Professor Dr. HA Kastrup Ubungen zur Mechanik, WS 1997/98 Blatt

Professor Dr. H. A. Kastrup
Ubungen zur Mechanik, WS 1997/98
Blatt 5,
Aufgabe 13
Abgabetermin: 28.11.97
Einschwingvorgang und Resonanz
Ein fur t 0 ruhender schwach gedampfter Oszillator mit Masse m, Dampfungskraft
?m x_ und Federkonstante b werde einer Kraft F (t) ausgesetzt, wobei F (t) = 0 fur
t 0 und F (t) = m sin !t fur t 0. Sei ! = !0 + " mit !02 b=m und " > 0.
a) Bestimmen Sie lim!0 x(t)! Ist die Bewegung (fur nichtverschwindendes ") im
Ortsraum beschrankt, d.h. gibt es eine Konstante C , soda jx(t)j < C 8t gilt?
(1 Punkt)
b) Bestimmen Sie lim"!0+ x(t)! Ist die Bewegung (fur nichtverschwindendes ) im
Ortsraum beschrankt? Wie sieht der fur Zeiten t 1= dominierende Term aus?
(1 Punkt)
c) Zeigen Sie, da lim"!0+ (lim!0 x(t)) existiert und berechnen Sie den Limes!
(A quivalenterweise konnen Sie auch
den Limes in der umgekehrten Reihenfolge
durchfuhren: lim!0 lim"!0+ x(t) ). Ist die Bewegung im Ortsraum beschrankt?
Was fur einen qualitativen Eindruck erhalt man aus den betrachteten Grenzfallen
fur den Verlauf von x(t) bei sehr kleinem, aber nicht verschwindendem und "
(\kleine" t, \mittlere" t, d.h. 1=!0 t 1= , \groe" t)?
(1 Punkt)
Aufgabe 14
3 Punkte
Oszillator unter Krafteinwirkung
Ein fur t 0 ruhender, ungedampfter Oszillator (Masse m) mit Eigenfrequenz
!0 6= n, n 2 Z , werde der in Abb. A gegebenen Kraft F (t) mf (t) ausgesetzt.
Losen Sie die Bewegungsgleichung!
3 Punkte
Hinweis 1: Periodische Funktionen konnen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden:
Gilt h(y) = h(y + L), so existiert fur h eine Reihendarstellung der Form
1
1
X
X
h(y) = an sin(2ny=L) + bn cos(2ny=L) + b20 ;
n=1
n=1
R
2 c+L h(y ) sin(2ny=L)dy und bn =
wobei,
wie
man
sich
leicht
u
berlegt,
a

n = L c
2 R c+L h(y ) cos(2ny=L)dy fur eine frei wahlbare Konstante c. U
 berlegen Sie sich,
L c
welche Aussagen man aus der Eigenschaft h(t) = h(?t) bzw. h(t) = ?h(?t) fur
die Koezienten an und bn gewinnen kann. | Um eine Partikularlosung fur t 0
zu nden, setze man f (t) hilfsweise periodisch zu negativen Zeiten fort. Die resultierende Funktion kann nun Fourier-zerlegt werden (und fur t 0 stimmt diese
Fourier-Zerlegung naturlich mit jener fur das ursprunglich gegebene f uberein).
Hinweis 2: Obwohl die Kraft F (t) unstetig ist, sind x(t) und x_ (t) stetig. [Die Stetigkeit von x_ (t) kann man aus der (physikalisch anschaulichen)
Stetigkeit von x(t)
Rt
mittels der Bewegungsgleichung und der Stetigkeit von F ( )d schlieen].
Aufgabe 15
Auswahlregeln
Ein quadratisches Potential V (~x) = Wij x x , W (Wij ) = konst, sei unter Transformationen ~x0 = T~x invariant, V (~x0 ) = V (~x), bzw. andere sein Vorzeichen, V (~x0 ) =
?V (~x). In vielen Fallen bewirkt so eine Symmetrieeigenschaft das Verschwinden
einzelner Koezienten Wij und nur die verbleibenden konnen im Einklang mit der
Symmetrie von Null verschieden sein (Auswahlregeln).
a) Bestimmen Sie die durch die jeweilige Symmetrie eingeschrankte Form der Matrix
W fur ein unter den im folgenden spezizierten Symmetrietransformationen T invariantes Potential V , V (~x0 ) = V (~x). Wiederholen Sie die Analyse fur V (~x0 ) = ?V (~x).
i) Spiegelung an der (z = 0)-Ebene, d.h. (x0; y0; z0) = (x; y; ?z). (0.5 Punkte)
ii) Inversion am Ursprung, d.h. ~x0 = ?~x.
(0.5 Punkte)
b) Die z-Achse sei eine n-zahlige Symmetrieachse des Potentials V , d.h. die Menge
der Symmetrietransformationen fT g, die V invariant lat, wird durch eine Drehung
um die z-Achse mit Winkel 2=n erzeugt. Dabei sei n 2 Z und n 2. Bestimmen Sie
wieder die durch die jeweilige Symmetrie eingeschrankte Form von W ! Anschlieend
gebe man in Abhangigkeit der jeweils verbliebenden Parameter Wij fur den Fall n >
2 die allgemeinste orthogonale Transformation an, die V invariant lat. (3 Punkte)
i j
4 Punkte
Aufgabe 16
Erhaltungssatze
Eine als punktformig idealisierte Masse m ist mit einem Faden verbunden, der durch
ein kleines Loch in einem Tisch gefuhrt wird und an dessen anderem Ende eine zweite
Masse M hangt (siehe Abb. B). Den Tisch stelle man sich als unendlich ausgedehnte horizontale Ebene vor, und man vernachlassige samtliche Reibungseekte. Zur
Zeit t = 0 bende sich m im Abstand R vom Loch und habe eine rein tangential gerichtete Geschwindigkeit vom Betrag v0 > 0 (M ruht dementsprechend bei
t = 0). Bestimmen Sie den im Lauf der Zeit erreichbaren Minimal- und Maximalabstand vom Loch in Abhangigkeit der Massen und Anfangsdaten. Unter welchen
Bedingungen erfolgt die Bewegung auf einer Kreisbahn um das Loch? 3 Punkte