Blatt 2 - Server der Fachgruppe Physik der RWTH Aachen

III.Physikalisches Institut A
der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule
Prof. T.Hebbeker, Dr. A.Meyer, Dr. M.Merschmeyer
Elementarteilchenphysik II
Übung Nr. 2, WS 2007/2008
Abgabe: 2.11.2007
Übungen zur Elementarteilchenphysik II — Blatt 2
Aufgabe 1: Elektroschwache Vereinheitlichung
I
In der Tabelle sind die linkshändigen Fermionen zu Multipletts der vereinheitlichten
elektroschwachen Wechselwirkung zusammengefasst. Die Multipletts sind gekennzeichnet durch
eine neue Quantenzahl, den schwachen Isospin
(I; I3 ). Innerhalb eines Multipletts gilt zf − I3 =
const, wobei zf die elektrische Ladung in Einheiten von e ist.
I3
Die Mitglieder eines Dubletts können durch Austausch eines W -Bosons ineinander umgewandelt
werden, wobei die Kopplungsstärke im Vertex die schwache Ladung g ist. Bei Reaktionen mit
geladenen Strömen soll I3 eine Erhaltungsgröße sein. Man sieht, dass dann die W -Bosonen die
Quantenzahlen (I = 1; I3 = ±1) haben müssen. Konsequenterweise sollte es noch ein W 0 -Boson
geben (I = 1; I3 = 0), dass das Isospin-Triplett der W -Bosonen vervollständigt. Es liegt nahe
anzunehmen, dass weiterhin ein Teilchen, nennen wir es B 0 , mit I = 0 existiert, das auch an
die Fermionen koppelt ohne ihren schwachen Isospin zu ändern. Die Kopplungsstärke g 0 kann
aber natürlich anders sein. Die rechtshändigen Teilchen koppeln nicht an W -Bosonen und bilden
schwache Isospin-Singuletts.
(a) Überlegen Sie sich die Quantenzahlen der entsprechenden Antifermionen.
(b) Warum entspricht dem W 0 nicht das Z 0 als physikalisches Teilchen?
(c) In der Realität existieren zwei neutrale Vektorbosonen, das Z 0 und das Photon. Idee der
elektroschwachen Vereinigung ist, dass sich beide als Linearkombination der Zustände B 0
und W 0 beschreiben lassen:
|γi
|Z 0 i
=
cos θW sin θW
− sin θW cos θW
|B 0 i
|W 0 i
!
mit dem elektroschwachen Mischungswinkel oder Weinberg-Winkel θW . Berechnen Sie
den Mischungswinkel θW aus den Massen der W - und des Z 0 -Bosons (MW = 80.403 ±
0.029 GeV und MZ 0 = 91.1876±0.0021 GeV). Hinweis: Berechnen Sie den Erwartungswert
eines Operators, der das Quadrat der Masse als Erwartungswert hat.
(d) Das Photon koppelt gleichstark an rechts- bzw. linkshändige geladene Leptonen, aber nicht
an Neutrinos. Leiten Sie daraus den Zusammenhang zwischen schwacher Elementarladung
g und elektrischer Elementarladung e her.
8 Punkte (2 + 1 + 4 + 1)
1
Aufgabe 2: Gebundene Systeme der schwachen Wechselwirkung
Es gibt gebundene Systeme der starken Wechselwirkung (Hadronen, Kerne) und der elektromagnetischen Wechselwirkung (Atome, Festkörper) sowie der Gravitation (Sterne, Planetensysteme, Galaxien), nicht jedoch der schwachen Wechselwirkung.
Schätzen sie in Analogie zum Positronium ab, wie schwer zwei Teilchen sein müssten, damit
der Bohrsche Radius eines gebundenen Systems größenordnungsmäßig von der Reichweite der
schwachen Wechselwirkung ist.
2 Punkte
Aufgabe 3: Universalität der schwachen Ladung
Eine Annahme der Theorie der schwachen Wechselwirkung ist, dass die schwache Ladung g
für alle fundamentalen Fermionen, also Leptonen und Quarks, identisch ist. Um diese Annahme
experimentell zu testen, kann man z.B. die Lebensdauer des τ -Leptons betrachten. Das τ -Lepton
kann sowohl leptonisch als auch “semileptonisch” zerfallen. Ein typischer Zerfall ist
τ − → ντ + ν̄e + e−
mit einem Verzweigungsverhältnis von ungefähr 18%.
Bestätigen Sie die Annahme einer universellen schwachen Ladung, indem Sie die experimentell
gemessene Lebensdauer des τ -Leptons von ττ = 2.9 · 10−13 s unter Verwendung der Lebensdauer
des Myons reproduzieren.
Zur Erinnerung: mµ = 105.66 MeV, τµ = 2.197 µs, mτ = 1777 MeV.
2 Punkte
2