Übungen zur Vorlesung Theoretische Elektrodynamik, WS 2015/2016

Übungen zur Vorlesung Theoretische Elektrodynamik, WS 2015/2016
Blatt 3, 19-10-2015
Aufgabe 3.1. Bestimmen Sie das elektrische Feld einer unendlich dünnen gleichförmig geladenen Kugeloberfläche mit der Gesamtladung Q und dem Radius R. Wie sieht das zugehörige
Potential aus? Der Referenzpunkt des Potentials liegt im Unendlichen.
Aufgabe 3.2. Berechnen Sie für eine runde Leiterschleife (Radius R) das Potential an der
Stelle (0, 0, z). Benutzen Sie die Formel
I
λ(r 0 ) 0
1
V (r) =
dl .
4πε0
|r − r 0 |
Bestimmen Sie an der Stelle (0, 0, z) auch das elektrische Feld in z-Richtung.
Aufgabe 3.3. Bestimmen Sie das Potential auf der z-Achse für eine geladene Kreisscheibe
(Radius R, homogene Flächenladungsdichte σ). Benutzen Sie das Ergebnis, um auch das
elektrische Feld in z-Richtung an der Stelle zu bestimmen.
Wie sieht das Feld für R → ∞ aus? Interpretieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 3.4. Bestimmen Sie die Energie einer gleichförmig geladenen Kugeloberfläche mit
der Gesamtladung Q und dem Radius R.
Weiterführende/zusätzliche Beispiele
Aufgabe 3.5. Gegeben sind zwei konzentrische metallische Kugelschalen i = 1, 2 mit den
Radien Ri und R2 > R1 . Die innere Kugelschale trägt die Ladung +Q, die äussere die Ladung
−Q.
(a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential und das E-Feld im gesamten Raum 0 < r <
∞. Benutzen Sie dabei die Symmetrien des Feldes und den Satz von Gauss.
(b) Berechnen Sie die Kapazität C dieses Systems (Kugelkondensator). Die Kapazität ist
dabei definiert durch C = V1 Q
−V2 und Vi dem Potential auf der Kugel i.
(c) Berechnen Sie die Gesamtenergie des elektrostatischen Feldes und zeigen Sie, dass sie
Q2
ist. (Hinweis: Die Energiedichte des Feldes ist ε0 E(r)2 /2)
gleich 2C
Aufgabe 3.6. Gegeben seien zwei Punktladungen q1 and −q2 mit q1 , q2 > 0 und qq12 = α < 1,
die sich im Abstand 2d voneinander befinden.
Bestimmen Sie das elektrostatische Potential φ(r) dieser Ladungskonfiguration, das für |r| →
∞ verschwindet. Welche Form hat die Äquipotentialfläche φ(r) = 0? Bestimmen Sie das
E(r)-Feld.
Aufgabe 3.7. Welche Ladungsverteilung ρ(r) erzeugt ein Potential der Form φ(r) = qe−α|r| ?
Verwenden Sie dazu den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten. Bestimmen Sie das dazugehörige E(r)-Feld.