Brüche Addition und Subtraktion von Brüchen

Grundwissen Mathematik
6. Klasse
Grundwissen Mathematik
Brüche
6. Klasse
Addition und Subtraktion von Brüchen
Erweitern und Kürzen
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
•
Regel: Bei Brüchen mit gleichen Nennern werden die Zähler addiert
(subtrahiert) und die Nenner beibehalten. Brüche mit verschiedenen Nennern
erweitert man zuerst auf den Hauptnenner.
Erweitern: Man multipliziert Zähler und Nenner mit der gleichen
natürlichen Zahl, Bsp:
•
Kürzen: Man dividiert Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche
Zahl; Bsp:
•
3 3 ⋅ 5 15
=
=
4 4 ⋅ 5 20
14 14 : 7 2
=
=
21 21 : 7 3
Brüche ändern ihren Wert beim Kürzen und Erweitern nicht
Vergleichen von Brüchen
Um Brüche zu vergleichen, kann man sie gleichnamig machen oder man
bringt sie auf den gleichen Zähler.
2 10 4 12
2 4
= , =
<
also
3 15 5 15
3 5
4 2 4
4 4
, = also >
5 3 6
5 6
Dezimalbrüche
Bsp.:
Bei der Dezimalschreibweise bedeutet die 1. ( 2., 3., ... ) Stelle hinter dem
Komma Zehntel, ( Hundertstel, Tausendstel, ...).
Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche
Man bringt den Nenner auf eine Zehnerpotenz oder dividiert den Zähler
durch den Nenner.
8:5=1,6
8 16
Bsp.:
=
= 1,6 oder 5
5 10
30
30
/
a b a+b
a b a−b
+ =
bzw.
− =
c c
c
c c
c
1 5
4
5
9
5 3 35 9 26 13
+
=
+
=
;
−
=
−
=
=
4 16 16 16 16
6 14 42 42 42 21
Ermittlung gemeinsamer Nenner durch Faktorenzerlegung
Suche gemeinsame Teiler der Nenner und führe mit ihnen eine
Faktorzerlegung der Nenner durch. Bilde dann das Produkt aller Faktoren
und berücksichtige dabei die gefundenen Teiler nur einmal. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
dieser Nenner.
5
9 5⋅7 9⋅3 8
2
−
=
−
=
=
12 28 84
84 84 21
NR: 12 = 3 ⋅ 4
möglicher Nenner: 3 ⋅ 4 ⋅ 7 = 84
28 = 7 ⋅ 4 84 ist das kgV der Nenner 12 und 28.
Addieren und Subtrahieren gemischter Zahlen
Zunächst müssen, falls nötig, die Brüche gleichnamig gemacht werden.
Dann addiert bzw. subtrahiert man die Ganzen und die Brüche getrennt
voneinander und fasst zusammen.
2
1
4
3
7
1
2 +3 = 2 +3 =5 = 6
3
2
6
6
6
6
1
3
5
3
2
1
Subtraktion:
5 −2 = 4 −2 =2 =2
4
4
4
4
4
2
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen
Addition:
Wie bei den ganzen Zahlen wird auch bei Dezimalbrüchen stellenweise
addiert bzw. subtrahiert. Der Stellenwert der Ziffern wird durch das Komma
festgelegt. Beim Untereinanderschreiben bedeutet dies, dass Komma unter
Komma stehen muss.
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6. Klasse
Multiplikation und Division
Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl
Multipliziere den Zähler mit der natürlichen Zahl und behalte den Nenner bei.
b a⋅b
5 9 ⋅ 5 3 ⋅ 5 15
1
=
Beispiel: 9 ⋅ =
=
=
=7
c
c
6
6
2
2
2
Division eines Bruches durch eine natürliche Zahl
a⋅
Multipliziere den Nenner mit der natürlichen Zahl und behalte den Zähler bei.
a
a
6
6
2
2
:c =
(b, c ≠ 0)
Beispiel: : 3 =
=
=
b
b⋅c
7
7 ⋅ 3 7 ⋅1 7
Multiplikation zweier Brüche
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Division von Dezimalbrüchen
Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts, bis der
Divisor eine natürliche Zahl ist, und führe dann die Division aus. Setze beim
Überschreiten des Kommas auch im Ergebnis ein Komma. Das Ergebnis
einer Division kann auch ein periodischer Dezimalbruch sein. Das erkennst
du, wenn sich beim Divisionsverfahren ein Rest wiederholt.
Beispiel: 0,054:0,45=
5,4:45=0,12
-4 5
90
-90
/
Multipliziere Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler.
a c a ⋅c
⋅ =
b d b⋅d
2 3 2 ⋅ 3 1⋅ 3
3
Beispiel: ⋅ =
=
=
7 4 7 ⋅ 4 7 ⋅ 2 14
Vor dem Multiplizieren in Zähler und Nenner ist, soweit möglich, zu kürzen.
Faktoren in gemischter Schreibweise sind vor dem Multiplizieren als
Brüche zu schreiben.
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Rationale Zahlen
Zahlenmengen
N: Menge der natürlichen Zahlen
Z: Menge der ganzen Zahlen
N = {1; 2; 3; ...}
Z = {0; ±1; ±2; ...}
Q: Menge der rationalen Zahlen
Alle gewöhnlichen Brüche
Division zweier Brüche
mit
p∈Z, q∈Z\{0}
Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors.
a c a ⋅d
2 5 2⋅9 2⋅3 6
1
(b, c, d ≠ 0)
Beispiel: : =
=
: =
= =1
b d b⋅c
3 9 3 ⋅ 5 1⋅ 5 5
5
Multiplikation von Dezimalbrüchen
Multipliziere zunächst ohne Berücksichtigung der Kommas.
Setze das Komma so, dass das Ergebnis ebenso viele Stellen hinter dem
Komma hat, wie die beiden Faktoren zusammen.
Beispiel:
p
q
0,48⋅1,2
48
196
0,576
Addition und Subtraktion
Für rationale Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für ganze Zahlen
(vergleiche 5. Klasse)
Multiplikation und Division
Für die Multiplikation rationaler Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für die
Multiplikation ganzer Zahlen (vergleiche 5. Klasse).
• Beachte: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 und a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
Division zweier rationaler Zahlen heißt Multiplikation mit dem Kehrbruch
• Beachte: 0 : a = 0 für a ≠ 0 und a:0 geht nicht.
Rechengesetze
Klammergesetze, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz
gelten genauso wie bei den ganzen Zahlen.
Kommutativgesetz:
a+b=b+a
a ⋅b = b⋅a
Assoziativgesetz:
a + (b + c) = (a + b) + c
a ⋅ ( b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c
Distributivgesetz:
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(a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
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Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck und
Trapez
Volumen
Flächeninhalt von Parallelogrammen
Volumen:
Beim Parallelogramm bezeichnet man den Abstand zweier paralleler Seiten
als Höhe. In jedem Parallelogramm gibt es zwei Höhen.
Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt: A = a ⋅ h a = b ⋅ h b
Messen heißt vergleichen. V= 5cm bedeutet: Der Körper hat das fünffache
Volumen eines Zentimeterwürfels.
Parallelogramme, die in einer Seite und der
dazugehörigen Höhe übereinstimmen, haben
den gleichen Flächeninhalt.
Flächeninhalt von Dreiecken
Das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite heißt Höhe im
Dreieck. In jedem Dreieck gibt es drei Höhen. Für den Flächeninhalt des
Dreiecks gilt: A
=
1
1
1
⋅a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅c ⋅ hc
2
2
2
Dreiecke, die in einer Seite und der
zugehörigen Höhe übereinstimmen, haben
den gleichen Flächeninhalt.
3
Volumeneinheiten:
Zur Volumenmessung verwenden wir Würfel mit den Kantenlängen
1mm, 1cm, 1dm
1m.
3
3
3
3
Sie haben die Volumina:
1mm , 1cm , 1dm
1m .
Für Umrechnungen gilt:
3
3
1m = 10dm⋅10dm⋅10dm = 1000dm
3
3
1dm =1000cm
3
3
1cm = 1000mm
Flüssigkeitsmengen werden oft in den Einheiten ml, l und hl gemessen.
3
Es gilt: 1l = 1dm
3
1
und 1hl = 100 l und 1ml = 1000
l = 1cm
Volumen des Quaders :
Quader: V = l ⋅ b ⋅ h
Würfel: V
= a ⋅a ⋅a = a3
a
h
a
b
Flächeninhalt von Trapezen
Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten nennt man ein Trapez.
Den Abstand der zueinander parallelen Seiten bezeichnet man als Höhe des
Trapezes. Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Schenkel des
Trapezes.
Für den Flächeninhalt des Trapezes
1
gilt: A = ⋅ (a + c) ⋅ h
2
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a
l
Man gibt zunächst Länge, Breite und Höhe des Quaders in der gleichen
Einheit an.
Volumen verschiedener Körper :
Das Volumen eines Körpers lässt sich rechnerisch bestimmen, indem er
• in Quader zerlegt wird;
• geeignet zerlegt und neu zu einem Quader zusammengesetzt wird;
• durch Hinzufügen von Quadern zu einem Quader ergänzt wird.
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Grundwissen Mathematik
Prozente und Diagramme
Relative Häufigkeit
Prozentbegriff
Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes:
Prozent ist eine andere Bezeichnung für Hundertstel:
60% =
60
100
= 0,6
Die Prozentschreibweise wird häufig zum anschaulichen Vergleich von
Anteilen verwendet. Kleinere Anteile werden auch in Promille(=Tausendstel)
angegeben: 8 Promille =
8
8 0/00 = 1000
= 0,008
Darstellung von Prozentangaben im Kreisdiagramm
In Prozent angegebene Aufteilungen eines Ganzen lassen sich in einem
Kreisdiagramm geeignet veranschaulichen.
Kreisdiagramm: Beispiel Klassensprecherwahl
Kandidat
A
B
C ungültig
Stimmenzahl 17
10
2
1
17
10
2
1
Anteil
30
Winkel
6. Klasse
30
30
204° 120° 24°
30
12°
Berechnung des Prozentwertes
Zur Berechnung des Prozentwertes wird der Prozentsatz mit dem Grundwert
multipliziert.
Bsp: Berechne 18% von 350m:
0,18 ⋅ 350m = 63m
Berechnung des Prozentsatzes
Zur Berechnung des Prozentsatzes wird der Prozentwert durch den
Grundwert dividiert.
Bsp: Wie viel Prozent von 25kg sind 15kg?
15 : 25 = 0,6 = 60%
Berechnung des Grundwertes
1. Möglichkeit: Dividiere den Prozentwert durch den Prozentsatz
2. Möglichkeit: Rechne mit dem Dreisatz
Bsp: 30% von wie viel € sind 270€?
1) 270:0,3 = 900 => Grundwert: 900€
2) 30 % = 270 €, 1% = 270 € : 30 = 9 €, 100 % = 900 €
Der Grundwert als Bezugsgröße
Entscheidend für den korrekten Umgang mit Prozentangaben ist es, den
richtigen Bezugswert (den Grundwert) zu erkennen.
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• Ein Experiment hat mehrere mögliche Ergebnisse. z.B. Würfelwurf,
mögliche Ergebnisse: 1; 2; 3; 4; 5; 6
• Es lässt sich nicht vorhersagen, welches Ergebnis bei der Durchführung
auftreten wird.
Absolute Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses gibt an, wie oft dieses Ergebniss
bei mehrfacher Ausführung des Zufallsexperiments auftritt.
Bsp: Bei einer Umfrage: ,,Mögen Sie Haustiere?“ antworten 27 von 90
Personen mit „Nein.“
Absolute Häufigkeit: 27
Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit gibt den Anteil eines bestimmten Ergebnisses an der
Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments an.
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
27 3
Bsp. Relative Häufigkeit von „nein“:
=
= 0,3 = 30%
90 10
Vierfeldertafel
Relative Häufigkeit =
Sie ist ein übersichtliches Hilfsmittel zur Berechnung von absoluten und
relativen Häufigkeiten bei der Auswertung von Daten eines
Zufallsexperimentes oder einer Befragung.
Bsp.
mag rot mag rot nicht
Junge
3
15
18
Mädchen
7
5
12
10
20
30
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeübt, dann stabilisiert sich die
relative Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses um eine bestimmte
Bruchzahl .
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