (0) +
x+
x + ...
1!
2!
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
· xn
(mit0! = 1)
entwickeln.
Symmetrieeigenschaften: Ist f (x) eine gerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung
gerade (d.h. es treten nur gerade Exponenten auf: x0 , x2 , x4 , x6 , . . .
Ist f (x) eine ungerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung auch ungerade (d.h. es
treten nur ungerade Exponenten auf: x1 , x3 , x5 , x7 , . . .
HS München
46
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Analysis
Taylorsche Reihe
Entwicklung in Taylorreihe:
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
f 000 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3 . . .
1!
2!
3!
∞
X
f (n) (x0 )
=
(x − x0 )n
n!
n=0
f (x) = f (x0 ) +
mit dem Entwicklungszentrum x0
Für x0 = 0 ergibt sich die MacLaurinsche Reihe
Konvergenzbereich: |x − x0 | < r
7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe
1. Näherungspolynome
Mac Laurinsche Reihe:
f 00 (0) 2
f n (0) n f (n+1) (0) (n+1)
f 0 (0)
x+
x + ··· +
x +
x
f (x) = f (0) +
...
1!
2!{z
n! } (n + 1)!
|
|
{z
}
Tn (x)
Restglied Rn (x)
f (x) = Tn (x) + Rn (x) Taylorsche Formel
Tn (x): Mac Laurinsches Polynom vom Grade n
Rn (x): Restglied, bestimmt die Größe des Fehlers, Rn (x) = 0 für n → ∞
Der Fehler wird abgeschätzt mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange:
Rn (x) =
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f (n+1) (xθ) (n+1)
x
(n + 1)!
0<θ<1
47
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Analysis
Geometrische Deutung der Näherungspolynome
Näherungspolynom erster Ordnung (Linearisierung von f (x)):
T1 (x) = f (0) + f 0 (0) · x
Steigung von f (x) stimmt in 0 mit T1 (x) überein.
Näherungspolynom zweiter Ordnung:
T2 (x) = f (0) + f 0 (0) · x +
f 00 (0) 2
x
2
Krümmung von f (x) stimmt in 0 mit T2 (x) überein.
Weitere Näherungspolynome lassen sich entsprechend mit der allgmeinen TaylorEntwicklung bilden.
2. Integration nach Reihenentwicklung
3. Lösen von Transzendenten Gleichungen
HS München
48
Fakultät 03
8 Differential- und Integralrechnung
für Funktionen von mehreren
Variablen
8.1 Einführung: Definition und Darstellung
8.1.1 Definition und Begriffe
Definition 8.1 Funktion mehrerer Variablen
Unter einer Funktion mit n unabhängigen Variablen versteht man eine Vorschrift, die
jeden geordneten n-Tupel aus einen Definitionsbereich D ⊆ Rn genau einem Element z
aus dem Wertebereich W ⊆ R zuordnet.
f : D → W; y = f (x1 ; x2 ; . . . ; xn )
Kurzschreibweise: y = f (x1 . . . xn )
für n = 2 :
für n = 3 :
z = f (x; y)
u = f (x; y; z)
8.1.2 Darstellung
Allgemein
analytische Darstellung:
Explizit: z = f (x; y)
Implizit: F (x; y; z) = 0 Gleichung ist nicht nach z auflösbar (z.B.: z 5 − 3z +
sin x + z · y = 0)
Graphische Darstellung: (für n = 2)
Jedem Punkt (x; y) ∈ D ⊆ R2 wird der Wert z ∈ W ⊆ R zugeordnet. ⇒ Punkt
im Raum, alle Punkte bilden im Allgemeinen, eine bzw. mehrere Flächen
49
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Analysis
Schnittkurvendiagramme
Wahl der Schnittebene parallel zu einer der 3 Koordinatenebenen
parallel zur xy-Ebene. Hierbei handelt es sich um ein Höhenliniendiagramm (Landkarten)
⇒ z = z0
⇒ f (x; y) = z0
Linien für verschiedene z0 in x;y-Ebene zeichnen.
parallel zur yz-Ebene
⇒ x = x0
⇒ z = f (x0 ; y) = g(y)
Linien für verschiedene x0 in y;z-Ebene zeichnen.
parallel zur xz-Ebene
⇒ y = y0
⇒ z = f (x; y0 ) = h(x)
Linien für verschiedene y0 in x;z-Ebene zeichnen.
8.2 Differentialrechnung
Ableitung für Funktionen mit 1 Variablen: f 0 (x) = lim∆x→0
HS München
50
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
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Analysis
Die Tangente schneidet die x-Achse unter dem Winkel α: tan α = f 0 (x0 )
Schnitt der Fläche z = f (x; y) mit der Ebene y = y0 : ⇒ z = f (x, y0 ) = g(x)
⇒
mx = tan α = g 0 (x)
g(x0 + ∆x) − g(x0 )
∆x→0
∆x
f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 )
= lim
∆x→0
∆x
=
⇒
mx
lim
⇒ f (x; y) nach x ableiten, dabei y als Konstante betrachten.
Schnitt der Fläche z = f (x; y) mit der Ebene x = x0 : ⇒ z = f (x0 , y) = h(y))
⇒
my = tan β = h0 (y)
h(y0 + ∆y) − h(y0 )
∆y→0
∆y
f (x0 ; y0 + ∆y) − f (x0 ; y0 )
= lim
∆y→0
∆y
=
⇒
my
lim
8.2.1 Partielle Ableitung
Definition 8.2 Partielle Ableitung 1. Ordnung
f (x + ∆x; y) − f (x; y)
∂f (x; y)
∂z
= fx (x; y) = zx =
=
∆x→0
∆x
∂x
∂x
lim
verschiedene Schreibweisen für ”‘Partielle Ableitung nach x”’
f (x; y + ∆y) − f (x; y)
∂f (x; y)
∂z
= fy (x; y) = zy =
=
∆y→0
∆y
∂y
∂y
lim
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verschiedene Schreibweisen für ”‘Partielle Ableitung nach y”’
Allgemein: y = f (x1 ; x2 ; . . . ; xn )
f (x1 ; x2 ; . . . ; xi + ∆xi ; . . . ; xn ) − f (x1 ; x2 ; . . . ; xi ; . . . ; xn )
∆xi →0
∆xi
lim
= fxi (x1 . . . xn ) = yxi =
∂y
∂f (x1 . . . xi )
=
∂xi
∂xi
Figure 8.1: Partielle Ableitung einer Funktion z = f (x; y)
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Definition 8.3 Ableitungen 2. Ordnung
fxx (x; y) =
fxy (x; y) =
fyx (x; y) =
fyy (x; y) =
∂ 2z
∂ ∂z
=
∂x ∂x
∂x2
∂ 2z
∂ ∂z
=
∂x ∂y
∂x∂y
∂ ∂z
∂ 2z
=
∂y ∂x
∂y∂x
∂ ∂z
∂ 2z
= 2
∂y ∂y
∂y
Satz: Satz von SCHWARZ
Unter der Voraussetzung, dass die partiellen Ableitungen einer Funktion
y = f (x1 . . . xn ) stetig sind, kann die Reihenfolge der Differentiation geändert werden!
fxk ;xi = fxi ;xk
8.2.2 Gradient, Richtungsableitung
Definition 8.4 Gradient
Es sei z = f (xP 1 , . . . , xP n ) an einer Stelle (xP 1 , . . . , xP n ) ∈ D total differenzierbar. Der
Vektor aller partiellen Ableitungen dieser Funktion an dieser Stelle heißt Gradient
von f an (xP 1 , . . . , xP n ) .


 ∂f 
fx1 ∂x1
∂f

 f x 

2




grad f |xP = ∇ f |xP =  ..  =  ∂x. 2 
 . 
 .. 
∂f
f xn ∂xn
xP
xP
Bei Flächen im Raum gibt der Gradient die Richtung des steilsten Anstieg an.
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Figure 8.2: Gradientenfeld der Funktion z = (sin2 (x) + cos2 (y))2 + 0.5
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Häufig ist die Fragestellung wichtig: Wie steil steigt die Funktion f in einer bestimmten
Richtung?
Die Richtungsableitung beschreibt die Änderungsrate einer Funktion von mehreren Veränderlichen
in Richtung eines vorgegenen Vektors ~v in einem Punkt xP ∈ D.
Dazu wird die Hilfsfunktion g(t) = f (xP + t~v ) betrachtet. Für den Fall einer Fläche im
Raum beschreibt g die Schnittkurve von der Ebene durch xP in Richtung ~v senkrecht
zur x,y-Ebene. Die Richtungsableitung ist dann ġ(0) (sofern existent).
Definition 8.5 Richtungsableitung
Für einen Richtungsvektor ~v 6= ~0, | ~v |= 1 ist die Richtungsableitung von f in
Richtung ~v an der Stelle (xP 1 , . . . , xP n ) wie folgt definiert:
∂f
f (xP + t~v ) − f (xP )
(xP 1 , . . . , xP n ) = lim
t−→0
∂v
t
Satz: Richtungsableitung
Es gilt:
∂f
(xP 1 , . . . , xP n ) = h gradf (xP 1 , . . . , xP n ), ~v i,
∂v
sofern der Gradient an dieser Stelle existiert. h , i beschreibt das Skalarprodukt.
8.2.3 Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene
Die Existenz der partiellen Ableitungen sind ein sehr schwaches Kriterium. So können
beispielweise alle partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren obwohl die Funktion in diesem Punkt nicht stetig ist. Der Begriff der Totalen Differenzierbarkeit
impliziert auch die Stetigkeit der Funktion.
Definition 8.6 Totale Differenzierbarkeit
Die Funktion f heißt (total) differenzierbar in xP ∈ D ⊆ Rn , falls es einen Vektor
b = f 0 (xP ) ∈ Rn gibt und eine Fehlerfunktion R gibt, so dass
f (x) = f (xP ) + h b, (x − xP ) i + R(x)
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und das R von höherer als erster Ordnung verschwindet, d.h.:
lim
x−→xP
R(x)
= 0.
kx − xP k
f heißt total differenzierbar, falls f für jeden Punkt aus D differenzierbar ist.
h , i beschreibt das Skalarprodukt.
Anschaulich heißt dies, dass es eine Tangentialfunktion T an den Punkt xP in einer
Umgebung von xP geben muss (f in xP also linearisierbar ist) mit
T (x, xP ) = f (xP ) + h b, (x − xP ) i.
Für f : R → R : T (x, xP ) = f (xP ) + b(x − xP ) mit b = f 0 (xP )
(T ist also eine Tangente).
Für f : R2 → R : T (x, xP ) = f (xP )+b1 (x−xP 1 )+b2 (x−xP 2 ) mit b1 = fx1 |xP ,b2 = fx2 |xP
(T ist also eine Tangentialebene).
Ist f total differenzierbar, so existieren auch die partiellen Ableitungen und alle Richtungsableitungen.
Gleichung der Tangentialebene:
Die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f (x; y) im Flächenpunkt P = (x0 ; y0 ; z0 )
lautet
z − z0 = fx (x0 ; y0 )(x − x0 ) + fy (x0 ; y0 )(y − y0 )
8.2.4 Extremwertuntersuchungen
Definition 8.7 Extremwert
Eine Funktion besitzt an der Stelle PE = (xE ; yE , zE ) ein relatives Maximum bzw.
Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung U von (xE ; yE ) stets gilt:
f (xE ; yE ) > f (x; y) bzw. f (xE ; yE ) < f (x; y)
mit
(x; y) ∈ U
(x; y) =
6 (xE ; yE )
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z = f (x; y) besitzt in (xE ; yE ) einen Extremwert, falls gilt:
1. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden.
⇒ fx (xE ; yE ) = 0
∧
fy (xE ; yE ) = 0
(8.2.1)
(Notwendige aber nicht hinreichende Bedingung.)
2. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung genügen der Ungleichung
fxx (xE ; yE ) fxy (xE ; yE )
∆ = fyx (xE ; yE ) fyy (xE ; yE )
= fxx (xE ; yE )fyy (xE ; yE ) − (fxy (xE ; yE ))2 > 0
Hinreichende Bedingung. ∆ ist die Determinante der sogenannten Hessematrix
(Analogon zur 2. Ableitung einer Funktion).
fxx (xE ; yE ) bzw.fyy (xE ; yE ) > 0 ⇒ Min
fxx (xE ; yE ) bzw.fyy (xE ; yE ) < 0 ⇒ Max
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Definition 8.8 Sattelpunkt
P (xE ; yE ; zE ) heißt Sattelpunkt, falls die notwendige Bedingung (8.2.1) erfüllt ist und
∆ < 0.
Falls der globale Extremwert auf einem vorgegebenen Bereich berechnet werden soll,
müssen die Ränder des Bereiches extra betrachtet werden.
8.2.5 Totales Differential
Nutzbar z.B. für ◦ Fehlerfortpflanzung
◦ Implizite Differentiation
Problemstellung:
Welche Änderung erfährt der Funktionswert (d.h. die Höhenkoordinate z) des Flächenpunktes
P bei Verschiebung von P
◦ auf der Fläche selbst
◦ auf der zugehörigen Tangentialebene?
Definition 8.9 Totales Differential
Unter dem totalen Differential einer Funktion von 2 Variablen versteht man den
Ausdruck
dz = fx dx + fy dy
Geometrische Deutung (s. Abb. 8.3): dz ist die Änderung der Höhenkoordinate z bei
Verschiebung des Punktes P um dx, dy auf der zugehörigen Tangentialebene.
Totales Differential für n Variablen:
y = f (x1 . . . xn ) → dy = fx1 dx1 + fx2 dx2 + · · · + fxn dxn
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Figure 8.3: Totales Differential einer Funktion z = f (x; y)
Fehlerrechnung
Beispiel 8.1 Zylinderdichte
Von einem Zylinder wurde Durchmesser D = 6, 53 cm und Höhe h = 7, 65 cm mit einer
Genauigkeit von ±0, 01 cm und durch Wägung die Masse m = 823, 52 g mit einer
Genauigkeit von ±0, 02 g gemessen.
Frage: Mit welcher Genauigkeit lässt sich daraus die Dichte des Zylinders berechnen?
Lösung: siehe Vorlesung
Die Genauigkeit folgt aus dem totalen Differential, wobei jedoch jeweils die
Beträge addiert werden müssen, um den maximalen Fehler zu erhalten.
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Ableitung einer Funktion einer unabhängigen Veränderlichen x in impliziter
Darstellung unter Verwendung des Totalen Differentials
Implizite Darstellung: F (x; y) = 0
z = F (x; y) = 0
Sonderfall des totalen Differentials
dz = Fx (x; y)dx + Fy (x; y)dy = 0
⇒ Fx (x; y)dx = −Fy (x; y)dy
⇒
dy
Fx (x; y)
= y0 = −
dx
Fy (x; y)
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8.2.6 Ausgleichsgerade/ Parabel
(Nach dem Gauss’schen Prinzip der kleinsten Quadrate)
Gegeben: n Messpunkte Pi (x; y)
Gesucht: Funktion f(x), die sich den Messpunkten optimal anpasst.
Lösungsansätze:
f (x) = ax + b ← Gerade
f (x) = ax2 + bx + c ← Parabel
Gesucht: Parameter a, b, c . . .
Der
vi = yi − f (xi ) soll minimiert werden → Summe aller Abstandsquadrate
Pn Abstand
2
i=1 vi soll minimiert werden.
S(a, b, c . . . ) =
n
X
i=1
vi2
=
n
X
(yi − f (xi ))2
i=1
Gesuchtes Minimum ergibt sich aus:
∂S
∂S
∂S
= 0,
= 0,
= 0,
∂a
∂b
∂c
Aus diesem Gleichungssystem wird die Lösung a, b, c . . . ermittelt ⇒ Ausgleichsfunktion.
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Ausgleichsgerade
f (x) = y = ax + b
vi = yi − axi − b
n
n
X
X
2
vi = S(a; b) =
(yi − axi − b)2
i=1
i=1
∂S
=
∂a
n
X
−2xi (yi − axi − b)
i=1
= −2
∂S
= −2
∂b
= −2
n
X
i=1
n
X
xi yi + 2a
xi = 0
i=1
yi + 2a
n
X
xi + 2b · n = 0
i=1
RS
Pn
x2i = C
Pn
Pn
xi = A
n
i=1
+ 2b
n
X
(yi − axi − b)
i=1
n
X
b
i=1
x2i
i=1
i=1
a
n
X
i=1
xi = A
Pn
xi yi = D
Pn
yi = B
i=1
i=1
mit der Cramerschen Regel ergibt sich:
a=
Za
ND
b=
Zb
ND
Za = det(RS; b)
Zb = det(a; RS)
N D = det(a; b)
⇒ a=
D·n−A·B
n·C −A·A
⇒ b=
C ·B−A·D
n·C −A·A
Ausgleichsparabel
y = ax2 + bx + c
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vi = yi − ax2i − bxi − c
n
X
vi2
=S=
i=1
n
X
yi − ax2i − bxi − c
2
i=1
n
X
∂S
=2
ax2i + bxi + c − yi x2i = 0
∂a
i=1
n
X
∂S
=2
ax2i + bxi + c − yi xi = 0
∂b
i=1
n
X
∂S
=2
ax2i + bxi + c − yi 1 = 0
∂c
i=1
Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem:
a
b
c
RS
E=
Pn
x4i
D=
Pn
x3i
C=
Pn
x2i
G=
Pn
x2i yi
D=
Pn
x3i
C=
Pn
x2i
A=
Pn
x1i
F=
Pn
xi y i
C=
Pn
A=
Pn
B=
Pn
yi
i=1
i=1
i=1
x2i
i=1
i=1
i=1
xi
i=1
i=1
n
i=1
i=1
i=1
N D = n · C · E + 2 · A · D · C − C 3 − n · D2 − E · A2
ZA = n · C · G + A · B · D + A · C · F − G · A2 − n · D · F − B · C 2
ZB = n · E · F + A · C · G + B · C · D − C 2 · F − n · D · G − A · B · E
ZC = B · C · E + C · D · F + A · D · G − C 2 · G − A · E · F − B · D2
mit der Cramerschen Regel ergibt sich
a=
ZA
ZB
ZC
, b=
, c=
ND
ND
ND
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8.3 Integralrechnung
8.3.1 Doppelintegrale
Gegeben: z = f (x, y) und Bereich B ∈ D
zunächst: B ist ein Rechteck
B=
a1 ≤ x ≤ a2
b1 ≤ y ≤ b2
Gesucht ist das Volumen des Körpers, der begrenzt wird durch die (x, y)-Ebene, die
Ebenen
x = a1 , x = a2 , y = b 1 , y = b 2
und der Deckelfläche: z = f (x, y); (x, y) ∈ B.
Zerlegung des Rechtecks:
a1 = x0 < x1 · · · < xn1 = a2
b1 = y0 < y1 · · · < yn2 = b2
∆xi = xi − xi−1
∆yi = yi − yi−1
Damit wird B in n = n1 · n2 kleine Rechtecke zerlegt:
∆Bij = ∆xi · ∆yj .
Ein Säulenvolumen (angenähert):
∆Vij = f (xi ; yj )∆Bij
= f (xi ; yj ) · ∆xi · ∆yj .
Die Summe von n2 Säulen ergibt Scheiben mit der Breite ∆xi :
!
n2
n2
X
X
Vi =
∆Vij =
f (xi ; yj ) · ∆yj · ∆xi .
j=1
j=1
Die Summe aller n1 Scheiben ergibt das approximierte Volumen
!
!
n1
n1
n2
X
X
X
f (xi ; yj ) · ∆yj · ∆xi .
Vi =
V =
i=1
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i=1
j=1
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Definition 8.10 Doppelintegral
V
=
n1
n2
X
X
lim
n1 →∞
n2 →∞ i=1
!
f (xi ; yj ) · ∆yj
· ∆xi
j=1
Za2Zb2
f (x, y)dydx
=
a1 b1
ZZ
=
f (x, y)dB
B
Verallgemeinerung:
B werde begrenzt von einer stetigen sich nicht schneidenden Kurve. B heißt ebener
Normalbereich. B lässt sich folgendermaßen beschreiben:
B : a1 ≤ x ≤ a2 ,
y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)
bzw.
B : b1 ≤ y ≤ b2 ,
x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)
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65
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Analysis
Das Integral berechnet sich wie folgt:
Za2
ZZ
f (x, y)dB =

yZ2 (x)

f (x, y)dy  dx


a1
B

y1 (x)
bzw.
Zb2
ZZ
f (x, y)dB =
B


f (x, y)dx dy


b1

xZ2 (y)
x1 (y)
Doppelintegral in Polarkoordinaten
B : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ,
ri (ϕ) ≤ r ≤ ra (ϕ)
Berechnung des Doppelintegrals in Polarkoordinaten:
Transformationsgleichungen:
x = r cos(ϕ),
y = r sin(ϕ),
Zϕ2
ZZ
f (x, y)dB =
B
HS München


rZ
a (ϕ)


ϕ1
dB = rdrdϕ

f (r cos(ϕ); r sin(ϕ))rdr dϕ
ri (ϕ)
66
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8.3.2 Dreifachintegrale
Gegeben: u = f (x, y, z) und Bereich B ∈ D
zunächst: B ist ein Quader
B : a1 ≤ x ≤ a2
b1 ≤ y ≤ b 2
c1 ≤ z ≤ c2
Berechnung des Dreifachintegrals
Za2 Zb2 Zc2
ZZZ
f (x, y, z)dzdydx
f (x, y, z)dB =
a1 b1 c1
B
Verallgemeinerung: B sei ein räumlicher Normalbereich
B : a1 ≤ x ≤ a2
y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)
z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
⇒ Berechnung des Dreifachintegrals
Za2
ZZZ
f (x, y, z)dB =
B
HS München



a1

yZ2 (x)
y1 (x)

z2Z(x,y)

 
f (x, y, z)dz  dy  dx


z1 (x,y)
67
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8.4 Vektorfelder und Kurvenintegrale
Bisher wurden in diesem Kapitel Funktionen f : R2 → R bzw. f : R3 → R betrachtet.
Solche Funktionen werden auch Skalarfelder genannt, da jedem Wert in einer Fläche
oder im Raum ein Skalar zugeordnet wird (Beispiel: Temperaturverteilung im Raum).
Im Gegensatz dazu steht beispielsweise ein Kraftfeld, hier wird jedem Punkt in der Fläche
bzw. im Raum eine Kraft (z.B. erzeugt durch einen elektrischen Dipol) also ein Vektor
zugeordnet. Es handelt sich also um eine Abbildung ~v : R2 → R2 bzw. ~v : R3 → R3 .
Eine solche Abbildung wird als Vektorfeld bezeichnet.
Definition 8.11 Vektorfeld
Eine Funktion ~v von D ⊆ Rn nach Rn heißt n-dimensionales Vektorfeld:
~v
:
D ⊆ Rn → Rn



~v (x1 , . . . , xn ) = 

v1 (x1 , . . . , xn )
v2 (x1 , . . . , xn )
..
.





vn (x1 , . . . , xn )
mit vi : D ⊆ R → R,i = 1, . . . , n.
Sind alle vi stetig, so heißt das Vektorfeld stetig.
Sind alle vi (stetig) differenzierbar, so heißt das Vektorfeld (stetig) differenzierbar.
Wird von einer total differenzierbaren Funktion f in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches ihr Gradient bestimmt, so entsteht ein Vektorfeld (s. Abb. 8.2).
Definition 8.12 Gradienten- oder Potentialfeld
Eine Funktion ~v von D ⊆ Rn nach Rn heißt Gradienten- oder Potentialfeld, falls
eine total differenzierbare Funktion f : D → R existiert mit:
~v = gradf,
für alle x ∈ D
∂f
also vi (x1 , . . . , xn ) = ∂x
(x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , n.
i
Der Funktionswert f (x1 , . . . , xn ) heißt Potential von ~v (x1 , . . . , xn ).
Um z.B. die Arbeit in einem Kraftfeld mit Hilfe von Kurvenintegralen zu berechen, ist es
wichtig zu wissen, ob das Kraftfeld ein Potential hat oder nicht. Dazu kann die folgende
HS München
68
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Analysis
Integrabilitätsbedingung überprüft werden. Sie ist eine notwendige Voraussetzung.
Integrabilitätsbedingung :
Sei ~v von D ⊆ Rn → Rn ein Vektorfeld. Die Bedingung:
∂vj
∂vi
=
,
∂xj
∂xi
i = 1, . . . , n
wird als Integrabilitätsbedingung bezeichnet.
Satz:
Falls der Definitionsbereich D des Vektorfeldes ~v ein einfach-zusammenhängender
Bereich (d.h. jeder geschlossene Weg lässt sich zu einem Punkt zusammenziehen) ist
und die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, so hat das Vektorfeld Potential.
In diesem Fall ist die Integrabilitätsbedingung notwendig und hinreichend.
Um die Arbeit (Arbeit = Kraft x Weg) längs eines Weges (z.B. Abbildung 8.4 in einem
Kraftfeld zu berechnen, muss das Kurvenintegral eingeführt werden.. Der Weg wird als
ebene oder räumliche Kurve (also n=2 oder 3) betrachtet.
Definition 8.13 Kurvenintegral
Sei



C : [a, b] → Rn , ~r(t) = 

r1 (x1 , . . . , xn )
r2 (x1 , . . . , xn )
..
.





rn (x1 , . . . , xn )
ein durch die Parameterdarstellung (stetig differenzierbar) gegebener Weg, der ganz in
dem Definitionsbereiches D ⊆ Rn eines stetigen Vektorfeldes ~v . verläuft. Dann heißt
Zb
Z
~v d~r =
C
h ~v (~r(t)), ~r˙ (t) i dt.
a
Kurvenintegral (oder Wegintegral) längs C. Falls C ein geschlossener Weg ist, so
schreibt man auch:
I
~v d~r.
C
Dieses Integral wird Ring- oder Umlaufintegral genannt.
HS München
69
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Analysis
Figure 8.4: Kraftfeld mit Weg
Der Wert des Kurvenintegrals ist unabhängig von der Parametrisierung. Die Umlaufrichtung bestimmt das Vorzeichen.
Definition 8.14 Konservatives Vektorfeld
Ein Vektorfeld ~v auf D ⊆ Rn heißt konservativ, wenn das Kurvenintegral für jeden
beliebigen Weg C zwischen fest gewählten Punkten A, B ∈ D den gleichen Wert hat,
also wegunabhängig ist.
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Analysis
Satz: Hauptsatz zur Kurvenintegration
Sei ~v von D ⊆ Rn → Rn ein Vektorfeld. D sei offen und einfach zusammenhängend.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. ~v ist ein Gradientenfeld (bzw. Potentialfeld): ~v = gradf .
2. Es gilt die Integrabilitätsbedingung:
∂vi
∂xj
=
∂vj
,
∂xi
i = 1, . . . , n.
3. ~v ist konservativ (jedes Kurvenintegral
R hängt nur vom Anfangspunkt A und
Endpunkt B ab, insbesondere gilt: ~v d~r = f (B) − f (A)).
C
4. Für jeden geschlossenen Weg C gilt:
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H
C
71
~v d~r = 0.
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9 Ebene Kurven
9.1 Einleitung
9.1.1 Parameterdarstellung
C : x = x(t),
y = y(t),
t∈D
Zeichnen durch Wertetabelle für verschiedene t-Werte. → x, y zeichnen
t
t1
..
.
x(t)
x(t1 )
..
.
y(t)
y(t1 )
..
.
Bemerkung: Der Parameter t taucht in dem Graph NICHT auf.
9.1.2 Polarkoordinaten-Darstellung
C : r = r(ϕ),
ϕ∈D
Zeichnen durch Wertetabelle für verschiedene ϕ-Werte. → Winkel ϕ mit Länge r(ϕ)
abtragen.
ϕ
ϕ1
..
.
r(ϕ)
r(ϕ1 )
..
.
9.2 Differentiation
9.2.1 Parameterdarstellung
dx
= ẋ ⇒ dx = ẋdt
dt
dy
y = y(t) ⇒
= ẏ ⇒ dy = ẏdt
dt
x = x(t) ⇒
⇒
dy
ẏ
= y0 =
dx
ẋ
72
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Analysis
9.2.2 Polarkoordinaten-Darstellung
r = r(ϕ) ⇒
dx
dr
= ṙ cos(ϕ) − r sin(ϕ) mit ṙ =
dϕ
dϕ
dy
dr
y = r(ϕ) sin(ϕ) ⇒
= ṙ sin(ϕ) + r cos(ϕ) mit ṙ =
dϕ
dϕ
x = r(ϕ) cos(ϕ) ⇒
⇒
dy
ṙ sin(ϕ) + r cos(ϕ)
r + ṙ tan(ϕ)
= y0 =
=
dx
ṙ cos(ϕ) − r sin(ϕ)
ṙ − r tan(ϕ)
9.3 Flächen
9.3.1 Standardfläche einer explizit gegebene Funktion
Z
b
|f (x)| dx
A=
a
9.3.2 Standardfläche einer Kurve in Parameterdarstellung
Z
t2
|y · ẋ| dt
A=
t1
Gilt auch für geschlossene Kurven.
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9.3.3 Formeln für Sektorflächen
Sektorformel für Polarkoordinaten
Z
1 ϕ2
(r(ϕ))2 dϕ
A=
2 ϕ1
Leibnitzsche Sektorformel für Parameterdarstellung
Z
1 t2
A= (y · ẋ − x · ẏ) dt
2 t1
9.4 Bogenlänge
9.4.1 Explizit gegebene Funktion
S=
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx
a
9.4.2 Parameterdarstellung
Z
t2
S=
p
ẋ2 + ẏ 2 dt
t1
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9.4.3 Polarkoordinaten-Darstellung
Z
ϕ2
S=
√
r2 + ṙ2 dϕ
ϕ1
9.5 Krümmungsverhalten
9.5.1 Krümmung
1. Explizite Darstellung: y = f (x)
κ=
y 00
3
(1 + y 0 2 ) 2
2. Parameterdarstellung: x = x(t), y = y(t)
κ=
ẋÿ − ẍẏ
3
(ẋ2 + ẏ 2 ) 2
3. Polarkoordinaten-Darstellung: r = r(ϕ)
κ=
r2 − rr̈ + 2ṙ2
3
(r2 + ṙ2 ) 2
9.5.2 Krümmungskreisradius
1
R = ,
κ
κ : Krümmung
9.5.3 Krümmungskreismittelpunkt
1. Explizite Darstellung: y = f (x)
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xm
1 + y02
= x−y ·
y 00
ym
1 + y02
= y+
y 00
0
75
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2. Parameterdarstellung: x = x(t), y = y(t)
xm = x − ẏ ·
ẋ2 + ẏ 2
ẋÿ − ẍẏ
ym = y + ẋ ·
ẋ2 + ẏ 2
ẋÿ − ẍẏ
3. Polarkoordinaten-Darstellung: r = r(ϕ)
HS München
xm = r cos ϕ −
(r2 + ṙ2 )(r cos ϕ + ṙ sin ϕ)
r2 − rr̈ + 2ṙ2
ym = r sin ϕ −
(r2 + ṙ2 )(r sin ϕ − ṙ cos ϕ)
r2 − rr̈ + 2ṙ2
76
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10 Gewöhnliche
Differentialgleichungen
10.1 Einleitung
Definition 10.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung
Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten
Ordnung vorkommen, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.
1. Implizite Form:
F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0
Bsp: (y 00 )2 + y 00 + 5xy 0 + x = 0 2. Ordnung
2. Explizite Form:
y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n−1) )
y
Bsp: y 00 =
2. Ordnung
x
Definition 10.2 Lösung einer Differentialgleichung
Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist die Menge aller
Funktionen, die gemeinsam mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung in ihrem
Definitionsbereich erfüllen.
77
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Satz:
Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält
genau n Parameter.
Definition 10.3 Partikuläre Lösung
Eine spezielle Lösung (aufgrund von n speziellen Bedingungen) einer gewöhnlichen
Differentialgleichung n-ter Ordnung heißt partikuläre Lösung.
Definition 10.4 Anfangswertproblem (AWP)
Sind zu einem Wert x0 n Anfangsbedingungen (AB)
(y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y(n−1) )) gegeben, so spricht man von einem
Anfangswertproblem (AWP).
10.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung
10.2.1 Isoklinenverfahren
Jedem Punkt P = (x, y) der Differentialgleichung y 0 = f (x, y) ist eindeutig die Steigung
m = f (x, y) zugeordnet. m gibt die Steigung der Lösungskurve in P an. Der Tripel
(x, y, y 0 ) lässt sich also als Linienelement deuten.
Die Gesamtheit aller Linienelemente ergeben ein Richtungsfeld.
Die Verbindungslinie aller Punkte, deren Linienelemente in die gleiche Richtung zeigen,
heißt Isokline. Die Isoklinen der Differentialgleichung y 0 = f (x, y) sind daher wie folgt
definiert:
y 0 = f (x, y) = constant = c
.
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78
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Figure 10.1: Richtungsfeld der Differentialgleichung y 0 =
y
sin x
mit Lösung y
10.2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen
Definition 10.5 Differentialgleichung mit trennbaren Variablen
Kann die Differentialgleichung 1. Ordnung auf die Form
y 0 = g(x)h(y)
gebracht werden, so spricht man von einer Differentialgleichung mit trennbaren
Variablen.
Methode 10.1 Trennung der Variablen
dy
dy
= g(x)h(y) =⇒
= g(x)dx
dx
h(y)
Z
Z
dy
2. Integration auf beiden Seiten:
= g(x)dx
h(y)
1. Trennung der Variablen:
3. Berechnung der Integrale liefert Lösung der Differentialgleichung.
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79
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10.2.3 Durch Substitution lösbare Differentialgleichungen
Methode 10.2 Substitution für Differentialgleichungen
vom Typ y 0 = f ( xy )
1. Substitution: u = xy
=⇒ y = xu =⇒ y 0 = u + xu0
=⇒ f (u) = u + xu0
oder
u0 =
f (u) − u
x
(10.2.1)
2. Lösen der Differentialgleichung (10.2.1) durch Trennung der Variablen.
3. Rücksubstitution und auflösen nach y.
Methode 10.3 Substitution für Differentialgleichungen
vom Typ y 0 = f (ax + by + c)
1. Substitution: u = ax + by + c
=⇒ u0 = a + by 0
=⇒ u0 = a + bf (u)
(10.2.2)
2. Lösen der Differentialgleichung (10.2.2) durch Trennung der Variablen.
3. Rücksubstitution und auflösen nach y.
10.2.4 Lineare Differentialgleichungen
Definition 10.6 Lineare Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn sie in y und allen ihren Ableitungen
linear ist.
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Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:
g1 (x)y 0 + g0 (x)y = S(x),
g0 (x)
S(x)
=⇒ y 0 +
y =
g1 (x)
g1 (x)
g1 (x) 6= 0
Normalform einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung:
y 0 + g(x)y = s(x)
(10.2.3)
mit s(x) = 0 erhält man die
Normalform einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung:
y 0 + g(x)y = 0
(10.2.4)
Lösung der homogenen Gleichung
Die homogene Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
Methode 10.4 Spezialfall der Trennung der Variablen
Allg:
y 0 + g(x)y
=⇒ dy
dx
=⇒ dy
Ry
=⇒ dy
y
=⇒ ln |y| − ln |K|
=⇒ ln Ky y = Ke−
R
g(x)dx
,
=
=
=
=
=
=
0
−g(x)y
−g(x)dx
R
− g(x)dx
R
− R g(x)dx
− g(x)dx
K ∈ IR
(10.2.5)
Sonderfall: Differentialgleichung (10.2.4) mit konstantem Koeffizienten (g(x) = a)
y 0 + ay = 0 =⇒ y = Ke−
R
adx
= Ke−ax ,
K ∈ IR
(10.2.6)
Lösung der inhomogenen Gleichung
Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lässt sich durch folgende Verfahren
ermitteln.
Variation der Konstanten
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Aufsuchen einer partikulären Lösung
Die Variation der Konstanten ist immer anwendbar.
Methode 10.5 Variation der Konstanten
1. Bestimmung einer Lösung yh der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
yh0 + g(x)y = 0 durch Trennung der Variablen.
=⇒ yh = Ke−
R
g(x)dx
2. Variation der Konstanten
a) Ersetzen der Konstanten K durch eine Funktion K(x).
=⇒ y = K(x)e−
R
g(x)dx
(10.2.7)
b) y ableiten und y, y 0 in die inhomogene Differentialgleichung (10.2.3)
einsetzen.
c) Lösung der Differentialgleichung für K(x) durch direkte Integration.
d) Einsetzen von K(x) in den Lösungsansatz (10.2.7).
Das Aufsuchen einer partikulären Lösung beruht auf dem folgenden Satz.
Satz: Lösung der inhomogenen Gleichung
Die Lösung der Differentialgleichung (10.2.3) ergibt sich aus der Summe der
allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung yh und einer
partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yp :
y = yh + yp
Methode 10.6 Aufsuchen einer partikulären Lösung für inhomogene lineare
Differentialgleichungen
1. Bestimmung einer Lösung yh der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
yh0 + g(x)y = 0 durch Trennung der Variablen.
2. Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
(10.2.3) durch einen geeigneten Lösungsansatz der einen oder mehrere Parameter
enthält.
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3. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung (10.2.3): y = yh + yp .
Sonderfall: Differentialgleichung (10.2.3) mit konstantem Koeffizienten (g(x) = a)
y 0 + ay = s(x) =⇒ yh = Ke−ax ,
K ∈ IR
(10.2.8)
Die Ansatzfunktion yp für die partikuläre Lösung lässt sich aus der folgenden Tabelle
entnehmen. yp ableiten, yp und yp0 in die Gleichung (10.2.8) einsetzen. Durch KoeffizienStörfunktion s(x)
Polynom vom Grade n
s(x) = A sin(ωx) + B cos(ωx)
Ansatzfunktion yp (x)
Polynom vom Grade n :
y p = cn x n + . . . + c1 x + c0
Parameter: c0 , c1 , . . . , cn
yp = C1 sin(ωx) + C2 cos(ωx)
oder
yp = C sin(ωx + ϕ)
Parameter: C1 , C2 bzw. C, ϕ
(auchwenn A = 0 oder B = 0)
Cebx
b 6= −a
für
Cxebx
b = −a
Parameter: C
s(x) = Aebx
yp =
Table 10.1: Lösungsansätze für eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten: y 0 + ay = s(x)
tenvergleich werden die Parameter bestimmt.
10.2.5 Numerische Integration
Gegeben sei das Anfangswertproblem:
y 0 = f (x, y),
y(x0 ) = y0
Aufgabenstellung:
Gesucht ist ein Näherungswert an der Stelle xn = b
yn ≈ y(b).
Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.
Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = b
mit der festen Schrittweite: h = b−a
= xi − xi−1
n
Euler–Verfahren
yi = yi−1 + h f (xi−1 , yi−1 ),
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i = 1, ..., n
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Analysis
Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung
yi = yi−1 + 61 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
i = 1, ..., n
k1 = h f (xi−1 , yi−1 )
k2 = h f (xi−1 + 12 h, yi−1 + 21 k1 )
k3 = h f (xi−1 + 21 h, yi−1 + 21 k2 )
k4 = h f (xi−1 + h, yi−1 + k3 )
Beispiel 10.1 Euler- und Runge-Kutta-Verfahren
Gegeben: y 0 = − xy , AB: x0 = 0, y0 = 1
gesucht: Wert an der Stelle x=0,5
(Lösung: Kreis mit Radius 1, exakter Wert: y= 0.866025)
i
0
1
2
xi
0.000000
0.250000
0.500000
yi
1.000000
1.000000
0.937500
hf (xi , yi ) = −0, 25 xy
0.000000
-0.062500
Table 10.2: Euler-Verfahren mit n=2
i
0
1
2
3
4
xi
0.000000
.125000
.250000
.375000
.500000
yi
1.000000
1.000000
0.984375
0.952629
0.903423
hf (xi , yi ) = −0, 125 xy
0.000000
-0.015625
-0.031746
-0.049206
Table 10.3: Euler-Verfahren mit n=4
HS München
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i
1
x
0.000000
0.250000
0.250000
0.500000
x1 =0.500000
Analysis
y
y0 =1.000000
y0 + 12 k1 = 1.000000
y0 + 12 k2 = 0.937500
y0 + k3 = 0.866667
y1 =0.865812
ki = hf (x, y) = −0, 5 xy
0.000000 = k1
-0.125000 = k2
-0.133333 = k3
-0.288462 = k4
Table 10.4: Runge-Kutta-Verfahren mit n=1
i
1
2
x
0.000000
0.125000
0.125000
0.250000
x1 = 0.250000
0.250000
0.375000
0.375000
0.500000
x2 =0.500000
y
1.000000
1.000000
0.984375
0.968254
y1 =0.968243
0.968243
0.935968
0.918161
0.866137
y2 =0.866008
ki = hf (x, y) = −0, 25 xy
0.000000
-0.031250
-0.031746
-0.064549
-0.064550
-0.100164
-0.102106
-0.144319
Table 10.5: Runge-Kutta-Verfahren mit n=2
10.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
Definition 10.7 Randwertproblem
Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung, zu deren Lösung weitere Bedingungen
(sogenannte Randbedingungen) für Werte der Funktion y (oder ihrer Ableitungen) an
wenigstens 2 verschiedenen Stellen x1 , x2 ∈ D vorgegeben sind, heißt Randwertproblem
(RWP).
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Analysis
10.3.1 Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführbare
Differentialgleichungen 2. Ordnung
Methode 10.7 Überführung auf Differentialgleichung 1. Ordnung für Typ:
y 00 = f (y)
1. Multiplikation mit 2y 0
⇒ 2y 0 y 00 = 2y 0 f (y)
⇒ (y 0 )2 = 2y 0 f (y)
d((y 0 )2 )
dy
⇒
= 2f (y)
dx
dx
2. Umformen und Integrieren
Z
Z
0 2
⇒ d((y ) ) = 2 f (y)dy
Z
02
⇒ y = 2 f (y)dy + C1
s Z
⇒ y 0 = ± 2 f (y)dy + C1
(10.3.1)
3. Lösen von (10.3.1) (z.B. durch Trennung der Variablen).
Methode 10.8 Überführung auf Differentialgleichung 1. Ordnung für Typ:
y 00 = f (y 0 ) oder y 00 = f (x, y 0 )
1. Substitution:
dy
dx
du
⇒ u0 = y 00 =
dx
u = y0 =
2. Einsetzen in die Differentialgleichung⇒ Differentialgleichung 1. Ordnung für u.
3. Lösen der Differentialgleichung für u.
4. Rücksubstitution ⇒ Differentialgleichung 1. Ordnung für y.
5. Lösen der Differentialgleichung für y
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Analysis
10.3.2 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
Definition 10.8 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
Eine Differentialgleichung vom Typ
y 00 + ay 0 + by = 0
(10.3.2)
heißt lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Satz: Eigenschaften der linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
1. Ist y1 (x) eine Lösung von (10.3.2), so löst auch C · y1 (x) (10.3.2).
2. Sind y1 (x), y2 (x) Lösungen von (10.3.2), so löst auch C1 · y1 (x) + C2 · y2 (x)
(10.3.2).
3. Ist y(x) = u(x) + jv(x) eine komplexe Lösung von (10.3.2), so sind auch
u(x), v(x) reelle Lösungen von (10.3.2).
Definition 10.9 Fundamentalbasis
Zwei Lösungen y1 = y1 (x) und y2 = y2 (x) von (10.3.2) werden als Basislösungen,
Basisfunktionen oder Fundamentalbasis bezeichnet, falls die Wronski-Determinante :
y1 (x) y2 (x) 6= 0 ist.
W (y1 , y2 ) = 0
y1 (x) y20 (x) y1 , y2 heißen dann linear unabhängig.
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Analysis
Satz: Allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung von (10.3.2) ist als lineare Kombination zweier Basislösungen
y1 (x), y2 (x) darstellbar:
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
C1 , C2 ∈ R
Methode 10.9 Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lösungsansatz: y = eλx
Bestimmung von λ mit Hilfe des charakteristischen Polynoms:
λ2 + aλ + b = 0.
Es ergeben sich drei Fälle:
1. Fall: λ1 6= λ2 , λ1 , λ2 ∈ R
Fundamentalbasis: y1 = eλ1 x , y2 = eλ2 x
Allgemeine Lösung: y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
2. Fall: λ1 = λ2 = λ, λ ∈ R
Fundamentalbasis: y1 = eλx , y2 = xeλx
Allgemeine Lösung: y = (C1 + C2 x)eλx
3. Fall: λ1,2 = ϕ ± j ω, ϕ, ω ∈ R, λ1 , λ2 ∈ C (konjugiert komplex)
Fundamentalbasis: y1 = eϕx sin(ωx), y2 = eϕx cos(ωx)
Allgemeine Lösung: y = eϕx (C1 sin(ωx) + C2 cos (ωx))
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88
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Analysis
10.3.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
Definition 10.10 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Eine Differentialgleichung vom Typ
y 00 + ay 0 + by = s(x)
(10.3.3)
heißt lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.
s(x) wird als Störfunktion bezeichnet.
Satz: Allgemeine Lösung
Die Lösung der Differentialgleichung (10.3.3) ergibt sich aus der Summe der
allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung yh und einer
partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yp :
y = yh + yp
Satz:
Hat eine Differentialgleichung die Form
y 00 + ay 0 + by = s1 (x) + s2 (x)
(10.3.4)
und ist yp1 Lösung von y 00 + ay 0 + by = s1 (x) und yp2 Lösung von y 00 + ay 0 + by = s2 (x)
so ist yp = yp1 + yp2 eine partikuläre Lösung von (10.3.4).
Methode 10.10 Aufsuchen der partikulären Lösung
1. Lösen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung⇒ yh
2. Berechnung einer partikulären Lösung yp von (10.3.3) mit Hilfe einer
Ansatzfunktion aus Tabelle (10.6)
3. Allgemeine Lösung: y = yh + yp
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89
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Analysis
Störfunktion s(x)
s(x) = Pm (x)
s(x) = Pm (x)eαx
s(x) =
P1m (x) sin(βx) + P2m (x) cos(βx)
s(x) =
eαx [P1m (x) sin(βx) + P2m (x) cos(βx)]
Ansatzfunktion yp (x)
yp = Bm (x),
falls 0 nicht Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = xq Bm (x)
falls 0 q-fache Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = Bm (x)eαx ,
falls α nicht Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = xq Bm (x)eαx ,
falls α q-fache Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = Bm (x) sin(βx) + Cm (x) cos(βx)
falls ±jβ nicht Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = xq [Bm (x) sin(βx) + Cm (x) cos(βx)]
falls ±jβ q-fache Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = eαx [Bm (x) sin(βx) + Cm (x) cos(βx)]
falls α ± jβ nicht Lösung
der char. Gleichung ist.
yp = xq eαx [Bm (x) sin(βx) + Cm (x) cos(βx)]
falls α ± jβ q-fache Lösung
der char. Gleichung ist.
Table 10.6: Lösungsansätze für die Differentialgleichung 2. Ordnung
y 00 + ay 0 + by = s(x)
Pm (x), Bm (x), Cm (x) sind Polynome vom Grade m; entweder ist P1m (x) ein Polynom
vom Grade m und P2m (x) hat höchstens den Grad m oder umgekehrt.
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10.4 Lineare Systeme von Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten
Definition 10.11 Lineares inhomogenes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Sei


y1 (x)


y : R → Rn , x →  ... 
yn (x)


s1 (x)


differenzierbar, und s : R → Rn , x →  ...  .
sn (x)
Ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen vom Typ
y10 (x) = a11 y1 (x) + a12 y2 (x) + . . . + a1n yn (x) + s1 (x)
..
..
..
..
..
..
.
=
.
.
.
.
.
yn0 (x) = an1 y1 (x) + an2 y2 (x) + . . . + ann yn (x) + sn (x)
heißt lineares System von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten.
s(x) wird als Störfunktion bezeichnet. Falls s(x) 6= 0, so heißt das System inhomogen
ansonsten homogen.
Das System lässt sich mit Matrizen wie folgt darstellen
 


 
 
y1 (x)
s1 (x)
y10 (x)
a11 . . . a1n
 ..   ..
..  ·  ..  +  .. 
 . = .
.   .   . 
yn0 (x)
|
an1 . . . ann
{z
}
yn (x)
sn (x)
Systemmatrix:A
10.4.1 Lösung des homogenen Systems
Satz:
Ist v ∈ Rn ein Eigenvektor der Systemmatrix A des homogenen Systems
y 0 (x) = A · y(x) zum Eigenwert λ ∈ R, so ist die Funktion
ϕ : R → Rn , x → v · eλx
eine Lösung des homogenen Systems.
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Analysis
Definition 10.12 Fundamentalsystem
n linear unabhängige Lösungen des homogenen Systems heißen
Lösungsfundamentalsystem.
Die Linearkombination aller Basislösungen ϕi des Lösungsfundamentalsystem bilden die
allgemeine Lösung des Systems
y=
n
X
ci · ϕi (x).
i=1
Die Aufgabe besteht also darin n unabhängige Lösungen zu finden.
Diagonalisierbare Systemmatrix A
Aus der Linearen Algebra wissen wir, falls die Systemmatrix diagonalisierbar ist, so
sind die zugehörigen Eigenvektoren vi , i = 1 . . . n und damit die Lösungen alle linear
unabhängig.
Dabei können folgende Fälle unterschieden werden:
Hat die Systemmatrix n verschiedene einfache reelle Eigenwerte λi , i = 1 . . . n, so
sind die zugehörigen Eigenvektoren vi , i = 1 . . . n und damit die Lösungen alle
linear unabhängig.
Sind unter den n verschiedenen einfachen auch konjugiert komplexe Eigenwerte,
so erhält man auch komplexe Eigenvektoren und komplexe Lösungen. Von den
komplexen Lösungen werden Real- und Imaginärteil ermittelt, die entstehenden
Lösungen sind wieder linear unabhängig.
Hat die Systemmatrix auch mehrfache Eigenwerte, so gehören zu einem k-fachen
Eigenwert auch k linear unabhängige Eigenvektoren, somit sind die Lösungen auch
linear unabhängig.
Ein Problem entsteht dann, wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Zu einem
k-fachen Eigenwert gehören dann weniger als k Eigenvektoren und damit zu wenig
Lösungen.
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Eigenwerte mit Vielfachheit: Hauptvektoren
Satz: Lösung durch Hauptvektoren
Sei λ eine doppelter Eigenwert der Systemmatrix A mit nur einem zugehörigen
Eigenvektor v1 . Dann besitzt die Gleichung
(A − λE) · v = v1
genau eine Lösung v2 . Dieser Vektor wird Hauptvektor der Systemmatrix A
genannt.
Eine weitere linear unabhängige Lösung ergibt sich dann durch
ϕ2 = eλx (v2 + xv1 ) .
Damit lauten die beiden Basislösungen bezogen auf λ: eλx v1 , eλx (v2 + xv1 ).
Hat der Eigenwert die Vielfachheit k, dann werden die weiteren Hauptvektoren rekursiv
gebildet: v3 berechnet sich aus dem Hauptvektor v2 : (A − λE) · v3 = v2 usw..
Das (Teil-)Fundamentalsystem (bez. auf den Eigenwert λ mit Vielfachheit k) ergibt sich
dann
wie folgt:
o
n
1
λx
xk−1 v1 .
e v1 , eλx (v2 + xv1 ) , eλx v3 + xv2 + 21 x2 v1 , . . . , eλx vk + xvk−1 + · · · + (k−1)!
10.4.2 Lösung des inhomogenen Systems
Genau wie bei linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung gilt der folgende Satz:
Satz: Allgemeine Lösung
Die Lösung des inhomogenen Systems ergibt sich aus der Summe der allgemeinen
Lösung der zugehörigen homogene Systems yh und einer partikulären Lösung der
inhomogenen Differentialgleichung yp :
y = yh + yp
Die Lösungsansätze für yp1 , . . . ypn hängen von den Störfunktionen s1 , . . . , sn ab. Sie
können mit Hilfe der Tabelle (10.6) ermittelt werden, die Tabelle gilt nur für die Fälle,
dass λ kein Eigenwert ist. In jeder Ansatzfunktion muss jede Störfunktion berücksichtigt
werden.
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Methode 10.11 Aufsuchen der partikulären Lösung
1. Lösen des zugehörigen homogenen Systems ⇒ yh


yp1


2. Berechnung einer partikulären Lösung yp =  ...  mit Hilfe von
ypn
Ansatzfunktionen aus Tabelle (10.6), die Tabelle gilt nur für die Fälle, dass λ
kein Eigenwert ist
3. Allgemeine Lösung: y = yh + yp
10.4.3 Überführung auf ein System 1. Ordnung: Zustandsform
Jede lineare Differentialgleichung höherer Ordnung und jedes System von Differentialgleichungen höherer Ordnung kann in ein System 1. Ordnung, die sogenannte Zustandsform überführt werden. Dieses System 1. Ordnung kann dann aus den vorherigen
Abschnitten gelöst werden.
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Differentialgleichung n-ter Ordnung:
y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) = a1 y + a2 y 0 + · · · + an y (n−1) + s(x)
Anfangsbedingungen:
y(x0 ), y 0 (x0 ), . . . , y (n−1) (x0 )
Zustandsform:
Zustandsgrößen:
z1 = y, z2 = y 0 , z3 = y 00 , . . . zn = y (n−1)
Umformung in ein System 1. Ordnung:
z01
z02
= z2
= z3
..
.
, z1 (x0 ) = y(x0 )
, z2 (x0 ) = y 0 (x0 )
.
, ..
z 0 n−1 = zn
, zn−1 (x0 ) = y (n−2) (x0 )
z0n
= a1 z1 + a2 z2 + · · · + an zn + s(x) , zn (x0 ) = y (n−1) (x0 )
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System von linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung
y100 = f1 (x, y1 , . . . , yn , y10 . . . , yn0 ) = a11 y1 + · · · + a1n yn + b11 y10 + · · · + b1n yn0 + s1 (x)
..
.
yn00 = fn (x, y1 , . . . , yn , y10 . . . , yn0 ) = an1 y1 + · · · + ann yn + bn1 y10 + · · · + bnn yn0 + sn (x)
Anfangsbedingungen:
y1 (x0 ), . . . , yn (x0 ), y10 (x0 ), . . . , yn0 (x0 )
Zustandsform:
Zustandsgrößen:
z1 = y1 , . . . , zn = yn
zn+1 = y10 , . . . , z2n = yn0
Umformung in ein System 1. Ordnung:
z01
= zn+1
..
.
, z1 (x0 ) = y(x0 )
.
, ..
= z2n
z0n
0
z n+1 = a11 y1 + · · · + a1n yn + b11 y10 + · · · + b1n yn0 + s1 (x)
..
.
z 0 2n
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, zn (x0 ) = yn (x0 )
, zn+1 (x0 ) = y10 (x0 )
.
, ..
= an1 y1 + · · · + ann yn + bn1 y10 + · · · + bnn yn0 + sn (x) , z2n (x0 ) = yn0 (x0 )
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