Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Abteilung für Angewandte

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Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Abteilung für Angewandte Mathematik
Prof. Dr. Patrick Dondl
Dr. Keith Anguige
Sommersemester 2017
Numerik 2
Blatt 4
Abgabe: 28. Juni 2017
Diskrete Fourier-Transformation
Aufgabe 19 (Präsenzaufgabe).
Seien w0 , w1 , . . . , wn−1 ∈ C und n = 2m. Konstruieren Sie Zahlen y0 , y1 , . . . , yn−1 ∈ C, sodass
mit den Koeffizienten β0 , β1 , . . . , βn−1 ∈ C der Lösung der zugehörigen komplexen trigonometrischen Interpolationsaufgabe und der Funktion
q(x) =
m−1
X
βk+m eikx
k=−m
die Interpolationseigenschaft q(xj ) = wj für j = 0, 1, . . . , n − 1 und xj = 2πj/n erfüllt ist.
Aufgabe 20 (4 Punkte). Unitarität
(1) Sei n ∈ N und l ∈ Z. Zeigen Sie, dass gilt
(
n−1
X
n falls n Teiler von l,
eilk2π/n =
0 andernfalls.
k=0
(n−1)k
(2) Folgern Sie, dass die Fourier-Basis (ω 0 , ω 1 , . . . , ω n−1 ) mit ω k = (ωn0k , ωn1k , . . . , ωn
)> ,
i2π/n
k = 0, . . . , (n − 1) und der n-ten komplexen Einheitswurzel ωn = e
die Eigenschaft
ω k · ω l = nδkl
besitzt.
Pn−1
ai b̄i . Also, den Querstrich nicht vergessen!
Achtung: Im Cn gilt standardmässig a · b = i=0
Aufgabe 21 (4 Punkte). T 6= p.
Zu gegebenen y0 , y1 , . . . , yn−1 ∈ C seien T und p die Lösungen der reellen beziehungsweise
komplexen trigonometrischen Interpolationsaufgabe. Zeigen Sie, dass
T (xj ) = p(xj )
für xj = 2πj/n, j = 0, . . . , n − 1
erfüllt ist aber im Allgemeinen nicht p = T gilt.
Aufgabe 22 (4 Punkte). Reelle trigonometrische Interpolation direkt.
Zeigen Sie, dass die Lösung der reellen trigonometrischen Interpolationsaufgabe durch die Koeffizienten
n−1
n−1
2X
2X
yj cos(kxj ) bl =
yj sin(lxj )
ak =
n
n
j=0
j=1
für k = 0, 1, . . . , m und l = 1, 2, . . . , m − 1 mit xj = 2πj/n, j = 0, 1, . . . , n − 1 und n = 2m
gegeben ist.
Aufgabe 23 (4 Punkte). Orthogonalität im Reellen.
Folgern Sie aus Aufgabe 22, dass die Vektoren
f k = (cos(kxj ))j=0,...,n−1 ,
g l = (sin(lxj ))j=0,...,n−1 ,
mit k und l wie oben eine Orthogonalbasis des Rn definieren.
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