Einführung in die Mathematik
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Helmut Koch Einführung in die Mathematik Hintergründe der Schulmathematik Springer Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 2 1 Natürliche Zahlen 1.1 Zählen 1.2 Die Nachfolgerbeziehung 1.3 Bezeichnungen für natürliche Zahlen 1.4 Mengen und Abbildungen von Mengen 1.5 Axiome für die Nachfolgerbeziehung 1.6 Definition und Beweis durch vollständige Induktion 1.7 Grundregeln der Addition 1.8 Kleinerbeziehung und Subtraktion 1.9 Addition, Folgerungen aus den Grundregeln 1.10 Definition der Multiplikation 1.11 Die Grundregeln der Multiplikation und das Distributivgesetz 1.12 Teilerbeziehung und Division 1.13 Division mit Rest und euklidischer Algorithmus 1.14 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 1.15 Potenzen 1.16 Das Summen- und Produktzeichen 11 11 11 11 12 14 15 18 21 24 25 26 29 32 Die 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 43 43 44 47 48 51 57 58 2.9 2.10 2.11 2.12 0 und die ganzen Zahlen Die römischen Zahlzeichen Die Einführung der 0 Der Zahlenstrahl und tlie geometrische Reihe Negative Zahlen Beweis der Rechengesetze der Addition und Multiplikation. . . Die Kleinerbeziehung im Bereich der ganzen Zahlen Die Potenzen von ganzen Zahlen Variation über das Thema „Beweis durch vollständige Induktion" Positionssysteme Die Grundrechenarten in einem Positionssystem Lineare Diophantische Gleichungen Der Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung 34 37 38 61 63 66 72 77 VIII Inhaltsverzeichnis 2.13 2.14 2.15 2.16 Folgerungen aus der eindeutigen Primzahlzerlegung Teilbarkeitsregeln Der kleine Fermatsche Satz Public Key Cryptology 79 81 84 86 3 Rationale Zahlen 89 3.1 Definition der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare 90 3.2 Definition von Addition und Multiplikation rationaler Zahlen 93 3.3 Die Rechengesetze für rationale Zahlen 95 3.4 Die Bruchrechnung 97 3.5 Potenzen von rationalen Zahlen 99 3.6 Die Kleinerbeziehung für rationale Zahlen 102 3.7 Positionsbrüche 106 3.8 Über die Perioden der Positionsdarstellungen rationaler Zahlenll2 3.9 Die Summe der m-ten Potenzen 116 3.10 Irrationale Zahlen 118 4 Reelle Zahlen 4.1 Fundamentalfolgen 4.2 Definition der reellen Zahlen . 4.3 Die Grundrechenoperationen mit reellen Zahlen 4.4 Die Kleinerbeziehung für reelle Zahlen 4.5 Unendliche Positionsbrüche 4.6 Vollständigkeit 4.7 Wurzeln 4.8 Potenzen mit rationalen Exponenten 4.9 Potenzen mit reellen Exponenten 4.10 Unendliche Summen 4.11 Beschränkte Zahlmengen 121 121 126 127 130 131 135 137 141 143 147 149 5 Euklidische Geometrie der Ebene 5.1 Das Inzidenzaxiom und das Abstandsaxiom 5.2 Strecken, Strahlen und konvexe Mengen 5.3 Winkel und Dreiecke . . •? 5.4 Winkelmessung 5.5 Kongruenz 5.6 Parallelen und Senkrechte 5.7 Das Parallelenaxiom 5.8 Ähnlichkeit von Dreiecken 5.9 Rechtwinklige Dreiecke 5.10 Kreise 5.11 Koordinatensysteme 5.12 Bewegungen 153 154 157 160 163 165 169 171 173 177 181 186 193 Inhaltsverzeichnis IX Reelle Funktionen einer Veränderlichen 6.1 Polynomfunktionen 6.2 Stetige Funktionen 6.3 Der Satz von Bolzano 6.4 Die Umkehrabbildung 6.5 Streng monotone Funktionen 6.6 Die Definition des Differentialquotienten 6.7 Differentiationsregeln 6.8 Potenz, Exponentialfunktion und Logarithmus 6.9 Der Mittelwertsatz 6.10 Potenzreihenentwicklung 6.11 Extremwerte einer Funktion 6.12 Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe des Differentialquotienten 195 196 198 200 204 207 209 214 217 224 227 232 Maß und Integral 7.1 Teilmengen der euklidischen Ebene 7.2 Dreiecke 7.3 Polygone 7.4 Meßbare Teilmengen der euklidischen Ebene 7.5 Die Kreisscheibe 7.6 Das bestimmte Integral 7.7 Der Hauptsatz der Integralrechnung 7.8 Weitere Regeln für den Umgang mit Integralen 7.9 Die Kurvenlänge 7.10 Die Bogenlänge des Kreises 7.11 Das Cartesische Modell der euklidischen Geometrie 7.12 Verifikation der Axiome £.1 bis £.3 7.13 Kurvenlänge und Bewegungen 7.14 Verifikation von Axiom £.5 239 239 242 245 253 256 261 266 267 270 277 282 283 284 287 Trigonometrie • 8.1 Die trigonometrischen Funktionen 8.2 Die Additionstheoreme der trigonometrischen F u n k t i o n e n . . . . 8.3 Die Differenzierung der'trigonometrischen Funktionen 8.4 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . 8.5 Dreiecksberechnungen 8.6 Drehungen 289 289 292 294 297 298 302 Die 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 305 306 307 309 311 312 komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen Die Definition der komplexen Zahlen Polarkoordinaten Komplex-konjugierte Zahlen Die Analysis der komplexen Zahlen 234 X Inhaltsverzeichnis 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 Komplexe Funktionen Der sogenannte Hauptsatz der Algebra Polynome mit Koeffizienten in Zahlkörpern Rationale Funktionen mit Koeffizienten in Zahlkörpern Gleichungen dritten Grades mit komplexen Koeffizienten . . . . Gleichungen dritten Grades mit reellen Koeffizienten Potenzreihen 314 315 317 321 324 327 328 10 Nicht-euklidische Geometrie 333 10.1 Das Poincaresche Modell der nicht-euklidischen Geometrie . . . 334 10.2 Der nicht-euklidische Abstand zweier Punkte 335 10.3 Nicht-euklidische Bewegungen 338 10.4 Das Trennungsaxiom 342 10.5 Nicht-euklidische Winkelmessung 344 10.6 Das Kongruenzaxiom 347 10.7 Der n.-e. Satz des Pythagoras 348 Literaturverzeichnis 353 Index Symbolverzeichnis Sachwortregister Namensregister 355 355 359 365
