Matrizen A a a a a a a a a a a a a a a a a =

HTW-Berlin P.Schumann
Matrizen -Eigenschaften
Matrizen
Def 1 Unter einer Matrix A vom Typ (n , m) versteht man ein aus n∙m reellen Zahlen
bestehendes rechteckiges Schema mit n waagerecht angeordneten Zeilen und
m senkrechte angeordneten Spalten.
 a1,1

 a 2,1
 
A
 a i ,1
 

 a n ,1
a1, 2
a 2, 2

ai,2

a n,2












a1,k
a 2, k

a i ,k

a n ,k
a1,m 

a 2,m 
 

a i ,m 
 

a n ,m 
i ´te Zeile
k´te Spalte
hier ist : a i,k: Matrixelement ( i=1,2,...,n ; k=1,2,...,m )
i
: Zeilenindex
k
: Spaltenindex
n : Anzahl der Zeilen (Zeilenzahl )
m : Anzahl der Spalten (Spaltenzahl)
Anmerkungen:
1.
Matrix = geordnetes Zahlenschema , besitzt keinen Zahlenwert
2.
Schreibweisen: A ; A (n,m) ; (a i,k) ; (a i,k)(n,m)
3.
a i,k sind eindeutig „plaziert“
4.
Sonderfall : (n=m) 
5.
Erweiterung auch auf den Bereich der komplexen Zahlen !
quadratische Matrix
Besondere Matrizen :(Vektoren)
A(n,1) = Spaltenmatrix
A(1,m) =
Zeilenmatrix
a i,k = 0  ( i=1,2,..,n; k=1,2,...,m )
Nullmatrix 0: 
Einheitsmatrix : E  a i,k = 1 ( i=k); a i,k = 0  ( ik) ;
-1:
-1
Inverse Matrix : A :  A A =E
Marizen 1
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Matrizen -Eigenschaften
Rechenoperationen für Matrizen
Seien
A (n,m) = (a i,k)(n,m) und B (n,m) = (b i,k)(n,m)
Addition
Subtraktion
C = A +B
(c i,k) =(a i,k) + (b i,k)
i=1..n k=1..m
Multiplikation mit einem Skalar R :  A =  (a i,k) = ( a i,k)
Rechengesetze:
Kommutativgesetz:
Assoziativgesetz:
Distributivgesetz
Matrizenmultiplikation
A (n,m)  B (m,p) = C (n,p)
Voraussetzung :
verkettbar
Das Element (c i,k) des Matrizenproduktes C = A  B ist das aus dem Zeilenvektor ai von A und dem
Spaltenvektor bk von B gebildete Skalarprodukt
FALK -Schema
k´te Spalte
B
A
i´te
Zeile
A
C i,k
Marizen 2
Beispiel:
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Rechengesetze für Matrizen
Def.2
Transponierte Matrix A
T
Werden in einer Matrix Zeilen und Spalten miteinander vertauscht,
T
so erhält man die Transponierte A der Matrix A .
A (n,m) = (a i,k)(n,m)
T
<=====> A (m,n)
= (a k,i)(m,n)
Es gilt: Die Transponierte einer quadratischen Matrix ist vom gleichen Typ
Durch Transponieren geht ein Zeilenvektor in eine Spaltenvektor über.
T
T
T
(AB) = B A
Spezielle quadratische Matrizen
A (n,n) =
a1,1
a1,2
a1,n
a2,1
a2,2
a2,n
an,1
an,2
an,n
Nebendiagonale
Def.3 ===> Diagonalmatrix:=
Hauptdiagonale
i  k
i  k
a    R
0
i ,k

Die Einheitsmatrix ist ein Sonderfall der Diagonalmatrix
 1 0 0 0


E4,4=  0 1 0 0
 0 0 1 0


 0 0 0 1
Es gilt : AE = EA = A
untere Dreiecksmatrix ai,k  0
i  k
obere Dreiecksmatrix ai,k  0 i  k
Def.4
Dreiecksmatrix :=
Def.5
A heißt symmetrisch <==>
Def.6
A heißt antisymmetrisch <==> ai,k = -
A = AT
ak,i
a i,i,= 0
Def 7: Eine quadratische Matrix A , die mit ihrer Transponierten multipliziert
T
die Einheitsmatrix ergibt , heißt orthogonale Matrix A A = E
Bsp:
Def 8:
 sin( x) cos( x)   sin( x) cos( x) 

  

 cos( x)  sin( x)   cos( x)  sin( x) 
A -1 heißt zur quadratischen Matrix A die Inverse ,falls A A -1= A -1 A=E
Marizen 3
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Matrizen -Eigenschaften
Rang einer Matrix
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
Ax  b .
Dann nennt man die Höchstzahl r =Rg(A) der auf der linken Seite erzeugbaren unterschiedlichen
Einheitsvektoren den Rang der Matrix A.
Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des Gaußschen
Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in Stufenform ( Upper-Matrix) um.
Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix
Bsp:

Hinweise:

I.a. wird der Rang einer Matrix A mit Hilfe des äquvalenten Begriffs der Maximalzahl
„linear unabhängiger Vektoren „ definiert.

Der Rang einer Matrix An,m kann nicht größer sein, als das Minimum aus Zeilen- und
Spaltenzahl
Marizen 4