Vorkurs Mathematik

Michael Knorrenschild
Michael Knorrenschild
Vorkurs Mathematik
Mathematik-Studienhilfen
Studienanfängern fällt es häufig nicht leicht, den Einstieg in das Fach Mathematik von
Anfang an erfolgreich zu gestalten. Die Probleme resultieren erfahrungsgemäß aus
mangelnder Vertrautheit mit schulmathematischem Handwerkszeug.
Vorkurs
Mathematik
Dieses Buch möchte helfen, die Lücken durch Selbststudium zu schließen und bietet
dazu ausführliche Darstellungen der Grundlagen wie Rechenregeln, Aussagenlogik,
Funktionen, Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Logarithmen und
Trigonometrie.
Knorrenschild
Der Selbstüberprüfung dienen viele Übungsaufgaben mit Lösungen sowie Beispiele
von Hochschuleingangstests.
Ein Übungsbuch für Fachhochschulen
Vorkurs Mathematik
Dabei wird weniger Wert auf Formeln als auf das sichere Einüben der Methoden
gelegt. An typischen Beispielen werden die einzelnen Rechenschritte erläutert und auf
Besonderheiten hingewiesen.
www.hanser.de
ISBN 978-3-446-41263-7
9 783446 412637
2., aktualisierte Auflage
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
10
1 Elementares Rechnen
11
1.1
Die Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.4
Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.5
Summen- und Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.6
Fakultät und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . .
31
2 Elementare Strukturen
37
2.1
Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2
Anordnung von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3 Funktionen
49
3.1
Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
Umkehrbarkeit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3
Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4
Translationen, Skalierungen und Spiegelungen . . . . . . . . .
61
3.5
Die Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.6
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.6.1
Polynome vom Grad 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.2
Polynome vom Grad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.3
Polynome vom Grad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.7
Rationale Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.8
Die e-Funktion und ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.8.1
Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.8.2
Logarithmische Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.8.3
Andere Logarithmen als der natürliche . . . . . . . . .
82
8
Inhaltsverzeichnis
4 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
88
4.1
Grundlegendes zu Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.2
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.3
Gleichungen mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.4
Gleichungen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.5
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.6
Gleichungen mit Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.7
Bestimmung von Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8
Weitere Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.9
Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.10 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.11 Grundlegendes zu Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.12 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.13 Ungleichungen mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.14 Ungleichungen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.15 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.16 Weitere Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Ein wenig elementare Geometrie
120
5.1
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2
Kreis und Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3
Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4
Parabeln und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5
Die Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Trigonometrische Funktionen
133
6.1
Trigonometrie am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2
Wissenswertes über sin und cos . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4
Wissenswertes über tan und cot . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . 143
Inhaltsverzeichnis
9
7 Einige Tests
146
7.1 Test Nr. 1 der Fachhochschule Bochum . . . . . . . . . . . . . 148
7.2
Test Nr. 2 der Fachhochschule Bochum . . . . . . . . . . . . . 150
7.3
7.4
Test der Fachhochschule Koblenz . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Test Nr. 1 der Hochschule Wismar . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5
Test Nr. 2 der Hochschule Wismar . . . . . . . . . . . . . . . 155
Lösungen
157
Literaturverzeichnis
173
Sachwortverzeichnis
174
Zum Umgang mit diesem Buch:
Ziel des Buches ist es, den Lesern eine selbstständige Aufarbeitung der für den
Beginn eines Hochschulstudiums nötigen schulmathematischen Vorkenntnisse
zu ermöglichen. In die Darstellung eingestreut sind Aufgaben, die in der Regel analog zu vorherigen ausführlichen Beispielen gelöst werden können. Am
Ende einiger Kapitel wurden darüber hinaus Thesen unter der Überschrift
wahr oder falsch?“ formuliert, die der Leser kritisch auf ihren Wahrheitsge”
halt hinterfragen soll. Auf diese Weise kann das eigene Verständnis überprüft
werden. Zur weiteren Selbstkontrolle dienen einige klausurähnliche Tests, die
zum Teil bereits an Hochschulen eingesetzt wurden. Lösungen zu allen Aufgaben und den Tests sowie die Auswertungen der Thesen finden sich am Ende
des Bandes.
1
1.1
Elementares Rechnen
Die Grundrechenarten
Die einfachste Verknüpfung zweier Zahlen a und b ist die Addition, das Ergebnis ist die Summe a + b. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion,
die zur Differenz a − b führt. Die Subtraktion von b ist nichts anderes als die
Addition der Gegenzahl“ −b, also
”
a − b = a + (−b)
Geht man von den so genannten natürlichen Zahlen“ 1, 2, 3, . . . aus, so
”
sind deren Gegenzahlen keine natürlichen Zahlen mehr. Man bezeichnet die
natürlichen Zahlen als IN. Wenn die Null noch dazu kommt, schreiben wir
IN0 . Die Zahlen, die durch Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen erzeugt werden können, sind die ganzen Zahlen“, symbolisch Z. Die ganzen
”
Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen und ihre Gegenzahlen und enthalten
auch die Null (die gleich ihrer Gegenzahl ist).
Die Gegenzahl von b kann man auch als das Produkt (−1) · b berechnen. Es
ist jedoch keineswegs so, dass −b immer eine negative Zahl ist. Beispielsweise
ist zu b = −3 die Gegenzahl −b = −(−3) = 3.
Da die Subtraktion insbesondere also auch eine Addition ist, also keine wirklich neue Operation, werden wir im Folgenden, wenn wir Addition oder
”
Subtraktion“ meinen, einfach nur von Addition“ sprechen. In einer Summe
”
darf man die Reihenfolge der summierten Zahlen ( Summanden“) vertau”
schen, das Ergebnis ist davon unabhängig. In einer Differenz ändert sich bei
Vertauschung von a und b das Vorzeichen, es gilt:
b − a = −(a − b)
Die Klammern geben die Reihenfolge der Rechenoperationen vor: In −(b − a)
wird zuerst b − a berechnet und dann das Vorzeichen geändert. Würde man
hier die Klammern weglassen, so erhielte man −b − a, das ist nicht dasselbe
wie −(b − a) = a − b. Man kann b − a auch als Summe von b und −a sehen,
also b − a = b + (−a); hier darf die Reihenfolge ohne Schaden vertauscht
werden und man erhält b − a = b + (−a) = −a + b. Wir halten fest:
Steht vor einer Klammer ein Minus-Zeichen, so müssen beim
Auflösen der Klammern die Vorzeichen aller Summanden in
der Klammer umgekehrt werden:
−(x + y) = −x − y, −(x − y) = −x + y, −(−x − y) = x + y.
12
1
Elementares Rechnen
Natürlich können Klammern auch geschachtelt auftreten. Bei Rechnungen
per Hand kann man sich dabei die Übersicht erleichtern, indem man verschiedene Sorten Klammern verwendet, etwa (, ), [, ], {, } usw. Diese Hilfe
steht in Programmiersprachen nicht zur Verfügung, daher wollen wir hier
auch nur die runden“ Klammern verwenden und Leserin und Leser zu ge”
nauem Hinschauen motivieren.
Beispiel 1.1
Lösen Sie die Klammern in −(a − (b + c − (5 − (a + 3)))) auf und
vereinfachen Sie soweit wie möglich.
Lösung: Wir lösen zuerst die Klammern auf der innersten Ebene auf:
−(a − (b + c − (5 − (a + 3)))) = −(a − (b + c − (5 − a − 3)))
= −(a − (b + c − 5 + a + 3))
= −(a − b − c + 5 − a − 3)
= −a + b + c − 5 + a + 3 = b + c − 2.
Aufgabe
1.1 Lösen Sie in den folgenden Ausdrücken die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a) b − (a + 2 − (c + d − (3 − a)) + b)
b) c + (−3 − d − (−(−4 − b)) − c − (d − 2))
c) − (b + a − (c − 3 − d + b − (a + c + b − d)))
d) a + c − (d + a + 2 − (b + c − (−d + c)))
Wir erkennen also:
Klammern dienen nicht der Zierde, auch nicht vorrangig der
Übersicht, sondern stellen eine nicht vernachlässigbare Information über die Reihenfolge von Rechenoperationen dar.
In der Mathematik ist man bestrebt, Formeln möglichst kurz und bündig zu
schreiben. Für wiederholte Additionen desselben Summanden hat man daher
die Multiplikation zur Verfügung. So schreibt man beispielsweise anstelle von
a+a+a+a+a einfach das Produkt 5·a, oder noch kürzer 5 a. Die Umkehrung
1.1 Die Grundrechenarten
13
der Multiplikation ist die Division. Da die Division nichts anderes als die
Multiplikation mit dem Kehrwert ist, also keine wirklich neue Operation,
werden wir im Folgenden, wenn wir Multiplikation oder Division“ meinen,
”
einfach nur von Multiplikation“ reden. Bei der Division ist eine Ausnahme
”
zu beachten: Durch 0 kann nicht dividiert werden: Für jedes a gilt 0 · a = 0;
für eine Umkehrung müssten wir das Produkt durch 0 dividieren und wieder
a erhalten. Im Produkt 0 ist aber nicht mehr erkennbar, ob diese 0 aus 5 · 0,
6 · 0, oder wo auch immer herstammt, so dass eine Umkehrung nicht möglich
ist.
Das Ergebnis einer Division a : b, der sog. Quotient, wird meist als Bruch
a
geschrieben: a : b = (natürlich muss b = 0 sein). Dabei heißt a der Zähler
b
a
und b der Nenner des Bruches .
b
Wir halten also fest:
Die Multiplikation ist eine Abkürzung der Addition.
Niemals(!!!) darf durch 0 dividiert werden.
Bei Brüchen darf nie 0 im Nenner auftauchen.
Der Quotient zweier ganzer Zahlen muss keine ganze Zahl mehr sein. Man
bezeichnet die Menge aller Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen
dargestellt werden können, als rationale Zahlen“, symbolisch Q.
”
Einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen kann man alternativ auch als Dezimalzahl schreiben. Dazu dividiert man Zähler durch Nenner fortlaufend mit Rest,
wie man es in der Grundschule gelernt hat, und erhält beispielsweise:
1
1
1
78
= 78 : 125 = 0 · 1 + 6 ·
+2·
+4·
= 0.624
125
10
100
1000
1
1
1
1
= 1: 9 = 0·1+1·
+1·
+1·
+ . . . = 0.111111 . . . = 0.1
9
10
100
1000
1
1
1
1
37
= 37 : 33 = 1 · 1 + 1 ·
+2·
+1·
+2·
+ ...
33
10
100
1000
10000
= 1.12121212 . . . = 1.12
Diese Rechnung findet im 10er-System (Dezimalsystem) statt, d. h. man verwendet nur die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Man beachte den Unterschied
zwischen Ziffer und Zahl: Eine Zahl besteht aus Ziffern gerade so wie ein Wort
aus Buchstaben besteht. Die rationalen Zahlen besitzen eine abbrechende
14
1
Elementares Rechnen
78
Dezimaldarstellung (Beispiel: 125
) oder eine periodische Dezimaldarstellung
37 1
(Beispiel: 33 , 9 ). Aus der Dezimaldarstellung von 19 sehen wir übrigens, dass
9
9
1
9 = 0.9999 . . . = 0.9; man kann also 1 = 9 auch als 1 = 0.9 darstellen .
Es gibt auch Zahlen mit nicht-periodischer, nicht-abbrechender Dezimaldarstellung, z. B. π = 3.141592654 . . . Diese Zahlen können also nicht rational
sein, sie werden daher irrational genannt. Man bezeichnet die Menge aller
Zahlen mit abbrechender oder nicht-abbrechender Dezimaldarstellung als die
reellen Zahlen, symbolisch IR. Die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen
wird mit IR+ bezeichnet.
Aus verschiedenen Gründen gibt man oft Dezimalzahlen nicht mit allen Ziffern hinter dem Komma an, sondern nur mit einer begrenzten Anzahl. Dabei
verwendet man Rundung.
Rundungregeln:
Ist die erste weggelassene Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, so bleibt die
letzte geschriebene Ziffer unverändert ( Abrunden“).
”
Ist die erste weggelassene Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird die
letzte geschriebene Ziffer um 1 erhöht ( Aufrunden“).
”
Beispiele:
π auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet :
π auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet :
π auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet :
π = 3.141592 . . . ≈ 3.14
π = 3.141592 . . . ≈ 3.142
π = 3.141592 . . . ≈ 3.1416
Wer Genaueres über die dabei entstehenden Abweichungen wissen möchte,
sei z. B. auf [3] verwiesen.
Nach diesem Exkurs über Dezimalzahlen wenden wir uns wieder den Grundrechenarten und ihren Regeln zu.
Da die Multiplikation quasi relativ zur Addition eine höhergestellte Operation ist, vereinbart man, um Klammern zu sparen, dass die Multiplikation
stärker bindet als die Addition, kurz Punktrechnung geht vor Strichrech”
nung“. Es gilt also a · b + c = (a · b) + c = a · (b + c). Wiederum erkennt man,
dass das Weglassen von Klammern die Bedeutung eines Ausdrucks ändert.
Oft spart man sich bei Produkten auch den Punkt zwischen den Faktoren;
man schreibt also beispielsweise anstelle von x · y einfach x y. Dabei gibt
es jedoch eine Situation, in der es zu Missverständnissen kommen kann: Ist
1 Eine beliebte Streitfrage unter Möchtegernmathematikern ist, ob 0.9 vielleicht doch
nicht gleich 1 sei, sondern eine andere Zahl, die nur eine Winzigkeit kleiner als 1 ist.
1.1 Die Grundrechenarten
15
nämlich ein Faktor eine Zahl, und der andere Faktor ein Bruch, so würde
man anstelle von, sagen wir 2· 12 , gemäß der erwähnten Konvention 2 12 schreiben. Damit entsteht aber ein Gebilde, das aussieht wie ein gemischter Bruch,
nämlich wie zweieinhalb, also 2.5, wogegen 2 · 12 aber nichts anderes als 1
ist. Um das Problem zu umgehen, empfiehlt es sich, im Zusammenhang mit
Mathematik auf gemischte Brüche konsequent zu verzichten – wie wir es in
diesem Buch tun werden. Im Alltag sind gemischte Brüche allerdings verbreitet ( Ich hätte gerne zweieinhalb Kilo Kartoffeln“), dort sollte man sie auch
”
belassen.
Treten Multiplikation und Addition gemeinsam in einem Ausdruck auf, so ist
das Distributivgesetz zu beachten:
a · (b + c) = a · b + a · c
Es ist also beispielsweise
5 · (3 + 7) = 5 · 3 + 5 · 7,
Punkt- vor Strichrechnung
wovon man sich durch Nachrechnen überzeugen sollte. Außerdem ist natürlich
5 · (3 + 7) = 5 · 3 + 7.
Tatsächlich, die Klammern dürfen also nicht weggelassen werden!
Die Anwendung des Distributivgesetzes in der obigen Form bezeichnet man
auch schlicht als Ausmultiplizieren“.
”
Man muss jedoch auch in der Lage sein, das Distributivgesetz von rechts nach
links anzuwenden.
a · b + a · c = a · (b + c)
Diesen Vorgang nennt man auch Ausklammern“, also beispielsweise:
”
5 · 3 + 5 · 7 = 5 · (3 + 7).
Hier wird der gemeinsame Faktor 5 ausgeklammert. Um auszuklammern, ist
– außer der Kenntnis des Distributivgesetzes – erforderlich, dass man den
gemeinsamen Faktor, in diesem Fall 5, erkennt. Für das Erkennen solcher
Merkmale in Ausdrücken gibt es keine Regeln; dies ist eine Erfahrungssache,
also ist hier Üben, Üben, Üben angesagt.
Will man die für ein Ingenieurstudium nötigen Rechenfertigkeiten erwerben,
so ist Folgendes nützlich zu wissen:
Sachwortverzeichnis
Abbildung siehe Funktion
Abrunden 14
Absolutbetrag 53
Additionstheorem
–, für sin und cos 138
–, für tan 142
äquivalent 38
Amplitude 139
arccos 143
arccot 144
arcsin 143
arctan 144
Asymptoten 125
Aufrunden 14
Aussage 37
–, Regeln 40
–, Verknüpfungen 38
Aussageform 37
–, Quantifizierung 42
Behauptung 41
Betrag
–, Definition 53
–, Rechenregeln 93
Beweis 41
–, indirekter 41
Bildmenge 49
Binomial
–, -koeffizient 31
–, -satz 34
Binomische Formeln 16
Bogenmaß 133
Bruchrechnung 20
cos 134
cot 134, 141
Definitionsbereich 49
Dezibel 84
Dezimalzahl 13
Distributivgesetz 15
Doppelbrüche 22
Dreieck, Pascal’sches 32
Dreiecksungleichung 93
e-Funktion 77
Einheitskreis 121
Element 45
Ellipse 122
–, Mittelpunktsgleichung 123
Ergänzung, quadratische 18
Erweitern 21
Euler’sche Zahl 78
Faktorisieren 19
Fakultät 31
Folgerung 38
Funktion 49
–, gerade 64
–, lineare 70
–, monoton fallende 58
–, monoton steigende 58
–, periodische 137
–, rationale 73
–, streng monoton fallende 58
–, streng monoton steigende 58
–, trigonometrische 134
–, ungerade 64
Sachwortverzeichnis
Funktionswert 49
Gefälle 144
Gegenzahl 11
Gerade 69
Gleichung 88
–, lineare 90
–, mit Beträgen 91
–, mit Brüchen 91
–, mit Wurzeln 97
–, quadratische 94
–, weitere 101
Gleichungssystem 102
Goldener Schnitt 107
Graph einer Funktion 51
Halbachsen 122
Halbwertszeit 86
Hertz 139
hinreichend 38
Hyperbel 124
–, Mittelpunktsgleichung 124
Hypotenuse 120
Implikation 38
Indexverschiebung 29
Intervalle 47
Katheten 120
Klavierkonzert 16
Kombinatorik 31
Komposition 59
Kreisfrequenz 139
Kreisgleichung 124
Kreuzprodukt 46
Kürzen 21
lg 82
ln 79
log 82
Logarithmus
–,
–,
–,
–,
–,
allgemein 82
dekadischer 82
dualer 82
natürlicher 79
Rechenregeln 80
Mächtigkeit 46
Menge 45
–, leere 45
Mittelpunktsgleichung
–, der Ellipse 123
–, der Hyperbel 124
–, des Kreises 124
Monotonie von Funktionen 58
Negation 38
Nenner 13
notwendig 38
Nullpolynom 69
Nullstelle 88
Oder, logisches 38
p-q-Formel 95
Parabel 71, 127
–, Scheitelgleichung 129
Pascal’sches Dreieck 32
periodische Funktion 137
Pfeildiagramm 50
pH-Wert 86
Phasenwinkel 139
Polynom 68
–, -division 73
–, Koeffizienten 68
Potenzen 25
Potenzrechenregeln 26
Probe 89
Produktzeichen 30
Promille 24
proportional 70
Proportionalitätskonstante 70
175
176
Sachwortverzeichnis
Prozentrechnung 24
Pythagoras 120
Quantifizierung 42
Radikand 65
Rechenregeln
–, für Betrag 93
–, für Gleichungen 90
–, für Logarithmen 80
–, für Potenzen 26
–, für Ungleichungen 108, 109
Regeln für Aussagen 40
rekursiv 31
Richter-Skala 86
Rundung 14
Satz des Pythagoras 120, 135
Satz von Vieta 19
Scheitelpunkt 71
Schnitt, Goldener 107
Schnittpunkt 104
Schubfachprinzip 41
Schwingung 139
sin 134
Skalierung 61
Spiegelung 63
Steigung 69
Steigungsdreieck 69
Strahlensätze 130
Summenzeichen 27
tan 134, 141
Teilmenge 45
Textaufgaben 105
Translation 61
umkehrbar 54
Umkehrfunktion 54
–, Bestimmung 100
Und, logisches 38
Ungleichung 108
–, mit Beträgen 112
–, quadratische 115
–, weitere 117
Variable 49
Verschiebung 61
Vieta, Satz von 19
Voraussetzung 41
Wachstum, exponentielles 78
Wachstumsrate 85
Wahrheitstafel 39
Wertebereich 49
Winkelfunktionen 134
Winkelhalbierende 70
Wurzel 65
Wurzelfunktion 65
Zähler 13
Zahl, Euler’sche 78
Zahlen
–, ganze 11
–, irrationale 14
–, natürliche 11
–, rationale 13
–, reelle 14
Zahlengerade 44
Zahlenstrahl 44
Zerfallsrate 85
Ziffer 13