Anhang A Aufgabensammlung

Anhang A
Aufgabensammlung
A.1
Grundlagen und intitutioneller Rahmen
Aufgabe 1: Die Konsum Euler Gleichung
Ein Haushalt habe in jeder Periode t eine Nutzenfunktion ut (:) nur abhängig
vom gegenwärtigen Konsum Ct
Ut = Et
1
X
s=0
1
s
1
1
Ct+s
Sein Einkommen besteht aus dem Output Yt und einer Anleihe Bt , die in der
Vorperiode zum Preis 1+iBtt 1 erworben wurde, wobei it 1 der Nominalzins ist. Seine
Ausgaben sind gegenwärtiger Konsum Ct , sowie neue Anleihen.
1. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Nutzenfunktion!
2. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts aus!
3. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf, die zur Maximierung des erwarteten
Lebensnutzens notwendig ist. Dabei soll zukünftiger Nutzen pro Periode mit
dem Faktor 0 < < 1 diskontiert werden.
4. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für das Optimierungsproblem.
5. Wie lautet die Konsum-Euler-Gleichung in diesem Modell?
6. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Konsum Euler Gleichung!
111
112
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 2: Di¤erenzgleichungen
Ricardianische Äquivalenz besagt, dass Konsumenten zukunftsorientiert planen
und daher wissen, dass eine Erhöhung der Staatsverschuldung in der Gegenwart
stets mit einer Steuererhöhung in der Zukunft verbunden ist um die Staatsschuld
zurückzuzahlen. Veränderung von Steuersatz und Staatsverschuldung sind äquivalent.
Betrachten auß
erdem Sie die folgende Budgetbedingung des Staates
Gt + (1 + rt )Dt = Tt +
t Yt
+ Dt+1
In jeder Periode kauft der Staat Güter und Dienstleistungen Gt und zahlt (1+rt )Dt
an Zinsen auf ausstehende Staatsschuld. Die Regierung …nanziert diese Ausgaben
durch eine pro Kopf-Steuer Tt , Einkommensteuern 0 < t < 1 und Aufnahme
neuer Kredite Dt+1 .
Betrachten Sie die folgende Budgetbedingung eines repräsentativen Agenten
Ct + Dt+1 = (1 + rt )Dt + (1
t 1 )Yt
Tt
Das Einkommen des Agenten besteht aus dem Output Yt und Bonds Dt . rt ist der
reale Zinssatz. Der Agent verwendet sein Einkommen für gegenwärtiger Konsum
Ct und Ersparnis Dt+1 . Nehmen Sie an, dass rt = r und t = 0.
1. Leiten Sie die intertemporale Budgetgleichung des Staates her!
2. Leiten Sie die intertemporale Budgetgleichung des Agenten her!
3. Unter welcher Annahme gilt die Ricardianische Äquivalenz?
A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN
113
Aufgabe 3:
Nehmen Sie an, dass ein risikoaverser Investor ein Portfolio aus (riskanten) nominalen und realen Bonds hält. Die In‡ationsrate sei Normalverteilt. Der Investor
sei durch die folgende Nutzenfunktion charakterisiert
u(c) =
1
exp(
c)
1. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Nutzenfunktion!
2. Bestimmen Sie den Anteil riskanter 0 <
im optimalen Portfolio.
< 1 und risikofreier Wertpapiere
3. Nehmen Sie an das = 0; 05, 2 = 0; 64 und = 0; 97. Bestimmen Sie die
Risikoprämie auf riskante Wertpapiere und interpretieren Sie das Ergebnis!
Aufgabe 4: Lineare Algebra - der OLS Schätzer
Betrachten Sie das folgende Regressionsmodell
2 3 2
y1
1
6 : 7 6:
6 7 6
6 : 7 = 6:
6 7 6
4 : 5 4:
yt
1
x12
:
:
:
xt2
32 3 2 3
x1k
1
1
6 : 7 6:7
: 7
76 7 6 7
6 7 6 7
: 7
76 : 7 + 6 : 7
5
: 4 : 5 4:5
xtk
t
k
Unter welchen Annahmen ist der OLS-Schätzer BLUE? Leiten Sie den OLSSchätzer für k = 2 in Summen- und Matrixschreibweise her. Warum ist bei mehr
als zwei erklärenden Variablen die Matrixschreibweise sinnvoller?
114
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 5: Intertemporale Optimierung; 2 Perioden
Ein Haushalt gewinnt ausschliesslich durch Konsum Nutzen, U (ct ) = ln Ct .
Nehmen Sie an, der Haushalt lebt zwei Perioden und disktontiert zukünftigen
Nutzen mit der Rate .
Der Haushalt erhält in beiden Perioden ein Einkommen von Yt . Zudem kann er in
der ersten Periode sparen um in der zweiten Periode ein zusätzliches Einkommen
von (1 + r1 )B1 zu erhalten.
1. Stellen Sie die Nutzenfunktion des Haushalt über zwei Perioden dar
2. Stellen Sie die Budgetbeschränkung des Haushalts dar
3. Stellen Sie die Lagrangefunktion des Haushalt auf und bestimmen Sie die
optimale Verwendung des Konsums in beiden Perioden.
Aufgabe 6: Intertemporale Optimierung; unendlicher Horizont
Nehmen Sie an, der Haushalt aus Aufgabe 2, lebt nun unedlich lange.
1. Stellen Sie die Nutzenfunktion des Haushalt über den unendlichen Zeitraum
dar
2. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalt dar. Nehmen Sie dabei an,
dass der Haushalt bereits Einkommen aus Bonds in Höhe von (1 + it 1 )Bt 1
geerbt hat.
3. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf und ermitteln Sie die Konsum-Euler
Gleichung
A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN
115
Aufgabe 7: Intertemporale Budgetrestriktion
Betrachten Sie die folgende Budgetbedingung eines repräsentativen Agenten
Bt +
Mt
+ Ct = (1 + rt 1 )Bt
Pt
1
+
Mt 1
+ Yt
Pt
Das Einkommen des Agenten besteht aus seinem Lohn Yt , Anleihen Bt 1 und
nominaler Geldhaltung Mt 1 aus der Vorperiode. Der Agent verwendet sein Einkommen für Konsum Ct , Kauf neuer Anleihen Bt und nominale Geldhaltung Mt .
1. Schreiben Sie die Budgetrestriktion für zwei Perioden fort und setzten Sie
diese rekursiv ein. Zeigen Sie, dass sich damit folgende intertemporale Budgetbedingung ergibt:
1
X
s=t
1
1+r
s t
is Ms
Cs +
= (1 + r)Bt
1 + i s Ps
1
Mt 1 X
+
1+
Pt
s=t
1
1+r
s t
Ys
Hinweis: Verwenden Sie die Fisher-Gleichung wie folgt:
it
=1
1 + it
Pt
Pt+1 (1 + rt )
Aufgabe 8: Di¤erenzengleichung erster Ordnung
Betrachten Sie folgende Di¤erenzengleichung erster Ordnung:
xt+1 = axt + bt
für t = 0; 1; : : : ; T
Wobei a eine beliebige Konstante ist und x0 bekannt ist.
1. Ermitteln Sie durch Vorwährtsiteration den Wert für xT .
2. Nehmen Sie nun an, dass bt = b 8t = 0; 1; : : : ; T gilt. Welche Annahmen
müssen über a getro¤en werden, damit die Folge xt ; xt+1 ; xt+2 ; : : : ; xT konvergiert?
116
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 9: Zeitinvarianz des Fisher-Indexes
Zeigen Sie anhand des folgenden Beispiels, dass der Fisher-Preisindex zeitinvariant ist, der Laspeyers und der Paasche Preisindex jedoch nicht! Was versteht
man unter der Zeitinvarianz und Faktorinvarianz von Preisindizes?
Preis
t
t+1
Gut 1 14 22
Gut 2 12 18
Gut 3 8 11
Menge
t
t+1
40 60
25 35
60 55
Aufgabe 10: Intertemporale Optimierung; unendlicher Horizont
Ein Haushalt erlangt nun auch durch Geldhaltung Nutzen, damit hat er folgende Nutzenfunktion:
1
Mt
) = ln Ct +
U (Ct ;
Pt
1
Mt
Pt
1
Ct ist der Konsum, Mt die nominale Geldmenge, Pt das Preisniveau, > 0 ein
positiver Parameter und 0 < < 1 der Diskontfaktor.
Das Einkommen des Agenten besteht aus seinem Lohn Yt , Anleihen Bt 1 und
nominaler Geldhaltung Mt 1 aus der Vorperiode. Der Agent verwendet sein Einkommen für Konsum Ct , dem Kauf neuer Anleihen Bt und nominaler Geldhaltung
Mt .
1. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts auf
2. Welche intertemporale und welche intratemporale Entscheidung muss der
Haushalt tre¤en um seinen Nutzen zu maximieren?
3. Ermitteln Sie die Bedingungen erster Ordnung und interpretieren Sie diese
A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN
117
Aufgabe 11:
Ein repräsentativer Haushalt habe in jeder Periode t eine Nutzenfunktion ut (:)
nur abhängig vom gegenwärtigen Konsum Ct
Ut (j) = Et
1
X
s t
ln Cs
s=t
Sein Einkommen besteht aus dem Output Yt und einer Anleihe Bt , die in der
Vorperiode zum Preis 1+iBtt 1 erworben wurde, wobei it 1 der Nominalzins ist. Seine
Ausgaben sind gegenwärtiger Konsum Ct , sowie neue Anleihen.
1. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf, die zur Maximierung des erwarteten
Lebensnutzens notwendig ist. Dabei soll zukünftiger Nutzen pro Periode mit
dem Faktor 0 < < 1 diskontiert werden.
2. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für das Optimierungsproblem.
3. Wie lautet die Konsum-Euler-Gleichung in diesem Modell?
Aufgabe 12:
Ein Haushalt habe folgende Nutzenfunktion für die Güter c1;2
u (c1 ; c2 ) = c1 1 c2 2 :
Die Güterpreise seien p1;2 : Der Haushalt konsumiert ein gegebenes Einkommen y.
Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.
Aufgabe 13:
Ein Haushalt habe folgende Perioden-Nutzenfunktion
u (ct ) =
1 1+
c :
1+ t
Der Haushalt lebt 2 Perioden und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen.
Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate ab. Er erhält nur in
der ersten Periode ein Einkommen y.
Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.
118
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 14:
Ein Haushalt lebe 2 Perioden und habe in jeder Periode folgende Nutzenfunktion für die Güter c1;2
u (c1t ; c2t ) = log c1t c2t :
Die Güterpreise seien in beiden Perioden p1;2 : Der Haushalt erhält in der ersten
Periode ein von y und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der
Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate ab.
(a) Bestimmen Sie zunächst die Nachfrage des Haushalts und die indirekte
Nutzenfunktion für die zweite Periode unter der Annahme, dass der Haushalt ein
Perioden-Konsumbudget C2 konsumiert.
(b) Nutzen Sie das Ergebnis aus (a) um die Aufteilung des Einkommens auf
beide Perioden zu bestimmen. Schreiben Sie dazu zunächst das Problem rekursiv
in der Form
V1 (Y1 ) =
max
p1 c11 +p2 c21 Y1
V2 (Y2 ) =
max
p1 c12 +p2 c22 Y2
Y2
1+r
u (c11 ; c21 ) + V2 (Y2 )
u (c11 ; c21 )
(c) Zeigen Sie, dass das Ergebnis aus (b) identisch ist mit der direkten Maximierung von
maxp
s:t: p1 c11 +p2 c21 +
1 c12 +p2 c22
1+r
U (c11 ; : : : ; c22 ) = log c11 c21 + log c12 c22 :
y
A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN
119
Aufgabe 15:
Ein Haushalt habe folgende instantane Nutzenfunktion
u(ct ) = log ct
Einzige Einkommesquelle des Haushalts ist sein Kapitaleinkommen, das Güter mit
folgender Produktionsfunktion produziert:
f (kt ) = kta
0<a<1
Die Bellmangleichung ist
V (kt ) = max [log ct + V (kt+1 )]
s:t:kta
fct ;kt+1 g
= ct + kt+1
Nehmen Sie an, dass
V (kt ) =
d+
a
1
a
log kt :
(Verm.)
(a) Bestimmen Sie die optimale Spar-Konsumentscheidung des Haushalts unter
Annahme (V erm:) :
(b) Bestimmen Sie d; so dass die Bellmann Gleichung unter der Vermutung
gilt.
Aufgabe 16:
Ein Haushalt habe folgende Nutzenfunktion für die Güter c1;2
u (c1 ; c2 ) = c1 1 c2 2 :
Die Güterpreise seien p1;2 : Der Haushalt konsumiert ein gegebenes Einkommen y.
Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.
Aufgabe 17:
Ein Haushalt habe folgende Perioden-Nutzenfunktion
u (ct ) =
1 1+
c :
1+ t
Der Haushalt lebt 2 Perioden und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen.
Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate ab. Er erhält nur in
der ersten Periode ein Einkommen y.
Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.
120
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 18:
Ein Haushalt lebe 2 Perioden und habe in jeder Periode folgende Nutzenfunktion für die Güter c1;2
u (c1t ; c2t ) = log c1t c2t :
Die Güterpreise seien in beiden Perioden p1;2 : Der Haushalt erhält in der ersten
Periode ein von y und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der
Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate ab.
(a) Bestimmen Sie zunächst die Nachfrage des Haushalts und die indirekte
Nutzenfunktion für die zweite Periode unter der Annahme, dass der Haushalt ein
Perioden-Konsumbudget C2 konsumiert.
(b) Nutzen Sie das Ergebnis aus (a) um die Aufteilung des Einkommens auf
beide Perioden zu bestimmen. Schreiben Sie dazu zunächst das Problem rekursiv
in der Form
V1 (Y1 ) =
max
p1 c11 +p2 c21 Y1
V2 (Y2 ) =
max
p1 c12 +p2 c22 Y2
Y2
1+r
u (c11 ; c21 ) + V2 (Y2 )
u (c11 ; c21 )
(c) Zeigen Sie, dass das Ergebnis aus (b) identisch ist mit der direkten Maximierung von
maxp
s:t: p1 c11 +p2 c21 +
1 c12 +p2 c22
1+r
U (c11 ; : : : ; c22 ) = log c11 c21 + log c12 c22 :
y
A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN
121
Aufgabe 19:
Ein Haushalt habe folgende instantane Nutzenfunktion
u(ct ) = log ct
Einzige Einkommesquelle des Haushalts ist sein Kapitaleinkommen, das Güter mit
folgender Produktionsfunktion produziert:
f (kt ) = kta
0<a<1
Die Bellmangleichung ist
V (kt ) = max [log ct + V (kt+1 )]
s:t:kta
fct ;kt+1 g
= ct + kt+1
Nehmen Sie an, dass
V (kt ) =
d+
a
1
a
log kt :
(Verm.)
(a) Bestimmen Sie die optimale Spar-Konsumentscheidung des Haushalts unter
Annahme (V erm:) :
(b) Bestimmen Sie d; so dass die Bellmann Gleichung unter der Vermutung
gilt.
122
A.2
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Der Geldmarkt
Aufgabe 1: Friedman’s k Prozentregel
Gegeben sei das folgende loglineare Modell
ytA = y + (
t
ytN = (it
Et
t)
1 t)
+ at
+ nt
it = y + mt
wobei die Parameter ; > 0, die In‡ationsrtate, y der Output, m die Geldmenge, at , N (0; 2a ) ein Produktivitätsschock und nt , N (0; 2n ) ein Nachfrageschock ist.
Die Produktivitäts- und Nachfrageschocks seien voeinander unabhängig.
1. Nehmen Sie an die Zentralbank folge der Friedman regel mt = k. In jeder
Periode wächst die Geldmenge mit der konstanten Rate k.
Leiten Sie die In‡ationsrate, die erwartete In‡ationsrate, die Lösung für den
Output, sowie die Varianz der in‡ationsrate und des Outputwachstums her!
2. Nehmen Sie nun an, das die Geldnachfrage nicht stabil ist. Daraus folgt für
die Änderung der Geldmenge mt = k + t . Wobei t , N (0; 2 ) ein Geldnachfrageschock ist.
Leiten Sie die In‡ationsrate, die erwartete In‡ationsrate, Die Lösung für den
Output, sowie die Varianz der In‡ationsrate und des Outputwachstums her!
Was bedeutet dies für die Varianz von In‡ationsrate und Outputwachstum?
3. Wie bewerten sie die Ergebnisse im Hinblick auf die Anwendung von Friedman’s k Prozentregel in der Praxis? Was könnte für eine solche Regel sprechen?
4. Was könnten die Gründe dafür sein, dass praktisch keine Zentralbank jemals
einer solchen Regel gefolgt ist?
A.2. DER GELDMARKT
123
Aufgabe 2: Fiskalische Dominanz
Gegeben die reale Budgetrestriktion des Staates
^ t + (1 + r)B
^t
G
1
^t
= T^t + S^t + B
unter der Annahme das Haushalte nur bereit sind Staatschuld zu kaufen, wenn
diese in der Zukunft beglichen wird.
1. Erläutern Sie den Begri¤ der …skalischen Dominanz!
2. Für wie realistisch halten Sie dieses Konzept?
Aufgabe 3:
Nehmen Sie an, die Geldnachfragefunktion sei gegeben durch
MtD = ae
bit
mit a; b > 0 als positiven Parametern. Nehmen Sie an, die Ökonomie befände sich
permanent im Steady State. Die Geldmengenwachstumsrate ist und es gilt eine
1+i
, wobei der Realzins r eine exogene Konstante ist.
Fisher-Beziehung 1 + r = 1+
1. Schreiben Sie die Seignorage als Funktion der In‡ationsrate
2. Unterstellen Sie positive In‡ationsraten . Zeigen Sie, dass Seignorage bei
geringem mit wächst, bei groß
em dagegen abnimmt, wenn weiter
ansteigt.
Interpretation?
3. Nehmen Sie an, der Realzins sei r = 0:02 und die Zinselastizität der Geldnachfrage bei einer In‡ationsrate von zehn Prozent sei 0:061. Wie groß
ist der Parameter b? Unterstellen Sie weiterhin positive In‡ationsraten .
Welche In‡ationsrate maximiert die Seignorage?
124
A.3
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Modelle der Geldtheorie ohne Mikrofundierung
Aufgabe 1: Instrumente der Geldpolitik/Poole’s Analyse
Nehmen Sie an die Geldpolitik minimiere Abweichungen des Outputs von seinem Trend
Vt = Et [yt
y]2
Die Ökonomie sei durch das folgende IS-LM Modell charakterisiert:
yt =
mt = yt
it + ut
it + t
Es seien ; > 0 die Parameter, i der Zinssatz, y der Output, m die Geldmenge
und u N (0; u ),
N (0; ) zwei unabhängige normalverteilte Störterme.
1. Bestimmen Sie den erwarteten Output und die Outputvarianz für den Fall,
dass die Zentralbank den Zinssatz bzw. die Geldmenge als Instrument wählt!
2. Vergleichen Sie die Ergebnisse miteinander!
A.3. MODELLE DER GELDTHEORIE OHNE MIKROFUNDIERUNG
125
Aufgabe 2: Zeitkonsistenzproblem, Barro und Gordon (1983)
Nehmen Sie an die Zentralbank habe die folgende loglineare Verlustfunktion
L=
1
X
t=0
mit
> 0; 0 <
h
t yt
2
2
t
i
<1
Es gelte die folgende Lucas-Outputangebotsfunktion:
yt = y + b(
e
t)
t
mit b > 0
Die Agenten bilden Ihre Erwartungen nach folgender Regel:
e
=
^ wenn
b
sonst
a
t
=^
1. Beschreiben Sie das Gleichgewicht in allen zukünftigen Perioden, wenn
^.
t
6=
2. Nehmen Sie an die Zentralbank hat in allen vergangenen Perioden = ^
gesetzt und plant nicht dieses Verhalten in Zukunft zu ändern. Beschreiben
Sie den erwarteten Verlust der Zentralbank.
3. Sofern die Zentralbank in t von ihrem Verhalten abweicht, welche In‡ationsrate wird sie wählen? Beschreiben Sie den erwarteten Verlust der Zentralbank
bei Abweichung!
4. Wann wählt die Zentralbank t = ^ ? Gibt es eine Parameterkonstellation
a; b; unter der die Zentralbank t = ^ wählt, wenn ^ = 0?
126
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 3:
Nehmen Sie an, der reale Output Y sei beein‡usst von einem realen Schock e
(z.B. Technologie, Staatsnachfrage, ...) und (falls 6= 0) eventuell von der
Geldpolitik (repräsentiert durch M)
Yt = Mt + et
und die Geldpolitik passe die nominale Geldmenge M an gemäss einer
Politikregel
Mt = Yt + ut
mit > 0, worin u ein monetärer Schock ist, der durch unvollkommene
Kontrollmöglichkeit des Instruments M durch die Zentralbank ins Spiel kommt.
Die Schocks haben einen Mittelwert von Null (E(et ) = 0; E(ut ) = 0) und sind
voneinander unabhängig (d.h. E(et ut ) = E(et )E(ut )).
1. Ermitteln Sie die Kovarianz zwischen Yt und Mt . (Hinweis: die Kovarianz
zwischen zwei Variablen x1;2 ist cov(x1 ; x2 ) = E(x1 x2 ) E(x1 )E(x2 ), die
Varianz ist var(x) = E(x2 ) [E(x)]2 .)
2. Wie hoch ist die Kovarianz, wenn = 0 ist? Kommentieren Sie: wie informativ ist die Korrelation zwischen Y und M , für die Frage, ob Geldpolitik
den realen Output beein‡usst?
A.3. MODELLE DER GELDTHEORIE OHNE MIKROFUNDIERUNG
127
Aufgabe 4: Barro und Gordon (1983)
Nehmen Sie an die Zentralbank hat die Zielfunktion
LZB
t ( t ) = Et
1
X
qs
s=0
a
2
2
t+s
a
2
2
t
b
+ ( +
2
Et+s
t+s
2
t+s+1 )
die Zielfunktion der Agenten sei
LHH
=
t
c
+ ( +
2
e 2
t)
t
Das Instrument der Zentralbank ist die In‡ationsrate.
1. Interpretieren die Verlustfunktionen! Was miß
t ? Für welche In‡ation wird
die Verlustfunktion der Haushalte minimal?
2. Welche In‡ationsrate
när setzt?
D
folgt, wenn die Zentralbank den Zinssatz diskretio-
3. Nehmen Sie nun an, dass die Zentralbank sich verp‡ichtet in Zukunft der
Regel R = 0 zu folgen.
Die Agenten bilden Ihre Erwartungen nach
e
t
=
(
R
D
wenn
sonst
t 1
=
e
t
Ist die Regel glaubwürdig? Welche In‡ationsrate wird die Zentralbank setzen?
4. Nehmen Sie nun an, die Zentralbank beobachtet Schocks auf den Mark-up
"t , die das Output gap verschieben, so dass nun die Verlustfunktionen die
Form
LZB
t
= Et
1
X
s=0
qs
a
2
2
t+s
b
+ ( +
2
t+s
Et+s
t+s+1
haben. Wie ändert sich die Situation im Vergleich zu 3. ?
+ "t+s )2
128
A.4
A.4.1
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Modelle der Geldtheorie mit Mikrofundierung
Das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell
Aufgabe 1:
Betrachten Sie eine Ökonomie, in der der repräsentative Haushalt
1
X
t
U (Ct ; Lt ; Mt =Pt )
(A.1)
t=0
maximiert; hierin ist Ct der Konsum, Lt die Freizeit (es gilt Lt = 1 Nt mit Nt der
Arbeitszeit), Mt ist die nominale Geldmenge, Pt das Preisniveau, und 0 < < 1
ist der Diskontfaktor. Die Nutzenfunktion u(:) lautet
U (Ct ; Lt ; Mt =Pt ) = log Ct
1+
(1
Lt )1+ +
1
Mt
Pt
1
(A.2)
worin ; ; ; positive Parameter sind. Der Haushalt bezieht Einkommen aus
dem Verkauf von Arbeitszeit zum Reallohn Wt , residualen Unternehmensgewinnen
Dt , Zinseinnahmen mit dem Nominalzins it 1 auf nominale Staatswertapiere Bt 1 ,
und verwendet dies fur den Konsum, die Zahlung von Kopfsteuern t , und die
Investition in Wertpapiere Bt Bt 1 sowie Geld Mt Mt 1 (die Budgetrestriktion
lautet also Pt Ct + Mt + Bt Pt Wt Nt + (1 + it 1 )Bt 1 + Mt 1 Pt t + Pt Dt ).
1. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für die optimalen Nachfragen
nach Konsum, Freizeit, Wertpapieren und Geld.
2. Ermitteln Sie eine logarithmisch lineare Version der Eulergleichung für den
privaten Konsum.
3. Nehmen Sie an, dass die aggregierte Ressourcenrestriktion Yt = Ct + Gt
lautet, wobei Yt der Output und Gt die Staatsausgaben sind, für die Gt = Yt
(mit 0 < < 1) gilt.
Ermitteln Sie eine loglineare Eulergleichung für den Output.
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
129
Aufgabe 2:
Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell.
U (Ct ; Nt ) =
1
X
t
t=0
"
Nt1+'
1+'
Ct1
1
#
Ct ist der Konsum, Nt die Arbeitszeit, 0 < < 1 der Diskontfaktor und ; ' > 0
Parameter.
Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Nominallohn Wt und kann
über den Handel mit zero Bonds sparen. Jeder Schuldtitel Bt kostet (1 + rt ) 1 in
Periode t und zahlt eine Geldeinheit in t + 1 aus. Er verwendet sein Einkommen
für Konsum und Investition in reale Wertpapiere die reale Budgetrestriktion ist
Pt Ct + (1 + rt )
1
Bt
Bt
1
+ Wt Nt
(a.) Leiten Sie die Optimalitätsbedingungen des representativen Haushalts her!
Ein repräsentatives Unternehmen nutze die folgende Produktionstechnologie
Yt = At Nt1
in jeder Periode maximiert das Unternehmen
Pt Yt
Wt Nt
(b.) Bestimmen Sie die Optimalitätsbedingung des Unternehmenssektors!
130
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 3:
Betrachten Sie weiter das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell mit der IS
Kurve
1
yt = Et yt+1
(it
Et
)
t+1
der LM Kurve
mt
pt = yt
it
Es gelte die Fisher Gleichung
rt = it
Et
t+1
und der reale Zinssatz ist bestimmt durch
rt =
+
Et at+1
(a.) Zeigen Sie das die In‡ationsrate eindeutig bestimmt ist, wenn die Geldpolitik
einer Regel
it =
mit
1
+
t
> 1 folgt.
(b.) Diskutieren Sie das Taylor Prinzip!
(c.) Zeigen Sie, dass unter der Annahme at =
i.i.d. ist, die Lösung für die Infaltionsrate
t
(1
=
a at 1
a)
+
a
t,
wobei der Störterm
at
a
ist. Interpretieren Sie dieses Ergebnis!
Nehmen sie nun an, dass die Geldpolitik einen exogenen Pfad fmt g für das
Geldangebot festlegt.
(d.) Zeigen Sie das die Lösung für das Preisniveau
pt =
1
1+
1
X
k=0
k
Et mt+k + t:i:p:
1+
ist. Wobei unter t:i:p: Terme zusammengefasst sind die von der Geldpolitik
nicht beein‡usst werden.
(e.) Bestimmen Sie den aus dieser Politik folgenden Nominalen Zinssatz!
(f.) Nehmen Sie nun an das Geldangebot folge
mt =
m
mt
1
+
m
t
Der Störterm ist i.i.d., wir nehmen an das yt = rt = 0. Bestimmen Sie die
Lösung für das Preisniveau und den nominalen Zinssatz.
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
131
Aufgabe 4: Monopolistische Konkurrenz
Betrachten Sie das Modell monopolistischer Konkurrenz bei Preis‡exibilität
aus der Vorlesung. Das i-te Unternehmen hat die Nachfragefunktion
Yi =
Pi
P
Y
(A.3)
(Yi individueller Output, Y aggregierte Output, Pi individueller Preis, P aggregiertes Preisniveau), seine Produktionsfunktion ist
Yi = Ni
(A.4)
(Ni Arbeitsinput) mit 0 < < 1. alle Unternehmen müssen ihren Beschäftigten
denselben Nominallohn W n zahlen.
1. Finden Sie den gewinnmaximierenden Preis des i-ten Unternehmens.
2. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Lösung existiert?
3. Nehmen Sie
als eins ist.
= 1 an. Zeigen Sie, dass der Reallohn im Gleichgewicht kleiner
132
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 5:
Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Nehmen Sie an die Haushalte haben die Nutzenfunktion
U (ct ; lt ; mt ) =
1
X
s=0
s
"
1+
lt+s
1
+
1+
1
c1t+s
1
m1t+s
#
ct ist der Konsum, lt die Arbeitszeit, mt die reale Kassenhaltung, 0 < < 1 der
Diskontfaktor und ; ; > 0 positive Parameter.
Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Reallohn wt , residualen Unternehmensgewinnen dt , Zinseinnahmen mit dem Realzins rt auf reale Bonds bt 1 . t
ist die In‡ationsrate. Er verwendet sein Einkommen für Konsum, Investition in
Wertpapiere und Realkasse, die Budgetrestriktion ist
ct + bt + mt
wt lt +
mt
1+
1
+ (1 + rt )bt
1
+ dt
t
1. Charakterisieren Sie das Optimierungsproblem des Haushalts.
2. Leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung und die Konsum Euler Gleichung
her!
3. Interpretieren Sie die Konsum Euler Gleichung!
4. Die ZB lässt die Geldmenge mit der Rate wachsen. Finden Sie die Bedingungen, die das Gleichgewicht charakterisieren.
5. Was versteht man unter Superneutralität? Liegt diese hier vor?
Aufgabe 6: Die Preisindexgleichung
Der Preisindex
P =
Z
1
1
1
1
P (i)
di
0
ist de…niert als das zum Kauf einer realen Konsumeinheit erforderliche Mindestbudget. Daraus folgt das Optimierungsproblem
min Z =
C(i)
Z
0
1
P (i)C(i)di
s.t.
C=
Z
1
C(i)
1
1
di
=1
0
wobei Z = P C das nominale Budget des Agenten ist.
Zeigen Sie das der im Skript angegebene Preisindex das angegebene Minimierungsproblem löst!
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
133
Aufgabe 7: Das klassische Modell
Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Die
Haushalte haben die nicht-seperable Nutzenfunktion
U
Mt
; Nt
Ct ;
Pt
=
1
X
s=0
s
2
4
1
1
"
)Ct1
(1
+
Mt
Pt
1
# 11
3
1
1+' 5
N
1+' t
t
die reale Kassenhaltung, 0 < < 1 der
Ct ist der Konsum, Nt die Arbeitszeit, M
Pt
Diskontfaktor und 0 < < 1; ; ; ' > 0 Parameter.
Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Nominallohn Wt , Zinseinnahmen
mit dem Realzins it 1 auf reale Bonds Bt 1 die in der vorangegangenen Periode in
das Portfolio des Agenten genommen wurden. Er verwendet sein Einkommen für
Konsum, Investition in Wertpapiere und Geld, die nominale Budgetrestriktion ist
Pt C t + B t + M t
Mt
1
+ (1 + it
1 )Bt 1
+ Wt Nt
1. Leiten Sie die Optimalitätsbedingungen des representativen Haushalts her!
2. Nehmen Sie an es gibt einen Unternehmenssektor. Die Unternehmen haben
Zugang zu einer linearen Produktionstechnologie Yt = Nt und die Geldpolitik beschränkt sich darauf die nominale Geldmenge mit einer konstanten
Rate 0 < < 1 wachsen zu lassen.
Leiten Sie den steady state der Ökonomie her unter der Annahme vollkommenen Wettbewerbs her!
3. Diskutieren Sie die E¤ekte einer Änderung von
Output!
auf die In‡ationsrate und
4. Ist Geldpolitik unter den gemachten Annahmen Superneutral?
134
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 8: Ein Cash-in-advance Modell
Nehmen Sie an, der repräsentative Haushalt maximiere
1
X
s
ln Ct +
s=0
1+
Nt1+
mit ; > 0, und habe die Budgetrestriktion
~t + B
~ t = W t Nt +
Ct + M
1
1+
~t
M
1
t
+
1 + It 1 ~
Bt
1+ t
1
+ Tt + Dt
Es existiert eine cash-in-advance constraint der Form
Pt C t
Mt
d.h. Haushalte müssen Geld haben, wenn sie konsumieren wollen (Konsumgüter
werden nicht auf Kredit gehandelt).
1. Erläutern Sie inhaltlich, unter welcher Bedingung wird die Cash-in-advance
constraint mit Gleichheit gelten?
2. Finden Sie die Optimalitätsbedingungen des Haushalts unter der Annahme,
das die Cash-in-advance constraint mit Gleichheit erfüllt ist.
3. Nehmen Sie an, dass der Unternehmenssektor durch die Produktionsfunktion
Yt = Nt beschrieben ist, so dass der Reallohn wt = 1 und die Ressourcenrestriktion Yt = Nt = Ct lautet. Die Zentralbank lässt die nominale Geldmenge
mit der Rate wachsen.
Finden Sie die Bedingungen, die den Steady State charakterisieren.
4. Gilt Superneutralität? Kommentieren Sie Ihr Ergebnis.
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
A.4.2
135
Ein einfaches neu-keynesianisches Gleichgewichtsmodell
Aufgabe 1: Das Calvo Model für verzögerte Preisanpassung
Betrachten Sie das Calvo Modell für verzögerte Preisanpassung. Wir nehmen an,
dass ein Unternehmen in jeder Periode mit der Wahrscheinlichkeit 0 < < 1 die
Möglichkeit hat seinen Preis anzupassen. Firmen stehen in monopolistischer
Konkurrenz und setzen ihre Preise vorausschauend.
(a.) Erläutern Sie kurz das Optimierungsproblem eines Unternehmens!
(b.) Erläutern Sie den Unterschied zwischen dem ex ante erwarteten und den ex
post realisierten Preisaufschlag!
(c.) Wie kann die Geldpolitik in diesem Modellrahmen die reale Ökonomie beein‡ussen?
(d.) Zeigen Sie das eine Erhöhung des Outputs eine Erhöhung der In‡ationsrate
zur Folge hat!
Aufgabe 2: Das neu-keynesianische Modell
Betrachte Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung.
(a.) Diskutieren Sie wie zu welchen Verzerrungen die Annahmen monopolistischen Wettbewerbs und verzögerter Preisanpassung verursachen. Unter welcher Annahme kann die Wirtschaftspolitik die e¢ ziente Gleichgewichtsallokation wiederherstellen?
(b.) Zeigen Sie anhand der neu-keynesianischen IS-Kurve das die Stabilisierung
von Output und In‡ationsrate nicht im Widerspruch zueinander stehen!
136
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 3:Das neu-keynesianische Modell
Betrachten Sie die neu-keynesianische IS Kurve
xt =
(it
Et
t+1 )
+ Et xt+1 + gt
wobei xt die Outputgap ist, und die neu-keynesianische Phillipskurve
t
= xt + Et
t+1
+ ut
gt ; ut sind AR(1) Schocks mit gt = g gt 1 + g;t und ut = u ut 1 + u;t wobei
0 < g ; u < 1 und g;t ; u;t i.i.d. mit Mittelwert Null und konstanter Varianz.
Das Ziel der Geldpolitik ist die Minimierung des Wohlfahrtsverlusts, gegeben
durch
#
"
1
X
min Et
i
x2t+i +
2
t
i=0
(a.) Interpretieren Sie die IS Kurve und die neu-keynesianische Phillipskurve.
(b.) Diskutieren Sie das Ziel der Geldpolitik. Wodurch unterscheidet sich das
Wohlfahrtskriterium im neu-keynesianischen Modell von der Verlustfunktion
wie sie ad hoc Modellen unterstellt wurden, gibt es Unterschiede zum BarroGordon Modell?
(c.) Leiten Sie die optimale diskretionäre Geldpolitik her und zeigen Sie das es
einen trade-o¤ zwischen In‡ations- und Outputvarianz gibt!
(d.) Wie reagiert die Geldpolitik auf Veränderungen der erwarteten In‡ationsrate?
Aufgabe 4: Das neu-Keynesianische Modell
Betrachten Sie folgendes Modell
xt = Et xt+1
t
1
(it
= Et
rtn =
t+1
Et
t+1
rtn )
+ xt
+ et
Die Zentralbank folgt einer Regel it = + t +dt worin die exogenen Schocks dt ; et
nicht autokorrelierte und voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit Mittelwert
0 und konstanter Varianz sind; es gilt also Et dt+1 = Et et+1 = 0.
Ermitteln Sie die Wirkung eines einmaligen unvorhergesehenen Schocks dt ; et auf
die In‡ationsrate und die Outputgap. Diskutieren Sie die Wahl des Parameters !
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
137
Aufgabe 5: Das neu-Keynesianische Modell
Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung. Die
neu-keynesianische Phillipskurve ergibt sich als
t
= Et
t+1
+ y^t + ct :
Hierin ist t die In‡ationsrate, y^t das wohlfahrtsrelevante “Output Gap”, also der
Unterschied von tatsächlichem und erst-bestem Output, und ct ein exogener
Kostenschock zum Zeitpunkt t. Dabei sind fct g1
t=0 unabhängig und identisch
2
2
verteilt mit Et ct+s = > 0; Et (ct+s
) = c für alle s > 0 und Et ct = ct .
Nehmen Sie an, die Zentralbank beein‡uß
t die gesamtwirtschaftliche Aktivität
indem sie direkt die In‡ationsrate setzt. Finden Sie die optimale diskretionäre
Politik (in Abhängigkeit von Et t+1 und ct ) für eine Zentralbank die versucht die
Verlustfunktion 21 ( y^t2 + 2t ) zu minimieren.
a) Bestimmen Sie die erwartete In‡ation t indem Sie die sich ergebende Di¤erenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen lösen. Lösen Sie dann für y^t . (Hinweis: es ist hilfreich, die Schocks als Abweichungen von ihrem Erwartungswert
zu schreiben: ct+s = ct+s Et ct+s + ):
Nehmen Sie nun an, die optimale Zentralbankpolitik führe zu
t
=
y^t =
1+
1+
(1
1
(1
)
+
1+
1
+
)
1+
(ct
)
(ct
)
b) Interpretieren Sie die Annahme Et ct+s = > 0, indem Sie (für = 0) eine
Situation mit dauerhafter Null-In‡ation betrachten. Was gilt dann für das
erwartete wohlfahrtsrelevante Output-gap E0 y^t ? Wann bzw. wodurch kann
es im neukeynesianischen Modell zu > 0 kommen?
c) Erläutern Sie die Rolle des Parameters . Vor welcher Schwierigkeit steht
die Regierung in der Wahl des Zentralbankers (charakterisiert durch )?
Argumentieren Sie der Einfachheit halber für = 1 und nehmen Sie an, die
gesamtwirtschaftliche Verlustfunktion sei gegeben durch
E
^t2
0y
+
2
t
:
Inwiefern unterscheidet sich die Situation von der Behandlung des Zeitinkonsistenzproblem in der Vorlesung?
138
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 6:
Betrachten Sie das neukeynesianische Modell in der Notation der Vorlesung:
y^t = Et yt+1
^
t
mit
(it
= Et
Et
t+1
rt )
t+1
+ y^t
> 0.
1. Erläutern Sie inhaltlich den Zusammenhang zwischen Realzins und output
gap in der IS Gleichung
2. Erläutern Sie inhaltlich den Zusammenhang zwischen In‡ation und output
gap in der neu-keynesianischen Phillipskurve. Was bestimmt die Höhe des
Parameters ?
3. Erläutern Sie inhaltlich die Wirkung einer Senkung des (hier als exogen unterstellten) Nominalzinses durch die Zentralbank.
Aufgabe 7: Die Nachfragegleichung
Im neu-keynesianischen Modell (ohne Staat) ist die Nachfrage nach den Produkten von Firma i gegeben durch
P (i)
P
C(i) =
Ct
Die Nachfrage folgt aus dem maximierenden Verhalten der Agenten. Diese maximieren Ihren Konsum gegeben ihr individuelles nominales Budget Z = P C. Zeigen
sie, dass die angegebene Nachfragegleichung das Optimierungsproblem
max C =
C(i)
Z
0
1
C(i)
1
1
di
s.t.
Z
löst und Interpretieren Sie die Nachfragegleichung!
0
1
P (i)C(i)di = Z
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
139
Aufgabe 8:
Betrachten Sie das folgende neu-keynesianische Modell dessen Gleichgewicht
durch die folgende neu-keynesianische Phillipskurve
t
= Et
t+1
+ y^t +
t
und die dynamische IS Kurve
y^t = Et y^t+1
rtn )
(rt
charakterisiert ist. Dabei ist t die In‡ation, rt der reale Zinssatz (Tipp: Fisher
Gleichung!), rtn der natürliche reale Zinssatz, t ein exogener Kostenschock und y^t
die outputgap.
Nehmen Sie an, die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der Taylor-Regel
it =
mit dem Kontrollfehler
t
+
t
t.
1. Sei
= 1 und zt = (^
yt ; t )T . Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine
Di¤erenzgleichung der Form
zt = AEt zt+1 + B
rtn
t
t
darstellen lässt und bestimmen Sie die Konstanten!
2. Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, Kostenschock und natürlicher Realzins
n
= Et t+s = Et t+1 = 0 für s 1.
i.i.d. sind und dass Et rt+s
Lösen Sie die Di¤erenzgleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form
y^t
t
=
1
1+
t
t
rtn
rtn +
t
t
hat.
3. Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von
stellt?
ge-
140
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 9: Quadratische Preisanpassungskosten, Rotemberg (1982)
Betrachten Sie ein Zwei-Perioden-Modell (Perioden t und t + 1, alle Variablen
in Logarithmen) in dem die Firmen quadratischen Preisanpassungskosten haben.
Sie minimieren also ihre Verlustfunktion
1X
2 j=0
1
L=
j
(pt+j
pt+j )2 +
1
(pt+j
pt+j 1 )2
wobei p der optimale Preis in Abwesenheit nominaler Friktionen sei und
0 ein Parameter ist, der die Höhe der Preisänderungskosten angibt.
1
>
1. Wie lautet die Bedingung erster Ordnung für die Wahl des Preises pt ?
2. Angenommen, der gewünschte relative Preis eines Unternehmens steige in der
Outputmenge yt , pt pt = kyt mit k > 0. Verwenden Sie diese Information
(und t = pt pt 1 ) um eine Philipskurve herzuleiten.
3. Erläutern Sie die Rolle des Parameters
1
in der Phillipskurve.
4. Diskutieren Sie die Nachteile und Vorteile dieses Preissetzungsmodells relativ
zu dem von Calvo (1983).
A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG
141
Aufgabe 10:
Betrachten Sie folgendes Modell (xt output gap,
zins [letzterer ist das Instrument der Zentralbank]):
t
= Et
t+1
ut = unt
+ xt + ut
1
+
t
In‡ationsrate, it Nominal(A.1)
(A.2)
t
mit > 0, worin t ein Kostenschock ist (mit 0 < < 1 und et einer nicht autokorrelierten Zufallsvariablen mit Mittelwert nullPund konstanter Varianz, so dass
Et et+1 = 0 gilt). Die Zentralbank minimiert Et 1
i=0 Lt+i , worin die Verlustfunktion
Lt =
1
2
2
t
+
x (xt
z)2
(A.3)
mit x > 0 lautet. Hierin ist z der konstante Zielwert der Zentralbank für das
Outputgap.
1. Ermitteln Sie die Bedingungen erster Ordnung für die optimale diskretionäre
Politik und stellen Sie das Resultat als eine Beziehung zwischen In‡ation und
Outputgap dar.
2. Unterstellen Sie, dass die Lösung für die In‡ationsrate die Form t = c + but
haben wird und bestimmen Sie die unbekannten Koe¢ zienten c und b.
3. Zeigen Sie: wenn z > 0 ist, wird die In‡ation bei Abwesenheit von Schocks
(d.h. in allen Perioden, in denen ut = 0 gilt) positiv sein, das Outputgap
hingegen nicht.
4. Geben Sie in einem Satz eine inhaltliche Begründung für das Ergebnis unter
3.
142
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 11:
Betrachten Sie das folgende neu-keynesianische Modell dessen Gleichgewicht
durch die folgende neu-keynesianische Phillipskurve
t
= Et
t+1
+ y^t +
t
und die dynamische IS Kurve
y^t = Et y^t+1
rtn )
(rt
charakterisiert ist. Dabei ist t die In‡ation, rt der reale Zinssatz (Tipp: Fisher
Gleichung!), rtn der natürliche reale Zinssatz, t ein exogener Kostenschock und y^t
die outputgap.
Nehmen Sie an, die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der Taylor-Regel
it =
mit dem Kontrollfehler
t
+
t
t.
1. Sei
= 1 und zt = (^
yt ; t )T . Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine
Di¤erenzgleichung der Form
zt = AEt zt+1 + B
rtn
t
t
darstellen lässt und bestimmen Sie die Konstanten!
2. Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, Kostenschock und natürlicher Realzins
n
= Et t+s = Et t+1 = 0 für s 1.
i.i.d. sind und dass Et rt+s
Lösen Sie die Di¤erenzgleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form
y^t
t
=
1
1+
t
t
rtn
rtn +
t
t
hat.
3. Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von
stellt?
ge-
A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN
A.5
143
Sammlung alter Klausuraufgaben
Diese Aufgabensammlung enthält Aufgaben aus den Klausuren und
Übungsklausuren der vergangenen zwei Jahre. Die Punktangaben dienen jeweils
zur Orientierung wieviel Zeit für die Aufgaben in der Klausur vorgesehen ist. Die
Klausur dauert 60 Minuten, ein Punkt entspricht jeweils einer Minute.
Aufgabe 1 Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion
Ct1
U (Ct ; Nt ; Mt =Pt ) =
1
Nt1+
(Mt =Pt )1
+
1+
1
:
und erzielt Einkommen aus Arbeit, Nt und einer staatlichen Transferzahlung
t : (Ct ist Konsum, Mt =Pt die reale Geldmenge)
a) (12 Punkte) Leiten Sie die Geld–Nachfragegleichung her und interpretieren
Sie diese!
b) (8 Punkte) Angenommen der Staat kann die staatliche Transferzahlung t
durch Schulden Bt , durch eine Konsumsteuer Tc;t = tct Ct oder durch die
Begebung von Geld …nanzieren. Stellen Sie die kurzfristige (reale) Budgetgleichung des Staates auf und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begri¤
Seignorage versteht.
Betrachten Sie den steady state, in dem Ct = C;
Tc;t = T :
Mt
Pt
= m;
t
= ; it = { und
c) (8 Punkte) Leiten Sie die langfristige Budgetgleichung des Staates her und
zeigen Sie den Zusammenhang zwischen primärem Budgetde…zit T
und In‡ation auf!
d) (8 Punkte) Was sagt die Friedman Regel und warum gilt sie hier nicht unbedingt?
144
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 2 (10 Punkte) Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell. Der Haushalt
habe eine Nutzenfunktion der Form
U (Ct ; Nt ;
C1
Mt
)= t
Pt
1
L1+'
t
+
1+' 1
Mt
Pt
1
wobei ; '; ; > 0 positive Parameter sind. Der Haushalt plant über einen
unendlich langen Zeitraum, zukünftiger Nutzen wird mit dem Faktor 0 <
< 1 diskontiert.
Ct +
Mt
+ Bt = (1 + rt
Pt
1 )Bt 1
+ Wt Lt +
Mt 1
+ Dt
Pt
Mt
Pt
ist die reale Geldhaltung, Lt das Arbeitsangebot des Haushalts und Ct
sein Konsum.
Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit Wt Lt , residualen Unternehmensgewinnen Dt und Zinseinnahmen rt 1 auf reale Bonds Bt 1 , die er in
der vorangegangenen Periode erworben hat. Zu Beginn jeder Periode verfügt
er zudem über nominale Kasse aus der Vorperiode, Mt 1 .
Der Haushalt kann daher durch Kassenhaltung oder den Handel mit Bonds
sparen bzw. sich verschulden.
a) Leiten Sie die Konsum Euler Gleichung her und interpretieren Sie diese!
A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN
145
Aufgabe 3 (34 Punkte) Betrachten Sie folgende neu-keynesianische Phillipskurve
t
= Et
t+1
+ xt + kt
und die dynamische IS Kurve
1
xt = Et xt+1
(it
Et
t+1
rtn )
wobei t die In‡ationsrate, xt die wohlfahrtsrelevante Outputgap, rtn der
natürliche Realzins, kt ein Kostenschock und it der nominale Zinssatz zum
Zeitpunkt t sind.
Der natürliche Realzins ist gegeben als
rtn =
+ et
wobei et ein Schock auf den Realzins und > 0.
Die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der folgenden Taylor Regel
it =
1
+
^t
wobei wir annehmen, dass Sie die In‡ationsrate nicht direkt beobachten
kann
^t =
t
+
t
t ist der Beobachtungsfehler der Zentralbank. Wir nehmen an, dass der
Kostenschock, der Zinsschock und der Beobachtungsfehler i.i.d. mit Et t+s =
Et et+s = Et kt+1 = 0 für s 0 ist
a) Stellen Sie das Modell in Matrixform dar und bestimmen Sie die Lösung für
In‡ationsrate und Outputgap!
b) Bestimmen Sie den Wert von
1
der die Varianz von
t
minimiert!
146
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
Aufgabe 4 (15 Punkte) Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Nehmen Sie an die Haushalte haben die folgende Nutzenfunktion
1
U (Ct ; Nt ;
1
Mt
) = ln Ct +
Pt
1
Mt
Pt
ln Nt
Ct ist der Konsum, Nt die Arbeitszeit, Mt die nominale Geldmenge, Pt das
Preisniveau, > 0 ein positiver Parameter und 0 < < 1 der Diskontfaktor.
Der Haushalt bezieht Einkommen aus dem Verkauf von Arbeitszeit zum Reallohn Wt , residualen Unternehmensgewinnen t , Zinseinnahmen mit dem
Nominalzins it 1 auf nominale Wertpapiere Bt 1 . Er verwendet sein Einkommen für Konsum, die Zahlung von Kopfsteuern Tt und Investitionen in
Wertpapiere und Geld.
a) Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts auf!
b) Leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung und die Konsum Euler Gleichung
her!
c) Interpretieren Sie die Konsum Euler Gleichung!
A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN
147
Aufgabe 5 Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung, wobei die
Haushalte folgende Nutzenfunktion haben
U (Ct ; Nt ; Mt =Pt ) =
Nt1+
(Mt =Pt )1
+
1+
1
Ct1
1
:
Die neu-keynesianische Phillipskurve ergibt sich als
t
= Et
t+1
+ y^t + ct :
Hierin ist t die In‡ationsrate, y^t das wohlfahrtsrelevante “Output Gap”,
also der Unterschied von tatsächlichem und erst-bestem Output, und ct ein
exogener Kostenschock zum Zeitpunkt t. Dabei sind fct g1
t=0 unabhängig und
2
2
identisch verteilt mit Et ct+s = > 0; Et (ct+s
) = c für alle s > 0 und
Et ct = ct .
a) (10 Punkte) Leiten Sie die Konsum-Eulergleichung her und interpretieren
Sie diese.
Nehmen Sie an, die Zentralbank beein‡uß
t die gesamtwirtschaftliche Aktivität
indem sie direkt die In‡ationsrate setzt. Finden Sie die optimale diskretionäre
Politik (in Abhängigkeit von Et t+1 und ct ) für eine Zentralbank die versucht die
Verlustfunktion 21 ( y^t2 + 2t ) zu minimieren.
b) (14 Punkte) Bestimmen Sie die erwartete In‡ation t indem Sie die sich ergebende Di¤erenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen lösen. Lösen Sie dann
für y^t . (Hinweis: es ist hilfreich, die Schocks als Abweichungen von ihrem
Erwartungswert zu schreiben: ct+s = ct+s Et ct+s + ):
Nehmen Sie nun an, die optimale Zentralbankpolitik führe zu
t
=
y^t =
1+
1+
(1
1
(1
)
+
1+
1
+
)
1+
(ct
)
(ct
)
c) (8 Punkte) Interpretieren Sie die Annahme Et ct+s = > 0, indem Sie (für
= 0) eine Situation mit dauerhafter Null-In‡ation betrachten. Was gilt
dann für das erwartete wohlfahrtsrelevante Output-gap E0 y^t ? Wann bzw.
wodurch kann es im neukeynesianischen Modell zu > 0 kommen?
d) (8 Punkte) Erläutern Sie die Rolle des Parameters . Vor welcher Schwierigkeit steht die Regierung in der Wahl des Zentralbankers (charakterisiert
148
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
durch )? Argumentieren Sie der Einfachheit halber für = 1 und nehmen
Sie an, die gesamtwirtschaftliche Verlustfunktion sei gegeben durch
E
^t2
0y
+
2
t
:
Inwiefern unterscheidet sich die Situation von der Behandlung des Zeitinkonsistenzproblem in der Vorlesung?
A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN
149
Aufgabe 6 Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell. In diesem Modell habe der
Haushalt eine Nutzenfunktion der Form
U (C; N; M=P ) = ln (C) + f (N; M=P ):
Die zentralen Gleichungen dieses Modells sind die neukeynesianische Phillipskurve
^t + ct
t = Et t+1 + y
und die dynamische IS Kurve
y^t = Et (^
yt+1 )
rtn ) ;
(rt
wobei t die In‡ation; rt der Realzins, rtn der natürliche Realzins, ct ein
exogener Kostenschock und y^t das output gap zum Zeitpunkt t sind.
a) (8 Punkte) Erläutern Sie kurz das Konzept des output gaps! Was gilt bezüglich der realen Grenzkosten, wenn das öutput gap"gerade gleich 0 ist?
b) (6 Punkte) Leiten Sie die Konsum-Eulergleichung her!
c) (6 Punkte) Erläutern Sie kurz, welchen Zusammenhang die IS Kurve im
neu-keynesianischen Modell abbildet!
(16 Punkte) Nehmen Sie an, die Zenralbank setze den Nominalzins nach der
Taylor-Regel
it = t + t
mit einem Kontrollfehler
t:
Im Folgenden sei
= 1:
0
d) Sei zt := y^t t : Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine Di¤erenzengleichung der Form
zt = AEt zt+1 + B
rtn
t
ct
also durch
y^t
t
=
a11 Et y^t+1 + a12 Et
a21 Et y^t+1 + a22 Et
t+1
t+1
+
b11 (
b21 (
t
t
rtn ) + b12 ct
rtn ) + b22 ct
darstellen läß
t und bestimmen Sie a11 ; : : : ; a22 und b11 ; : : : ; b22 !
150
ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
e) Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, Kostenschock und natürlicher Realzins
n
i.i.d. sind und dass Et rt+s
= Et (vt+s ) = E (ct+s ) = 0 für s 1: Lösen Sie
die Di¤erenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form
y^t
t
=
1
+1
t
t
rtn
rtn
ct
ct
hat.
f) Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von
stellt?
ge-
A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN
151
Aufgabe 7 (je 4 Punkte)
Begründen Sie in maximal 2 Sätzen ob die folgenden Aussagen korrekt sind.
1. Die Geldpolitik im klassischen Modell legt das Preisniveau fest, sofern sie
dem Taylor Prinzip folgt, sie hat jedoch keinerlei Ein‡uss auf die reale ökonomische Aktiviät.
2. Die Seignorage kann als eine Steuer auf die nominale Geldhaltung bezeichnet
werden.
3. Das (neo-)klassiche und das neu-keynesianische Modell sind beide mikrofundiert.
4. Nominale Rigiditäten, wie z.B. verzögerte Preissetzung nach Calvo (1983),
sind eine Quelle von Ine¢ zienzen im klassischen Modell.
5. Im klassischen Modell ist die Geldpolitik superneutral.
6. Ein Vorteil von ad hoc postulierten Modellen ist dass ihre Politikimplikationen auf dem optimierenden Verhalten von Agenten wie Unternehmen und
Haushalten beruhen.
7. Unter der Annahme monopolistischer Konkurrenz setzen die Unternehmen
Preise die den marginalen Produktionskosten entsprechen.
8. Die Fisher Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen In‡ationsrate
und Outputgap.
9. Das Zeitkonsistenzproblem der Geldpolitik bezieht sich darauf, dass eine ex
ante angekündigte Geldpolitik ex post nicht optimal sein muss.
10. Im neu-keynesianischen Modell hat erwartete Geldpolitik eine reale Wirkung.
11. Veränderungen in der Geldmenge beruhen immer auf Änderungen der Geldpolitik der Zentralbank.
12. Dass viele Zentralbanken Zinsen als geldpolitische Instrumente wählen, liegt
darin begründet, dass die Geldnachfrage stabiler ist als die Investitionsnachfrage.
13. Das Zeitinkonsistenzproblem in der Geldpolitik bezieht sich darauf, dass eine
Zentralbank nicht in jeder Periode die gleiche Politik betreiben will.
14. Bei Calvo Preisanpassungskosten passen die Firmen in jeder Periode ihre
Preise an, die am meisten von der Anpassung der Preise pro…tieren.
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ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG
15. Im neu-klassischen dynamischen Gleichgewichtsmodell hat die institutionelle
Ausgestalltung der Zentralbank keinen Ein‡uss auf die reale Ökonomie.
16. Eine Zentralbank sollte unterproportional mit ihrer Zinspolitik auf Schwankungen in der In‡ation reagieren, da sie sonst die Stabilität der Ökonomie
gefährdet.
17. Aus einer signi…kant positiven Korrelation von Geldmengenänderungen und
Outputänderungen kann man schließ
en, dass eine systematische Geldpolitik
zu realwirtschaftlicher Stabilität beitragen kann.
18. Die Friedman Regel besagt, dass man die In‡ationsrate bei Null stabilisieren
sollte.
19. Die Lucas Kritik besagt, dass Geldpolitik immer wirkungslos ist.
20. Unter rationalen Erwartungen ist es der Geldpolitik möglich Abweichungen
des Outputs von seinem natürlichen Niveau gezielt herbeizuführen.
21. Ein zentrales Argument der Lucas Kritik ist das die Geldpolitik nicht exogen,
sondern ein Teil des ökonomischen Rahmens in dem die Wirtschaftssubjekte
sich optimal Verhalten ist.
22. Das Calvo Modell der Preisanpassung basiert auf der Annahme vollkommenen Wettbewerbs, d.h. Marktmacht bei der Preissetzung.
23. Wir bezeichnen die dauerhafte Re…nanzierung bestehender Schulden durch
die Aufnahme von Krediten als ein Ponzi Schema.
24. Das Baumol-Tobin Modell liefert eine theoretische Begründung für eine Geldnachfragefunktion.
25. Die Fisher Gleichung beschreibt einen Zusammenhang zwischen Nominalzins, Realzins und der In‡ationsrate.
26. Nach der Quantitätstheorie besteht kein Zusammenhang zwischen Geldmenge und In‡ationsrate.
27. Die Konsum Euler-Gleichung ist eine zentrale Gleichung der modernen Makroökonomik. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen realem Lohn und
dem Arbeitsangebot.