Quantenmechanik 2 Prof. Dr. Gies 2014 Zustand eines

Quantenmechanik 2
Prof. Dr. Gies 2014
Zustand eines Systems charakterisiert durch Ket-Vektoren: ∣Ψ⟩
∈ H einem problementsprechenden Hilbertraum.
[Über dem Körper C]
Duale Vektoren sind Bra-Vektoren: ⟨Φ ∣
⟨Φ ∣ Ψ⟩ ∈ C.
, sie bilden von H in den zugrundeliegenden Körper ab ⟨Φ ∣ ∶ ∣Ψ⟩ →
Postulat der QM: ∣Ψ⟩ physikalisch ⇒ ⟨Ψ ∣ Ψ⟩ > 0 [somit ∈ R].
[⇒ ∣Ψ̃⟩ =
Lineare Abbildung auf H: Â : ∣Ψ⟩ → Â ∣Ψ⟩ ≡ ∣AΨ⟩ .
Dies induziert † ∶ ⟨Φ ∣ → ⟨Φ ∣ † ≡ ⟨A† Φ ∣ .
√ 1
⟨Ψ ∣ Ψ⟩
∣Ψ⟩ normiert auf ⟨Ψ̃ ∣ Ψ̃⟩ = 1.]
Postulat der QM: physikalische Observablen beschrieben durch selbstadjungierte [i.d.R. hermitesche] Operatoren
 = † .
 ∣a′ ⟩ = a′ ∣a′ ⟩ ⇒ a′ Eigenwert [EW] zum Eigenvektor [EV] ∣a′ ⟩ .
 selbstadjungiert ⇒ a′ ∈ R und EV verschiedener EW a′ , a′′ sind orthogonal [⟨a′ ∣ a′′ ⟩ = δa′ ,a′′ ].
Projektor P̂a′ = ∣a′ ⟩ ⟨a′ ∣ .
Mit ⟨a′ ∣ a′′ ⟩ = δa′ ,a′′ gilt ∑ P̂a′ = 1, P̂a2′ = P̂a′ , P̂a′ P̂a′′ = δa′ ,a′′ P̂a′ .
a′
̵∂
ih
∂t
Schrödingergleichung [SG]:
∣Ψ, t⟩ = Ĥ ∣Ψ, t⟩
.
EW der SG sind En , entsprechende EV ∣Ψn , t⟩ [„stationäre Zustände“].
Daraus ergibt sich die Zeitentwicklung für ∣Ψ, t⟩ zu ∣Ψ, t⟩ = Û (t − t0 ) ∣Ψ, t0 ⟩ mit dem Zeitentwicklungsoperator
̵ ∂ Û = Ĥ Û ].
Û (t, t0 ) [unitär Û † = Û −1 , Û (t, t0 ) = 1, Û (t, t0 ) = Û (t, t1 )Û (t1 , t0 ), erfüllt die SG i h
∂t
i
∂
[ Ĥ = 0 ⇒ Û (t, t ) = e− h̵ Ĥ[t − t0 ] ]
0
∂t
Eine Messung wird durch einen Operator  beschrieben. Die orthonormierte Basis zu  sei { ∣a′ ⟩ }a′ , dann lässt
sich ∣Ψ⟩ = ∑a′ ⟨a′ ∣ Ψ⟩ ∣a′ ⟩ ausdrücken.
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
ca′
2
2
Postulat der QM: Die Wahrscheinlichkeit ∣Ψ⟩ im Zustand ∣a′ ⟩ zu messen [Â ∣Ψ⟩ = a′ ∣Ψ⟩ ] ist ∣ca′ ∣ = ∣⟨a′ ∣ Ψ⟩∣ .
[ ∣a′ ⟩ , ∣Ψ⟩ auf 1 normiert.]
Näherungen: Die Lösungen müssen im Nachhinein überprüft werden!
Sollten konsistent untereinander und systematisch zu verbessern sein.
Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie:
Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,
wobei
Ĥ0 ∣n, α⟩ = εn ∣n, α⟩
, n ∈ N, α = 1, . . . , Nn mit Nn dem Grad der Entartung von εn .
Sei V̂ also eine kleine Störung, Nn = 1, so erhält man mit dem Ansatz:
Ĥ = Ĥ0 + λV̂ ,
∣Ψn ⟩ = ∑ λk ∣Ψ(k)
n ⟩,
k
En = ∑ λk En(k)
[⇒ ∣n⟩ = ∣Ψn ⟩ , εn = En ] und den Normierungen
(0)
(0)
⟨Ψn ∣ Ψn ⟩ = 1 ,
(0)
(0)
⟨Ψn ∣ Ψn ⟩ = 1
(0)
[⇒
k
⟨Ψn ∣ Ψn ⟩ = δk0 , ⟨Ψn ∣ Ψm ⟩ = δmn ] aus Ĥ ∣Ψn ⟩ = En ∣Ψn ⟩
(0)
(k)
(0)
(0)
(0)
(0)
Ĥ0 ∣Ψ(0)
n ⟩ = En ∣Ψn ⟩ ,
[stationäre SG] Folgendes:
(k−1)
Ĥ0 ∣Ψ(k)
⟩ = ∑ En(p) ∣Ψ(q)
n ⟩ + V̂ ∣Ψn
n ⟩ .
p+q=k
Über Multiplikation mit ⟨Ψn ∣ = ⟨n ∣ erhält man:
[Mit Vnm = ⟨n ∣ V̂ ∣ m⟩: En = Vnn .]
(0)
(1)
En = ⟨n ∣ V̂ ∣ Ψn
(k)
(k−1)
Über Multiplikation mit ⟨Ψm ∣ = ⟨m ∣ , m ≠ n erhält man:
(0)
⟨m ∣ Ψ(k)
n ⟩=
Wobei
⟩
, k ≥ 1.
[ ∣Ψn ⟩ = ∑m≠n
(1)
Vmn
εn −εm
∣m⟩ , En = ∑m≠n
1
[⟨m ∣ V̂ ∣ Ψ(k−1)
⟩ − En(1) ⟨m ∣ Ψ(k−1)
⟩ − . . . − En(k−1) ⟨m ∣ Ψ(1)
n
n
n ⟩]
εn − εm
(k)
∣Ψ(k)
n ⟩ = ∑ ⟨m ∣ Ψn ⟩ ∣m⟩
m≠n
1
, k ≥ 1.
(2)
, k ≥ 1.
Vmn Vnm
.]
εn −εm
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Entartete Störungstheorie:
Nun
Nn ≥ 1
Nn
∞
,
En α = ∑ λk En(k)
α
k=0
,
∣Ψn ⟩ = ∑ cn α ∣Ψn α ⟩
Nn
∞
,
α=1
∣Ψn α ⟩ = ∑ λk ∣Ψ(k)
n α⟩
,
P̂0n = ∑ ∣n, α⟩ ⟨n, α ∣
α=1
k=0
[[P̂0n , Ĥ] = 0] , Q̂0n = 1 − P̂0n [⇒ [Q̂0n , Ĥ] = 0, Q̂0n P̂0n = 0] und Basis { ∣n, α⟩ } so, dass ⟨n, α ∣V̂ ∣ n, α′ ⟩ = Vnα nα δαα′ .
Analog oben erhält man aus der stationären SG
(0)
(0)
Ĥ0 ∣Ψ(0)
n α ⟩ = En α ∣Ψn α ⟩ ,
(k−1)
(p)
(q)
Ĥ0 ∣Ψ(k)
n α ⟩ + V̂ ∣Ψn α ⟩ = ∑ En α ∣Ψn α ⟩ .
p+q=k
Offensichtlich ist:
∣Ψ(0)
n α ⟩ = ∣n, α⟩
Feynman-Hellmann Theorem
[H(λ) ∣Ψ(λ)⟩ = E(λ) ∣Ψ(λ)⟩ , ⟨Ψ(λ) ∣ Ψ(λ)⟩ = 1]:
,
(0)
En α
d
dH(λ)
E(λ) = ⟨Ψ(λ) ∣
∣Ψ(λ)⟩ .
dλ
dλ
= εn .
Aufgrund der Wahl der Basis folgt [aus P̂0n ⋅ SG ∝ λ1 ]:
(1)
En α = ⟨n, α ∣ V̂ ∣n, α⟩ .
Mit der Forderung, dass ∣Ψn α ⟩ orthogonal auf P̂0 H steht, erhält man [aus Q̂0n ⋅ SG ∝ λ1 ]:
1
(2)
(1)
∣Ψ(1)
Q̂0n V̂ ∣n, α⟩
,
En α = ⟨n, α ∣ V̂ ∣Ψn α ⟩ .
n α ⟩ = Q̂0n
εn − Ĥ0
(1)
Vielteilchen-Quantensysteme:
Für N gekoppelte 1-Teilchen-Systeme [Hilbertraum Hi , Zustände ∣Ψi ⟩ , orthonormierte Basis { ∣ξi ⟩ }, Operatoren Âi ]:
H = H1 ⊗ . . . ⊗ HN
,
 = Â1 ⊗ . . . ⊗ ÂN .
∣Ψ⟩ = ∣Ψ1 . . . ΨN ⟩ = ∣Ψ1 ⟩ ⊗ . . . ⊗ ∣ΨN ⟩
,
{ ∣ξ1 . . . ξN ⟩ } = { ∣ξ1 ⟩ ⊗ . . . ⊗ ∣ξN ⟩ }
[ ∣Φ⟩ , ∣Ψ⟩ ∈ H: ⟨Φ ∣ Ψ⟩ = ⟨Φ1 ∣ Ψ1 ⟩ ⋅ . . . ⋅ ⟨ΦN ∣ ΨN ⟩ ,
∣Ψ⟩ =
,
∑ ⟨ξ1 . . . ξN ∣ Ψ⟩ ∣ξ1 . . . ξN ⟩ ]
ξ1 ...ξN ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ψ(ξ1 ...ξN )
Für identische [ununterscheidbare] Teilchen muss die Physik [Wahrscheinlichkeit, Erwartungswerte] unabhängig unter
beliebiger Vertauschung [Permutation Π, Operator P̂Π , P̂Π† = P̂Π−1 ] dieser sein; entsprechende Observablen  müssen
symmetrisch sein [[Â, P̂Π ] = 0].
Unter Vertauschen 2er identischer Teilchen sind die Zustände entweder symmetrisch [Bosonen: P̂Π ∣Ψ⟩ = ∣Ψ⟩ ; Spin
ganzzahlig] oder antisymmetrisch [Fermionen: P̂Π ∣Ψ⟩ = sign (Π) ∣Ψ⟩ ; Spin halbzahlig].
Für nicht-wechselwirkende, identische Teilchen [⇒ auch Hi und Ĥi identisch; stationäre, orthonormiert Eigenzustände ∣ni ⟩ :
1
, Bosonen
∣Ψ⟩ s = √ ∑ P̂Π ∣n1 . . . nN ⟩
N
!
Π
Ĥi ∣ni ⟩ = Ei ∣ni ⟩ ] ist dann
.
[Austauschentartung!]
1
∣Ψ⟩ a = √ ∑ sign (Π) P̂Π ∣n1 . . . nN ⟩
, Fermionen
N! Π
Hartree-Fock-Näherung:
[für Fermionen]
Annahme: Vielteilchen-Funktion kann durch Produkt von 1Teilchen-Wellenfunktion approximiert werden [Fermionen: ΨHF =
1
xk , mk )].
√
∑ sign (Π) ∏ ΨΠ(k) (⃗
N!
Π
Slater-Determinante:
[Fermionen!, Basen { ∣ni ⟩ } und { ∣ξi ⟩ }]
Ψn1 ,...,nN (ξ1 , . . . , ξN )
1
=√
∑ sign (Π) ⟨ξ1 ∣ nΠ(1) ⟩ . . . ⟨ξN ∣ nΠ(N ) ⟩
N! Π
⎛ ⟨n1 ∣ ξ1 ⟩ . . . ⟨n1 ∣ ξN ⟩ ⎞
1
⋮
⋱
⋮
⎟.
det ⎜
=√
N!
⎝ ⟨nN ∣ ξ1 ⟩ . . . ⟨nN ∣ ξN ⟩ ⎠
k
Methode: Man minimiere das Energiefunktional E(Ψ) = ⟨Ψ ∣ Ĥ ∣Ψ⟩ und ist somit der Grundzustandsenergie am
nächsten; auch ∣Ψ⟩ ist dann hoffentlich dem Grundzustand am nächsten.
VKern
Vee
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
N
N
N i−1
p⃗2i
Ze2
1
Für ein Vielelektronen-Atom Ĥ = ∑
−∑
+ e2 ∑ ∑
ergibt sich
⃗j ∣
2m
∣⃗
x
∣
∣⃗
x
−
i
i x
i=1
i=1
i=1 j=1
²
1
1 N N
∑ ∑ ≡ ∑
2 i=1 j=1;j≠i 2 i≠j
2
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N
E(Ψ) = ∑ ∑ ∫ d3 xi [
i=1 mi =± 1
2
2
̵2
h
∣Ψi (⃗
xi , mi )∣
2
⃗ i (⃗
∣∇Ψ
xi , mi )∣ − Ze2
]
2me
∣⃗
xi ∣
nicht-klassischer Vielteilchen-Effekt
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
1
1
e2
2
3
3
′ 2
x, m)∣ ∣Ψj (⃗
y , m )∣
−Ψ†i (⃗
x, m)Ψi (⃗
y , m′ )Ψ†j (⃗
y , m′ )Ψj (⃗
x, m)
].
+
∑ ∑ ∫ d x ∫ d y[ ∣Ψi (⃗
2N [N − 1] i≠j m,m′ =± 1
∣⃗
x − y⃗∣
∣⃗
x − y⃗∣
2
Mit Berücksichtigung von ⟨ΨHF ∣ ΨHF ⟩ = 1 über den lagrangeschen Multiplikator ε ergibt sich mittels Variation von
δ[E(Ψ) − ε[⟨ΨHF ∣ ΨHF ⟩ − 1]] = 0 die Hartree-Fock-Gleichung für i = 1, . . . , N
[−
2
i−1
i−1
̵2
Ψi (⃗
y , m′ )Ψ†j (⃗
y , m′ )
∣Ψj (⃗
y , m′ )∣
h
Ze2
∆−
+ e2 ∑ ∑ ∫ d3 y
− εi ]Ψi (⃗
x, m) = e2 ∑ ∑ ∫ d3 y
Ψj (⃗
x, m) .
2me
∣⃗
x∣
∣⃗
x − y⃗∣
∣⃗
x − y⃗∣
j=1 m′ =± 1
j=1 m′ =± 1
2
2
Nun iterativ hieraus alle Ψi bestimmen [höchstgradig nichttrivial!].
⃗ physikalischer Operator ⇒ hermitesch]
Addition von Drehimpulsen:
[Jˆ
̵ εijk Jˆk .
Alle Drehimpulse Jˆ⃗ erfüllen die Drehimpulsalgebra [Jˆi , Jˆj ] = i h
ˆ
̵ 2 ji [ji +
Sei J⃗i aus dem Hilbertraum Hi [dim (Hi ) = 2ji + 1] und die Basen ∣ji mi ⟩ seien bezüglich Jˆ⃗i2 [Jˆ⃗i2 ∣ji mi ⟩ = h
N0
̵
ˆ
ˆ
1] ∣ji mi ⟩ ] und Jiz [Jiz ∣ji mi ⟩ = hmi ∣ji mi ⟩ ] diagonalisiert [ji ∈ 2 , m ∈ {−ji , −ji + 1, . . . , ji }]. Die Leiteroperatoren
√
sind Jˆi± = Jˆix ± i Jˆiy [Jˆi± ∣ji mi ⟩ = c± ∣ji [mi ± 1]⟩ ] .
[c±jm = j[j + 1] − m[m ± 1]]
ji m i
⃗ = Jˆ⃗1 ⊕ Jˆ⃗2 auf H12 = H1 ⊗ H2 [dim (H12 ) = [2j1 + 1][2j2 + 1]] ebenfalls ein Drehimpuls. Dieser kann in
Dann ist Jˆ
der Basis ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ = ∣j1 m1 ⟩ ⊗ ∣j2 m2 ⟩ bezüglich Jˆ⃗12 , Jˆ1z , Jˆ⃗22 , Jˆ2z oder auch in der Basis ∣j1 j2 jm⟩ bezüglich
J⃗ˆ2 , Jˆ⃗2 , Jˆ⃗2 , Jˆ wirken.
[Wobei ∣j j jm⟩ =
⟨j m j m ∣ j j jm⟩ ∣j m j m ⟩ .]
1
z
2
∑
1 2
m1 ,m2
1
1 2
2
1 2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
1
1 2
2
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Aus m ⟨j1 j2 jm ∣ j1 m1 j2 m2 ⟩ = ⟨j1 j2 jm ∣ Jˆz ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ = [m1 + m2 ] ⟨j1 j2 jm ∣ j1 m1 j2 m2 ⟩ folgt
∣j1 j2 jm⟩ =
⟨j1 m1 j2 m2 ∣ j1 j2 jm⟩ ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ .
∑
m1 +m2 =m
m1
Man sieht, dass
j
j
m2
m
³¹¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ µ
© ©
∣j1 j1 j2 j2 ⟩ = ∣j1 j2 j1 + j2 j1 + j2 ⟩
eindeutig ist und kann über den Absteigeoperator Jˆ− alle anderen
³¹¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ µ
∣j1 j2 j1 + j2 m⟩ , m ∈ {−[j1 + j2 ], −[j1 + j2 ] + 1, . . . , j1 + j2 } bestimmen [„Multiplett zu j = j1 + j2 “].
j
m
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Für m = j1 + j2 − 1 gab es in der alten Basis ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ jedoch 2 Zustände; mittels Jˆz ∣j1 j2 j1 + j2 − 1 j1 + j2 − 1⟩ =
j
j
m
m
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
[j1 + j2 − 1] ∣j1 j2 j1 + j2 − 1 j1 + j2 − 1⟩ und Jˆ+ ∣j1 j2 j1 + j2 − 1 j1 + j2 − 1⟩ = 0
bestimmen. Über Jˆ− erhält man dann das Multiplett zu j = j1 + j2 − 1.
lässt sich dieser zweite Zustand
Jeweils für das nächst kleinere m gab es einen Zustand in der alten Basis mehr, so dass sich iterativ mittels dieses
Verfahrens bis j = ∣j1 − j2 ∣ eine Basis der Dimension [2j1 + 1][2j2 + 1] aufspannen lässt:
H12 = H1 ⊗ H2 = Hj1 +j2 ⊕ Hj1 +j2 −1 ⊕ . . . ⊕ H∣j1 −j2 ∣ .
j1 =1
j2 =1
j=2
j=1
j=0
©
© © © ©
[Man schreibt 3 ⊗ 3 = 5 ⊕ 3 ⊕ 1 .]
Clepsch-Gordan-Koeffizienten:
∣j1 j2 jm⟩ =
∑
m=m1 +m2
⟨j1 m1 j2 m2 ∣ j1 j2 jm⟩ ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ , ∣j1 m1 j2 m2 ⟩ =
Die CG-Koeffizienten können reell gewählt werden [⇒
j1 +j2
⟨j1 j2 jm ∣ j1 m1 j2 m2 ⟩
∑
∑
j=∣j1 −j2 ∣ m=m1 +m2 ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=[⟨j1 m1 j2 m2 ∣ j1 j2 jm⟩]†
T
⟨j1 m1 j2 m2 ∣ j1 j2 jm⟩ = ⟨j1 j2 jm ∣ j1 m1 j2 m2 ⟩ ].
∣j1 j2 jm⟩
Mittels der Leiteroperatoren folgen Rekursionsformeln für die CG-Koeffizienten:
[Jˆ± = Jˆ1± ⊕ Jˆ2± , Jˆ± † = Jˆ∓ ]
c∓j1 m1 ⟨j1 m1∓1 j2 m2 ∣ j1 j2 jm⟩ + c∓j2 m2 ⟨j1 m1 j2 m2∓1 ∣ j1 j2 jm⟩ = ⟨j1 m1 j2 m2 ∣ Jˆ± ∣j1 j2 jm⟩ = c±jm ⟨j1 m1 j2 m2 ∣ j1 j2 j m±1 ⟩ .
Als Anfangsbedingung nutzt man ⟨j1 j1 j2 j2 ∣ j1 j2 j1 + j2 j1 + j2 ⟩ = 1 .
® ®
´¹¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¶
m1
m2
m
j
3
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̵ = 1]
[h
Tensor-Operatoren:
Ein skalarer Operator Ŝ ist invariant gegen Drehungen [U Drehgruppe ∈ SO(3) oder SU (2), Γ̂(U ) die Darstellung im
Zustandsraum]:
Γ̂(U )Ŝ Γ̂(U −1 ) = Ŝ .
ˆ
⃗ = 0 und außerdem ⟨jm ∣ Ŝ ∣j ′ m′ ⟩ = δjj ′ δmm′ ⟨jm ∣ Ŝ ∣jm⟩ ∶ ∀m .
Für sklare Operatoren gilt: [Ŝ, J]
⟨j ∣ ∣Ŝ∣ ∣j⟩
[man schreibt
]
Höherdimensionale Tensoroperatoren T̂ transformieren unter Drehung wie folgt [wobei die Zustände ∣jm⟩ so drehen:
j
j
′
′
Γ̂(U ) ∣jm⟩ = ∑m′ (U ) Dmm
, mit (U ) Dmm
]:
′ ∣jm ⟩
′ = ⟨jm ∣ Γ̂(U ) ∣jm⟩
J
Γ̂(U ) T̂M
Γ̂(U −1 ) = ∑
(U )
M′
J
Es folgt Γ(U )TM
∣jm⟩ = ∑
M ′ ,m′
(U )
J
DM
M′
(U )
J
J
DM
M ′ TM ′
J
[T̂M
sind dann die Normalkomponenten]
.
j
J
′
Dmm
′ TM ′ ∣jm ⟩
J
J
, [Jˆz , TM
] = M TM
J
Damit sieht man, dass TM
∣jm⟩ ein Eigenvektor von Jˆz ist; also
J
J
, [Jˆ± , TM
] = c±JM TM
±1 .
J
⟨jm′ ∣ TM
∣jm⟩ ∝ δm′ m+M
.
J
⃗2 !]
[TM
∣jm⟩ ist aber nicht zwingend ein Eigenvektor zu Jˆ
Aus einer Rekursionsbeziehung analog den Clebsch-Gordan-Koeffizienten folgt das
Wigner-Eckart-Theorem:
J
⟨jm ∣ TM
∣j ′ m′ ⟩ = ⟨jm ∣ JM j ′ m′ ⟩ ⟨j ∣ ∣T J ∣ ∣j ′ ⟩
.
J
[⇒ ⟨jm ∣ TM
∣j ′ m′ ⟩ = 0 falls j ∉ {J + j ′ , . . . , ∣J − j ′ ∣}.]
Da die Normalkomponenten linear mit den kartesischen zusammenhängen, gilt für Vektoroperatoren
⃗ ∣j⟩
⟨j ∣ ∣[V⃗ J]∣
⟨jm ∣ Vˆ⃗ ∣jm′ ⟩ = ⟨jm ∣ Jˆ⃗ ∣jm′ ⟩
.
j[j + 1]
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⃗ Gesamtspin S,
⃗ Gesamtdrehimpuls Jˆ
⃗= L
⃗ + S]
⃗ mit Basis
Für ein Atom im schwachen Magnetfeld [Gesamtbahndrehimpuls L,
ˆ
2 ˆ
2 ˆ
2 ˆ
⃗
⃗
⃗
⃗
der Zustände ∣E0 LSJM ⟩ bezüglich Ĥ0 , L , S , J , Jz folgt in einem Magnetfeld B = B⃗
ez mit der Lamor-Frequenz
µB
ωL = −qB
=
B
und
dem
Stör-Hamiltonian
Ĥ
=
ω
[
L̂
+
2
Ŝ
]:
1
L
z
z
̵
2m
h
̵ L gL M
∆E = ⟨Ĥ1 ⟩ = hω
, gL =
3 S[S + 1] − L[L + 1]
+
2
2J[J + 1]
- Landé-Faktor.
Für ein Elektron im wasserstoffähnlichen Atom [Kernladungszahl Z] ergibt sich unter Berücksichtigung relativistischer
ˆ4
ˆ⃗ 1 dϕ(r) , ϕ(r) = Ze ] die
Effekte in 1. Näherung [Ĥrel. ≈ − 81 mp⃗3 c2 ] und der Spin-Bahn-Kopplung [ĤSB = − 12 m2ec2 [Sˆ⃗L]
r dr
r
e
e
®
Thomas-Faktor
Feinstrukturaufspaltung:
∆EF S = En
[Zα]2
1
3
me c2 [Zα]2
[
−
]
,
E
=
−
n
n
2
n2
j + 21 4n
, α=
e2
c
− 2
̵ = 1 , e2 = [e ]
, h
4πε0
.
Berücksichtigt man außerdem die Kopplung des Elektronenspins [⃗
µe = 2mee c ge s⃗, ge ≈ 2] an das Magnetfeld des Kernspins
⃗
µ×⃗
r
Ze
⃗ gp ≈ 5,585, B
⃗=∇
⃗ × 1 3 ], so erhält man die Hyperfeinstrukturaufspaltung für s-Orbitale [H-Atomgp I,
[⃗
µp = 2m
4π r
pc
⃗
ähnlich!] zu [Gesamtspin F⃗ = S⃗ + I]:
4 e2 gp me α2 4
Z [F [F + 1] − S[S + 1] − I[I + 1]] .
⟨n00 ∣ ĤHF ∣n00⟩ =
3 a0 ge mp n3
1
δ(⃗
r) = − 4π
∆ ∣⃗1r∣
Explizit zeitabhängige Störungen:
Im Heisenberg-Bild gilt Ĥ(t) = Ĥ0 + V̂ (t) explizit zeitabhängig,
zeitabhängig. Ist V̂ (t) ≡ 0 , so [Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 )]:
4
∣Ψ, t⟩
explizit zeitabhängig, Â nicht explizit
i
∣Ψ, t⟩ = Û (t, t0 ) ∣Ψ, t0 ⟩ = e− h̵ Ĥ0 [t − t0 ] ∣Ψ, t0 ⟩ .
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i
Im Wechselwirkungs-Bild wählt man ∣ΨI , t⟩ = e+ h̵ Ĥ0 [t − t0 ] ∣Ψ, t⟩
̵ t ∣ΨI , t⟩ = V̂I (t) ∣ΨI , t⟩
und muss dann die Schrödinger-Gleichung i h∂
i
i
, V̂I (t) = e+ h̵ Ĥ0 [t − t0 ] V̂ (t) e− h̵ Ĥ0 [t − t0 ]
erfüllen.
Für den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild ergibt sich dann formal
t
1
ÛI (t, t0 ) = 1 + ̵ ∫ dt1 V̂I (t1 ) ÛI (t1 , t0 ) .
i h t0
Iterativ ergibt sich mit ÛI (t, t0 ) = 1 und ÛI (t, t0 ) = 1 +
(0)
(n)
1
̵
ih
t
∫t0 dt1 V̂I (t1 ) UI
(n−1)
(t1 , t0 ) :
n
t
tn−1
t1
1
(n)
dtn V̂I (t1 )V̂I (t2 ) . . . V̂I (tn )
ÛI (t, t0 ) = lim ÛI (t, t0 ) = ∑ [ ̵ ] ∫ dt1 ∫ dt2 . . . ∫
n→∞
t0
t0
t0
n=0 i h
t
dt′ V̂I (t′ )
−i
]
−
die Dyson-Reihe
[rein formale Darstellungsweise].
= T̂ [e h̵ ∫t0
∞
Mit dem Zeitordnungsoperator: T̂ [Â(t1 ) B̂(t2 )] = {
Ŝ =
lim
t→∞,t0 →−∞
Â(t1 ) B̂(t2 )
B̂(t2 ) Â(t1 )
, t1 > t2
, t1 < t2
; er ist linear.
ÛI (t, t0 ) heißt Streumatrix [sofern ∃Ŝ und Ŝ † = Ŝ −1 ], ∣Ψin ⟩ = lim ∣Ψ, t⟩ , ∣Ψout ⟩ = lim ∣Ψ, t⟩ sind die
t→−∞
t→∞
asymptotischen Zustände [ ∣Ψout ⟩ = Ŝ ∣Ψin ⟩ ].
In einer orthonormierten Eigenbasis zu Ĥ0 { ∣n⟩ } ist die Übergangswahrscheinlichketi von ∣n⟩ zu ∣m⟩ dann in erster
Ordnung [Ĥ0 ∣n⟩ = En ∣n⟩ , ωmn = h1̵ [Em − En ] , Vmn = ⟨m ∣ V̂ ∣n⟩ ]
2
t
1
Pn→m (t) = ∣ ̵ ∫ dt1 ei ωmn [t1 − t0 ] V̂mn (t1 )∣ .
i h t0
Für V̂ (t) = θ(t)V̂ ist [t0 < 0, t > 0]
Es gilt
2 1
4 sin ( 2 ωmn t)
2
P̂n→m (t) = ̵ 2
∣Vmn ∣ .
2
ωmn
h
Wiederkehrzeit τ =
2π
ωmn
.
2
2π
lim P̂n→m (t) = ̵ 2 ∣V̂mn ∣ δ(ωmn )t [→ divergiert ☇], somit für die Übergangsrate
t→∞
h
2
2π
d
Γ̂n→m (t) = P̂n→m (t) = ̵ ∣V̂mn ∣ δ(Emn ) .
Fermis goldene Regel:
dt
h
Auch für adiabatische Störungen V̂ ′ = eηt V̂ [langsam ansteigend] gilt für lim und lim
η→0
t0 →−∞
Γ̂n→m (t) =
2π
̵
h
2
∣V̂mn ∣ δ(Emn ).
Für eine periodische, adiabatische Störung V̂ ′ = eηt [e− i ωt V̂ + ei ωt V̂ † ] ist die zeitlich gemittelte Übergangsrate
2
2
2π
[lim , lim ]
Γ̂n→m = ̵ 2 [∣V̂mn ∣ δ(ωmn − ω) + ∣V̂nm ∣ δ(ωmn + ω)] .
η→0 t0 →−∞
h
Streutheorie:
x) eines freien Teilchens
Elastischer Streuprozess [⇔ Energieerhaltung] an nicht explizit zeitabhängigem Potential V̂ (⃗
∣Φ⟩ : Ĥ = Ĥ0 + V̂ [Ĥ0 ∣Φ⟩ = E ∣Φ⟩ , Ĥ ∣Ψ⟩ = E ∣Ψ⟩ ]. Green’sche Funktion Ĝ0 : Ĝ0 [E − Ĥ0 ] ∣Φ⟩ = ∣Φ⟩ .
1
Es bestimmt sich dann ∣Ψ(±) ⟩ = ∣Φ⟩ +
V̂ ∣Ψ(±) ⟩ - Lippmann-Schwinger-Gleichung.
E − Ĥ0 ± i ε
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Ĝ′0
⃗′ ∣
x−x
1 e± i k ∣⃗
⃗)=−
Für ein freies Teilchen [einfallend] ⟨⃗
x ∣ Φ⟩ = √
erhält man mit dem Residuensatz Ĝ± (⃗
x, x
.
⃗′ ∣
4π ∣⃗
x−x
̵3
2π h
⃗′ ∣
x−x
2m
e± i k ∣⃗
Die Lippmann-Schwinger-Gleichung schreibt sich dann ⟨⃗
x ∣ Ψ(±) ⟩ = ⟨⃗
x ∣ Φ⟩ − ̵ 2 ∫ d3 x′
⟨⃗
x′ ∣ V̂ ∣Ψ(±) ⟩ .
⃗′ ∣
h
4π ∣⃗
x−x
1
i
⃗
e h̵ p⃗x
′
⃗′′ )] mit V (⃗
⃗
Für ein lokales Potential [ ⟨⃗
x′ ∣ V̂ ∣⃗
x′′ ⟩ = V̂ (⃗
x′ )δ(⃗
x′ − x
x′ ) ≫ 0 nur für ∣⃗
x′ ∣ = r′ nahe 0 und dem Detektor bei x
1
1
′
′
′
′
⃗ ) , ∣⃗
⃗ ∣ ≈ r − r cos(α) , ∣⃗x−⃗x′ ∣ ≈ r ] folgt für einen elastischen Streuprozess eines
mit ∣⃗
x∣ = r ≫ r [α = ∠(⃗
x, x
x−x
einlaufenden freien Teilchens zu einer auslaufenden Kugelwelle:
5
Quantenmechanik 2
⟨⃗
x∣Ψ
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(+)
⃗′
− i k⃗′ x
⃗x ei kr
1 2m
i
k⃗
3
3 ′e
⟩ = √ 3[e
+
[− ] ̵ 2 [2π] ∫ d x √ 3 V̂ (⃗
x′ ) ⟨⃗
x′ ∣ Ψ(+) ⟩ ] .
r
4π h
2π
2π
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
1
⃗k
⃗′ ) = − 1
f (k,
4π
2m
3
̵ 2 [2π]
h
⃗ ′ ∣ V̂ ∣Ψ(+) ⟩
⟨k
⃗ k⃗′ ) heißt Streuamplitude; sie entspricht der Wahrscheinlichkeitsamplitude eines in Richtung k⃗ einfallenden Teilchens
f (k,
auf V̂ nach k⃗′ gestreut zu werden.
dσ
∣⃗
Detektor ∣ 2
⃗ k⃗′ )∣2 dΩ .
dΩ =
r dΩ = ∣f (k,
Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist
dΩ
∣⃗
Einfallend ∣
[⃗
 = Teilchenstrom]
∧
⃗
Die Born’sche Näherung erster Ordnung ist nun: ∣Ψ(+) ⟩ ≈ ∣k⟩
; dann ist
′
⃗ − k⃗′ ]⃗
1 2m
3 ′ i[k
x
(1) ⃗ ⃗ ′
f (k, k ) = −
V̂ (⃗
x′ ) ∝ FT (V̂ ) (k⃗ − k⃗′ ) .
̵2 ∫ d x e
f (1) (θ)
4π h
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ 2
−µr′
dσ
2mV0
1
⃗ k⃗′ ) und dem Yukawa-Potential V̂ (⃗
Mit θ = ∠(k,
x′ ) = V0 e µr′
[V0 < 0, µ1 Reichweite]:
= [ ̵2
] .
dΩ
h µ [2k sin( θ2 )]2 + µ2
V0
Im lim mit
= ZZ ′ e2 ergibt sich gerade der Rutherford’sche Streuquerschnitt
µ→0
µ
2
dσ
1 ZZ ′ e2
1
=
[
]
4 θ
dΩ 16 Ekin
sin ( 2 )
.
[lim V̂Yukawa = V̂Coulomb ; Rutherford jedoch klassisch hergeleitet!]
µ→0
Für gebundene Zustände im Yukawa-Potential versagt die Born-Näherung [wahrscheinlich].
⃗ } und vermittels der Lippmann-Schwinger-Gleichung ergibt sich für den ÜberAufgrund der Vollständigkeit von { ∣k⟩
(+)
gangsoperator T̂ ∣k⟩ = V̂ ∣Ψ ⟩ die Vorschrift
1
T̂ = V̂ + V̂
T̂ ,
E − Ĥ0 + i ε
welche sich iterativ lösen lässt [T̂ i+1 = V̂ + V̂
1
T̂ i ].
E−Ĥ0 +i ε
∞
Es ergibt sich somit
⃗ k⃗′ )
⃗ k⃗′ ) = ∑ f (n) (k,
f (k,
n=1
n−1
1
3 ⃗′
⃗ k⃗′ ) = − 1 2m
, mit f (n) (k,
̵ 2 [2π] ⟨k ∣ V̂ [ E−Ĥ +i ε V̂ ]
4π h
0
⃗
∣k⟩
.
ˆ
̵ 2 l[l +1] ∣Elm⟩ ,
⃗ 2 ∣Elm⟩ = h
Sphärische Wellen ∣Elm⟩ können als alternative Basis verwendet werden [Ĥ0 ∣Elm⟩ = E ∣Elm⟩ , L
ˆ
⃗ wie folgt ist
̵ ∣Elm⟩ ] , wobei der Zusammenhang zu Freiraumlösungen ∣k⟩
⃗ z ∣Elm⟩ = hm
L
⟨k⃗ ∣ Elm⟩ =
̵
̵2 2
√h δ ( h k
2m
mk
− E) Ylm (⃗
ek )
[⟨⃗
x ∣ Elm⟩ =
, e⃗k = kk .
⃗
il
̵
h
√
⃗′
2mk
jl (kr)Ylm (⃗
er ),
π
⃗ k ), dann ist
Sei nun V̂ = V̂ (r), o.B.d.A. nun k⃗ ∥ e⃗z und Streuwinkel
θ = ∠(k,
∞
′
⃗
⃗
f (k, k ) = f (θ) = ∑[2l + 1]fl (k)Pl (cos(θ))
sphärische Besselfunktion jl ]
Partialwellenamplitude
­
, mit fl (k) = − πk ⟨Elm ∣ T̂ ∣Elm⟩ .
l=0
Für ∣⃗
x∣ → ∞ sieht man ⟨⃗
x ∣ Ψ+ ⟩ → √
i kr − i[kr − lπ]
[2l + 1]
Pl (cos(θ))[Sl e r − e
] , mit Sl = 1+2 i kfl (k) = e2 i δl .
r
2
i
k
2π l=0
1
∞
3
∑
[fl =
1
k
ei δl sin(δl ), Streuphase δl ]
⃗x
ei k⃗
= ∑[2l + 1] il jl (kx)Pl (⃗
ek e⃗x )
∞
l=0
2l + 1
Pl (⃗
ex e⃗x′ )
4π
1
2
δll′
∫ duPl (u)Pl′ (u) =
2l + 1
−1
ex )Ylm (⃗
ex′ ) =
∑ Ylm (⃗
∗
m
Das optische Theorem besagt [hier V̂ beliebig]
σtot = ∫ dΩ
dσ 4π
=
Im (f (θ = 0)) .
dΩ
k
(1)
[sphärische Neumann-Funktionen nl , sphärische Hankel-Funktionen hl
6
(2)
= jl + i nl , hl
= jl − i nl ]
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Für ein sphärisches [V̂ = V̂ (r)], lokalisiertes [V̂ (r) = 0 ∶ r > R] Potential V̂ findet man mit der Schrödingergleichung
(0)
⎧
⎪
,r < R
1 ∞ l
⎪ cl jl (kr)
(+)
Ψ (⃗
x) = √ 3 ∑ i [2l + 1]Al (kr)Pl (cos(θ)) , mit Al (kr) = ⎨ (1) (1)
.
(2) (2)
⎪
⎪
2π l=0
⎩ cl hl (kr) + cl hl (kr) , r ≥ R
(1)
(2)
Aus dem Vergleich dieses Ausdrucks mit der obigen Lösung für ∣⃗
x∣ → ∞ kann man c = 1 ei δl , c = 1 bestimmen.
l
2
l
2
d
Mit βl = r dr
ln(Al )∣r=R , was aufgrund der Stetigkeit auch aus der Innenraumlösung [r < R] bestimmt werden kann,
ergibt sich:
kR jl ′ (kR) − βl jl (kR)
tan(δl ) =
.
kR nl ′ (kR) − βl nl (kR)
̵2
2
k
Für kleine Energien [E = h2m
klein] dominiert die s-Wellen-Streuung [l = 0]; für einen Potentialtopf der Höhe V0
[V0 ∈ R] ergibt sich dann [in 1. Näherung] σtot = 4πa2 , mit der Streulänge a = − δk0 .
Treten im Potentialtopf V0 gebundene Zustände auf, so wird die Streulänge beliebig groß [Feshbach-Resonanz].
Als erste Abschätzung für die Bindungsenergie ergibt sich [Potentialradius R ≪ a] dann: EB =
̵2
h
2ma2
.
Klein-Gordon-Gleichung:
[speziell-relativistisch]
0
0⎞
⎛1 0
0
−1
0
0
µ
⎜
⎟
⎟, Poincaré-Transformation x′ = Λµν xν + aµ mit
Koordinaten xµ = (ct, x1 , x2 , x3 ), Metrik gµν = ⎜
⎜0 0 −1 0 ⎟
⎝0 0
0 −1⎠
µ
µ
m n
a = const. ∈ R und gµν = gmn Λµ Λν
[Lorentz-Transformation x′ = Λµν xν ].
Der Abstand d(x, y) = gµν [x − y]µ [x − y]ν ist invariant unter Poincaré-Transformationen.
Aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p⃗2 c2 + [m0 c2 ]2
̵ µ
Korrespondenzregel pµ → i h∂
[κ = mh̵0 c , ◻ = ∂ µ ∂µ ]:
ergibt sich mit
p = ( Ec , p⃗)
und der
[◻ + κ2 ] Φ(x) = 0
̵
h
Im (Φ∂ µ Φ∗ ) gilt ∂µ j µ = 0 .
m0
̵
h
1
Im (Φ∂t Φ∗ ) ; es wird ρe− als Ladungsdichte interpretiert [ρ ∈ R].
Ist lim j(x) = 0 ∶ ∀t, so ist ρ = j 0 =
∣⃗
x∣→∞
c
m0 c2
Für ein ruhendes Teilchen gibt es 2 Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung
[positiver Energie Φ ∝ e− i κct , negativer Energie Φ ∝ ei κct ].
Für die kovariante Stromdichte j µ =
Antikommutator: {A, B} = AB + BA
Dirac-Gleichung:
Um nur positive Energien zu erhalten, DGL linear in p0 . Da Lorentz-Invarianz gefordert und Skalarprodukt dieses ist:
[γ µ pµ − m0 c] Ψ(x) = 0
Aus Lorentz-Invarianz folgt {γ µ , γ ν } = 2g µν
[Dirac- / Clifford-Algebra]; γ µ müssen matrix-wertig sein [mind. 4 × 4].
[Kleinstmögliche Darstellungsform heit „irreduzibel“.]
Erfüllt γ µ die Dirac-Algebra, so auch γ̃ µ = Sγ µ S −1 [S ∈ GL(4, C), „Spin-Basen-Transformation“] oder γ̂ = (
−i
1
), σ3 = (
0
0
0
(σ0 , σi ) , (σ µ ) = (σ̃µ ) = (σ0 , −σi ) und somit die chirale Darstellung γ µ = ( µ
σ̃
1
Mit σ 0 = (
0
0
0
) und den Pauli-Matrizen: σ1 = (
1
1
1
0
), σ2 = (
0
i
7
γµ
0
0
).
γµ
0
) schreibt man (σµ ) = (σ̃ µ ) =
−1
σµ
) .
0
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⎛
02×2
⎜
µ
Dirac-Operator p/ = γ pµ = ⎜
⎜ p0 − p3
−p1 + i p2
⎝ −p1 − i p2
p0 + p3
p0 + p3
p1 + i p2
p1 − i p2 ⎞
p0 − p3 ⎟
⎟ und somit Ψ ∈ C4 ;
⎟
02×2
⎠
Ψ transformiert unter Spin-Basen-Transformation [nicht unter Lorentz-Transformation!] und heißt „Spinor“.
Unter Lorentz transformieren dabei p′ = Λµν pν , γ ′ = Λµν γ ν und Ψ′ (p′ ) = Ψ(p) [⇒ [γ ′ p′ µ − mc] Ψ′ (p′ ) = 0 ];
µ
alternativ formuliert man mit γ ′ = Sγ µ S −1 , Ψ̃(p′ ) = S −1 Ψ(p) : [γ µ p′ µ − mc]Ψ̃(p′ ) = 0 .
µ
A
Man findet S = (
0
0
A
T −1 )
µ
µ
, A ∈ SL(2, C) .
Für γ5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 gilt {γ 5 , γ µ } = 0 .
Es sei der „Dirac-konjugierte Spinor“ Ψ = Ψ† γ 0 .
Alle kovarianten Bilineare [unter Lorentz-Transformation invariant] sind dann:
s = ΨΨ [Skalar],
j µ = Ψγ µ Ψ [Vektor],
tµν = Ψ[γ µ , γ ν ]Ψ [Tensor],
q µ = Ψγ5 γ µ Ψ [Axialvektor],
P Ψγ5 Ψ [Pseudoskalar].
φ
Mit Ψ = ( ) [φ linkshändiger, χ rechtshändiger Weyl-Spinor ∈ C2 ] erhält man aus der Dirac-Gleichung 2 gekoppelte
χ
σ µ pµ χ = mcφ
2 × 2-Gleichungen µ
, die im Limes m → 0 entkoppeln.
σ̃ pµ φ = mcχ
1
PL = [14×4 + γ5 ] ,
12×2
0
φ
0
2
In chiraler Darstellung findet man γ5 = (
); mit
ist dann PL Ψ = ( ), PR Ψ = ( ).
0
−12×2
0
χ
1
PR = [14×4 − γ5 ]
2
µ
1
⃗
Ψk = √ √
[(p0 , p⃗) = ( Ec , h1̵ k),
e− i k xµ uk
2 k⃗2 + κ2
uk = const. ∈ C4 ], falls [γ µ kµ − κ]uk = 0 . Für ein Teilchen in Ruhe ergeben sich jedoch wiederum Spinoren positiver
⎛1⎞
⎛1⎞
0
⎜ ⎟
⎜0⎟
[uk = ⎜ ⎟] und Spinoren negativer [uk = ⎜ ⎟] Energie [→ Anti-Teilchen].
⎜1⎟
⎜−1⎟
⎝0⎠
⎝0⎠
Die Ebenen-Wellen-Lösung der Dirac-Gleichung lautet
⃗ [A0 skalares Potential, A⃗ Vektorpotential] und der kovariIm elektromagnetischen Feld mit Potential (Aµ ) = (A0 , A)
ie
/ − κ]Ψ = 0 .
anten Ableitung Dµ = ∂µ + hc
̵ Aµ gilt die Dirac-Gleichung [i D
ie
′
̵ λ(x) Ψ, A′ µ = Aµ − ∂ µ λ ⇒ [i D
/ − κ]Ψ′ = 0 ]. Die nach dem
Diese ist invariant unter Phasentransformation [Ψ′ = e hc
Noether-Theorem korrespondierende Erhaltungsgröße ist der Strom j µ .
̵ t Ψ = HΨ um, so erhält man
Schreibt man die Dirac-Gleichung in die hamilton’sche Form i h∂
e
σ
0
0
σk
H = cγ 0 γ k [pk − Ak ] +m0 c2 γ 0 +eA0 . Auch kann man (γ µ ) = {( 0
),(
)} [Dirac-Darstellung] wählen.
0 −σ0
−σk 0
c
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
πk - kinetischer Impuls
Für kleine Impulse [nichtrelativistisch] und Wechselwirkungen [verglichen mit der Ruheenergie] erhält man mit
̵
m0 c 2
eh
1 2
Ψ
⃗ [Magnetfeld B].
⃗
⃗ + eA0 −
⃗B
Ψ = ( + ) e− i h̵ t schließlich, dass H =
π
σ
Ψ−
2m0
2m0 c
̵
1̵
eh
Für ein Spin- 12 -Teilchen mit S⃗ = h⃗
σ und dem bohrschen Magneton µB =
erhält man damit den Landé-Faktor
2
2m0 c
⃗
⃗ wobei µ
⃗ = gµB Sh̵ ] .
zu g = 2 [Emag. = −⃗
µB,
8
Quantenmechanik 2
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∞
Fresnel-Integral:
∫
Pfadintegrale:
−∞
π
dx ± i a x2 e± i 4
√ e 2 = √
2π
∣a∣
,a > 0
Aufgrund der Eigenschaft des Zeitentwicklungsoperators Û (tb , ta ) = Û (tb , tc )Û (tc , ta ), erhält man nach Unterteilung
des Zeitbereichs [ta , tb ] in N + 1 Schritte der Länge ε für einen Hamiltonian der Form Ĥ(x̂, p̂, t) = T̂ (p̂, t) + V̂ (x̂, t) im
Limes ε → 0 folgende Formel [1-dimensional]:
N
⟨xb , tb ∣ xa , ta ⟩ = [ ∏ ∫
n=1
∞
−∞
N +1
∞
m=1
−∞
dxn ] [ ∏ ∫
dpm ̵i SN
h
̵ ]e
2π h
N +1
mit der Wirkung
SN = ∑ [pn [xn − xn−1 ] − εH(xn , pn , tn )]
, falls H bestimmte Bedingungen erfüllt [z.B. 1) T
n=1
polynomial in p und V (x) ∈ C ∞ oder 2) H(x, p) zeitunabhängig und nach unten beschränkt oder . . . ].
Im klassischen Limes [„Korrespondenzlimes“] mit
∣
x0,i (t) [ dS
= 0]
dx x=x (t)
0,i
S(x0,i (t))
̵
h
N
N +1
∞
n=1
m=1
−∞
⟨xb , tb ∣ xa , ta ⟩ = [ ∏ ] [ ∏ ∫
≫ 1 erhält man in zweiter Näherung für stationäre Pfade
¿
̵
iÁ
± i 2π h
dpm
] ∑ ̵Á
eSN (x0,i ) .
Á
À
2
̵
d SN
2π h x0,i h
∣ dx2 ∣x=x ∣
0,i
[vgl. Perkeo-Experiment, Aharonov-Bohm-Effekt, . . . ]
9