Lösung 3

Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
20170324140706@4bfb597
Aufgabenblatt 3
40 Punkte
Aufgabe 1 (Negation)
Seien e ∈ R, n, k ∈ N und
φ∶
∀e [e > 0 → ∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
Negieren Sie φ.
4
Lösung
Bemerkung: Die Aussage φ besagt, dass die Folge
“Analysis” genauer darauf eingehen.
¬φ
2n2 −1
n2
gegen 2 konvergiert. Wir werden in der Vorlesung
2n2 − 1
− 2∣ < e))]]
n2
gdw
¬ [∀e [e > 0 → ∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
gdw
∃e ¬ [e > 0 → ∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
gdw
∃e ¬ [¬(e > 0) ∨ ∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
gdw
∃e [¬¬(e > 0) ∧ ¬∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ¬∃k ∀n ((n ≥ k) → (∣
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ¬∀n ((n ≥ k) → (∣
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ∃n ¬ ((n ≥ k) → (∣
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ∃n ¬ (¬ (n ≥ k) ∨ (∣
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ∃n (¬¬ (n ≥ k) ∧ ¬ (∣
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ∃n ((n ≥ k) ∧ (∣
2n2 − 1
− 2∣ ≥ e))]
n2
gdw
∃e [(e > 0) ∧ ∀k ∃n ((n ≥ k) ∧ (∣
2n2 − 1
− 2∣ ≥ e))]
n2
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
2n2 − 1
− 2∣ < e))]
n2
Aufgabe 2 (Mengenalgebra I)
Die Mengen A, B, C seinen Teilmenge der Grundmenge G. Geben Sie bei jeder Umformung das Gesetz oder
die Definition an, das Sie verwendet haben.
a) Zeigen Sie, dass gilt
A ∖ [B ∩ C ∩ (B ∪ C)] = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
mit den Gesetzen der Mengenalgebra.
2
b) Zeigen Sie mit den Gesetzen der Mengenalgebra dass gilt
[A ∩ B ∩ C] ∩ [(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)] = ∅
1
2
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
c) Dualisieren Sie die Aussage von 2 b).
1
5
Lösung
a) Wir formen um:
A ∖ [B ∩ C ∩ (B ∪ C)]
=
A ∩ B ∩ C ∩ (B ∪ C)
=
A ∩ [B ∩ C ∪ (B ∪ C)]
=
A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B ∪ C)]
Doppeltes Komplement
=
A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B ∩ C)]
De Morgan
=
[A ∩ (B ∩ C)] ∪ [A ∩ (B ∩ C)]
=
[A ∩ B ∩ C] ∪ [A ∩ B ∩ C]
Definition von “∖”
De Morgan
Distributivgesetz
Assoziativgesetz
b) Wir formen um:
[A ∩ B ∩ C] ∩ [(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)]
=
[A ∩ B] ∩ [C ∩ [(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)]]
=
[A ∩ B] ∩ [(C ∩ (A ∩ C)) ∪ (C ∩ (B ∩ A))]
=
[A ∩ B] ∩ [(C ∩ A ∩ C) ∪ (C ∩ B ∩ A)]
Assoziativgesetz
=
[A ∩ B] ∩ [(A ∩ C ∩ C) ∪ (C ∩ B ∩ A)]
Kommutativgesetz
=
[A ∩ B] ∩ [(A ∩ (C ∩ C)) ∪ (C ∩ B ∩ A)]
=
[A ∩ B] ∩ [(A ∩ ∅) ∪ (C ∩ B ∩ A)]
=
[A ∩ B] ∩ [∅ ∪ (C ∩ B ∩ A)]
Gesetz der Dominierung
=
[A ∩ B] ∩ [(C ∩ B ∩ A) ∪ ∅]
Kommutativgesetz
=
[A ∩ B] ∩ [C ∩ B ∩ A]
=
A∩B∩C ∩B∩A
Assoziativgesetz, nur noch “∩”
=
B∩C ∩B∩A∩A
Kommutativgesetz
=
(B ∩ C ∩ B) ∩ (A ∩ A)
=
(B ∩ C ∩ B) ∩ ∅
=
∅
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Assoziativgesetz
Komplementgesetz
Identitätsgesetz
Assoziativgesetz
Komplementgesetz
Gesetz der Dominierung
c)
[A ∪ B ∪ C] ∪ [(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] = G
Aufgabe 3 (Symmetrische Differenz)
a) Beweisen Sie, dass gilt A∆B = A∆B
1
b) Beweisen Sie, dass gilt (A ∩ B)∆B = B ∖ A
1
c) Vereinfachen Sie schrittweise mit den Eigenschaften auf Seite 43, sowie 3 a) und 3 b)
C∆B∆(A ∩ B)∆(A ∩ C)
2
4
2
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
Lösung
a) Vorbemerkung: Wir können die symmetrische Differenz auch in der Mengensprache definieren:
A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
(Das kommt daher, dass p >−< q ⇔ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)).
Damit könenn wir nun den Beweis durch einfaches Umformen mit den Gestzen der Mengenlehre machen:
A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Vorbemerkung
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Doppeltes Komplement
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Kommutativgesetz
= A∆B
Vorbemerkung
b) Wir verwenden wieder die Vorbermerkung, und formen mit den Gestzen der Mengenalgebra um:
(A ∩ B)∆B = ((A ∩ B) ∩ B) ∪ ((A ∩ B) ∩ B)
Vorbemerkung
= ((A ∩ B) ∩ B) ∪ (A ∩ (B ∩ B))
Assoziativgesetz
= ((A ∩ B) ∩ B) ∪ (A ∩ ∅)
Komplementgestz
= ((A ∩ B) ∩ B) ∪ ∅
Komplementgestz
= ((A ∩ B) ∩ B)
Identitätsgesetz
= ((A ∪ B) ∩ B)
De Morgan
= (B ∩ (A ∪ B))
Kommutativgesetz
= (B ∩ A) ∪ (B ∩ B))
Distributivgesetz
= (B ∩ A) ∪ ∅
Komplementgestz
=B∩A
=B∖A
Identitätsgesetz
Defintion von “∖”
c) Wir verwenden die Vorbemerkung so wie Aufgabe 3 b) und formen mit den Gesetzen der Mengenalgebra
und den Eigenschaften von ∆ um:
C∆B∆(A ∩ B)∆(A ∩ C)
= B∆C∆(A ∩ B)∆(A ∩ C)
= B∆C∆[A ∩ (B∆C)]
Kommutativeigenschaft (1.)
Eigenschaft (7.)
= (B∆C)∆[A ∩ (B∆C)]
= [A ∩ (B∆C)]∆(B∆C)
= (B∆C) ∖ A
Assoziativeigenschaft (4.)
Kommutativeigenschaft (1.)
Aufgabe 3 b)
Aufgabe 4 (Mengenalgebra II)
Die Mengen A, B, C seien Teilmengen der Grundmenge G. Beweisen Sie formal (also mit Hilfe der Definitionen
der Operationen, analog zum Beweis von 2a auf S. 40), dass gilt
a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
b) A∆B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A), mit Hilfe der Defintion aus Aufgabe 3 und p >−< q ⇔ ¬(p ↔ q).
1
2
c) A∆B ∩ (A ∖ B) = ∅, verwenden Sie 4 b)
2
5
3
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
Lösung
a) • Behauptung: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Beweis: Sei x ∈ G, dann gilt:
x ∈ A ∪ (B ∩ C) gdw x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)
gdw x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)
gdw x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Somit gilt A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
b)
• Behauptung: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Beweis: Sei x ∈ G, dann gilt:
x ∈ A∆B gdw x ∈ A >−< x ∈ B
gdw ¬(x ∈ A ↔ x ∈ B)
gdw ¬[(¬x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (¬x ∈ B ∨ x ∈ A)]
gdw ¬(¬x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ ¬(¬x ∈ B ∨ x ∈ A)
gdw (¬¬x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∨ (¬¬x ∈ B ∧ ¬x ∈ A)
gdw (x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∨ (x ∈ B ∨ ∧¬x ∈ A)
gdw (x ∈ A ∖ B) ∨ (x ∈ B ∖ A)
gdw x ∈ (A ∖ B) ∪ (B ∖ A)
Somit gilt A∆B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).
c)
• Behauptung: A∆B ∩ (A ∖ B) = ∅
• Beweis: Sei x ∈ G, dann gilt:
x ∈ A∆B ∩ (A ∖ B) gdw x ∈ A∆B ∧ x ∈ (A ∖ B)
gdw ¬(x ∈ A∆B) ∧ x ∈ (A ∖ B)
gdw ¬[(x ∈ A ∖ B) ∨ (x ∈ B ∖ A)] ∧ x ∈ (A ∖ B)
gdw ¬(x ∈ A ∖ B) ∧ ¬(x ∈ B ∖ A) ∧ x ∈ (A ∖ B)
gdw ¬(x ∈ B ∖ A) ∧ [x ∈ (A ∖ B) ∧ ¬(x ∈ A ∖ B)]
gdw ¬(x ∈ B ∖ A) ∧ f
gdw f
Somit gilt, dass für alle x ∈ G die Aussage x ∈ A∆B ∩ (A ∖ B) falsch ist.
Oder andes ausgedrückt, es gibt kein x in A∆B ∩ (A ∖ B).
Somit gilt A∆B ∩ (A ∖ B) = ∅.
Aufgabe 5 (Anwendung)
Gegeben ist ein Dreieck durch die Punkte A(−3, −1), B(3, 1), C(1, 3).
a) Geben Sie eine Formel für alle Punkte auf der selben Seite der Gerade durch A und B wie der Punkt C,
welche nicht auf der Geraden durch A und B liegen.
1
b) Geben Sie eine Formel für die Punkte innerhalb des Dreiecks.
2
c) Geben Sie eine Formel für die Punkte ausserhalb des Dreiecks.
1
d) Geben Sie eine Formel für die Punkte auf den Dreiecksseiten.
2
6
4
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
20170324140706@4bfb597
Lösung
Wir stellen die Situation als erstes in einem Koordinatensystem dar:
y
C
y = −x + 4
y =x+2
B
y = x/3
x
A
a) Die Punkte auf der Geraden durch A und B liegen erfüllen y = x/3. Die x-Koordinate von C ist 1 und
wenn wir dies in die Gerade einsetzen erhalten wir y = 1/3 = 1/3. Das heisst, die y-Koordinate 3 von C ist
grösser als die des Punkts auf der Geraden, somit muss gelten
y > x/3
b) Wir suchen die Punkte die gleichzeitig auf der selben Seite von AB liegen, wie C und auf der selben Seite
von BC wie A und auf der selben Seite von AC wie B. Das heisst
(y > x/3) ∧ (y < −x + 4) ∧ (y < x + 2)
c) Wir können die Aussageform aus 5 b) negieren, und erhalten so
(y ≤ x/3) ∨ (y ≥ −x + 4) ∨ (y ≥ x + 2)
Dies beinhalted nun aber noch die Seiten. Also brauchen wir
(y < x/3) ∨ (y > −x + 4) ∨ (y > x + 2)
Wir hätten auch auf die Formel kommen können mit der Überlegung, dass die gesuchten Punkte immer
auf mindestens einer anderen Seite der Geraden durch zwei Punkte sind als der Dritte.
d) Die gesuchten Puntke liegen auf einer der Geraden, aber “nicht ausserhalb” der Punkte. Das können wir
zum Beispiel durch festmachen der x-Koordinaten machen.
[y = x/3 ∧ −3 ≤ x ∧ x ≤ 3] ∨ [y = −x + 4 ∧ 1 ≤ x ∧ x ≤ 3] ∨ [y = x + 2 ∧ −3 ≤ x ∧ x ≤ 1]
Wir hätten auch gut die y-Koordinaten einschränken können, oder eine Kombination von x- und yKoordinaten.
Eine weitere “elegante” Methode wäre 5 b) und 5 c) zu kombineren – es soll ja weder innerhalb, noch
ausserhalb sein:
¬[(y > x/3) ∧ (y < −x + 4) ∧ (y < x + 2)] ∧ ¬[(y < x/3) ∨ (y > −x + 4) ∨ (y > x + 2)]
Aufgabe 6 (Teiler und Vielfache)
Sei n ∈ N. Mit T(n) bezeichnen wir die Teilmenge von N, welche aus allen Teilern von n besteht. Mit V(n)
jene, die aus allen Vielfachen von n besteht. Zum Beispiel ist
T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
und
V(12) = {12, 24, 36, 48, . . . }.
Drücken Sie folgende Mengen durch Terme mit Teiler- und Vielfachenmengen aus und vereinfachen Sie diese
weitmöglichst mit den Gesetzen der Mengenalgebra:
5
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
a) Die Menge aller natürlichen Zahlen, welche durch 5 teilbar sind.
1
b) Die Menge der natürlichen Zahlen, die gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar sind. Das heisst, die Schnittmenge
der Mengen der durch 2 teilbaren mit der Menge der durch 3 teilbaren Zahlen.
1
c) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 8 und 24 teilbar sind.
1
d) Die Menge der natürlichen Zahlen, welche mit 70 ausser 1 keinen gemeinsamen Teiler haben.
2
e) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 8, 15 und 27 teilbar sind.
2
7
Lösung
Bemerkung: In dieser Aufgabe tauchen der ggT und das kgV auf. Mit beiden diesen werden wir uns in der
Vorlesung “Zahlentheorie” noch ausführlicher beschäftigen.
a) Die natürlichen Zahlen, die durch 5 teilbar sind, können als 5 ⋅ n geschrieben werden, mit n ∈ N. Das heisst,
es sind die Vielfachen von 5, also
V(5)
b) Die natürlichen Zahlen, die durch 2 und 3 teilbar sind, sind also gleichzeitig Teil der Vielfachen von 2 und
der Vielfachen von 3. Somit
V(2) ∩ V(3) = {6, 12, 18, . . . } = V(6)
Es sind also gerade die Vielfachen von 6 = kgV(2, 3).
Allgemein gilt: V(n) ∩ V(m) = V(kgV(n, m)).
c) Wir schauen erstmal das Komplement an, also die Zahlen, die gleichzeitig durch 8 un 24 teilbar sind. Das
wäre also mit 6 b) V(8) ∩ V(24) dies können wir wieder mit dem kgV(8, 24) schreiben, also 24. Das heisst
V(24). Somit
V(24)
d) Die Menge der Zahlen die mit 70 gemeinsame Teiler haben haben mindestens einen Primfaktor mit 70
gemeinsam. Da 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 sind diese Zahlen also jene, die durch 2, durch 5 oder durch 7 teilbar sind:
V(2) ∪ V(5) ∪ V(7). Wir wollen nun aber ja alle Anderen, somit
V(2) ∪ V(5) ∪ V(7)
e) Wieder können wir erst das Komplement ansehen, also alle Zahlen, die gleichzetig durch 8, 15 und 27
teilbar sind; das wäre also wieder der Schnitt der Vielfachen von 8, 15 und 27:
V(8) ∩ V(15) ∩ V(27) = (V(8) ∩ V(15)) ∩ V(27)
= V(kgV(8, 15)) ∩ V(27)
= V(120) ∩ V(27)
= V(kgV(120, 27))
= V(1080)
Somit suchen wir
V(1080)
Aufgabe 7 (Aussageform)
Wir betrachten die Aussageform
φ(n) ∶
∀m [n > m → (n + 1)2 > m2 + 2m + 1]
6
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
bezüglich der Grundmenge N0 . Bestimmen Sie die
a) Konversion
b) Inversion
c) Kontraposition
d) Negation
der Formel φ(n) und vereinfachen Sie sie logisch und arithmetisch. Dabei soll das Zeichen ¬ nicht vokommen.
4
Lösung
a) Konversion von φ:
∀m [(n + 1)2 > m2 + 2m + 1 → n > m]
b) Inversion von φ:
∀m [¬(n > m) → ¬((n + 1)2 > m2 + 2m + 1)]
gdw
∀m [n ≤ m → (n + 1)2 ≤ m2 + 2m + 1]
c) Kontraposition von φ:
∀m [¬((n + 1)2 > m2 + 2m + 1) → ¬(n > m)]
gdw
∀m [(n + 1)2 ≤ m2 + 2m + 1 → n ≤ m]
d) Negation von φ:
¬∀m [n > m → (n + 1)2 > m2 + 2m + 1]
gdw
∃m ¬ [n > m → (n + 1)2 > m2 + 2m + 1]
gdw
∃m ¬ [¬(n > m) ∨ (n + 1)2 > m2 + 2m + 1]
gdw
∃m [¬¬(n > m) ∧ ¬((n + 1)2 > m2 + 2m + 1)]
gdw
∃m [n > m ∧ (n + 1)2 ≤ m2 + 2m + 1]
Aufgabe 8 (Lösungsmenge)
Wir betrachten die Aussageform
φ(y) ∶
∃x [(x2 + (y + 1)2 > 9) → ((y >
1 2 3
⋅ x − ⋅ x) ∧ (x2 + y 2 < 16))]
4
4
mit der Grundmenge Z.
a) Stellen Sie die Situation in einem Koordinatensystem dar.
1
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von φ in aufzählender Form.
2
c) Bestimmen Sie eine zu ¬φ äquivalente Formel, in der das Zeichen ¬ nich vorkommt.
1
d) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von ¬φ in aufzählender Form. Warum können Sie 8 b) dazu verwenden?
1
5
Lösung
Als erstes können wir φ umformen:
φ(y) ∶
∃x [(x2 + (y + 1)2 ≤ 9) ∨ ((y >
7
1 2 3
⋅ x − ⋅ x) ∧ (x2 + y 2 < 16))]
4
4
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
20170324140706@4bfb597
Frühlingssemester 2017, Aufgabenblatt 3
a) Durch diese Umformung können wir uns nun die Situation graphisch vorstellen:
y
1
x
1
Wir suchen also y-Werte, so dass es ein x gibt mit (x, y) ist im oder auf dem Kreis mit Radius 3 und
Mittelpunkt (0, −1) oder der Punkt liegt oberhalb der Parabel y = x2 /4 − 3/4x aber innerhalb des Kreises
mit Radius 4 mit Mittelpunkt (0, 0).
b) Somit haben wir
Ly = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
c) Wir negieren φ(y):
¬φ(y) gdw
gdw
gdw
gdw
1 2 3
⋅ x − ⋅ x) ∧ (x2 + y 2 < 16))]
4
4
1
3
∀x¬ [(x2 + (y + 1)2 ≤ 9) ∨ ((y > ⋅ x2 − ⋅ x) ∧ (x2 + y 2 < 16))]
4
4
1
3
∀x [(x2 + (y + 1)2 > 9) ∧ ¬ ((y > ⋅ x2 − ⋅ x) ∧ (x2 + y 2 < 16))]
4
4
1 2 3
2
2
∀x [(x + (y + 1) > 9) ∧ ((y ≤ ⋅ x − ⋅ x) ∨ (x2 + y 2 ≥ 16))]
4
4
¬∃x [(x2 + (y + 1)2 ≤ 9) ∨ ((y >
d) Da gilt Lφ ∪ L¬φ = G = Z und Lφ ∩ L¬φ = ∅ gilt L¬φ = Lφ .
Also:
L¬φ = Z ∖ Lφ
= Z ∖ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
= {. . . , −6, −5} ∪ {4, 5, . . . }
8