Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts
Alexander Tochtenhagen, Marcel Grüneberg
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II - Institut für Mathematik
10. November 2010
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Inhaltsverzeichnis
1
Logik
2
Rahmenplan
3
Logische Grundlagen
4
Äquivalenzumformungen
5
Beweise
6
Bedingungen
7
Zum Anfang
8
Quellen
2 / 52
Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Einführung
Ein Jäger geht auf die Jagd
Ein Jäger geht auf die Jagd; Sonusvox ist sein Hüfthorn, aus welchem duae praemissae als zwei Rosen hervorgehen; der das Horn haltende Arm bedeutet Argumenta; auf
seiner Brust ist Conclusio geschrieben; Syllogismus ist sein Waidmesser, Quaestio der Bogen in seiner
rechten Hand; vor ihm springen zwei
Jagdhunde, ein schöner Veritas und
ein häßlicher Falsitas; Gegenstand
der Jagd ist ein Hase Problema;
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Einführung
Definition Logik
Logik
Logik ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-)Folgerns.
Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich
ihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt der
eigentlichen Aussagen.
man spricht auch von mathematischer”Logik.
”
Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und der
Informatik
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als Wissenschaft vom richtigen
”
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durch
Mittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedensten
philosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als Wissenschaft vom richtigen
”
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durch
Mittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedensten
philosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
George Boole führte als erster für den Teilbereich der
Aussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern als
die Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit die
Logik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.
Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als Wissenschaft vom richtigen
”
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durch
Mittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedensten
philosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
George Boole führte als erster für den Teilbereich der
Aussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern als
die Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit die
Logik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.
Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.
Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichung
der Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.
”
Russel dar.
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Ein paar einfache Probleme
Wason Selection Task
Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einem
Buchstaben auf der anderen Seite.
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hat
sie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zu
testen?
Tipp: Es sind so wenig wie möglich, aber soviel wie nötig
umzudrehen.
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Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Ein paar einfache Probleme
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!
1
Alle Schüler sind fleißig.
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Ein paar einfache Probleme
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!
1
Alle Schüler sind fleißig.
2
Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.
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Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Sekundarstufe I
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allen
Niveaustufen Schülerinnen und Schülern den Erwerb der
folgenden Kompetenzen zu ermöglichen.
Argumentieren
Probleme lösen
Modellieren
Darstellungen verwenden
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen
Kommunizieren
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Bedingungen
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Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Argumentieren
Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden von
Situationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlüssige
Begründen von vermuteten Zusammenhängen. In der
Sekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedliche
Grade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichen
Begründen bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zurückführen
auf gesicherte Aussagen.
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Bedingungen
Zum Anfang
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Logik im Berliner Rahmenplan
Prozessbezogene Standards
Die folgenden Standards werden von Schülerinnen und Schülern
aller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufen
erwartet.
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
erkunden mathematische Situationen und stellen
Vermutungen auf,
begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegen
diese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen,
entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründung
mathematischer Aussagen,
hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch,
finden und korrigieren Fehler.
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhalte
transportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigen
diese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhalte
transportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigen
diese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des Thales
FF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhalte
transportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigen
diese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des Thales
FF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigen
Dreiecken
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhalte
transportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigen
diese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des Thales
FF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigen
Dreiecken
P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen
FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken
FFF beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekter
Beweis)
Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen des
Moduls Entdecken, Begründen, Beweisen”behandelt.
”
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Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Logik im Berliner Rahmenplan
Sekundarstufe II
Kurs ma–Z3 Logik
Aussagen– und Prädikatenlogik
Quantoren, Verknüpfungen bei Aussageformen,
Mengendiagramme
logische Schlussformen
Beachte: Zusatzkurse dürfen nicht vor dem Besuch der
entsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Mathematische Logik
Einführung
Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalen
Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik.
logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül
erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen rein
inhaltliches Denken versagt
nützlich in Disziplinen die eine axiomatische Begründung
zulassen
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Aussagenlogik
Definition
Aussage
Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten,
dass sein Inhalt richtig oder falsch ist.
Beispiele:
Der Schnee ist schwarz.
9 ist eine Primzahl.
Hertha BSC steigt nächste Saison nicht auf.
Die Masse m eines Körpers ist von seinem Bewegungszustand
unabhängig, d.h. m0 = mv .
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Aussagenlogik
Verknüpfung von Aussagen
Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestallt
oder gedankliche Struktur.
Was uns interssiert ist der Wahrheitswert
Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),
⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Aussagenlogik
Verknüpfung von Aussagen
Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestallt
oder gedankliche Struktur.
Was uns interssiert ist der Wahrheitswert
Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),
⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)
A
f
f
w
w
B
f
w
f
w
¬A
w
w
f
f
A∧B
f
f
f
w
A∨B
f
w
w
w
A⇒B
w
w
f
w
A⇔B
w
f
f
w
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Aussagenlogik
Aussagenlogische Gesetze
tertium non datur
Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zwei
einander widersprechende Aussagen nicht beide ungültig sein
können.
A
wahr
falsch
¬A
falsch
wahr
A ∨ ¬A
wahr
wahr
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Aussagenlogik
Aussagenlogische Gesetze
ex falso quodlibet
Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahme
kann man quasi beliebige Aussagen ableiten.
Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf.
Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben,
dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhin
meinte der Philosoph, können Sie mir beweisen: Wenn 1 = 2, so
”
sind Sie der Papst.” [6]
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Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Schlussregeln
Modus ponendo ponens
Abtrennungsregel
Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) der
klassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage
eine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen erster
Prämisse, Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten
”
Prämisse A folgt die Konklusion B.
A⇒B
A
B
Beispiel:
Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und Es regnet“ folgt
”
”
logisch: Die Straße wird nass“.
”
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Schlussregeln
Modus tollendo tollens
Aufhebungsregel
Der Modus tollendo tollens durch Aufheben aufhebende
”
Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass aus
den Voraussetzungen nicht B“und Wenn A, dann B“auf die
”
”
Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.
A⇒B
¬B
¬A
Beispiel:
Wenn es regnet, ist die Straße nass“und Die Straße ist nicht
”
”
nass”folgt logisch Es regnet nicht”.
”
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Schlussregeln
Modus tollendo tollens
Aufhebungsregel
Der Modus tollendo tollens durch Aufheben aufhebende
”
Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass aus
den Voraussetzungen nicht B“und Wenn A, dann B“auf die
”
”
Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.
A⇒B
¬B
¬A
Beispiel:
Wenn es regnet, ist die Straße nass“und Die Straße ist nicht
”
”
nass”folgt logisch Es regnet nicht”.
”
Achtung, der Schluss: Die Straße ist nass, daher regnet es“ist
”
unzulässig und falsch.
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Grundlagen
Prädikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik
Erweiterung der Aussagenlogik betrachten
Prädikatenlogik kann mögliche Variablen mit Hilfe
sogenannter Quantoren quantifizieren
Für uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren:
∀ für alle
∃ es existiert
∃! es existiert genau ein
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich an
Sätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb eines
Axiomsystems prüfen.
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich an
Sätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb eines
Axiomsystems prüfen.
Ein Mädchen spielt Schach.
Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.
Es gibt ein x, für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.
∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich an
Sätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb eines
Axiomsystems prüfen.
Ein Mädchen spielt Schach.
Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.
Es gibt ein x, für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.
∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.
Alle Frauen sind gute Autofahrer.
Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gut
Auto.
Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.
∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Wahrheitswerte
Beachte, auch in der Prädikatenlogik lassen sich Wahrheitswerte
den Aussagen zuordnen.
Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn es
mindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x)
erfüllt ist.
Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn für alle
Belegungen der Variable x, F (x) erfüllt ist.
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
Fall
Einsetzung
für x
x <3
x <5
x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
Fall
ww
Einsetzung
für x
2
x <3
x <5
x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
2<3
2<5
2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
Fall
ww
wf
Einsetzung
für x
2
x <3
x <5
x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
2<3
2<5
2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
–
–
–
–
25 / 52
Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
Fall
ww
wf
fw
Einsetzung
für x
2
x <3
x <5
x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
2<3
2<5
2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
–
–
–
–
4
4<3
4<5
4 < 3 ⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage: wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
”
x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R
Fall
ww
wf
fw
ff
Einsetzung
für x
2
x <3
x <5
x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
2<3
2<5
2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
–
–
–
–
4
4<3
4<5
4 < 3 ⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
6
6<3
6<5
6 < 3 ⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall wf”kann nicht eintreten.
”
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3 ⇒ x < 5
gezeigt.
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Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Grundlagen der Äquivalenzumformungen
Grundlage: Aussageform
Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welches
mindestens eine Variable enthält und nach geeigneter
Ersetzung in eine wahre oder falsche Aussage übergeht
Beispiele
√
√
A(x) : x = 2, M = {x ∈ R : x = 2} = {4}
B(x, y ) : x + 10y = 8
M = {(x, y ) ∈ R2 : x + 10y = 8} = {(k, (
8−k
)) ∈ R2 , k ∈ R}
10
Belegung für die eine Aussageform wahr wird, wird als
Erfüllungsmenge M über der Grundmenge G n bezeichnet.
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Äquivalenz von Aussageformen
Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unter
der gleichen Grundmenge als äquivalent genau dann, wenn ihre
Erfüllungsmengen übereinstimmen.
Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einer
Gleichung, die die Erfüllungsmenge nicht verändert als
Äquivalenzumformung.
Dazu gehören:
Addition eines Terms und
Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten
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Logik
Rahmenplan
Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Beweis
Verallgemeinerung
Satz
Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einer
Gleichung an, so bezeichnet man dies als Äquivalenzumformung.
Beweis
zu zeigen ist:
Sei (x,y,..) eine Lösung der Gleichung h = j, mit h,j Terme,
dann ist (x,y,...) eine Lösung der Gleichung f (h) = f (j).
Es existieren keine Lösungen von f (h) = f (j), die nicht
gleichzeitig Lösungen von h = j sind.
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Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Beweis
Zum Beweis
Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion
Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivität von f
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Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Typische Schülerfehler
Fehler
Lösen von Gleichungssystemen über R
Äquivalenzumformungen von Gleichungen über R
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Typische Schülerfehler
Lösungsmenge des Gleichungssystems
Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Typische Schülerfehler
Lösungsmenge des verändertem Gleichungssystems
Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Typische Schülerfehler
Erfahrungen
Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wie
seid ihr damit umgegangen?
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Definition
Beweis
Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültiger
Schlussregeln durchgeführt werden und die von wahren bzw. als
wahr angenommenen Aussagen (Prämissen) ausgehen und zu der
Aussage A (Konklusion) führen, nennen wir Beweis der Aussage A.
einige wichtige Beweisverfahren:
direkter Beweis
indirekter Beweis
Beweis durch Kontraposition
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Direkter Beweis
Vorgehen
Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahr
angenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gültigen
Schlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten die
Behauptung folgt.
35 / 52
Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Indirekter Beweis
Vorgehen
Die Implikation wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der
”
Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorher
gesehen in Abschnitt Implikation”.
”
A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A
Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzung
und die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn die
Verneinung falsch ist.
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Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Indirekter Beweis
Kalkül
Die Annahme für den indirekten Beweis gewinnen wir durch
die Negation der Behauptung.
Mit gültigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis ein
Widerspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlich
wird.
37 / 52
Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Indirekter Beweis
Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A
w
f
w
w
¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ A
f
w
f
f
Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitig
wahr sein können. Daraus muss folgen, dass die Annahme falsch
und die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist.
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Logik
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Logische Grundlagen
Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Kontraposition
Beweis durch Kontraposition
Achtung: Häufig mit dem indirekten Beweis verwechselt.
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Logik
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
Zum Anfang
Quellen
Kontraposition
Wahrheitstabelle
Wahrheitswerte
A
B
¬A
¬B
A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A
¬B ⇒ A ⇔ ¬A ∨ B
¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ A
w
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
w
f
w
f
w
w
f
w
w
w
f
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Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A ⇔ A ⇒ B
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Äquivalenzumformungen
Beweise
Bedingungen
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Quellen
Kontraposition
Erfahrungen
Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginn
des Studiums
Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisen
gemacht?
Würde euch eine solch theoretische Einführung zum Beginn
des Studiums helfen mit Beweisen umzugehen?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Grundlagen
Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind
Begriffe aus der Aussagenlogik.
Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden
Typen von Voraussetzungen
Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung von
Schlussfolgerungen
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige Bedingung
Notwendige Bedingung
Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung,
ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfüllung der
Voraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses.
Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auch
K.O.-Kriterium genannt
Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nicht
gelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen
darf.
Beispiel: Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen.
Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum
Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss
noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche
Staatsbürgerschaft besitzen.
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Hinreichende Bedingung
Hinreichende Bedingung
Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei deren
Erfüllung Ereignis zwangsläufig eintritt und keine weiteren
Voraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen des Ereignisses
jedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignis
vorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichende
Bedingung erfüllt sein muss.
Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegt
daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf.
Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend
(ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine
notwendige Bedingung hierfür, weil es auch andere Möglichkeiten gibt,
eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem
Wasserschlauch.
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums an
der Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.
also f 0 (x0 ) = 0.
Ist das auch schon hinreichend?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Hinreichend wäre:
f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) < 0 für ein Maximum und
f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) > 0 für ein Minimum.
Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichenden
Bedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f 00 (x0 ) 6= 0
ausreichen?
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Lösung der Aufgaben
Wason Selection Task
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hat
sie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
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Lösung der Aufgaben
Wason Selection Task
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hat
sie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was den
Schlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollens
entspricht.
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Lösung der Aufgaben
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussage!
Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.
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Lösung der Aufgaben
Ausführliche Analyse des Problems
Wir konnten uns in der Vergangenheit davon überzeugen, dass Aussagen wahr oder
falsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenn
eine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt es
nicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur).
Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine
Glatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat
keine Glatze“aus? Einer der beiden Sätze muss wahr sein, der andere falsch. Welcher
ist wahr, welcher falsch?
Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unter
ihnen den gegenwärtigen König von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hat
keinen König). Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wäre
demnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird man
jedoch auch nicht auf den gegenwärtigen König von Frankreich stoßen. Der Satz ”Der
gegenwärtige König von Frankreich hat keine Glatze“wäre somit nicht weniger falsch!
Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung
falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen
Sprache nicht verträglich.
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Ausführliche Lösung des Problems
Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung der
”
gegenwärtige König von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname.
Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“muss korrekt
analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, das König von Frankreich ist, und dieses
Ding hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch.
Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu Es ist nicht der Fall, dass es genau
”
ein Ding gibt, das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dass dieses Ding eine
Glatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz Der gegenwärtige König
”
von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding,
das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. Dieser
Satz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Möglichkeit, dass beide Sätze
zugleich falsch sein können, ist daher kein Problem für unsere logische Sprache.
Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fällt also die
Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwärtige König von Frankreich
hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat keine
Glatze“lautet.[1]
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Quellen
Quellen
Bertrand Russel: On Denoting –
(http://www.jstor.org/pss/2248381)
Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I – Mathematik
Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe II –
Mathematik
Georg Klaus: Moderne Logik (1972)
D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik
(1958)
http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf
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Spock
Logic is the beginning of wisdom, not the end.
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