Teil 1

1 Mengen und Mengenoperationen
Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen.
In der Mathematik kann man z.B. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2; 3; ...
bilden eine Menge. Mit diesen Zahlen zählt man.
Die Menge N ={0;1;2;3;...} heißt die Menge der natürlichen Zahlen. (In einigen Lehrbüchern
gehört das Element 0 nicht zur Menge N.)
1.1 Endliche und unendliche Mengen
Folgende Zahlenmengen sollen untersucht werden:
M2 = {7;8;9;10}
M3 = {4;5;6;7;8}
M1 = {4;5;6}
M4 = {9;10}
M5 = {0;22;27}
M6 = {7;8;9;10}
Die Menge M1 besteht aus den Elementen 4; 5 und 6. 4; 5 und 6 sind die Elemente der Menge
M1. Für die Aussage "4 ist ein Element der Menge M1" schreibt man : 4 0 M1.
Die Menge M1 besteht aus 3 Elementen. Das sind endlich viele Elemente. Deshalb ist die Menge
M1 eine endliche Menge. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist keine endliche Menge, weil
sie aus unendlich vielen Elementen besteht.
Alle Elemente der Mengen M1 bis M6 sind natürliche Zahlen.
1.2 Relationen zwischen Mengen
Die Mengen M1 und M6 bestehen aus den gleichen Elementen. Sie sind gleich.
Definition:
Zwei Mengen sind gleich genau dann, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen.
Wir betrachten die Mengen M1 und N. Alle Elemente der Menge M1 sind auch Elemente der
Menge N. Die Menge M1 ist eine Teilmenge der Menge N. Man schreibt dafür: M1 f N.
Definition:
Eine Menge A ist eine Teilmenge der Menge B genau dann, wenn alle Elemente
von A auch Elemente von B sind.
Die Menge M6 ist keine Teilmenge von M3 (M6 é M3), weil nicht alle Elemente von M6 auch
Elemente von M3 sind. 9 ist z.B. kein Element von M3 (9 ó M3).
Für die Mengen M1, M2, M3, M4 und M6 gilt z.B.: M1 f M3, M4 f M2,
M1 é M2 und M2 f M6.
Die Mengen Ng = {0;2;4;6;...} und Nu = {1;3;5;7;...} sind unendliche Teilmengen der Menge N.
Die Elemente der Menge Ng heißen gerade Zahlen, die Elemente der Menge Nu ungerade
Zahlen. Die Zahl 2n ist für alle n 0 N eine gerade Zahl. Die Zahl 2n+1 mit n 0 N ist eine
ungerade Zahl.
Die Menge M4 ist eine Teilmenge der Menge M2, Aber die Menge M4 ist ungleich der Menge
M2. Die Menge M4 ist eine echte Teilmenge der Menge M2 (M4 d M2).
Definition:
Eine Menge A ist eine echte Teilmenge der Menge B genau dann, wenn A eine
Teilmenge von B ist und wenn A und B ungleich sind.
1
Mengen
Weitere Beispiele für echte Teilmengen sind: M1 d M3 und M1 d N.
1.3 Mengenoperationen
Aus Mengen kann man neue Mengen bilden.
Aus den Mengen M2 ={7;8;9;10} und M3 ={4;5;6;7} kann man die Menge M = {4;5;6;7;8;9;10}
bilden. Für alle Elemente x aus M gilt, dass x ein Element aus M2 oder ein Element aus M3 ist.
Die Menge M heißt die Vereinigungsmenge der Mengen M2 und M3
(M = M2 c M3).
Definition:
Eine Menge V heißt Vereinigungsmenge der Mengen A und B genau dann, wenn
alle Elemente dieser Menge V Elemente der Menge A oder der Menge B sind.
Die gemeinsamen Elemente der Mengen M2 und M3 bilden eine neue Menge D. Man nennt
diese Menge Durchschnittsmenge der Mengen M2 und M3 und schreibt dafür D = M2 1 M3 =
{7;8}.
Definition:
Eine Menge D heißt Durchschnittsmenge der Mengen A und B genau dann,
wenn alle Elemente dieser Menge D Elemente der Menge A und der Menge B
sind.
Die Mengen M1 = {4;5;6} und M4 = {9;10} haben keine gemeinsamen Elemente. Die Durchschnittsmenge der Mengen M1 und M4 hat also kein Element. Diese Menge heißt die leere
Menge. Das Symbol für "die leere Menge" ist " i ". Die leere Menge hat kein Element.
M1 1 M4 = i
Eine andere Mengenoperation ist die Bildung der Differenzmenge von zwei Mengen. Ein
Element x gehört zur Differenzmenge der Mengen M2 und M3, wenn x ein Element aus der
Menge M2 aber kein Element aus der Menge M3 ist. Die Differenzmenge der Mengen M2 und
M3 besteht aus den Elementen 9 und 10. M2 \ M3 = {9;10}
Definition:
Eine Menge DAB heißt Differenzmenge der Mengen A und B genau dann, wenn
alle Elemente dieser Menge DAB Elemente der Menge A und keine Elemente der
Menge B sind.
Beispiele:
 Die Differenzmenge der Mengen M3 und M2 besteht aus den Elementen 4; 5 und 6.
4 0 M3 \ M2, weil 4 0 M3 v 4 ó M2 ist.
("4 ist ein Element aus M3 \ M2, weil 4 aus M3 und nicht aus M2 ist.")
 7 ó M3 \ M2, weil 7 0 M3 und 7 0 M2 ist.
("7 ist kein Element aus M3 \ M2, weil 7 aus M3 und aus M2 ist.")
 9 ó M3 \ M2, weil 9 ó M3 ist.
("9 ist kein Element aus M3 \ M2, weil 9 nicht aus M3 ist.")
2
Mengen und Mengenoperationen
1.4 Mengendiagramme
Die folgenden Mengendiagramme sind Skizzen für Mengenoperationen.
Beispiel:
 1. Die Vereinigungsmenge A c B
1.1. A c B
1.2. A c B
1.3. A c B = A
2.2. A 1 B = i
2.3. A 1 B = B
3.2. A \ B = A
3.3. A \ B
 2. Die Durchschnittsmenge A 1 B
2.1. A 1 B
 3. Die Differenzmenge A \ B
3.1. A \ B
3.4. A \ B = i
1.5 Wichtige Symbole
Im folgenden sollen H1 und H2 mathematische Ausdrücke sein.
Oft haben Sätze in der Mathematik die Form: "Wenn H1, so H2.", in Symbolen: H1 6 H2.
"H1 genau dann, wenn H2." ( H1 : H2 )
Viele Definitionen haben die Form:
3
Mengen
Für die Verbindung von zwei mathematischen Ausdrücken durch "und" schreibt man das
Symbol "v".
Beispiele:
 1. Wenn x eine ungerade Zahl ist, so ist x eine natürliche Zahl.
Wenn x 0 Nu ist, so ist x 0 N.
x 0 Nu 6 x 0 N
 2. Die Mengen A und B sind gleich genau dann, wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn
B eine Teilmenge von A ist.
A = B genau dann, wenn A f B und B f A ist.
A=B:AfBvBfA
"›": "Es gibt mindestens einen/eine/ein ... " und
Man benutzt auch folgende Symbole:
"œ": "Für alle ... "
Beispiele:
 1. Man schreibt: ›x 0 N: x ó Nu
Man liest: Es gibt mindestens ein Element x aus der Menge N, so dass x kein Element
aus der Menge Nu ist.
 2. Man schreibt: œx 0 Nu: x 0 N
Man liest: Für alle Elemente x aus Nu gilt, dass x ein Element aus der Menge N ist.
 3. A f B : œx 0 A: x 0 B
(A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn für alle x aus A gilt, dass x aus B ist.)
 4. A d B : A f B v ›x 0 B: x ó A
(A ist eine echte Teilmenge von B genau dann, wenn A eine Teilmenge von B ist und
wenn es mindestens ein x aus B gibt, so dass x kein Element aus A ist.)
Für die Verbindung von zwei mathematischen Ausdrücken durch "oder" schreibt man das
Symbol " w ".
Spezielle mathematische Ausdrücke heißen Aussagen, wenn sie entweder wahr oder falsch
sind.
Es gilt:
"H1 oder H2" ist eine wahre Aussage, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
"H1 oder H2" ist wahr für:
Fall 1: H1 ist wahr und H2 ist falsch.
Fall 2: H1 ist falsch und H2 ist wahr.
Fall 3: H1 ist wahr und H2 ist wahr.
Diese drei Fälle muss man z.B. bei der Bildung der Vereinigungsmenge beachten.
Beispiele:
 M2 = {7;8;9;10} M3 = {4;5;6;7;8}
10 0 M2 und 10 ó M3 (Fall 1), deshalb gilt: 10 0 M2 c M3
4 ó M2 und 4 0 M3 (Fall 2), deshalb gilt: 4 0 M2 c M3
7 0 M2 und 7 0 M3 (Fall 3), deshalb gilt: 7 0 M2 c M3
Aber:
2 ó M2 und 2 ó M3, deshalb gilt: 2 ó M2 c M3
Die Definitionen der Mengenoperationen kann man auch mit Symbolen schreiben:
4
Mengen und Mengenoperationen
Beispiele:
 Definition der Vereinigungsmenge V der Mengen A und B:
V = A c B : œx 0 V: (x 0 A w x 0 B)
 Definition der Durchschnittsmenge D der Mengen A und B:
D = A 1 B : œx 0 D: (x 0 A v x 0 B)
 Definition der Differenzmenge DAB der Mengen A und B:
DAB = A \ B : œx 0 DAB: (x 0 A v x ó B)
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Wie viel Elemente hat die Menge B = {6;7;8;9} ?
Aus wie viel Elementen besteht die Menge B?
Warum ist D = {8;9;10} eine endliche Menge?
Unter welcher Bedingung sind zwei Mengen gleich?
Was für eine Menge ist die Menge N der natürlichen Zahlen?
Was für Zahlen sind die Elemente der Mengen B und D aus den Fragen 1 und 3?
Unter welcher Bedingung ist die Menge G eine Teilmenge der Menge H?
Kann eine unendliche Menge eine unendliche Teilmenge haben?
Kann eine endliche Menge eine unendliche Teilmenge haben?
Unter welcher Bedingung ist die Menge G eine echte Teilmenge der Menge H?
Was für Zahlen sind 2n und 2n+1, wenn n 0 N ist?
Unter welcher Bedingung ist x ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen K und P?
Unter welcher Bedingung ist die Vereinigungsmenge der Mengen K und P gleich der
Menge K?
Definieren Sie die Vereinigungsmenge der Mengen K und P!
Unter welchen Bedingungen ist "x 0 K w x 0 P" wahr?
Unter welcher Bedingung ist x ein Element aus der Durchschnittsmenge der Mengen K und
P?
Unter welcher Bedingung ist die Durchschnittsmenge der Mengen P und K gleich der
Menge K?
Definieren Sie die Durchschnittsmenge der Mengen K und P!
Was versteht man unter der leeren Menge?
Aus welchen Elementen besteht die Differenzmenge der Mengen K und P?
Aus welchen Elementen besteht die Differenzmenge der Mengen P und K?
Definieren Sie die Differenzmenge der Mengen P und K!
Lesen Sie: "X 6 Y"!
Lesen Sie: "X : Y"!
Lesen Sie: "›x 0 R: ..."!
Lesen Sie: "œx 0 R: ..."!
5
Mengen
Übungen und Aufgaben
1. Lesen Sie!
a 0 N v b,c ó M
< a ist ein Element aus der Menge N, und b und c sind keine Elemente aus der Menge M.
1. r 0 N v p,q ó N
2. a,b,c ó N v s 0 N
3. m,n 0 N v p,q 0 M
4. r ó R v t 0 T
2. Die Mengen C = {4;5;6;7;8} und F = {7;8;9;10} sind gegeben.
Was können Sie über die natürlichen Zahlen 4;5;6;7;8;9;10;3 sagen?
< 4 0 C, aber 4 ó F
3. Lesen Sie!
A = {2;3;4}
< Die Menge A ist gleich der Menge der Elemente 2; 3 und 4.
< Die Menge A ist die Menge der Elemente 2; 3 und 4.
< Die Menge A ist die Menge mit den Elementen 2; 3 und 4.
1. B = {1;7;12;20}
2. E = {2;5;8;9}
4. F = {1;3}
3. C = {x;y;z}
5. D = {4;5;6;7}
6. G = {1}
4. Geben Sie zwei Antworten!
N= {O;1;2;3;...;n;...}
< Die Menge N hat unendlich viele Elemente.
< Die Menge N besteht aus unendlich vielen Elementen.
1. Nu = {1;3;5;...}
2. R = {1;4;9}
3. Q = {1;4;9;16;...;n2;...} (n2, man liest: "n hoch 2")
4. T = {1;3;5;7;9}
5. Lesen Sie!
œx 0 Ng: x 0 N
< Für alle Elemente x aus Ng gilt, dass x ein Element aus N ist.
1. œx 0 Nu: x 0 N
2. œx 0 Nu: x ó Ng
3. œg 0 Nu: (g 0 N v g ó Ng)
6. Stellen Sie die Aussagen aus der Übung 5 in Mengendiagrammen dar!
7. Lesen Sie!
(A f B v B f C) 6 A f C
< Wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn B eine Teilmenge von C ist, so ist A eine
Teilmenge von C.
6
Mengen und Mengenoperationen
1.
2.
3.
4.
(x 0 G v G f K)
KfR
(P f Q v Q f P)
(œx 0 A: x 0 B)
6
6
6
6
x0K
(œx 0 K: x 0 R)
P=Q
AfB
8. Lesen Sie!
›x 0 N: x 0 Ng
< Es gibt mindestens ein Element x aus N, so dass x ein Element aus Ng ist.
1. ›x 0 N: x ó Ng
2. ›t 0 Ng: t 0 N
3. ›y 0 Nu: (y 0 N v y ó Ng)
4. ›z 0 Ng: (z 0 N v z ó Nu)
9. Lesen Sie!
A f B : œx 0 A: x 0 B
< A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn für alle x aus A gilt, dass x ein Element
aus B ist.
1. A d B : A f B v A … B
2. A = B : A f B v B f A
3. DBA = B \ A : œx 0 DBA: (x ó A v x 0 B)
4. D = A 1 B : œx 0 D: (x 0 A v x 0 B)
10. Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Mengen?
A = {1;2;3;4}
B = {1;2;3}
< Die Menge B ist eine echte Teilmenge der Menge A.
BdA
1. P = {0;1}
Q = {1}
N = {1;2}
2. M = {1;2}
3. R = {1;2;3}
S = {4;5;6}
4. T = {0}
U = {O;1;2;3}
11. Warum ist M1 = {a;b} eine Teilmenge von M2 = {a;b;c}?
< M1 ist eine Teilmenge von M2, weil alle Elemente von M1 auch Elemente von M2 sind.
Unter welcher Bedingung ist die Menge A eine Teilmenge der Menge B ?
< Wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind, so ist A eine Teilmenge von B.
oder
A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn alle Elemente von A auch Elemente von
B sind.
Antworten Sie!
1. Warum ist M2 keine Teilmenge von M1 ? (im Text 1.1.)
2. Warum sind M3 = {a;c} und M4 = {a;c} gleich?
3. Unter welcher Bedingung ist eine Menge unendlich?
4. Unter welcher Bedingung sind zwei Mengen gleich?
7
Mengen
12. Beantworten Sie die Fragen und begründen Sie Ihre Antwort!
Ist A eine Teilmenge der Menge B, wenn A = B ist?
< Ja, weil alle Elemente von A auch Elemente von B sind.
1. Ist A eine Teilmenge von A ?
2. Ist A eine echte Teilmenge von A ?
3. Ist die Teilmenge T einer Menge M immer eine echte Teilmenge?
13. Lesen Sie!
x0AcB
< x ist ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen A und B.
< x ist ein Element aus der Vereinigungsmenge von A und B.
1. x 0 A 1 B
2. y ó A \ B
3. x1 ó A c B
4. x2 0 A \ B
14. Bilden Sie zu den gegebenen Mengen die Vereinigungsmenge, die Durchschnittsmenge und
die Differenzmengen!
B = {5;6;7}
A = {1;2;3;4}
< A c B = {1;2;3;4;5;6;7} A 1 B = i A \ B = {1;2;3;4} B \ A = {5;6;7}
1. M = {3;4;7}
N = {3;4;8}
2. R = {4;5;6}
S = {4;5;6}
3. P = i
T = {1;2;3}
L = {3;4}
4. K = {1;2;3;4;5}
5. C = {4;5;6;7;8}
F = {7;8;9;10}
15. Die Bedeutung des Wortes "oder" in der Mathematik
A = {0,1;2;3}
B = {2;3;4;5;6}
Ist der Ausdruck wahr oder falsch?
1 0 A oder 1 0 B
< 1 0 A oder 1 0 B ist wahr, weil 1 0 A ist.
1. 0 0 A oder 0 0 B
2. 0 ó A oder 0 ó B
0
0
3. 5 A oder 5 B
4. 5 ó A oder 5 ó B
6. 7 ó A oder 7 0 B
5. 7 0 A oder 7 0 B
7. 2 0 A oder 2 0 B
8. 2 ó A oder 2 0 B
10. 3 ó A oder 3 ó B
9. 3 0 A oder 3 0 B
16. In einem Kurs mit X Studenten sprechen 21 Studenten Französisch (Menge F), 35 Studenten Arabisch (Menge A), 23 Studenten Englisch (Menge E), 7 Studenten Französisch und
Arabisch, 6 Studenten Französisch und Englisch, 10 Studenten Arabisch und Englisch 4
Studenten Französisch, Arabisch und Englisch, 2 Studenten sprechen weder Französisch,
noch Arabisch, noch Englisch.
Beantworten Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms folgende Fragen:
1. Wie viel Studenten sind in diesem Kurs?
2. Wie viel Studenten sprechen nur Arabisch?
3. (A c F) \ E = Menge der Studenten, die ...
8
Mengen und Mengenoperationen
17. Der Hersteller von 3 Kaffeesorten A, B, C stellt durch eine Umfrage bei 250 Haushalten
folgendes fest:
15 Haushalte verwenden alle drei Kaffeesorten, 35 verwenden A und B, 20 verwenden B
und C, 25 verwenden A und C, 40 Haushalte verwenden nur B, 10 nur C und 95 Haushalte
verwenden weder A noch B noch C.
Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm, und stellen Sie fest:
a) Wie viel Haushalte verwenden nur die Kaffeesorte A ?
b) In welchem Verhältnis sind aufgrund dieser Umfrage die drei Kaffeesorten künftig
anzubieten?
18. Lesen Sie!
1. x 0 A c B : x 0 A w x 0 B
2. D = A 1 B : œx 0 D: x 0 A v x 0 B
3. x 0 A \ B : x 0 A v x ó B
4. DBA = B \ A : œx 0 DBA: x 0 B v x ó A
5. A d B 6 A c B = B
6. A d B 6 A 1 B = A
7. œx 0 A c B: x 0 A w x 0 B
19. Schreiben Sie mit Symbolen!
1. Die Menge der geraden Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen
Zahlen.
2. 5 ist eine ungerade Zahl.
3. Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist die Menge A.
4. Die Durchschnittsmenge der Mengen M und K hat kein Element.
5. Die Differenzmenge der Mengen C und D ist die leere Menge.
6. Wenn x eine gerade Zahl ist, so ist x keine ungerade Zahl.
7. Alle ungeraden Zahlen sind natürliche Zahlen.
8. Die Menge A ist eine echte Teilmenge der Menge B genau dann, wenn A eine Teilmenge der Menge B ist und wenn es mindestens ein Element x aus der Menge B gibt, so daß
x kein Element aus A ist.
9. Wenn x ein Element der Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist, so ist x ein
Element aus A oder x ist ein Element aus B.
20.Ú Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke in Worten!
Prüfen Sie die Wahrheit der Aussage!
(Verwenden Sie auch Mengendiagramme!)
A 1 B = i 6 œx 0 A: x ó B
< Wenn die Durchschnittsmenge von A und B die leere Menge ist, so gilt für alle
Elemente x aus der Menge A, dass x kein Element aus der Menge B ist. (wahr)
(œx 0 A: x 0 B) 6 A d B
< Wenn für alle Elemente aus A gilt, dass x ein Element aus B ist, so ist A eine echte
Teilmenge von B. (falsch)
6
A1B=A
1. A f B
0
c
6
2. x A B
x0Awx0B
9
Mengen
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
AfB
6
AcB=i 6
A1B=i 6
AcB…i6
6
AdB
x0AcB 6
6
A=B
AcB=B 6
6
AfB
A\B=A 6
A1B=i
A=ivB=i
œx 0 A: x 0 B
A…ivB…i
(œx 0 A: x 0 B v ›x 0 B: x ó A)
(x 0 B v x ó A) w (x ó B v x 0 A)
(œx 0 A: x 0 B v œx 0 B: x 0 A)
A1B=B
A\B=A
B=i
21.Ú Wenn die Aussagen der Übung 19 falsch sind, korrigieren Sie die rechten Seiten der
Aussagen, so dass wahre Aussagen entstehen!
(œx 0 A: x 0 B) 6 A d B (falsch)
< (œx 0 A: x 0 B) 6 A f B (wahr)
10
2 Die Grundrechenoperationen in der Menge der natürlichen Zahlen
2.1 Die Addition
Durch die Addition ordnet man z.B. zwei natürlichen Zahlen n und m eine Zahl s zu. Man
schreibt n + m = s und liest: "n plus m ist gleich s". n und m heißen die Summanden. n + m ist
die Summe aus n und m.
Die Addition ist in der Menge N immer ausführbar. Das bedeutet: Wenn man eine natürliche
Zahl zu einer natürlichen Zahl addiert, so erhält man wieder eine natürliche Zahl.
œn, m 0 N: (n+m) 0 N
2.2 Die Multiplikation
Die Addition von n gleichen Summanden führt zu einer weiteren Operation, zur Multiplikation.
Man schreibt: m + m + m + ... + m = n @ m = p (n Summanden) und liest: "n mal m ist gleich p".
Man nennt n @ m das Produkt aus n und m. n und m heißen Faktoren. Man multipliziert die Zahl
n mit der Zahl m.
Die Multiplikation ist in der Menge N immer ausführbar.
In der Summe n @ m + n @ k kann man den gemeinsamen Faktor n ausklammern. Man erhält:
n @ (m + k). Man liest: "n mal Klammer auf m plus k Klammer zu" oder "n mal in Klammern m
plus k".
Wenn ein Faktor eines Produktes null ist, so ist das Produkt null. Aus der Gleichung n @ m = 0
folgt:
Fall 1: n = 0 und m … 0 oder
Fall 2: n … 0 und m = 0 oder
Fall 3: n = 0 und n = 0.
Diese drei Aussagen kann man zusammenfassen:
Satz:
Aus n @ m = 0 folgt: n = 0 oder m = 0, d.h. ein Produkt ist null, wenn mindestens
ein Faktor null ist.
2.3 Die Subtraktion
m - n ("m minus n") heißt die Differenz aus m und n. m heißt der Minuend, n heißt der Subtrahend. Man subtrahiert n von m.
Aus a + b = c folgt a = c - b und b = c - a. Deshalb ist die Subtraktion die Umkehrung der
Addition.
Die Subtraktion ist in der Menge N nicht immer ausführbar.
Die Gleichung m - n = x ist für m < n in N nicht lösbar, weil (m - n) ó N ist.
Aus n < m folgt m > n ("m ist größer als n").
n # m ("n ist kleiner oder gleich m") bedeutet: n < m oder n = m.
M Die Negation von n # m ist n > m und die Negation von n < m ist n $ m.
n … m liest man: "n ist ungleich m" oder "n ungleich m".
2.4 Die Division
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, denn aus a @ b = c folgt a = c : b ("c durch
b") und b = c : a.
11
Zahlenbereich
Im Quotienten m : n heißt m der Dividend und n der Divisor. Man dividiert den Dividenden m
durch den Divisor n. Die Division ist in der Menge N nicht immer ausführbar.
Die Division durch null ist nicht definiert.
Die Gleichung m : n = x ist in N nur dann lösbar, wenn n ein Teiler von m ist. Man schreibt
n * m, man liest: "n ist ein Teiler von m."
Definition:
n und m sind natürliche Zahlen. n ist ein Teiler von m genau dann, wenn es eine
Zahl z 0 N gibt, so dass n @ z = m ist. n * m : ›z 0 N: n @ z = m


Beispiel:
7 ist ein Teiler von 35 (7 * 35), weil es die natürliche Zahl 5 gibt, so dass 5 @ 7 = 35 ist,
d.h. 5 erfüllt die Gleichung 7 @ z = 35.
35 ist das Fünffache von 7.
32 ist kein Vielfaches von 7, weil 7 kein Teiler von 32 ist (7 ð 32). Es gibt keine natürliche Zahl z, so dass 7 @ z = 32 ist.
Die Division ist in der Menge N nicht ausführbar, wenn der Divisor kein Teiler des
Dividenden ist.
2.5Ú Die Primzahlen
Definition:
Eine natürliche Zahl p $ 2 heißt Primzahl genau dann, wenn p nur die Teiler 1
und p hat.
Die Menge J = {2;3;5;7;11;13;17;19; ...} ist die Menge der Primzahlen. Die Primzahlen bilden
eine unendliche Menge. Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge N. Es
gibt genau eine gerade Primzahl, das ist die natürliche Zahl 2. Alle anderen Primzahlen sind
ungerade. (Die natürliche Zahl 1 ist nach Definition keine Primzahl.)
Eine natürliche Zahl größer als eins ist entweder eine Primzahl oder man kann sie eindeutig als
ein Produkt aus Primzahlen darstellen, d.h., man kann sie in Primfaktoren zerlegen.
Beispiel:

660 = 2 @ 2 @ 3 @ 5 @ 11
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
12
Aus wie vielen Elementen besteht die Menge der natürlichen Zahlen?
Welche Relationen gelten für zwei gegebene natürliche Zahlen m und n?
Was bedeutet: Die Addition ist in N stets ausführbar?
Was bedeutet: Die Multiplikation ist in N stets ausführbar?
Welchen Faktor kann man aus 14a + 42b ausklammern?
Auf welche Aussagen kann man von der Gleichung a @ b = 0 schließen?
Grundrechenoperationen in der Menge N
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.Ú
14.Ú
15.Ú
16.Ú
17.Ú
Wie heißt die Umkehrung der Addition?
Unter welcher Bedingung ist in der Menge N die Subtraktion nicht ausführbar?
Zu welcher Operation ist die Subtraktion die Umkehroperation?
Wie heißt die Umkehroperation der Multiplikation?
Unter welcher Bedingung ist die Division in der Menge N nicht ausführbar?
Welchen Teiler hat eine gerade Zahl?
Unter welcher Bedingung ist eine Zahl eine Primzahl?
Warum sind 0; 1 und 6 keine Primzahlen?
Wie heißen die Primzahlen zwischen 60 und 70?
In welche Primfaktoren kann man die Zahl 6 zerlegen?
Wie viel gerade Primzahlen gibt es?
Übungen und Aufgaben
1. Lesen und rechnen Sie!
2b + b
< Die Summe 2b + b besteht aus den Summanden 2b und b.
2b plus b ist gleich 3b.
1. 13 + 18
2. 132 + 41
3. 24 + 27
4. 33 + 98
5. x + 3x
6. m + 3m
7. 4a + 3a
8. 2a + 7a
2. Lesen und rechnen Sie!
a@b
< Das Produkt a @ b besteht aus den Faktoren a und b.
a @ b ist (gleich) ab.
1. 13 @ 18
5. (a + b) @ c
2. 24 @ 17
6. (2x + 3y) @ (4a + 3b)
7. 21 @ 7 @ (x + 2y)
3. x @ y
4. a @ b @ c
8. 33 @ 98
3. Lesen und rechnen Sie!
25 - 11
< Die Differenz von 25 und 11 ist 14.
< Die Differenz aus 25 und 11 ist 14.
1. 73 - 26
5. 103z - 57z
2. 34a - 18a
6. 3a - a
3. 7x - 4x
7. 29y - 14y
4. 95 - 74
8. 98xy - 46xy
13
Zahlenbereich
4. Lesen und rechnen Sie!
2b : b
< In dem Quotienten 2b : b ist 2b der Dividend und b der Divisor. 2b durch b ist (gleich) 2.
1. 27:9
5. 36 : 12
2. 48 : 6
6. 56 : 7
3. 88 : 4
7. 91 : 7
4. ab : b
8. 3xy : xy
5. Welchen gemeinsamen Faktor kann man ausklammern?
13x + 91y
< Aus dem Term 13x + 91y kann man den gemeinsamen Faktor 13 ausklammern und erhält
13(x + 7y).
("13 mal Klammer auf x plus 7y Klammer zu" oder "13 mal in Klammern x plus 7y".)
7a + 7b; 18a - 24b; 5 - 5y; 9xy - 12xz; ab + b; 6xy -2y;
4ab - 6bc; 3a - 3b + 3c - 3d; a(x - 1) + b(x - 1);
(a - b)z - (a + b)z; a(x - y) - (x - y); ax + ay - bx - by;
18a - ma + 18c - mc; 10ac - 15ad - 2bc + 3bd;
(a - b)(3x - 2y) + (a - b)(4x + 7y)
6. Lesen bzw. ergänzen Sie!
3*15
< 3 ist ein Teiler von 15.
3*12; 2*12; 17*357; 4*12; 13*39; a*ab; ...*14; ...*10; ...*22; ...*6; ...*21; ...*33; ...*35;
...*65; ...*39;
7*...; 5*...
Lesen bzw. ergänzen Sie!
4ð15
< 4 ist kein Teiler von 15.
7ð12; 17ð25; 13ð40; ...ð22; 8ð...; 12ð...
7. Bilden Sie Sätze der Form: Es gilt entweder A oder -A.
(Man liest: "nicht A".)
a<b / a$b
< Es gilt entweder a < b oder a $ b.
1. x $ 4 / x < 4 2. z … 0 / z = 0 3. R d Z / R ç Z
Ergänzen Sie selbst!
c < y / ...; a 0 N / ...; x*3 / ...; y = 0 / ...;
zðy / ...; b 0 N / ...; c $ 0 / ...; N f K / ...
8. Geben Sie zu den Verben die richtigen Substantive an!
definieren
< die Definition
1. addieren 2. multiplizieren 3. dividieren 4. subtrahieren 5. negieren
14
Grundrechenoperationen in der Menge N
9. Bilden Sie zu den Verben Adjektive auf '-bar' und formulieren Sie die Sätze mit diesen
Adjektiven um!
Man kann die Addition in der Menge N immer ausführen.
< Die Addition ist in der Menge N immer ausführbar.
1. Die Gleichung m - n = x kann man für m < n in der Menge N nicht lösen.
2. Man kann bei einer Multiplikation die Faktoren vertauschen.
3. Die Zahl 27 kann man in Primfaktoren zerlegen.
4. Man kann die natürlichen Zahlen auf einer Geraden darstellen.
10. Bilden Sie die Negation zu folgenden Ausdrücken!
a<b / a$b
< Die Negation zu a < b ist a $ b.
Verwenden Sie die Beispiele von Übung 7!
11. Lösen Sie die folgenden Gleichungen!
x + 7 = 10
< x = 3 ist die Lösung der Gleichung x + 7 = 10, weil x = 3 die Gleichung erfüllt.
1. 5 - x = 0
4. 10 - x = 8
2. 2x - 2 = 0
5. x + 8 = 11
3. x - 2 = 2
6. a + x = a
13. Lesen Sie!
a < b / a + c < b + c mit c 0 N
< Aus a < b folgt a + c < b + c mit c 0 N
1. x 0 N / x + 1 0 N
2. a - x = a / x = ...
3. a $ b und b > c / ...
4. a # b und b # c / ...
5. a + b = c mit a > O und b > O / a < c und ...
14.ÚPrimzahlen
Stellen Sie die folgenden natürlichen Zahlen als Produkte aus Primzahlen dar! (Zerlegen Sie
dazu die folgenden natürlichen Zahlen in Primfaktoren!)
24
< 24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3
1. 60
2. 224
3. 480
4. 3856
5. 8260
6. 150
7. 360
8. 2144
9. 3813
10. 40250
15
Zahlenbereich
16
3 Die Grundrechenoperationen in der Menge der ganzen Zahlen
Die Subtraktion ist in der Menge N nicht immer ausführbar.
Damit die Subtraktion immer ausgeführt werden kann, ordnet man den Differenzen m - n mit
n > m und n,m 0 N die negativen Zahlen zu. Damit hat man die Menge N der natürlichen
Zahlen zur Menge G der ganzen Zahlen erweitert.
Alle Zahlen g < 0 heißen negative Zahlen. Sie bilden die Menge G-. Alle Zahlen g > 0 heißen
positive Zahlen. Sie bilden die Menge G+.
Es gelten z.B. folgende Relationen:
G
= G+ c {0} c G= N \ {0}
G+
G
= N c GG+ d N d G
Alle Zahlen g $ 0 heißen nichtnegative Zahlen. Alle Zahlen g # 0 heißen nichtpositive Zahlen.
Die Menge G der ganzen Zahlen ist eine unendliche Menge. Die Addition, Multiplikation und Subtraktion sind in der Menge G immer ausführbar. Die Division ist in der
Menge G nicht immer ausführbar.
Die Gleichung a : b = x ist in G nicht lösbar, wenn es keine ganze Zahl g mit g @ b = a gibt, d.h.,
wenn b 0 G kein Teiler von a ist.
Bei der Multiplikation muss man die Vorzeichenregeln beachten:
Wenn ein Produkt zwei Faktoren hat und wenn die Faktoren gleiche Vorzeichen haben,
so ist das Produkt positiv.
(a > 0 v b > 0) w (a < 0 v b < 0) 6 a @ b > 0
Wenn die beiden Faktoren des Produktes verschiedene Vorzeichen haben, so ist dieses
Produkt negativ.
Für die Division gelten entsprechende Vorzeichenregeln.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Warum erweitert man die Menge N der natürlichen Zahlen zur Menge G der ganzen
Zahlen?
Wie heißen alle Zahlen größer als 0 ?
Wie heißen Zahlen kleiner als 0 ?
Welche Operationen sind in der Menge G immer ausführbar?
Welche Operationen sind in der Menge G nicht immer ausführbar?
Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei ganzen Zahlen negativ?
Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei ganzen Zahlen positiv?
Zu welcher Zahlenmenge gehört das Produkt aus zwei ganzen Zahlen?
b ist ein Teiler von a. Unter welcher Bedingung ist der Quotient a : b positiv?
b ist ein Teiler von a. Unter welcher Bedingung ist der Quotient a : b negativ?
Übungen und Aufgaben
1.
Was für Zahlen sind die folgenden ganzen Zahlen?
+2
<
+2 ist eine positive ganze Zahl.
17
Zahlenbereiche
1. -2
6. +1
11. -1
2. -6
7. -4
12. 0
3. +3
8. +61
4. -39
9. +7
5. -3
10. +5
2. a 0 G+
< a ist ein Element aus der Menge der positiven ganzen Zahlen.
< a ist eine positive ganze Zahl.
9 0 G+ ; -5 0 G- ; -17 0 G- ; +4 0 G+ ; +8 0 G+ ; -8 0 G- ;
15 0 N ; n 0 N ; g 0 G ; a 0 N ; x 0 G+ ; y 0 G3. Welche Relation besteht zwischen den folgenden Mengen?
G und G+
< Die Menge G+ ist eine echte Teilmenge der Menge G.
1. G und G2. N und G
3. G und {0}
4. Bilden Sie die Durchschnittsmenge von folgenden Mengen!
G und G< G 1 G- = G-. Die Durchschnittsmenge der Mengen G und G- ist die Menge G-.
2. G+ und G1. N und G+
3. G und {O}
4. N und G5. Bilden Sie folgende Differenzmengen!
G \ G< G \ G- = N. Die Differenzmenge von G und G- ist die Menge N.
1. G \ N
2. G+ \ N
4. G+ \ G
3. N \ G+
6. N \ {O}
5. G+ \ G6. Welche Sätze sind wahr, welche sind falsch?
Begründen Sie Ihre Antwort!
1. Die Gleichung 5 - x = 7 hat in der Menge G genau eine Lösung.
2. Die Gleichung 8x = 66 hat in der Menge G genau eine Lösung.
3. x = 12 erfüllt die Gleichung 7x = 74.
4. Eine nichtpositive ganze Zahl ist immer negativ.
5. Eine positive ganze Zahl ist immer größer als 0.
7. Unter welcher Bedingung ist:
1. a ein Teiler von b ? a,b 0 G
3. a : b definiert?
5. a : b positiv?
7. a @ b negativ?
18
2. a @ b = 0 ?
4. a : b = 0 ?
6. a : b 0 G ?
4 Die Grundrechenoperationen in der Menge der rationalen Zahlen
4.1 Einführung
Die Division ist in der Menge G nicht immer ausführbar. Damit die Division immer ausgeführt werden kann,
erweitert man die Menge G der ganzen Zahlen zur Menge Q der rationalen Zahlen. Die Menge Q der rationalen
Zahlen ist eine unendliche Menge.
Eine rationale Zahl z kann man als Quotienten aus zwei ganzen Zahlen darstellen.
z 0 Q 6 ›a, b 0 G:
= z; b … 0
4.2 Die vier Grundrechenarten
-
-
-
-
In der Menge Q sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division (mit Ausnahme der
Division durch null) immer eindeutig ausführbar. Das bedeutet: Wenn man diese Operation ausführt, so erhält
man genau eine rationale Zahl als Ergebnis.
Die Addition und die Multiplikation sind assoziativ. Das bedeutet: Bei Summen (Produkten) aus mehr als zwei
Summanden (Faktoren) darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen. Für die Addition gilt z.B.:
œn, m, k 0 Q: n + m + k = (n + m) + k = n + (m + k)
Die Addition und Multiplikation sind kommutativ. Das bedeutet: Bei der Addition (Multiplikation) darf man
die Summanden (Faktoren) miteinander vertauschen. Für die Multiplikation gilt z.B.: œn, m 0 Q: n @ m = m
@n
Für die Verbindung von Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz:
œn, m, k 0 Q: n @ (m + k) = n @ m + n @ k
Die Subtraktion und die Division sind weder assoziativ noch kommutativ.
4.3 Die Darstellung der rationalen Zahlen
Die Menge G der ganzen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge Q der rationalen Zahlen, weil man jede ganze
Zahl p als Quotienten
nennt
darstellen kann. Rationale Zahlen p : q kann man in der Form
schreiben. Man
einen Bruch. Über dem Bruchstrich steht der Zähler p, unter dem Bruchstrich steht der Nenner q des
Bruches.
Bei den Brüchen liest man den Nenner "Ordnungszahl + 'l'".
Beispiele:

- "drei Siebentel"

- "zwei Fünftel"

- "zwei Drittel"

- "vierzehn Siebenunddreißigstel"
Ausnahmen sind:
- "ein halb"
- "drei halbe"
19
Zahlenbereiche
mit einer Zahl c … 0 erweitert, so multipliziert man den
Brüche kann man erweitern. Wenn man einen Bruch
Zähler a und den Nenner b mit c. Wenn man z.B. den Bruch
Bruch
mit dem Faktor 5 erweitert, so erhält man den
.
Brüche kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn man einen
Bruch
kürzt, so dividiert man den Zähler a und den Nenner b durch einen gemeinsamen Teiler von a und b.
Man kann z.B. den Bruch
mit 2; 3 oder 6 kürzen. Beim Erweitern und Kürzen eines Bruches ändert sich der
Wert dieses Bruches nicht.
Alle Brüche mit dem gleichen Wert stellen die gleiche rationale Zahl dar. Es gilt:
: a @ d = b @ c mit b, d … 0.
=
Ein Bruch hat den Wert null, wenn sein Zähler gleich null und sein Nenner ungleich null ist.
Wenn
eine von null verschiedene rationale Zahl ist, so nennt man
. So ist z.B.
das Reziproke von
das Reziproke der rationalen Zahl
.
Rationale Zahlen kann man auch als Dezimalzahlen (Dezimalbrüche) schreiben. Wenn man eine ganze Zahl a durch
eine andere ganze Zahl b … 0 dividiert, so entsteht entweder eine ganze Zahl, eine unendliche periodische oder eine
endliche Dezimalzahl. Man erhält z.B. für den Bruch
fünf") und für
die endliche Dezimalzahl 1,25 ("eins Komma zwei
die unendliche periodische Dezimalzahl 0,4767676... = 0,4'
7'
6 . (Man liest: "null Komma
vier sieben sechs, Periode sieben sechs".) Man kann auch jede endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl
als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen.

Beispiel:
1. endliche Dezimalzahl:
0,75 =

=
2. unendliche periodische Dezimalzahl:
7=
6,4'
2'
aus 6,4'
2'
7 = x folgt:
-
1000 x
10 x
990 x
x
20
= 6427,27
= 64,27
= 6363
=
Grundrechenoperationen in der Menge Q
4.4 Der absolute Betrag einer rationalen Zahl
Für die rationalen Zahlen k 0 Q definiert man den absoluten Betrag * k* (gelesen: "k absolut" oder "absoluter Betrag
von k" oder "Betrag von k"):
Definition:
*k*=
k für k $ 0
;
< -k für k < 0

Beispiel:
*12* = 12
*14,9* = 14,9

*-7* = -(-7) = 7
*

* 0* = 0
*
* =
* = -(
)=
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Warum erweitert man die Menge G der ganzen Zahlen zur Menge Q der rationalen Zahlen?
In welcher Form kann man eine rationale Zahl darstellen?
Welche Eigenschaften hat die Addition in der Menge Q ?
Welche Eigenschaften hat die Division in der Menge Q ?
Was für eine Zahl ist p:q, wenn p und q verschiedene Vorzeichen haben?
Was für eine Zahl ist p:q, wenn p und q gleiche Vorzeichen haben?
7.
Wie nennt man
8.
Wie nennt man a und wie nennt man b in dem Bruch
9.
Mit welcher Zahl muss man den Bruch
?
?
erweitern, wenn man das Ergebnis
10. Mit welchen Zahlen kann man den Bruch
erhalten soll?
kürzen?
11. Welchen Wert hat der Bruch
mit b … 0 ?
12. Unter welcher Bedingung ist
=
mit b, d … 0 ?
13. Unter welcher Bedingung ist ein Bruch null?
14. Was folgt aus der Gleichung a : b = 0 ?
15. Unter welcher Bedingung für g ist der Quotient p:g nicht definiert?
16. Was ist das Reziproke von
?
17. Unter welcher Bedingung ist das Produkt aus zwei rationalen Zahlen gleich 1 ?
21
Zahlenbereiche
Übungen und Aufgaben
1.
Lesen Sie!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
2.
Formulieren Sie wahre Aussagen!
jede rationale Zahl / Quotient aus zwei ...
< Jede rationale Zahl kann als Quotient aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
1. jede ganze Zahl / Bruch mit dem Nenner ...
2. ein Bruch / Quotient aus zwei ...
3. jeder Quotient aus zwei ganzen Zahlen / ...
4. unendliche periodische oder endliche Dezimalbrüche / ...
5. jede endlich Dezimalzahl / ...
3.
Was darf man in ... (nicht) miteinander vertauschen?
Subtraktion
< Die Subtraktion ist nicht kommutativ. Deshalb darf man in einer Differenz den Minuenden und den
Subtrahenden nicht miteinander vertauschen.
1. Addition
2. Multiplikation
3. Division
4.
Bilden Sie das Reziproke der rationalen Zahlen!
< Das Reziproke von
22
ist
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Grundrechenoperationen in der Menge Q
5.
Berechnen Sie den Hauptnenner!
Hinweis: Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
< Der Hauptnenner der Brüche
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ist 6.
6.
Addieren Sie die Brüche aus Übung 5.!
7.
Kürzen Sie die Brüche!
Die Nenner der Brüche sollen verschieden von null sein.
1.
2.
3.
4.
5.
8.
Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Relationen zwischen den Mengen N, G+, G-, G und Q !
9.
Berechnen Sie y !
1. y = *x* + x mit x = -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3
2. y = *x + 3* mit x = -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0
10. Berechnen Sie!
1. *7 - 4* - *5 + 6* + *-7 - 8* =
2. *3 - 5* + *-6 + 2* - *7 - 9* =
3. *-1 + 3* - *-3* + *4 - 8* + *-3* =
4. *-12 + 5* - *17 - 7* + *-8 - 4* =
11. Beantworten Sie folgende Fragen!
1. Kann y in y = *x + b* negativ werden? Begründen Sie Ihre Antwort!
2. Kann y in y = x + *x* negativ werden? Begründen Sie Ihre Antwort!
3. Unter welcher Bedingung ist *x* = x ?
4. Unter welcher Bedingung ist y = 0; 2; 5; 7, wenn y = *x + 3* mit x 0 Q gilt?
5. Was folgt aus *x* = 2 ?
23
Zahlenbereiche
12.
Welche rationalen Zahlen erfüllen die Ungleichung?
*x* > +3
< Alle rationalen Zahlen größer als +3 und kleiner als -3 erfüllen die Ungleichung *x* > +3.
2. *x* > -2
3. *x* < -3
1. *x* < +1
13.
In welchen Intervallen liegt x ?
x>3
< x > 3 liegt in dem links und rechts offenen Intervall von 3 bis +4. D.h.: x 0 ]3; +4[
x$3
< x $ 3 liegt in dem links abgeschlossenen und rechts offenen Intervall von 3 bis +4. D.h.:
x 0 [3; +4[
1. x < -10
3. x # -10
14.
Welche Ungleichungen gelten für x, wenn x in den folgenden Intervallen liegt?
x 0 [-5; 7[
< x 0 [-5; 7[ entspricht der Ungleichung -5 # x < 7.
x 0 Q \ {0}
< x 0 Q \ {0} entspricht der Ungleichung x < 0 und x > 0 oder der Ungleichung x … 0.
1. x 0 ]-4; 0]
3. x 0 ]7; 100[
15.
2. *x* < 4
4. *x* $ 4
2. x 0 Q \ {2; 5}
4. x 0 [0; +4[
Begründen Sie, daß die Menge G der ganzen Zahlen eine echte Teilmenge der Menge Q der rationalen
Zahlen ist!
16.Ú Vergleichen Sie die beiden Brüche, indem Sie den Nenner gleichnamig machen!
<
17.
, weil
1.
2.
4.
5.
größer als
ist.
3.
Für welche Werte der Variablen sind die folgenden Brüche nicht definiert?
Begründen Sie Ihre Antwort!
<
24
ist größer als
Der Bruch
ist für a =
nicht definiert, weil für a =
der Nenner null wird.
Grundrechenoperationen in der Menge Q
1.
2.
3.
4.
5.
6.
18.
Bereiten Sie einen Vortrag über die Ausführbarkeit der Grundrechenarten in den Mengen N, G und Q vor!
Erläutern Sie dabei die Eindeutigkeit der Operationen und die Gesetze für diese Operationen!
25
Zahlenbereiche
26
5 Das Potenzieren
5.1 Der Begriff der Potenz
Für ein Produkt aus n gleichen Faktoren a 0 Q schreibt man an (gelesen: "a hoch n").
a@a@a@...@a
(a 0 Q; n 0 N \ {0;1})
an =
n Faktoren
a heißt die Basis und n heißt der Exponent.
an ist die n-te Potenz von a.
an = b
Wenn man die Basis a mit dem Exponenten n potenziert, erhält man den Potenzwert b. Z.B. ist die dritte Potenz von
10 gleich 1000, d.h. 103 = 1000.
5.2 Potenzgesetze
Für die Verbindung des Potenzierens mit der Multiplikation und mit der Division und für das Potenzieren von
Potenzen gelten die Potenzgesetze:

an @ am = an+m
Man multipliziert Potenzen mit gleichen Basen, indem man ihre gemeinsame Basis mit der Summe aus
ihren Exponenten potenziert.

an : am = an-m
Man dividiert Potenzen mit gleichen Basen, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz aus den
Exponenten von Dividend und Divisor potenziert.

an @ bn = (a@b)n
Man multipliziert Potenzen mit gleichen Exponenten, indem man das Produkt aus ihren Basen mit dem
gemeinsamen Exponenten potenziert.

an : bn = (a:b)n
Man dividiert Potenzen mit gleichen Exponenten, indem man den Quotienten aus den Basen des Dividenden und des Divisors mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

(an)m = an@m
Man potenziert eine Potenz, indem man ihre Basis mit dem Produkt aus den Exponenten potenziert.
Mathematische Sätze (Gesetze) muß man beweisen. Ein mathematischer Beweis besteht aus :
- der Voraussetzung,
- der Behauptung und
- dem Beweis(gang).
Beweis des Potenzgesetzes an @ am = an+m:
Voraussetzung:
1. a 0 Q; n,m 0 N\{0;1}
a@a@a@...@a
2. an =
n Faktoren
a@a@a@...@a
am =
m Faktoren
Behauptung:
an @ am = an+m
Beweis(gang):
(a@a@a@...@a)
an @ am = (a@a@a@...@a) @
n Faktoren
m Faktoren
= a@a@a@...@a
n + m Faktoren
= an+m
/
nach Voraussetzung
/
wegen der Assoziativität der Multiplikation
/
nach der Definition der Potenz
w.z.b.w.
Die Abkürzung w.z.b.w. am Ende des Beweises bedeutet: "was zu beweisen war" (lateinisch: q. e. d.)
Bei diesem direkten Beweis formt man die linke Seite der Behauptung (an@am) so um, daß man die rechte Seite der
Behauptung (an+m) erhält. Dabei benutzt man die Voraussetzungen (hier besonders 2.).
27
Zahlenbereiche
Anmerkung:
Die Addition und Subtraktion von Potenzen ist nur bei Potenzen mit gleichen Basen und mit gleichen Exponenten
möglich.
4x3 - 5y3 +17x2 -4y2 + 8x3 -10y2 = 12x3 - 5y3 + 17x2 - 14y2
5.3 Erweiterung des Potenzbegriffes
Auf der Grundlage der Potenzgesetze erweitert man durch folgende Definitionen den Potenzbegriff auf Potenzen
mit Exponenten aus der Menge G der ganzen Zahlen.
Definition:
a1 = a
a0 = 1
(a … 0)
a-n =
(n 0 G+ v a … 0)
Diese Definitionen sind sinnvoll. Nur mit diesen Definitionen gelten die Potenzgesetze auch für Exponenten aus
der Menge G. Wir zeigen das am Beispiel a0 = 1:
- œz 0 Q \ {0} :
= 1 ; deshalb gilt auch
- Nach dem zweiten Potenzgesetz (S. 27) ist
(mit an … 0)
= an-n = a0.
- Weil das Potenzieren eindeutig sein soll, muß man a0 = 1 definieren.
5.4 Eigenschaften des Potenzierens
Das Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten und mit der Basis a 0 Q \ {0} hat folgende Eigenschaften:
1. Das Potenzieren ist in der Menge Q immer eindeutig ausführbar.
2. Das Potenzieren ist nicht assoziativ, denn im allgemeinen gilt: (an)m …
.
3. Das Potenzieren ist nicht kommutativ, denn im allgemeinen gilt: an … na .
5.5 Potenzen eines Binoms
Oft braucht man für mathematische Berechnungen die Potenzen eines Binoms (einer zweigliedrigen Summe).
Die n-te Potenz eines Binoms a+b kann man für n 0 N als eine Summe darstellen:
Diese Beziehung nennt man Binomialsatz.
28
Das Potenzieren
Man erkennt:
1. Die Summe besteht aus n+1 Summanden.
2. Die Summe aus den Exponenten von a und b ist in jedem Glied gleich n.
3. Die Potenzen von a fallen von n bis 0. Die Potenzen von b steigen von 0 bis n.
("n über k") heißen Binomialkoeffizienten. Sie sind für n $ k positive ganze Zahlen.
Die Koeffizienten
Man berechnet sie nach der Formel:
Das Symbol k! liest man "k Fakultät" und es gilt:
k! = 1 @ 2 @ 3 @ ... @ k.
Außerdem definiert man: 0! = 1 und
= 1.
Beispiel:

Anmerkung:
Man kann die Koeffizienten der Summanden auch im "Pascalschen Dreieck" ablesen: (a + b)n
n=0
n=1
1
n=2
1
n=3
1
3
n=4
1
4
@
@
@
Den Zusammenhang zwischen
folgender Tabelle:
1
1
2
1
3
6
1
4
dem Pascalschen Dreieck und den Binomialkoeffizienten erkennt man aus
k=0
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
@
@
@
1
k=1
k=2
k=3
k=4
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Im Sonderfall n = 2 ergeben sich aus dem Binomialsatz die "binomischen Formeln":
L
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Wichtig für Umformungen ist auch die Identität:
L
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
29
Zahlenbereiche
Fragen zum Text
6.
Definieren Sie die Potenz an mit a 0 Q und n 0 N \ {0;1} !
Wie nennt man an ?
Wie heißen a und n in an ?
Die wievielte Potenz von 3 ist 81 ?
Durch welche Definitionen erweitert man den Potenzbegriff auf Potenzen mit Exponenten aus der Menge
G?
Was versteht man unter einem Binom?
7.
Was für Zahlen sind die Binomialkoeffizienten
8.
9.
Was bedeutet k! ?
Welche Gleichungen nennt man binomische Formeln?
1.
2.
3.
4.
5.
für k # n und k, n 0 N ?
Übungen und Aufgaben
1.
Lesen und berechnen Sie die Potenzen! Nennen Sie Basis, Exponent und Potenzwert!
23
< 2 hoch 3 ist gleich 8. Die Basis ist 2, der Exponent ist 3 und der Potenzwert ist 8.
2. 0,52
1. 42
4
3. 3
4. (-2)4
5. (-4)3
6.
2.
Antworten Sie!
Wie multipliziert man Potenzen mit gleichen Basen?
< Man multipliziert Potenzen mit gleichen Basen, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe aus
ihren Exponenten potenziert.
1. Wie multipliziert man Potenzen mit gleichen Exponenten?
2. Wie dividiert man Potenzen mit gleichen Basen?
3. Wie dividiert man Potenzen mit gleichen Exponenten?
4. Wie potenziert man eine Potenz?
3.
Lesen und lösen Sie folgende Aufgaben!
ax @ a2y
< ax @ a2y = ax + 2y
a hoch x mal a hoch 2y ist gleich a hoch x plus 2y.
b3 @ b4; ak @ a5k; m3 @ n3; 4n @ 5n; hm @ h; a4 : b4;
c7 : c2; a3y : a2y; x4m : x-4n; 8x : 4x; (3n)2 : n2;
m2 : m5; x-2k @ x3k; (4a)-2 @ a-2;
4.
30
Multiplizieren Sie!
1. (4a + 3b)(a - 4b)
2. (a2 - b2 + 2c)(4b2 - c2)
3. (a-1 + b)(a - b-1)
4. (a + b)(a2 - ab + b2)
5. (pq+2 - pq+1 + pq - pq-1 + pq-2)(p8-q + p7-q)
Das Potenzieren
5.
Dividieren Sie!
(1 + x3 + 3x2) : (x2 + 1)
- Ordnen Sie die Summanden des Dividenden und des Divisors nach fallenden Exponenten der Variablen!
< (x3 + 3x2 + 1) : (x2 + 1)
- Dividieren, multiplizieren und subtrahieren Sie schrittweise!
<
(x3 + 3x2
+ 1) : (x2 + 1) = x + 3 +
-(x3
+ x)
3x2 - x + 1
+ 3)
-(3x2
-x - 2
- Überprüfen Sie das Ergebnis !
<
)(x2 + 1)
(x + 3 +
5
4
3
2
=
x3 + 3x2 + x + 3 + (-x - 2)
=
x3 + 3x2 + 1
3
1. (x - 3x - 3x + 6x + x ) : (x - 2 - x)
2. (3x2 + 4x - 7) : (x - 2)
3. (3x3 + 10x2 + 4 + 15x) : (1 + 3x)
4. (an+4 - an) : (a3 + a)
5. (22x - 11x2 - 12 + 4x3) : (4x - 1)
6.
7.
Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten!
1.
2.
3.
5.
6.
7.
8.
Berechnen Sie mit den binomischen Formeln folgende Binome!
1. (2a + 3b)2 2. (2r2 + s)2
4. (5x - 7y)2 5. (2u + 3v)(2u - 3v)
8.
4.
3. (1 - x2)2
6.
Addieren bzw. subtrahieren Sie!
1.
2.
3.
4.
31
Zahlenbereiche
9.
Kürzen Sie die Brüche! Die Nenner der Brüche sollen verschieden von null sein.
1.
2.
4.
5.
3.
10. Berechnen Sie!
1. (a + b)5
2. (u - v)3
4. (2x + 3y)4
5.
3. (x3y - 3a)4
6.
11. Nennen Sie die Eigenschaften des Potenzierens mit ganzzahligen Exponenten und Basen
a 0 Q \ {0} !
12. Bereiten Sie einen Kurzvortrag über das Potenzieren vor!
Beachten Sie dabei folgende Schwerpunkte:
- Definition von an mit a 0 Q und n 0 N \ {0;1}
- Erweiterung des Potenzbegriffes auf Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
- Potenzgesetze
- Eigenschaften der Potenzen in der Menge Q
32
6 Das Radizieren und der Begriff der reellen Zahl
6.1 Das Radizieren
Weil die Basis und der Exponent einer Potenz nicht miteinander vertauschbar sind, gibt es zwei Umkehroperationen
des Potenzierens, das Radizieren und das Logarithmieren. Hier soll zuerst das Radizieren betrachtet werden.
.
Wenn man an = b nach a auflöst, erhält man a =
( Man liest: "a ist gleich die n-te Wurzel aus b." )
Die Zahl b unter dem Wurzelzeichen heißt der Radikand, die natürliche Zahl n $ 2 heißt der Wurzelexponent. a ist
der Wurzelwert.
Weil auch das Radizieren in einem bestimmten Zahlenbereich immer ausführbar sein soll, definiert man
für b $ 0. Außerdem legt man
nur
$ 0 fest, da diese Operation, wie alle bisher behandelten, eindeutig sein soll.
Das heißt, Radikand und Wurzelwert müssen nichtnegative Zahlen sein.
Man definiert
mit folgender Gleichung:
Definition:
n
0 N \ {0;1}
Aus
erkennt man auch, daß Radizieren und Potenzieren Umkehroperationen sind.
: an = b mit a,b $ 0; n 0 N \{0;1}
Es gilt:
Eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 nennt man eine Quadratwurzel. Bei Quadratwurzeln schreibt man das
Wurzelzeichen ohne Wurzelexponenten.
Man kann jede Wurzel auch als Potenz mit einem Bruch p 0 Q \ G als Quotienten schreiben:
n 0 N \ {0;1} v b $ 0. Dadurch führt man den Begriff der Wurzel auf den Potenzbegriff zurück.
mit
6.2 Wurzelgesetze
Aus der Darstellung der Wurzel als Potenz und aus den Potenzgesetzen ergeben sich die Wurzelgesetze:



Auf dem ersten und zweiten Wurzelgesetz beruht die Methode des partiellen Radizierens. Dazu schreibt man diese
Gesetze in der Form:
und
Beispiele für die Anwendung der Methode des partiellen Radizierens sind:
Beispiel:


33
Zahlenbereiche
6.3 Begriff der reellen Zahl und Eigenschaften der Menge R der reellen Zahlen
Das Radizieren ist in der Menge Q der rationalen Zahlen nicht immer ausführbar. Die meisten Wurzelwerte sind
keine rationalen Zahlen, denn man kann sie nicht als Quotienten aus zwei ganzen Zahlen bzw. als unendliche
periodische oder endliche Dezimalzahlen darstellen. Das gilt z.B. für
. Dass
existiert und einen
eindeutigen Wert besitzt, erkennt man z.B. daran, dass
der Zahlenwert der Diagonalen eines Quadrates mit
der Seitenlänge 1 ist. Dieses Quadrat kann man konstruieren, und nach dem Lehrsatz des Pythagoras kann man die
Länge seiner Diagonalen berechnen. Deshalb kann man der Zahl
genau einen Punkt auf der Zahlengeraden
zuordnen.
2
2
Abb. 6.1. Der Bildpunkt von
ist eine irrationale Zahl. Auch
auf der Zahlengeraden
sind Beispiele für irrationale
Zahlen.

Irrationale Zahlen sind unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen.
Mit unendlichen Dezimalzahlen kann man nicht rechnen. Man nähert deshalb irrationale Zahlen durch rationale
Zahlen an und benutzt diese rationalen Näherungswerte für die Berechnungen. Beispielsweise kann man die
irrationale Zahl
durch die rationalen Zahlen 1,4; 1,41; 1,414; ... ; 1,4142135 usw. annähern. Selbstver-
ständlich erhält man dabei keine genauen Resultate. Für praktische Probleme kann man den Fehler so klein machen,
dass er keine Bedeutung hat. Dazu muss man entsprechende Näherungswerte benutzen.
Alle irrationalen Zahlen bilden die unendliche Menge U.
Definition:
Die Vereinigungsmenge der Menge Q der rationalen Zahlen mit der Menge U der irrationalen
Zahlen heißt die Menge R der reellen Zahlen. Q c U = R
Auf der Zahlengeraden liegen die Bildpunkte der irrationalen Zahlen zwischen den Bildpunkten der rationalen
Zahlen. Man ordnet dadurch jeder reellen Zahl genau einen Punkt auf der Zahlengeraden zu. Umgekehrt kann man
auch jedem Punkt der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl zuordnen, d.h.:

Zwischen den reellen Zahlen und den Punkten der Zahlengeraden besteht eine umkehrbar eindeutige
Zuordnung.
Die Menge R der reellen Zahlen ist eine unendliche Menge.
Fragen zum Text
1.
Warum gibt es zum Potenzieren zwei Umkehroperationen?
2.
Mit welcher Gleichung definiert man
3.
Warum legt man
4.
Für welche Zahlen b definiert man
34
?
fest?
?
Das Radizieren und der Begriff der reellen Zahl
5.
Durch welche Gleichung führt man den Begriff der n-ten Wurzel auf den Potenzbegriff zurück?
6.
Geben Sie
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Wie nennt man eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 ?
Auf welchen Wurzelgesetzen beruht die Methode des partiellen Radizierens?
Was für Zahlen sind viele Wurzeln?
Welche Dezimalzahlen sind irrationale Zahlen?
Wie rechnet man mit irrationalen Zahlen?
Welche Zahlen gehören zu den reellen Zahlen?
Was für eine Zuordnung besteht zwischen den reellen Zahlen und den Punkten der Zahlengeraden?
als Potenz an!
Übungen und Aufgaben
1.
Lesen Sie, rechnen Sie und nennen Sie den Radikanden und den Wurzelexponenten!
<
2.
Die Quadratwurzel aus 4 ist gleich 2. Der Radikand ist 4 und der Wurzelexponent ist 2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Wie löst man die folgenden Gleichungen nach ... auf?
Welches Resultat erhält man?
y = xn / nach x
<
Man löst y = xn nach x auf, indem man beide Seiten der Gleichung mit n radiziert. Man erhält
.
1.
c4 = 16 / nach c
4.
/ nach a
2. yv = xq / nach y
5.
3.
/ nach c
/ nach c
3.
Bilden Sie wahre Aussagen!
natürliche Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden
<
Man kann jeder natürlichen Zahl genau einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnen. Man
kann aber nicht jedem Punkt auf der Zahlengeraden eine natürliche Zahl zuordnen. Die Zuordnung von natürlichen Zahlen und Punkten auf der Zahlengeraden ist eindeutig, aber nicht
umkehrbar eindeutig.
1. ganze Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden
2. rationale Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden
3. reelle Zahl / Punkt auf der Zahlengeraden
4.
Radizieren Sie partiell! (Beachten Sie:
)
<
1.
2.
3.
4.
35
Zahlenbereiche
5.
5.
6.
7.
8.
Machen sie den Nenner rational!
<
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Berechnen Sie!
1.
2.
3.
4.
7.
Wozu erweitert man die Zahlenbereiche?
Menge N der natürlichen Zahlen / Menge G der ganzen Zahlen
<
Man erweitert die Menge N der natürlichen Zahlen zur Menge G der ganzen Zahlen, damit die
Subtraktion immer ausgeführt werden kann.
1. Menge G der ganzen Zahlen / Menge Q der rationalen Zahlen
2. Menge Q der rationalen Zahlen / Menge R der reellen Zahlen
8.
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Wenn a eine natürliche Zahl ist, so ist a eine ganze Zahl.
<
Die Aussage ist wahr, weil N d G ist.
1. Wenn x12 > x22 ist, so ist x1 > x2.
2. Wenn x > 5 ist, so ist
3. Wenn x > 0 ist, so ist
9.
36
Formulieren Sie die Wurzelgesetze!
Hinweis: Orientieren Sie sich an der Formulierung der Potenzgesetze!
7 Das Logarithmieren
Wie das Radizieren ist das Logarithmieren eine Umkehroperation des Potenzierens. Wenn man
an = b nach n auflöst, erhält man n = logab. ("der Logarithmus von b zur Basis a").
Es gilt also:
logab = n : an = b
In der Gleichung n = logab ist a die Basis, b ist der Numerus und n der Logarithmus.
logab definiert man mit folgender Gleichung:
Definition:
= b mit a, b 0 R+ v a … 1
Damit ist der Logarithmus so definiert, dass auch das Logarithmieren eindeutig und unter den oben angegebenen
Bedingungen immer ausführbar ist.
Aus
= b erkennt man: logab ist der gesuchte Exponent, mit dem man die Basis a potenzieren muss, wenn
man den Numerus b erhalten will.
7.1. Logarithmengesetze
Aus den Potenzgesetzen ergeben sich die folgenden Logarithmengesetze für Logarithmen mit gleicher Basis:
M
loga(b@c) = logab + logac
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Faktoren.
M
loga(b:c) = logab - logac
M
loga(bn) = n@logab
M
7.2 Logarithmensysteme
Man kann bei einer konstanten Basis a > 0 v a … 1 jedem Numerus x > 0 genau einen Logarithmus y 0 R zuordnen.
Diese Wertepaare (x;y) bilden ein Logarithmensystem.
In der Mathematik spielen drei Logarithmensysteme eine besondere Rolle: das dekadische Logarithmensystem zur
Basis 10, das natürliche Logarithmensystem zur Basis e (e 0 U; e = 2;718...) und das duale (binäre) Logarithmensystem zur Basis 2. Für die Logarithmen dieser Systeme benutzt man besondere Symbole:
log10x = lg x; logex = ln x; log2x = ld x
In manchen Lehrbüchern verwendet man auch andere Symbole.
Wenn man den Logarithmus zu einem Numerus in einem System kennt, so kann man auch den Logarithmus zu
diesem Numerus in einem anderen System berechnen.
Dazu benutzt man den Satz über die Umrechnung von Logarithmen:
Satz:
Für alle x, a, b > 0 und x, a, b …1 gilt:
37
Zahlenbereiche

Beispiel:
Mit Hilfe dieses Satzes und eines Taschenrechners berechnen wir log285. Wenn man das natürliche
Logarithmensystem benutzt, folgt:
Wenn man das dekadische Logarithmensystem benutzt, folgt:
Beweis des Satzes über die Umrechnung von Logarithmen:
Voraussetzung:
x, a, b > 0 und x, a, b …1
Behauptung:
Beweis(gang):
logbx @ logab = logax
/
@ logab
/
Anwendung des Logarithmengesetzes n @ logab = loga(bn)
/
logax = logax
w. z. b. w.
In diesem Fall hat man die Behauptung so umgeformt, dass man die wahre Aussage logax = logax erhalten hat. Weil
jeder Schritt eindeutig umkehrbar ist, folgt aus der wahren Aussage die Behauptung.
Im Sonderfall x = a erhält man die wichtige Relation:
M
denn
Davon ist wieder ein spezieller Fall:
M
7.3 Stellenwertsysteme (Positionssysteme)
Im Text "7.2 Logarithmensysteme" wurden die Logarithmensysteme zur Basis 10; e und 2 hervorgehoben. Das
Logarithmensystem zur Basis 10 hat eine sehr große Bedeutung, weil die Darstellung unserer Zahlen im Dezimal38
Das Logarithmieren
system erfolgt. Das Dezimalsystem enthält die 10 Ziffern 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 und 0. Außerdem hat jede Ziffer
in einer bestimmten Zahl einen Stellenwert (Positionswert), und zwar eine Potenz von 10. Die Dezimalzahlen sind
eine verkürzte Schreibweise einer Summe, die nach Potenzen von 10 geordnet ist.
Beispiel:

7456 = 7 @ 103 + 4 @ 102 + 5 @ 101 + 6 @ 100
602,74 = 6 @ 102 + 0 @ 101 + 2 @ 100 + 7 @ 10-1 + 4 @ 10-2
Für Dezimalzahlen x $ 1 mit n Stellen vor dem Komma gilt:
n - 1 # lg x < n
Beispiel:

x = 756 d.h. n = 3
Damit gilt: 2 # lg 756 < 3, weil 102 # 756 < 103 ist.
Diese Eigenschaft haben nur die dekadischen Logarithmen.
Die besondere Bedeutung des Dezimalsystems hat sich historisch entwickelt. Es sind aber auch andere Positionssysteme möglich, unter anderem das Dualsystem.
Das Dualsystem kennt nur die beiden Ziffern 1 und 0 bzw. L und 0. Jede Ziffer hat als Stellenwert (Positionswert)
eine Potenz von 2.
Beispiel:

L0LL0L = 1@25 + 0@24 + 1@23 + 1@22 + 0@21 + 1@20
= 32
+0
+8
+4
+0
+1
= 45
Die Dualzahl L0LL0L entspricht also der Dezimalzahl 45.
Umgekehrt kann man auch jede Dezimalzahl als Dualzahl darstellen.
Beispiel:

52
= 1@32 + 1@16 + 0@8 + 1@4 + 0@2 + 0@1
= L
L
0
L 0 0
= LL0L00
Die Dezimalzahl 52 entspricht der Dualzahl LL0L00.
M
Hinweis:
Man bestimmt zuerst die größte Potenz von 2, die kleiner als die gegebene Dezimalzahl ist. Dann prüft
man, ob die nächste Potenz von 2 kleiner als der Rest ist usw.
Das Rechnen mit Dualzahlen erfolgt analog zum Rechnen mit Dezimalzahlen.

Beispiel:
1. Addition:
Dualzahlen
L0LL
+
L00LL
LLLL0
Dabei gilt:
L+L=0 Übertrag L
Dualzahlen
L00LL@L0LL
L00LL
00000
L00LL
L00LL
LL0L000L
Das Dualsystem hat große Bedeutung, weil Computer und elektronische Taschenrechner intern mit Dualzahlen
arbeiten, obwohl Dezimalzahlen ein- und ausgegeben werden. Die kleinste Informationseinheit (L oder 0) heißt ein
Bit (binary digit). Für 8 bit hat man die Informationseinheit 1 Byte festgelegt. 1024 Byte sind 1 KB.

2. Multiplikation:
Dezimalzahlen
11
+
19
30
Dabei gilt:
9+1=0 Übertrag 1
Dezimalzahlen
19@11
19
19
209
39
Zahlenbereiche
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Wie heißen die beiden Umkehroperationen des Potenzierens?
Wie heißen a, b und n in logab = n ?
Mit welcher Gleichung definiert man logab ?
Unter welchen Bedingungen für a und b ist logab definiert?
Welche Logarithmensysteme spielen in der Mathematik eine besondere Rolle?
Welchen Stellenwert hat jede Ziffer einer Dezimalzahl?
Aus wie viel Ziffern besteht das Dezimalsystem?
Welche sind das?
Was wissen Sie über einen Numerus, wenn sein dekadischer Logarithmus 1, ... ist?
Wodurch wird ein Dualsystem charakterisiert?
Wodurch wird ein Dreiersystem charakterisiert?
Geben Sie in einen Taschenrechner eine Dezimalzahl oder eine Dualzahl ein?
Übungen und Aufgaben
1.
Lesen und rechnen Sie! Begründen Sie das Resultat!
log525 = ...
<
Der Logarithmus von 25 zur Basis 5 ist gleich 2, weil 52 den Numerus 25 ergibt.
2. log10100 = ...
3. loge1 = ...
1. log416 = ...
5. log100.001 = ...
6. logaar = ...
4. log232 = ...
7. log381 = ...
2.
8. logpp = ...
= ...
Was erhält man, wenn man die folgenden Gleichungen nach ... auflöst?
log10x = 2 / nach x
<
Wenn man log10x = 2 nach x auflöst, erhält man x = 102 =100.
2. log5b = 2 / nach b
1. logcx = 0 /nach x
4. log32x = -0,2 / nach x
3. log3b = 2 / nach b
5. loga25 = 2 / nach a
3.
9. logb
6. loga
= 2 / nach a
Berechnen Sie!
<
4.
40
1.
2.
5. logpp4 =
6.
9.
10. logpp =
Wie viel Stellen hat 2100 ?
log50,2 =
3.
4.
7.
8.
11.
12. log550 =
Das Logarithmieren
5.
Berechnen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners!
log127
<
log127 =
1. log23 =
2. log2100 =
3. log523 =
4. log712 =
5. log3025 =
6. log30,03 =
7. log27,3 =
8. log7,515 =
9. ln37 =
6.
Korrigieren Sie die falschen Aussagen!
Aus der Gleichung ln x = 0 folgt, daß x = 0 ist.
< Aus der Gleichung ln x = 0 folgt, daß x = 1 ist.
1. Aus der Gleichung ln x = 1 folgt, daß x = 1 ist.
2. Wenn der dekadische Logarithmus einer Zahl negativ ist, so ist diese Zahl eine negative reelle Zahl.
3. Wenn der natürliche Logarithmus von einem Numerus negativ ist, so ist dieser Numerus eine positive
rationale Zahl kleiner als 1.
4. ld(-x) ist für alle reellen x definiert.
5. ln(-x) ist für alle reellen x nicht definiert.
7.
Was folgt aus ... für x ? Begründen Sie Ihre Antwort!
ax = 1.
< Aus ax = 1 folgt, daß x = 0 ist, weil a0 = 1 ist.
2. (x-1) @ 2x = 0
3. logax = 0
1. x @ 2x = 0
5. loga(x-1) = 0
6. loga(x-1) = 1
4. logax = 1
8. x @ (x-1) = 0
7. ax = a
8.
Sind die folgenden Aussagen falsch oder wahr?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Wenn der Numerus eines Logarithmus negativ ist, so ist der Logarithmus nicht definiert.
< Diese Aussage ist wahr, weil der Logarithmus nur für positive Numeri definiert ist.
1. Wenn b > 1 ist, so ist ln b definiert.
2. Wenn b > 1 ist, so ist ln b negativ.
3. Wenn 0 < b < 1 ist, so ist ln b positiv.
4. Wenn die Basis a negativ ist, so ist logay nicht definiert.
5. Wenn x eine positive Zahl kleiner als 1 ist, so ist ln x negativ.
9.
Für welche x sind die folgenden Gleichungen definiert?
Begründen Sie Ihre Antwort!
<
Die Gleichung
ist für x $ 0 definiert, weil der Radikand nichtnegativ sein muß.
1. y = lg x
2. y = lg (3-x)
4.
5.
3.
41
Zahlenbereiche
10. Lösen Sie die folgenden Gleichungen!
Begründen Sie das Resultat!
2x = 32
< Die Lösung der Gleichung 2x = 32 ist 5, weil 5 die Gleichung erfüllt.
1. 3x = 81
2. 5x = 125
4.
5.
3.
11. Formulieren Sie die Logarithmengesetze!
Hinweis:
Orientieren Sie sich an der Formulierung der Potenzgesetze!
12. Studieren Sie den direkten Beweis für loga(b@c) = logab + logac und die anschließende Instruktion!
Voraussetzung:
ap @ aq = ap+q
œ(a>0 v a…1 v b>0): ›!!p 0 R: logab = p 1
ap = b : logab = p
aq = c : logac = q
Behauptung:
loga(b@c) = logab + logac
/
Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung
Beweis(gang):
ap @ aq = ap+q
zur Basis a.
loga(ap@aq) = loga(ap+q)
/
loga(b@c) = (p+q) @ logaa
loga(b@c) = p+q
loga(b@c) = logab + logac
/
/
Auf der linken Seite benutzen wir die
Voraussetzung, rechts ein Logarithmengesetz.
logaa = 1
Anwendung der Voraussetzung
w. z. b.w.
In diesem Fall wurde eine Voraussetzung so umgeformt, dass sich die Behauptung ergab.
Instruktionen für den direkten Beweis:
1.
Analysieren Sie den Sachverhalt! (Schreiben Sie z.B. den Satz in der Form
"Wenn ..., so ..."!)
2.
Schreiben Sie die Voraussetzung(en) und die Behauptung als Gleichungen, Ungleichungen oder als
andere Relationen!
3.
Führen Sie den Beweis:
3.1. Formen Sie die Voraussetzung so um, dass Sie die Behauptung erhalten! Oder:
3.2. Wenn die Behauptung die Form einer Gleichung hat, so formen Sie eine Seite der Behauptung in die
andere Seite um! Benutzen Sie dabei die Voraussetzung! Oder:
3.3. Formen Sie die Behauptung so um, dass Sie zur Voraussetzung oder einer anderen wahren Aussage
kommen!
Überzeugen Sie sich, dass jeder Schritt eindeutig umkehrbar ist!
13. Führen Sie direkte Beweise!
1. loga(b:c) = logab - logac
2. lg(bn) = n @ lg b
3.
4.Ú
5.Ú
1
42
mit a, b 0 Q+
Gilt der Satz 13.3. auch für alle a, b 0 Q?
Wenn Sie die Frage in 13.4.Ú mit "nein" beantworten, dann erklären Sie, warum man den Beweis von
13.3. nicht für a,b 0 Q anwenden kann!
›!!p 0 R bedeutet: Es gibt genau ein p 0 R.
Das Logarithmieren
14. Wandeln Sie die Dezimalzahlen in Dualzahlen um und umgekehrt!
Dezimalzahl
Dualzahl
27
...
43
...
...
LL00L
...
LLLL000
15. Rechnen Sie folgende Aufgaben, indem Sie zuerst die Dezimalzahlen in Dualzahlen umwandeln, dann rechnen
und danach das Ergebnis wieder in eine Dezimalzahl umwandeln!
1. 25 + 17 =
2. 24 @ 18 =
3. 36 - 15 =
4. 36 : 4 =
43
Zahlenbereiche
44
8 Rechenoperationen in der Menge R und das indirekte Beweisverfahren
8.1 Die Rechenoperationen in der Menge R
Die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation, die Division (mit Ausnahme der Division durch 0), das Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten, das Radizieren von nichtnegativen Radikanden und das Logarithmieren von
positiven Numeri zu Basen a mit a > 0 und a … 1 sind in der Menge R der reellen Zahlen immer eindeutig ausführbar.
Beachten Sie:

In der Menge R ist nicht definiert:
1. die Division durch 0;
2. das Radizieren von negativen Radikanden;
3. das Logarithmieren von nichtpositiven Numeri und
4. 00 .
Die Menge R der reellen Zahlen wird in den folgenden Texten als Grundmenge festgelegt, wenn keine andere
Aussage getroffen wird.
8.2 Das indirekte Beweisverfahren
Im Text 6.3 wurde behauptet, dass das Radizieren von positiven rationalen Zahlen in der Menge Q der rationalen
Zahlen nicht immer ausführbar ist. Die Wahrheit dieser Behauptung soll gezeigt werden. Dazu wird bewiesen, dass
z.B.
kein Element aus der Menge Q ist.
Die Aussage "
ó Q" ist äquivalent zu der Aussage
"-›x 0 Q: x =
". Aussagen dieser Form nennt man negierte Existenzaussagen. Negierte Existenzaussagen
beweist man oft indirekt. Beim indirekten Beweisverfahren benutzt man - wie allgemein in der Mathematik - die
zweiwertige Logik. Das bedeutet, dass entweder die Aussage A wahr und die logische Negation -A falsch ist, oder
dass die Aussage A falsch und die Negation -A wahr ist. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.
Beispiele:

A1: 3 < 4
(wahr)
-A1: 3 $ 4
(falsch)
A2: -5 0 N
(falsch)
-A2: -5 ó N
(wahr)
A3: 5 + 5 … 10
(falsch)
-A3: 5 + 5 = 10
(wahr)
Wie beim direkten Beweisverfahren gibt man auch beim indirekten Beweisverfahren Voraussetzungen an und
formuliert eine Behauptung B. Man beweist jetzt aber den Satz indirekt:
Man zeigt, daß die Negation von B falsch ist. -B bezeichnet man als Gegenannahme zur Behauptung B.
Im Beweis(gang) formt man im allgemeinen die Gegenannahme -B unter Verwendung der Voraussetzungen so um,
daß man einen Widerspruch zu einer wahren Aussage, einer Definition, einem bewiesenen Satz oder zu einer
Voraussetzung erhält. Weil man den Widerspruch durch logisches Umformen der Gegenannahme -B erhält, muß
diese Gegenannahme -B falsch sein. Daraus folgt aber, daß die Behauptung B wahr ist.
Für einen indirekten Beweis ergibt sich folgende Instruktion:
1. Analysieren Sie den Sachverhalt! Schreiben Sie die Voraussetzungen und die Behauptung B auf!
2. Formulieren Sie die Gegenannahme -B!
3. Führen Sie die Gegenannahme -B durch logische Umformungen zu einem Widerspruch!
Beispiel:

Wenn a > 1 ist, so ist auch
> 1.
Wir beweisen diesen Satz indirekt:
Voraussetzung:
a >1
( Hier bildet der erste Teil des Satzes die Voraussetzung.)
Behauptung:
>1
Gegenannahme:
#1
Beweis(gang):
#1
a #1
Wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit n.
n
45
Zahlenbereiche
a #1

Diese Ungleichung steht im Widerspruch zur Voraussetzung. Daraus
folgt, dass die Gegenannahme falsch, aber die Behauptung wahr ist.
w.z.b.w.
Jetzt soll bewiesen werden, dass
Voraussetzung:
keine rationale Zahl ist.
(1) a 0 Q : ›(p,q) 0 G:
(2) p und q (aus (1)) sollen keinen gemeinsamen Teiler haben.
(3) (z ist eine Primzahl und z * g2) 6 z * g mit z, g 0 G
Behauptung
Gegenannahme -B:
Beweis(gang):
B:
óQ
0Q
mit anderen Worten: ›(p,q 0 G):
, wobei p und q
keinen gemeinsamen Teiler haben.
Wir führen die Gegenannahme -B durch Umformen zu einem Widerspruch.
2q2 = p2 , das bedeutet: 2 * p2, also nach (3): 2 * p,
(4)
deshalb ist p = 2m mit m 0 G.
2q2 = (2m)2
2q2 = 4m2
q2 = 2m2 , das bedeutet: 2 * q2, also 2 * q,
deshalb ist q = 2r mit r 0 G. (5)
(4) und (5) bedeuten, dass p und q den gemeinsamen Teiler 2 haben. Das ist ein
Widerspruch zur Voraussetzung (2).
Daraus folgt, dass die Aussage "p und q haben den gemeinsamen Teiler 2" falsch
ist. Da wir diese falsche Aussage durch logische Umformungen der Gegenannahme erhalten haben, muss die Gegenannahme
ó Q wahr sein.
0 Q falsch sein. Also muss
w. z. b.w.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Welche Rechenoperationen sind in der Menge R immer ausführbar?
Welche Rechenoperationen sind in der Menge R nur unter bestimmten Bedingungen ausführbar?
Für welche reellen Zahlen ist das Dividieren, das Radizieren und das Logarithmieren in der Menge R nicht
definiert?
Welchen Wahrheitswert hat die Negation einer wahren Aussage?
Welchen Wahrheitswert hat die Negation einer falschen Aussage?
Was bedeutet "zweiwertige Logik"?
Was versteht man unter der Gegenannahme zu einer Behauptung?
In welchen Schritten führt man einen indirekten Beweis?
Übungen und Aufgaben
1.
2.
46
Geben Sie die Bedingungen an, unter denen jede der Rechenoperationen in R ausführbar ist!
Negieren Sie folgende Aussagen:
5<q
< Die Negation von 5 < q ist 5 $ q.
Rechenoperationen in der Menge R und das indirekte Beweisverfahren
1. a 0 G
4. t ó R
3.
2. T f M
5. a < b v b = 7
3. a = c w m = s
6. t ist keine Primzahl.
Wie beweist man, dass ...
óQ
<
Man geht von der Gegenannahme aus, dass
0 Q ist.
Diese Gegenannahme führt man zu einem Widerspruch.
1.
óQ
3. lg 2 ó Q
2.
óQ
4. ln 5 ó Q
4.
Wozu steht ... im Widerspruch?
x < 0 / lg x ist in R definiert
< "x < 0" steht im Widerspruch dazu, dass "lg x in R definiert ist".
1. a > 3 / a = 3
2. r = ay v s = ax / r,s haben keinen gemeinsamen Teiler
4. a = 10 / a ist Primzahl.
3. a 0 G / a ó G
5. a < b / ...
6. ln x > 1 / ...
5.
Nennen Sie das Charakteristische eines indirekten Beweises!
Geben Sie alle Instruktionen für das indirekte Beweisen an!
6.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen indirekt!
1.
2.
3.
4.
ist keine rationale Zahl.
lg 5 ist keine rationale Zahl.
Wenn zwei ganze Zahlen p und q keinen gemeinsamen Teiler haben, so haben auch
q - p und q keinen gemeinsamen Teiler.
Wenn n keine Quadratzahl ist, so ist
keine rationale Zahl.
5.Ú Die Menge der Primzahlen ist unendlich. (D.h., es gibt keine größte Primzahl.)
6. (z ist eine Primzahl v z * g2) 6 z * g mit z,g 0 G
7.
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf!
1. ax - b = c
2. logxa = b + c
3.
4.
5.
6.
7. abx + c = e
8. logax = c - d
9.
10.
11. ax @ b = c
47
Zahlenbereiche
48
9 Die Menge C der komplexen Zahlen
9.1 Imaginäre Zahlen
Im Text 8.1. wurde u.a. ausgeführt, dass in der Menge R der reellen Zahlen die Division durch Null und das
Radizieren von negativen Radikanden nicht definiert sind. Während die Division durch Null weiterhin nicht
definiert bleibt, kann man die Menge R so erweitern, dass auch das Radizieren von negativen Radikanden definiert
ist.
Für
mit a > 0, a 0 R kann man auch
= i, ergibt sich für
schreiben. Setzt man
eine imaginäre Zahl. Es gilt z.B.
Man
nennt i die imaginäre Einheit, die durch die Gleichung i2 = -1 definiert wird.
Für die Potenzen von i gilt:
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 @ i = (-1) @ i = -i
i4 = i2 @ i2 = (-1) @ (-1) = 1
Damit ergeben sich mit n 0 G:
i4n = 1n = 1
i4n+1 = 1n @ i = i
i4n+2 = 1n @ (-1) = -1
i4n+3 = 1n @ i3 = -i
Die Potenzen von i sind also wieder imaginär oder reell. Gleiches gilt für die algebraischen Summen, Produkte oder
Quotienten von imaginären Zahlen.



Beispiel:
4i + 7i - 12i = -i
5i @ 3i = 15i2 = -15
3i @ 2i @ 5i = 30 i3 = -30i

9.2. Komplexe Zahlen
Die quadratischen Gleichungen ax2 + bx + c = 0 mit a, b, c 0 R und a … 0 haben nur reelle Lösungen für b2 - 4ac
$ 0. Für b2 - 4ac < 0 sind die Lösungen komplexe Zahlen, d.h. Summen aus einer reellen und einer imaginären
Zahl:
ax2 + bx + c = 0 mit b2 - 4ac < 0
Allgemein ist eine komplexe Zahl z = a + bi mit a, b 0 R eine Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären
Zahl bi. Dabei heißen a der Realteil und b der Imaginärteil der Zahl z. Zwei komplexe Zahlen sind gleich genau
dann, wenn ihre Realteile und die Imaginärteile übereinstimmen. Unterscheiden sich zwei komplexe Zahlen nur
durch das Vorzeichen des Imaginärteils (wie bei den komplexen Lösungen einer quadratischen Gleichung), so
heißen sie konjugiert komplexe Zahlen.
Beispiel:

zwei konjugiert komplexe Zahlen
49
Zahlenbereiche

zwei konjugiert komplexe Zahlen
In der Menge C der komplexen Zahlen sind die Grundrechenarten wie folgt definiert:
Definition:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) @ (c + di) = ac + bci + adi + bdi2= (ac - bd) + (bc + ad)i
(Die Division von zwei komplexen Zahlen führt man aus, indem man den Quotienten mit der konjugiert
komplexen Zahl des Divisors erweitert.)
In der Menge C der komplexen Zahlen gelten das kommutative und das assoziative Gesetz der Addition und
Multiplikation ebenso wie das Distributivgesetz der Addition und Multiplikation. Auf dieser Basis sind die
Grundrechenoperationen stets ausführbar, mit Ausnahme der Division durch Null. Auf die Rechenoperationen der
3. Stufe in der Menge C der komplexen Zahlen wird in diesem Lehrbuch später eingegangen.
Die graphische Darstellung der komplexen Zahlen erfolgt in der "Gaußschen Zahlenebene". Die reellen Zahlen
werden auf einer waagerechten Achse, die imaginären Zahlen auf einer dazu orthogonalen Achse aufgetragen.
Dadurch wird die Gaußsche Zahlenebene in 4 Quadranten eingeteilt (I,II,III,IV).
Der komplexen Zahl z = a + bi wird der Punkt P mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b zugeordnet.
50
Die Menge C der komplexen Zahlen
Auf diese Weise wird jeder komplexen Zahl umkehrbar eindeutig ein Punkt auf der Gaußschen Zahlenebene
zugeordnet. Die Menge der imaginären Zahlen und die Menge R der reellen Zahlen sind echte Teilmengen der
Menge C der komplexen Zahlen.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Warum ist es sinnvoll, die Menge R der reellen Zahlen zu erweitern?
Durch welche Gleichung ist die Einheit der imaginären Zahlen definiert?
Welche Werte kann eine Potenz von i annehmen?
Ist der Quotient zweier imaginärer Zahlen wieder imaginär?
Unter welcher Bedingung ist die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 in der Menge R nicht lösbar?
Was für Zahlen sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung, wenn ihre Diskriminante (b2 - 4ac) kleiner
als Null ist?
Unter welcher Bedingung ist die Summe von zwei komplexen Zahlen reell?
Was für eine Zahl ist die Differenz von zwei konjugiert komplexen Zahlen?
Wie dividiert man zwei komplexe Zahlen?
Welche Achsen werden in der Gaußschen Zahlenebene unterschieden?
In welchem Quadranten liegt der Punkt, der der komplexen Zahl z = -2 - i zugeordnet wird?
Welche komplexen Zahlen liegen im IV. Quadranten der Gaußschen Zahlenebene?
Unter welcher Bedingung ist eine komplexe Zahl reell?
Übungen und Aufgaben
1.
Nennen Sie Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahlen!
z = 2 - 3i
< 2 ist der Realteil und -3 ist der Imaginärteil der komplexen Zahl z.
1. z = -3 + 4i
2. z = -i
3. z = 7
4.
2.
5.
Geben Sie die konjugiert komplexe Zahl an!
z = 3 - 2i
51
Zahlenbereiche
< Die konjugiert komplexe Zahl zu 3 - 2i ist 3 + 2i.
3.
4.
1. z = a + bi
2. z = 7
4. z = -5 - i
5.
3. z = -3i
6.
Lösen Sie die folgenden Aufgaben!
1. i7 =
2. i7 @ i5 =
3. 7i - 8i + 3i =
4. i-4 =
6. 7i(3i - 2) =
5.
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit z1 = 4 - 3i, z2 = -2 + i, z3 = 1 + i !
2. z1(z2 + z3) =
1. z1 + 3z2 - 5z3 =
4. z2 : z3 =
3. z1 @ z2 =
5.Ú Wo liegen zwei konjugiert komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene?
52
10
Folgerungen
10.1
Struktur einer Folgerung
Ein mathematischer Satz ist in einer Grundmenge eine wahre (bzw. allgemeingültige) Aussage.
Wahre Aussagen der Form "Wenn A, so B." heißen Folgerungen. Man schreibt kurz: A 6 B. Man kann auch lesen:
"Aus A folgt B."
Beispiel:
(1) Aus "6 ist ein Teiler einer ganzen Zahl a" folgt "3 ist ein Teiler von a."
6 * a 6 3 * a mit a 0 G
Hier ist die Menge G der ganzen Zahlen die Grundmenge.
 (2) Wenn eine reelle Zahl x größer als 10 ist, so ist x größer als 5.
x > 10 6 x > 5 mit x 0 R
Hier ist die Menge R der reellen Zahlen die Grundmenge.
In der Folgerung A 6 B nennt man A die Voraussetzung und B die Behauptung. Im Beispiel (1) ist "6 ist ein Teiler
von a" die Voraussetzung und "3 ist ein Teiler von a" die Behauptung. Im Beispiel (2) ist "x > 10" die Voraussetzung und "x > 5" die Behauptung.
Wenn ein Element aus der Grundmenge die Voraussetzung (Behauptung) erfüllt, so gehört es zur Erfüllungsmenge
EV (EB) der Voraussetzung (der Behauptung). Im Beispiel (1) ist die Menge EV = {0;6;12;18;24;...} die Erfüllungsmenge der Voraussetzung und EB = {0;3;6;9;12;15;18;21;24;...}die Erfüllungsmenge der Behauptung. Die
Erfüllungsmenge EV der Voraussetzung ist eine Teilmenge der Erfüllungsmenge EB der Behauptung.

Allgemein gilt:
 Bei einer Folgerung ist die Erfüllungsmenge EV der Voraussetzung eine Teilmenge der Erfüllungsmenge EB
der Behauptung. (EV f EB)
Aus dieser Relation ergibt sich sofort: Wenn a 0 EV ist, so ist a 0 EB. Man sagt auch dafür: In der Folgerung A 6 B
ist die Voraussetzung A eine hinreichende Bedingung für die Behauptung B. Im Beispiel (1) ist also "6 * a" eine
hinreichende Bedingung für die Behauptung "3 * a".
Folgendes Beispiel soll die genannten Zusammenhänge illustrieren (dabei sollen T und M Punktmengen sein).

Beispiel:
Wenn x 0 T v T f M ist, so ist x 0 M.
Die Voraussetzung "x 0 T v T f M" ist eine hinreichende Bedingung für die Behauptung " x 0 M".
Abb.10.1 "Modell" einer Folgerung
In einer Folgerung ist die Voraussetzung eine hinreichende Bedingung für die Behauptung .
Außerdem erkennt man am Beispiel der Punktmengen: x muss nicht in T liegen, wenn x in M liegen soll.
Also: x 0 T v T f M ist keine notwendige Bedingung für x 0 M.
In dieser Folgerung ist die Voraussetzung eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für die Behauptung.
Umgekehrt muss aber x in M liegen, wenn x in T liegen soll. Also ist x 0 M eine notwendige Bedingung für x 0
T v T f M.
Allgemein gilt:
 In einer Folgerung ist die Behauptung eine notwendige Bedingung für die Voraussetzung.
Schließlich erkennt man am Beispiel mit den Punktmengen noch:
In dieser Folgerung ist die Behauptung eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Voraussetzung.
53
Zahlenbereiche


Beispiel:
(1) 6 * a 6 3 * a mit a 0 G
"6 * a" ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für "3 * a".
"3 * a" ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für "6 * a".
(2) x > 10 6 x > 5 mit x 0 R
"x > 10" ist eine hinreichende Bedingung für "x > 5".
"x > 5" ist eine notwendige Bedingung für "x > 10".
10.2
Umkehrung und Kontraposition einer Folgerung
Am Beispiel "x > 10 6 x > 5" erkennt man, dass die Umkehrung "x > 5 6 x > 10" nicht allgemeingültig, also falsch
ist. (z.B. ist 7 > 5, aber 7 < 10.)
Es gilt:
Zu einer Folgerung A 6 B ist die Umkehrung B 6 A in vielen Fällen falsch.

Beispiel:
6 * a 6 3 * a wahr
3 * a 6 6 * a falsch, denn 3 * 9, aber 6 ð 9.
Dagegen gilt mit "x > 10 6 x > 5" auch die Folgerung "x # 5 6 x # 10". Diese Folgerung nennt man die Kontraposition zur Folgerung "x > 10 6 x > 5".
Man erhält die Kontraposition zu einer Folgerung, wenn man
1. die Voraussetzung und die Behauptung negiert und
2. die Positionen der beiden Ausdrücke vertauscht.
Definition:
Die Kontraposition zu einer Folgerung A 6 B ist ¬B 6 ¬A.
Allgemein gilt:
 Die Kontraposition einer Folgerung ist wahr.

Beispiel:
6*a63*a
3ða66ða
Folgerung
Kontraposition
(wahr)
(wahr)
Es soll die Kontraposition zur Folgerung "x 0 T v T f M 6 x 0 M" gebildet werden. In diesem Fall besteht die
Voraussetzung aus zwei Teilen, die durch "und" verbunden sind. Wenn man diese Voraussetzung negieren will,
muss man beide Teile negieren, dann aber die Negationen durch "oder" verbinden.

Beispiel:
Folgerung:
Kontraposition:
x0TvTfM6x0M
xóM6xóTwTéM
Allgemein gilt:
 Die Negation zu C v D ist ¬C w ¬D.
Entsprechend gilt:
 Die Negation von C w D ist ¬C v ¬D.

Beispiel:
(1) Folgerung:
Kontraposition:

54
(2)
Folgerung:
Kontraposition:
Wenn ein Produkt zwei Faktoren hat und wenn die zwei Faktoren verschiedene
Vorzeichen haben, so ist dieses Produkt negativ.
Wenn ein Produkt nichtnegativ ist, so hat das Produkt nicht zwei Faktoren
oder die zwei Faktoren haben gleiche Vorzeichen.
Wenn A = i ist oder wenn B = i ist, so ist A 1 B = i.
Wenn A 1 B … i ist, so ist A … i und B … i.
Folgerungen
10.3 Anmerkungen zum direkten und indirekten Beweis
Folgerungen sind nach 10.1 besondere mathematische Sätze. Die Wahrheit mathematischer Sätze muß immer
bewiesen werden. Dazu sollen einige Bemerkungen gemacht werden.
Bei einem Beweis wird mit Hilfe bereits als wahr bekannter Aussagen und logischer Schlussregeln gezeigt, dass der
Inhalt (die Aussage) des zu beweisenden Satzes wahr ist. Dabei darf die Allgemeingültigkeit der Beweisführung
nicht verletzt werden. So kann die Gültigkeit eines Satzes nicht durch ein Beispiel gezeigt werden. Dagegen zeigt
ein Gegenbeispiel sofort, dass eine Aussage falsch ist.
Beweise können auf verschiedene Art geführt werden. Zwei Möglichkeiten, die in den Texten und Übungen 5., 7.
und 8. schon vorgestellt wurden, sollen hier noch einmal betrachtet werden.
Beim direkten Beweis benutzt man unter anderem die folgende Schlussregel (Abtrennungsregel):
(A und (A 6 B)) 6 B
Andere Darstellung:
Aus
A
und
A6B
folgt
B.
Das heißt, wenn die Aussage A (Voraussetzung) wahr ist und wenn die Folgerung A 6 B auch wahr ist, so ist die
Behauptung wahr.
Für den indirekten Beweis benutzt man unter anderem folgende Schlussregel:
(A und (¬B 6¬A)) 6 B
Andere Darstellung:
Aus
A
und
¬B 6 ¬A
folgt
B
Beim indirekten Beweis stellt man zur Behauptung B die Gegenannahme ¬B auf, und wenn man zeigen kann, dass
aus dieser die Negation der Voraussetzung folgt, so ist die Behauptung B selbst wahr.
In den folgenden Übungen wird das Erkennen von Folgerungen geübt, ohne dass jeweils Beweise gefordert werden.
Man sollte sich aber bewusst sein, dass die Beweisführung immer möglich sein muss, wobei obige Schlussregeln
verwendet werden.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Wie heißen A und B in der Folgerung "Wenn A, so B" ?
Was für eine Bedingung ist die Voraussetzung für die Behauptung in einer Folgerung?
Was für eine Bedingung ist die Behauptung für die Voraussetzung in einer Folgerung?
Ist die Umkehrung einer Folgerung wahr?
Ist eine hinreichende Bedingung im allgemeinen auch notwendig?
Ist eine notwendige Bedingung im allgemeinen auch hinreichend?
Wie bildet man die Kontraposition zu einer Folgerung?
Ist die Kontraposition einer Folgerung wahr?
Welcher Ausdruck ist die Negation zu "U v V" ?
Welcher Ausdruck ist die Negation zu "R w S" ?
Welche logische Schlussregel liegt dem direkten Beweis zugrunde?
Welche logische Schlussregel liegt dem indirekten Beweis zugrunde?
Übungen und Aufgaben
1.
Bilden Sie wahre Aussagen!
x * 20 mit x 0 G
< Der Ausdruck x * 20 mit x 0 G wird zu einer wahren Aussage, wenn man die ganze Zahl 5 für die Variable
x einsetzt, weil 5 zu der Erfüllungsmenge dieses Ausdrucks gehört.
2. 2 > z mit z 0 N
1. g 0 G
4. b > -1 mit b 0 G
3. a $ 5 mit a 0 Q
6. 2 v 3 * m mit m 0 G
5. 3 * (a + b) mit a,b 0 N
55
Zahlenbereiche
2.
Bestimmen Sie die Voraussetzung und Behauptung in den Folgerungen!
a > 10 6 a > 5 (a 0 R)
< "a ist größer als 10" ist die Voraussetzung und "a ist größer als 5" ist die Behauptung.
1. 3 * a v 3 * b 6 3 * (a + b)
2. Wenn 2 kein Teiler von n ist, so ist 4 kein Teiler von n (n 0 N).
3. Eine Zahl hat nicht den Teiler 8, wenn diese Zahl nicht den Teiler 4 hat.
4. Ein Produkt ist positiv, wenn es nur aus positiven Faktoren besteht.
5. Wenn 4 ein Teiler von n ist, ist auch 2 ein Teiler von n (n 0 N).
3.
Lesen Sie die folgenden Aussagen! Sind die Aussagen wahr oder falsch? Wenn die Aussagen falsch sind, so
korrigieren Sie sie, d.h., bilden Sie Folgerungen!
a < 10 6 a < 5 mit a 0 R
< Wenn a kleiner als 10 ist, so ist a kleiner als 5.
Diese Aussage ist falsch. Wahr ist: Wenn a kleiner als 5 ist, so ist a kleiner als 10.
1. x > 50 6 x > 30, mit x 0 R
3. 5 * a 6 15 * a, mit a 0 G
5. x < 10 6 x < 20, mit x 0 R
7. a ist Primzahl v a * g2 6 a * g, mit a, g 0 G
2. x 0 G 6 x 0 N
4. x * 10 6 x * 20,mit x 0 G
6. a * b 6 ›x 0 G: a @ x = b
4.
Bilden Sie Folgerungen der Form A 6 B oder der Form B 6 A!
Beachten Sie dabei den richtigen Gebrauch des bestimmten und des unbestimmten Artikels!
A: 3 ist ein Teiler der Zahl z 0 G.
B: 9 ist ein Teiler der Zahl z 0 G.
< Wenn 9 Teiler einer Zahl z 0 G ist, so ist 3 Teiler der Zahl z.
1. A: 10 ist Teiler einer Zahl z 0 G.
B: 2 ist Teiler einer Zahl z 0 G.
2. A: Eine Zahl z ist eine natürliche Zahl.
B: Eine Zahl z ist eine rationale Zahl.
3. A: Eine Zahl s ist eine rationale Zahl.
B: Eine Zahl z ist ein endlicher Dezimalbruch.
4. A: 5 ist kein Teiler einer Zahl p 0 N.
B: 20 ist kein Teiler einer Zahl p 0 N.
5. A: Ein Produkt ist positiv.
B: Ein Produkt besteht nur aus positiven Faktoren.
6. A: a * c v b * c
B: (a @ b) * c
5.
Von einer Folgerung ist die Behauptung bekannt. Geben Sie eine hinreichende Bedingung für die Behauptung
an und formulieren Sie die Folgerung!
z ist eine rationale Zahl.
< "z ist eine ganze Zahl" ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass "z eine rationale Zahl ist". Es gilt die
Folgerung: Wenn z eine ganze Zahl ist, so ist z eine rationale Zahl.
1. a > 3
2. b * 50
3. A \ B = i
6.
Von einer Folgerung ist die Voraussetzung bekannt.
Geben Sie eine notwendige Bedingung für die Voraussetzung an und formulieren Sie die Folgerung!
x ist eine natürliche Zahl.
< "x ist eine nichtnegative Zahl" ist eine notwendige Bedingung dafür, dass "x eine natürliche Zahl ist".
Wenn x eine natürliche Zahl ist, so ist x eine nichtnegative Zahl.
56
Folgerungen
1. a < 10 mit a 0 N
2. b ð 5O
3. B \ A … i
7.
Bilden Sie die Negation der folgenden Ausdrücke!
2*av3*a
< 2ðaw3ða
2. A = i w B = i
1. a * b w c * b
3. a < b v b < c
4. A \ B = i w B … i
5. A … i v B … i
6. A c B = i v A … i v B … i
8.
Geben Sie zu den Folgerungen aus Aufgabe 2. die Kontraposition an!
9.
1. Bilden Sie Folgerungen der Form M 6 N oder N 6 M!
2. Welcher Ausdruck ist eine hinreichende Bedingung für welchen Ausdruck?
3. Welcher Ausdruck ist eine notwendige Bedingung für welchen Ausdruck?
4. Bilden Sie die Kontraposition zur Folgerung!
M: A 1 B = i
N: A = i w B = i
< 1. Wenn A = i oder B = i ist, so ist A 1 B = i.
2. "A = i oder B = i" ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass "A 1 B = i" ist.
3. "A 1 B = i" ist eine notwendige Bedingung dafür, dass "A = i oder B = i" ist.
4. Die Kontraposition zu "A = i w B = i 6 A1B = i" ist "A1B … i 6 A … i v B … i ".
1. M: 10 + 4b < 40
N: b = 7
2. M: Der Radikand ist positiv.
N: Eine Wurzel ist definiert.
3. M: logab < 0 mit a > 1
N: b = 0,5
4. M: Ein Produkt aus n Faktoren ist negativ.
N: Ein Produkt aus n Faktoren ungleich 0 hat genau einen negativen Faktor.
5. M: A 1 B = B
N: B d A
57
Zahlenbereiche
58
11
Äquivalenzen
11.1
Struktur einer Äquivalenz
Wir betrachten folgende zwei Ausdrücke:
M: A f B
N: A 1 B = A
oder
Abb. 11.1. A d B w A = B (graphische Darstellung von M)
Man kann die Folgerung der Form M 6 N bilden, denn es gilt:
Wenn A f B ist, so ist A 1 B = A.
In diesem Fall ist die Umkehrung N 6 M der Folgerung M 6 N auch wahr, denn es gilt:
Wenn A 1 B = A ist, so ist A f B.
Wir sehen an diesem Beispiel, dass man Verbindungen von zwei Ausdrücken unter bestimmten Bedingungen in
beiden Richtungen als Folgerungen schreiben kann. Solche Verbindungen bezeichnet man als Äquivalenzen. Man
benutzt für eine Äquivalenz aus M und N das Zeichen M : N.("M genau dann, wenn N") Man sagt auch: M und
N sind zueinander äquivalent.
Das obige Beispiel lautet also:
 AfB:A1B=A
"Die Menge A ist eine Teilmenge der Menge B genau dann, wenn die Durchschnittsmenge der Mengen A und
B gleich der Menge A ist."
Ein weiteres Beispiel für eine Äquivalenz ist:
 6 * z : 2 * z v 3 * z mit z 0 N
"6 ist ein Teiler von z 0 N genau dann, wenn 2 und 3 Teiler von z sind."
Dieses Beispiel zeigt, dass bei dieser Äquivalenz die Erfüllungsmengen E beider Ausdrücke identisch sind.
Es ist E = {0; 6; 12; 18; ...}. Beim ersten Beispiel besteht die Erfüllungsmenge E aus den Elementen der Menge A.
Allgemein gilt: Bei einer Äquivalenz A : B sind die Erfüllungsmengen von A und B gleich.
Anmerkung:
Eine Äquivalenz kann man auch lesen: "M dann und nur dann, wenn N."
"M ist äquivalent zu N."
11.2
Hinreichende und notwendige Bedingung
Weil bei einer Äquivalenz A : B die Folgerung A 6 B enthalten ist, ist A eine hinreichende Bedingung für B. Weil
aber auch die Folgerung B 6 A enthalten ist, ist A eine notwendige Bedingung für B. Entsprechendes gilt für B.
Allgemein gilt:
Bei einer Äquivalenz A : B ist
1. A eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für B und
2. B eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für A.
In einer Äquivalenz sind 4 Folgerungen enthalten:
1. die Folgerung A 6 B,
2. die Folgerung B 6 A,
3. die Kontraposition -B 6 -A zu 1. und
4. die Kontraposition -A 6 -B zu 2.
59
Zahlenbereiche
Anmerkung:
Man gibt auch Definitionen oft in der Form von Äquivalenzen an.

Beispiel:
Eine Menge C ist eine Teilmenge der Menge D genau dann, wenn alle Elemente aus C auch Elemente von D
sind.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
Ist die Umkehrung einer Folgerung immer wahr?
Ist die Umkehrung einer Folgerung immer falsch?
Unter welcher Bedingung kann man zwei Ausdrücke A und B zu einer Äquivalenz A : B verbinden?
Was für eine Bedingung ist A für B in A : B ?
Was für eine Bedingung ist B für A in A : B ?
Übungen und Aufgaben
1.
Bilden Sie Äquivalenzen!
12 ist ein Teiler einer Zahl z 0 N genau dann, wenn ...
< 12 ist ein Teiler einer Zahl z 0 N genau dann, wenn 3 und 4 Teiler dieser Zahl z sind.
...
1. 8 und 6 sind Teiler einer Zahl z 0 N genau dann, wenn
2. Ein Faktor eines Produkts ist O genau dann, wenn ...
3. Ein Bruch ist null genau dann, wenn ...
4. Eine Zahl kann man als unendliche periodische oder endliche Dezimalzahl darstellen genau dann, wenn ...
5. Die Aussage -H ist falsch genau dann, wenn ...
2.
Bilden Sie aus folgenden Ausdrücken Äquivalenzen M : N oder, wenn das nicht möglich ist, Folgerungen der
Form M 6 N oder N 6 M !
Was für eine Bedingung ist M für N ?
M: Ein Produkt ist negativ.
N: Ein Produkt hat keinen Faktor O und (2n+1) negative Faktoren (n0N).
< Ein Produkt ist negativ genau dann, wenn das Produkt keinen Faktor O und (2n+1) negative Faktoren hat.
"Ein Produkt ist negativ" ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für "ein Produkt hat keinen
Faktor O und (2n+1) negative Faktoren (n0N)".
1. M: A c B = i
N: A = i v B = i
2. M: A 1 B = i
N: A = i w B = i
3. M: z ó G
N: z ó Q
4. M: A … i v B … i
N: A 1 B … i
5. M: a * c v b * c mit a,b,c 0 G; a,b sind teilerfremd
N: ab * c
3.
Erläutern Sie mit Hilfe der Begriffe "Folgerung", "Umkehrung einer Folgerung" und "notwendige/ hinreichende Bedingung" den Begriff "Äquivalenz"!
4.
Schreiben Sie die Definitionen der Begriffe "Teilmenge","Vereinigungsmenge", "Durchschnittsmenge" und
"Differenzmenge" in Form von Äquivalenzen!
60
Äquivalenzen
5.
Bilden Sie Äquivalenzen oder, wenn das nicht möglich ist, Folgerungen der Form A 6 B bzw. B 6 A !
A: a ist eine ganze Zahl.
B: a ist eine natürliche Zahl.
< Wenn a eine natürliche Zahl ist, ist a eine ganze Zahl.
(B 6 A)
1. A:
ist definiert.
B: y ist eine nichtnegative Zahl.
2. A: 0 #
#1
B: 0 # y # 1
3. A: x > 5
B:
>5
4. A: x1 und x2 sind positive Zahlen, x1 > x2
B: x12 > x22
5. A: ln b ist definiert.
B: b > 1
6. A: logay ist nicht definiert.
B: Die Basis a ist negativ.
7. A: Der Numerus eines Logarithmus ist negativ.
B: Der Logarithmus ist nicht definiert.
8. A: a ist eine positive Zahl kleiner als 1.
B: lg a ist negativ.
61
Zahlenbereiche
62
12
Grundbegriffe der Geometrie
12.1
Grundfiguren
Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Punktmengen, Eigenschaften von
Punktmengen und Relationen zwischen Punktmengen.
Wir betrachten einige Punktmengen:
Beispiel:

die Gerade, -n
der Winkel, -
der Strahl, -en
das Dreieck, -e
die Strecke, -n
der Kreis, -e
der Würfel, Abb. 12.1. Punktmengen
Diese Punktmengen bezeichnet man als Figuren. Die Geraden, die Strahlen und die Strecken sind lineare Figuren.
Winkel, Dreiecke und Kreise gehören zu den ebenen Figuren. Der Würfel ist eine räumliche Figur.
Die einfachsten Figuren sind ein Punkt P, eine Gerade g und eine Ebene g ("epsilon"). Man bezeichnet Punkt,
Gerade und Ebene als Grundfiguren der Geometrie.
12.2
Grundrelationen
Zwischen Figuren bestehen Relationen (Beziehungen).
Ein Punkt P und eine Gerade g sollen folgende Lage haben:
Abb. 12.2. Relation zwischen Punkt und Gerade
63
Geometrie
Welche Relation besteht zwischen P und g ?
Zwischen P und g besteht die Relation: P 0 g
In der Sprache der Geometrie sagt man:
Der Punkt P liegt auf der Geraden g.
Zwischen P und g besteht also die Relation "... liegen auf ...".
Die Relation "... liegen auf ..." gehört zu den Grundrelationen. In der folgenden Übersicht werden Formulierungen
von Grundrelationen dargestellt:
in Symbolen
in Worten
1.
P0g
gýP
P liegt auf g
g geht durch P
2.
P0g
gýP
P liegt in g
g geht durch P
3.
gdg
geg
g liegt in g
g geht durch g
4.
P 0 AB
P liegt zwischen A und B
Dabei ist AB die Menge
aller Punkte zwischen A
und B.
Tabelle 12.1. Grundrelationen
Beachten Sie:
Ein Punkt P ist ein Element einer Geraden g. Deshalb schreibt man P 0 g. Eine Gerade ist eine echte Teilmenge
einer Ebene g. Deshalb schreibt man g d g.
Grundfiguren und Grundrelationen zwischen Figuren sind Grundbegriffe der Geometrie.
Die Grundbegriffe einer Theorie (z.B. der Geometrie) definiert man nicht.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
64
Womit beschäftigt sich die Geometrie?
Nennen Sie einige Figuren!
Welche Figuren sind Grundfiguren der Geometrie?
Aus welchen drei linearen Figuren besteht ein Dreieck ABC ?
Welche linearen Figuren kennen Sie?
Was für Figuren sind Winkel, Dreieck und Kreis?
Was für eine Figur ist ein Würfel?
Welche zwei Arten von Grundbegriffen gibt es in der Geometrie?
Welche Relation besteht zwischen drei verschiedenen Punkten, wenn diese auf einer Geraden liegen?
Welche Relationen definiert man nicht?
Grundbegriffe der Geometrie
Übungen und Aufgaben
1.
Bilden Sie Sätze! Beachten Sie dabei den richtigen Gebrauch des bestimmten bzw. unbestimmten Artikels!
Punkt A des Dreiecks ABC / Eckpunkt
< Man bezeichnet den Punkt A des Dreiecks ABC als einen Eckpunkt.
Punkt O des Strahls s / Anfangspunkt
< Man bezeichnet den Punkt O des Strahls s als den Anfangspunkt.
1. Strecke
des Dreiecks ABC / Seite
2. Punkt B des Winkels ËABC / Scheitelpunkt
3. Strahl k des Winkels Ë(h,k) / Schenkel
4. Strecke
des Würfels mit den Eckpunkten A und B / Kante
5. Punkt A der Kante
2.
eines Würfels / Eckpunkt
Lesen Sie!
A 0 g, h
< Der Punkt A liegt auf den Geraden g und h.
1. g ý P, Q
2. g d g v g ý P
3. S 0 g, h
4. ABC d g
5.
çg
6. C 0 AB
7. g e g v g ý P
8. Ë(h,k) d g
3.
Schreiben Sie die Ausdrücke der Übung 2!
4.
Schreiben Sie folgende Aussagen mit Hilfe von Symbolen!
Der Punkt A liegt auf der Geraden g.
< P0g
1. Der Punkt S liegt auf den verschiedenen Geraden g und h (g … h).
2. Die Gerade g geht durch die Punkte A und C; dabei liegt S zwischen A und C.
3. Die Strecke
liegt auf der Geraden h; dabei liegt S zwischen B und D.
4. Die Strecke
liegt auf dem Viereck ABCD.
5.
Zeichnen Sie mit Hilfe der Aussagen aus Übung 4 eine Figur!
6.
Für alle Punkte P eines Strahls s mit dem Anfangspunkt A und einem Punkt B 0 s mit B … A gilt folgende
Aussage:
P … A,B 6 (P 0 AB w B 0 AP)
1. Formulieren Sie die Aussage in Worten!
2. Veranschaulichen Sie diese Aussage durch eine Zeichnung!
65
Geometrie
7.
Betrachten Sie folgende Zeichnung!
Welche Relationen bestehen zwischen den angegebenen Figuren?
Formulieren Sie die Antwort mit Worten und mit Symbolen!
S, g, h
< Der Punkt S liegt auf den Geraden g und h. S 0 g,h
1. S, g
2. h, A, B
3. D, S, C
4.
66
,g
5.
, ACS
6. C, SBD
13
Definitionen von Objekten
Man definiert Begriffe einer Theorie, weil man bei der Begriffsverwendung (z.B. in Diskussionen) Eindeutigkeit
erreichen will. Definitionen sind Festlegungen. Sie haben nicht die Eigenschaft "wahr" oder "falsch", sondern
"sinnvoll".
13.1
Definitionsarten
Mit Hilfe von Grundbegriffen kann man geometrische Begriffe definieren.
Beispiele:

1. Eine Strecke
ist eine Punktmenge, die aus zwei verschiedenen Punkten A und B und aus allen
Punkten zwischen A und B besteht.
2. Zwei Geraden einer Ebene heißen parallel zueinander genau dann, wenn sie keinen Punkt oder alle
Punkte gemeinsam haben.
Man definiert geometrische Begriffe auch mit Hilfe von Grundbegriffen und schon definierten Begriffen.
Beispiele:

1. Ein Dreieck ABC ist eine Punktmenge, die aus den Strecken
,
und
besteht. A, B
und C liegen nicht auf einer Geraden.
2. Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte einer Ebene g, die von einem festen Punkt M 0 g den gleichen
Abstand r haben (in Zeichen: k(M;r)).
Allgemein gilt:
Man definiert mit Hilfe von Grundbegriffen oder mit Grundbegriffen und bereits definierten Begriffen weitere
Begriffe.
Grundbegriffe
Definition
Begriffe
Definition
Begriffe
Kenntnisse über Definitionen sind wichtig.
Man definiert in der Geometrie Objekte, Eigenschaften der Objekte und Relationen zwischen den Objekten.
Wir können (daher) folgende Definitionsarten unterscheiden:
1. Definitionen von Objekten
2. Definitionen von Eigenschaften
3. Definitionen von Relationen
13.2
Aufbau und Formulierung der Definitionen von Objekten
Zu den Objekten der Geometrie gehören die Figuren. Wichtige Figuren sind z.B. die Vierecke. Sie bilden eine
Menge. Zur Menge der Vierecke gehören die Trapeze.
D
C
A
B
Abb. 13.1. das Trapez, -e
67
Geometrie
Das Viereck ABCD ist ein Trapez. Die Seite
ist parallel zur Seite
2
.(
)
Eine Möglichkeit für den Aufbau und die sprachliche Formulierung der Definitionen von Objekten soll am Beispiel
der Definition des Trapezes gezeigt werden.
Definition:
Ein Trapez ist ein Viereck, das ein Paar paralleler Seiten hat.
Aufbau der Definition:
Die Definition eines Objektes A besteht aus drei Teilen.
1. A
: das Objekt, das man definieren will.
Man will das Trapez definieren.
2. O(A)
: ein Oberbegriff zu A.
Ein Oberbegriff zum Trapez ist das Viereck, denn jedes Trapez ist auch ein Viereck. Die Menge MTr aller
Trapeze ist eine echte Teilmenge der Menge MV aller Vierecke.
3. EC(A) : eine charakteristische Eigenschaft des Objekts A bezüglich des Oberbegriffs O(A).
Die Eigenschaft "ein Paar paralleler Seiten" ist in der Menge der Vierecke für alle Trapeze charakteristisch.
Man bezeichnet deshalb diese Eigenschaft als charakteristische Eigenschaft des Trapezes bezüglich des
Oberbegriffes Viereck.
Formulierung der Definition:
(1) mit Attributsatz
A ist
O(A),
... EC(A) ...
Hauptsatz
Attributsatz
Beispiel:
Ein Trapez ist ein Viereck, das ein paar paralleler Seiten hat.
Beachten Sie:
Das Relativpronomen im Attributsatz bezieht sich auf den Oberbegriff von A.
(2) mit einer präpositonalen Wortgruppe
A ist
O(A)
... EC(A).
Hauptsatz

Beispiel:
Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
Auch folgende Formulierungen sind für Definitionen von Objektbegriffen typisch.

Unter einem Trapez versteht man
ein Viereck
mit einem Paar paralleler Seiten.
A
O(A)
EC(A)
Ein Viereck
mit einem Paar paralleler Seiten
nennt man bezeichnet man alsTrapez
O(A)
EC(A)
A
Man erhält die Definition eines Objektes A in zwei Schritten.
1. Schritt:
Man gibt die drei Teile der Definition an.
Das sind das Objekt, der Oberbegriff und die charakteristische Eigenschaft.
2. Schritt:
Man formuliert die Definition.

Beispiel:
Das Parallelogramm soll definiert werden:
2
2
Abb. 13.2. Parallelogramm
68
Definition von Objekten
1. Schritt:
2. Schritt:
13.3
A:
ein Parallelogramm
O(A):
ein Viereck
EC(A):
zwei Paare paralleler Seiten
Formulierung der Definition:
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, das zwei Paare paralleler Seiten hat.
Besondere Parallelogrammarten
Auch folgende Vierecke sind Parallelogramme.
das Rechteck, -e
der Rhombus, Rhomben
Abb. 13.3. besondere Parallelogramme
das Quadrat, - e
Rechtecke, Rhomben und Quadrate besitzen zwei Paare paralleler Seiten und sind deshalb Parallelogramme.
In folgender Tabelle sind charakteristische Eigenschaften dieser Parallelogrammarten zusammengestellt. Dabei wird
der Begriff Viereck als Oberbegriff benutzt.
Besondere Parallelogrammarten
Objekt
Oberbegriff
Rechteck
Viereck
Rhombus
Viereck
Quadrat
Viereck
Tabelle 13.1. Parallelogrammarten
charakteristische Eigenschaft
3 rechte Winkel (*)
4 gleich lange Seiten
1 rechter Winkel und 4 gleich lange Seiten (*)
Man kann diese Begriffe auch mit Hilfe des Oberbegriffs Parallelogramm definieren. Dann genügt als charakteristische Eigenschaft des Rechtecks, dass das Parallelogramm einen rechten Winkel hat, weil ein Parallelogramm mit
einem rechten Winkel immer vier rechte Winkel hat.
Man muss beachten:
Eine Definition muss alle Angaben enthalten, die notwendig sind!
Eine Definition soll keine Angaben enthalten, die nicht notwendig sind! (*)
Wenn man die charakteristischen Eigenschaften der Parallelogrammarten vergleicht
(s. Tab. 13.1.), so stellt man fest: Die charakteristische Eigenschaft eines Quadrats besteht aus den charakteristischen Eigenschaften eines Rechtecks und eines Rhombus.
Das bedeutet:
Jedes Quadrat ist sowohl ein Rechteck als auch ein Rhombus.
Es gilt also:
Die Menge MQ aller Quadrate ist die Durchschnittsmenge der Menge MRe aller Rechtecke und der Menge MRh aller
Rhomben. Wir können für diese Vierecksarten ein Mengendiagramm zeichnen.
MQ d MRh
MQ d MRe
MQ = MRh 1 MRe
Abb. 13.4. Vierecksarten
69
Geometrie
Mit Hilfe eines Mengendiagramms kann man die Oberbegriffe zu einem Begriff leicht erkennen. So sieht man am
Mengendiagramm der Vierecke, daß die Begriffe Parallelogramm, Rechteck und Rhombus zu den Oberbegriffen
des Begriffs Quadrat gehören. Deshalb kann man ein Quadrat auch mit diesen Oberbegriffen definieren:
Ein Quadrat ist ein Rhombus mit einem rechten Winkel.
Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
Ein Quadrat ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel und vier gleich langen Seiten.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Welche Arten von Definitionen unterscheidet man?
Mit welchen Objekten beschäftigt sich die Geometrie?
Aus welchen Teilen besteht die Definition eines Objektes?
Was bedeutet O(A) ?
Was bedeutet EC(A) ?
Wie erhält man die Definition eines Objektes?
Welche Forderungen muß eine Definition erfüllen?
Welche Bedeutung haben Mengendiagramme für das Definieren?
Übungen und Aufgaben
1.
Beantworten Sie die Fragen!
Betrachten Sie dazu das folgende Schema!
Grundbegriffe
Definition
Begriffe
Definition
Begriffe
1.1. In welche zwei Arten von Begriffen kann man die Begriffe einer Theorie einteilen?
1.2. Welche Begriffe stehen am Anfang einer Theorie?
1.3. Wie erhält man die Begriffe einer Theorie?
1.4. Was für Begriffe benutzt man beim Definieren?
2.
Formulieren Sie die Definitionen der nachfolgenden Begriffe mit folgenden sprachlichen Mitteln!
Parallelogramm
< 1. O(A), EC(A), heißt ...
Ein Viereck, das zwei Paare paralleler Seiten hat, heißt Parallelogramm.
2. O(A), EC(A), nennt man ...
Ein Viereck, das zwei Paare paralleler Seiten hat, nennt man Parallelogramm.
3. O(A), EC(A), bezeichnet man als ...
Ein Viereck, das zwei Paare paralleler Seiten hat, bezeichnet man als Parallelogramm.
1. Rechteck
2. Rhombus
3. Quadrat
3.
Eine Figur hat die charakteristische Eigenschaft bezüglich des Oberbegriffs Punktmenge, daß sie aus zwei
Strahlen h und k mit einem gemeinsamen Anfangspunkt besteht.
1. Wie heißt diese Figur?
2. Definieren Sie diese Figur!
70
Definition von Objekten
4.
Eine Figur hat die charakteristische Eigenschaft bezüglich des Oberbegriffs Punktmenge, dass sie aus zwei
verschiedenen Punkten A und B und aus der Menge aller Punkte zwischen A und B besteht.
1. Wie heißt diese Figur?
2. Definieren Sie diese Figur!
5.
Formulieren Sie mit Hilfe des Oberbegriffs Parallelogramm die Definitionen der folgenden Figuren!
1. Rechteck
2. Rhombus
3. Quadrat
6.
Antworten Sie mit Hilfe des Mengendiagramms (Abb. 13.4.) auf folgende Fragen!
1. Welche Mengen von Vierecken sind Teilmengen der Menge aller Parallelogramme?
2. Welche Vierecksmenge ist Teilmenge der Menge der Rechtecke und Teilmenge der Menge der Rhomben?
3. Welche Vierecke bilden die Durchschnittsmenge der Menge aller Rechtecke und der Menge aller
Rhomben?
4. Welche Rhomben gehören zur Menge der Rechtecke?
5. Welche Rechtecke gehören zur Menge der Rhomben?
7.
Mit welchen Oberbegriffen kann man folgende Figuren definieren?
1. Quadrat
2. Rechteck
3. Rhombus
4. Parallelogramm
8.
Folgende Definitionen enthalten Fehler.
Untersuchen Sie:
- Welche notwendigen Angaben fehlen?
- Welche Angaben sind nicht notwendig?
- Welche Angaben müssen weggelassen werden?
- Welche Angaben sind falsch?
Korrigieren Sie die Formulierungen!
1. Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.
2. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und verschieden langen Seiten.
3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer Seiten.
4. Ein Trapez ist ein Viereck mit genau einem Paar paralleler Seiten.
5. Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit einem Paar gleich langer Seiten.
6. Ein Rhombus ist ein Viereck mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten.
7. Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit zwei Paaren gleich langer Gegenseiten und einem rechten
Winkel.
71
Geometrie
72
14
Definitionen von Eigenschaften von Objekten
14.1
Aufbau und Formulierung der Definition
Bei der Definition einer Eigenschaft eines Objektes gibt man die Bedingung B für die Eigenschaft des Objektes an.
Die Definition einer Eigenschaft E eines Objektes A hat folgende Form:
E(A) genau dann, wenn B.
Beispiel:

Abb. 14.1. spitzer Winkel
Der Winkel Ë(h,k) mit der Größe " besitzt die Eigenschaft E(A), dass er spitz ist.
Das bedeutet:
Die Winkelgröße erfüllt die Bedingung B, dass 0° (Grad) kleiner als " und " kleiner als 90° ist.
Definition:
Ein Winkel mit der Größe " ist spitz genau dann, wenn 0° < " < 90° ist.
E(A)
B
Man sagt auch:
Ein Winkel ist spitz genau dann, wenn 0° < " < 90° ist.
In der gleichen Weise kann man weitere Winkelarten definieren.
14.2
Winkelarten
Wir formulieren Bedingungen B für die Winkelgröße ". Mit Hilfe dieser Bedingungen definieren wir Eigenschaften
E von Winkeln A. Dabei erhalten wir die Einteilung der Winkel nach ihrer Größe " in verschiedene Winkelarten.
Winkelarten
E(A)
Ë(h,k) ist ein Nullwinkel.
B
" = 0°
Ë(h,k) ist spitz.
Ë(h,k) ist ein spitzer Winkel.
0° < " < 90°
Ë(h,k) ist ein rechter Winkel.
" = 90°
Ë(h,k) ist stumpf.
Ë(h,k) ist ein stumpfer Winkel.
Ë(h,k) ist ein gestreckter Winkel.
Ë(h,k) ist überstumpf.
Ë(h,k) ist ein überstumpfer Winkel.
Ë(h,k) ist ein Vollwinkel.
Tab. 14.1. Winkelarten
90° < " < 180°
" = 180°
180° < " < 360°
" = 360°
73
Geometrie
14.3
Dreiecksarten
Man kann Dreiecke nach ihren Innenwinkeln in drei verschiedene Dreiecksarten einteilen. Es gibt spitzwinklige,
rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Man definiert die Eigenschaft, dass ein Dreieck spitzwinklig ist,
folgendermaßen:
Definition:
Ein Dreieck ist spitzwinklig genau dann, wenn alle Winkel des Dreiecks1 spitze Winkel sind.
Dreiecksarten
Einteilung der Dreiecke nach ihren Winkeln
E(A)
B
Das Dreieck ABC ist spitzwinklig.
Das Dreieck ist ein spitzwinkliges Dreieck.
Alle Winkel des Dreiecks ABC sind spitze Winkel.
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig.
Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Ein Winkel des Dreiecks ABC ist ein rechter Winkel.
Das Dreieck ABC ist stumpfwinklig.
Das Dreieck ABC ist ein stumpfwinkliges Dreieck.
Tab. 14.2. Dreiecksarten nach ihren Winkeln
Ein Winkel des Dreiecks ABC ist ein stumpfer Winkel.
Anmerkung:
In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Man teilt Dreiecke auch nach der Länge ihrer Seiten in verschiedene Dreiecksarten ein.
Dreiecksarten
Einteilung der Dreiecke nach der Länge ihrer Seiten
E(A)
B
Das Dreieck ABC ist unregelmäßig.
Das Dreieck ist ein unregelmäßiges Dreieck.
Alle Seiten sind verschieden lang.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.
Das Dreieck ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck.
Zwei Seiten sind gleich lang.
Das Dreieck ABC ist gleichseitig.
Das Dreieck ABC ist ein gleichseitiges Dreieck.
Tab. 14.3. Dreiecksarten nach ihren Seiten
Alle Seiten sind gleich lang.
Man definiert z.B. die Eigenschaft eines Dreiecks, gleichschenklig zu sein, folgendermaßen:
Definition:
Ein Dreieck ist gleichschenklig genau dann, wenn zwei Dreiecksseiten gleich lang sind.
Anmerkung:
In einem gleichschenkligen Dreieck heißen die gleich langen Seiten Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die
gleich großen Winkel heißen Basiswinkel, der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze.
1
Die Bezeichnung "Winkel des Dreiecks" bedeutet hier "Innenwinkel des Dreiecks".
74
Definition von Eigenschaften von Objekten
14.4 Symmetrieeigenschaften von Figuren
14.4.1 Axialsymmetrie
Die Axialsymmetrie ist eine Eigenschaft von Figuren, die man mit Hilfe der Spiegelung an einer Geraden g
definieren kann.2
Definition:
Eine Figur F ist axialsymmetrisch bezüglich einer Geraden g genau dann, wenn bei einer Spiegelung an g das Bild von F gleich F ist. (In Zeichen: F'= F).
Die Gerade g heißt Symmetrieachse von F.
Es ist z.B. jeder Winkel Ë(h,k) axialsymmetrisch bezüglich seiner Winkelhalbierenden w.
Zu jedem Punkt P 0 Ë(h,k) gibt es genau einen Punkt Q 0 Ë(h,k), so dass gilt: Die Punkte P und Q liegen
symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden w.
Abb. 14.2. Axialsymmetrie eines Winkels
Das bedeutet:
Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden w von Ë(h,k) ist der Winkel Ë(h,k) gleich seinem Bild Ë(h',k').
Deshalb ist jeder Winkel axialsymmetrisch bezüglich seiner Winkelhalbierenden w.
Axialsymmetrisch sind auch gleichschenklige Dreiecke.
Abb. 14.3. Axialsymmetrie eines gleichschenkligen Dreiecks
2
Bei einer Spiegelung an einer Geraden g d g gibt es zu jedem Punkt P 0 g einen Bildpunkt
Q 0 g.
Dabei gilt:1. '
PQ
' ist senkrecht zu g.
2. g halbiert die Strecke '
PQ
'.
75
Geometrie
Sie sind axialsymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des Winkels an der Spitze.
Eine echte Teilmenge der Menge aller gleichschenkligen Dreiecke ist die Menge aller gleichseitigen Dreiecke. Jedes gleichseitige Dreieck ist axialsymmetrisch bezüglich jeder Winkelhalbierenden des Dreiecks.
Abb. 14.4. Axialsymmetrie eines gleichseitigen Dreiecks
Zu den axialsymmetrischen Figuren gehören auch verschiedene Vierecksarten.
Tabelle der Vierecksarten
Vierecksart
das gleichschenklige Trapez
Axialsymmetrie
axialsymmetrisch bezüglich der gemeinsamen Mittelsenkrechten der beiden parallelen Seiten
Die Schenkel AD und BC sind gleichlang.
das Rechteck
axialsymmetrisch bezüglich der beiden Mittelsenkrechten der Seiten
der Rhombus
axialsymmetrisch bezüglich der beiden Winkelhalbierenden bzw. der Diagonalen
das Quadrat
axialsymmetrisch bezüglich
- der beiden Mittelsenkrechten der Seiten
- der beiden Winkelhalbierenden bzw. Diagonalen
Tab. 14.4. Axialsymmetrische Vierecke
Ein Quadrat ist ein Viereck, das ein Rechteck und ein Rhombus ist, deshalb besitzt es sowohl die Symmetrieeigenschaften des Rechtecks als auch die Symmetrieeigenschaften des Rhombus.
76
Definition von Eigenschaften von Objekten
14.4.2 Zentralsymmetrie
Eine weitere Symmetrieeigenschaft von Figuren ist die Zentralsymmetrie. Man definiert sie mit Hilfe der Spiegelung an einem Punkt Z.
Bei einer Spiegelung an einem Punkt Z gibt es zu jedem Punkt P einen Bildpunkt Q.
Dabei gilt:
1. PQ geht durch Z.
2. Z halbiert die Strecke PQ .
Definition:
Eine Figur F ist zentralsymmetrisch bezüglich eines Punktes Z genau dann, wenn bei der Spiegelung an Z das Bild von F gleich F ist (in Zeichen: F'= F).
Der Punkt Z heißt Symmetriezentrum von F.
Es ist z.B. jedes Parallelogramm ABCD zentralsymmetrisch bezüglich des Schnittpunktes Z seiner Diagonalen AC
und BD .
insbesondere gilt:
A'= C
C'= A
D'= B
B'= D
allgemein gilt:
P'= Q
Q'= P
Abb. 14.5. Zentralsymmetrie eines Parallelogramms
Zu jedem Punkt P 0 ABCD gibt es genau einen Punkt Q 0 ABCD, so dass gilt: Die Punkte P und Q liegen
zentralsymmetrisch bezüglich des Punktes Z.
Das bedeutet:
Bei einer Spiegelung am Diagonalenschnittpunkt Z eines Parallelogramms ABCD ist das Bild des Parallelogramms
gleich dem Parallelogramm (in Zeichen: (ABCD)'= ABCD). Deshalb ist jedes Parallelogramm zentralsymmetrisch
bezüglich seines Diagonalenschnittpunktes.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Wie definiert man eine Eigenschaft einer Figur?
Unter welcher Bedingung ist ein Winkel mit der Größe " spitz?
Welche Winkelarten unterscheidet man?
Welche Dreiecksarten erhält man, wenn man die Dreiecke nach der Art ihrer Innenwinkel einteilt?
Wie heißt die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks?
Wie nennt man die zwei Seiten eines Dreiecks, die einen rechten Winkel bilden?
Welche Dreiecksarten erhält man, wenn man die Dreiecke nach der Länge der Dreiecksseiten einteilt?
Zu welcher Winkelart gehören die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks?
Unter welcher Bedingung nennt man eine Figur F axialsymmetrisch bezüglich einer Geraden g ?
Warum ist die Winkelhalbierende w eines Winkels die Symmetrieachse des Winkels?
Welche Dreiecke besitzen eine Symmetrieachse?
Welche Dreiecke besitzen drei Symmetrieachsen?
Welche Vierecke haben zwei Symmetrieachsen?
Bei welchen Vierecken sind die Winkelhalbierenden der Innenwinkel Symmetrieachsen?
Unter welcher Bedingung ist eine Figur F zentralsymmetrisch bezüglich eines Punktes Z ?
Welche Vierecke sind zentralsymmetrisch?
Welcher Punkt ist Symmetriezentrum eines Parallelogramms?
Welche Vierecke haben vier Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum?
Warum ist jeder Rhombus zentralsymmetrisch?
77
Geometrie
Übungen und Aufgaben
1.
Definieren Sie die folgenden Winkelarten!
1. der rechte Winkel
2. der stumpfe Winkel
3. der gestreckte Winkel
2.
Füllen Sie die Tabelle aus!
Winkelgröße
Winkelart
o
spitz
72
140o
210o
36o
96o
Winkelgröße
Winkelart
o
180
90o
1o
360o
101o
3.
Definieren Sie folgende Dreiecksarten!
1. das gleichschenklige Dreieck
2. das rechtwinklige Dreieck
3. das gleichseitige Dreieck
4. das stumpfwinklige Dreieck
5. das spitzwinklige Dreieck
6. das unregelmäßige Dreieck
4.
Kennzeichnen Sie in der Tabelle mit einem Kreuz die Eigenschaften, die ein Dreieck gleichzeitig haben kann!
Dreiecksart
unregelmäßig
spitzwinklig
X
gleichschenklig
rechtwinklig
gleichseitig
nicht möglich
stumpfwinklig
5.
Welche Dreiecksarten gibt es?
Antworten Sie mit Hilfe der Tabelle aus Aufgabe 4!
< Es gibt spitzwinklig-unregelmäßige Dreiecke.
6.
Welche Eigenschaft besitzt das Dreieck bezüglich der Länge seiner Seiten und der Größe seiner Innenwinkel?
<
Das Dreieck ist unregelmäßig und stumpfwinklig.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
78
Definition von Eigenschaften von Objekten
7.
1. Wie viel spitze Winkel hat ein Dreieck mindestens?
2. Wie viel spitze Winkel kann ein Dreieck höchstens haben?
3. Wie viel stumpfe Winkel kann ein Dreieck höchstens haben?
4. Wie viel rechte Winkel kann ein Dreieck höchstens haben?
8.
1. Zeichnen Sie für die Menge aller Dreiecke ein Mengendiagramm, das die Einteilung der Dreiecke nach der
Art der Dreieckswinkel darstellt!
2. Zeichnen Sie für die Menge aller Dreiecke ein Mengendiagramm, das die Einteilung der Dreiecke nach der
Länge der Seiten darstellt!
9.
Definieren Sie Eigenschaften E von Figuren F mit Hilfe der Angaben in der Tabelle! Formulieren Sie die
Definitionen in Worten!
E(F)
linear
eben
räumlich
B
›g: F f g
›g: F f g v -›g: F f g
-›g: F f g
10. Formulieren Sie wahre Aussagen über die Symmetrieeigenschaften folgender Figuren!
Winkel
< Ein Winkel ist axialsymmetrisch bezüglich seiner Winkelhalbierenden.
1. Strecke
2. Rechteck
3. Rhombus
4. gleichschenkliges Dreieck
5. gleichseitiges Dreieck
6. Quadrat
7. Kreis
8. gleichschenkliges Trapez
11. Die gezeichneten Figuren besitzen Symmetrieachsen.
1. Zeichnen Sie die Symmetrieachsen in jede Figur!
2. Geben Sie an, wie viel Symmetrieachsen jede Figur besitzt!
<
1.
Abb. 14.7.
2. Ein Winkel besitzt genau eine Symmetrieachse.
79
Geometrie
12. Beantworten Sie folgende Fragen!
1. Welche Geraden sind Symmetrieachsen eines Kreises k(M;r) ?
2. Welche Gerade ist in der Ebene g Symmetrieachse einer Strecke AB d g ?
3. Wie viel Symmetrieachsen gibt es im Raum zu einer Strecke AB ?
13. Auf einem Kreis k(M;r) liegen zwei verschiedene Punkte P und P'. P' ist das Bild von P bei einer Spiegelung
an einer Geraden g.
1. Beschreiben Sie die Lage von g bezüglich PP' !
2. Beschreiben Sie die Lage von g bezüglich des Kreises k !
3. Was wissen Sie über das Bild von k bei einer Spiegelung an g ?
14. Formulieren Sie wahre Aussagen über die Symmetrieeigenschaften folgender Figuren!
Strecke / Mittelpunkt der Strecke
< Eine Strecke ist zentralsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.
1. Kreis / Mittelpunkt des Kreises
2. Rhombus / Schnittpunkt der Diagonalen des Rhombus
3. gleichseitiges Sechseck / Mittelpunkt des gleichseitigen Sechsecks
15. Sprechen Sie über die Symmetrieeigenschaften der Parallelogrammarten!
16. Formulieren Sie wahre Aussagen, die bei der Spiegelung am Diagonalenschnittpunkt Z eines Parallelogramms
ABCD gelten!
Abb. 14.7.
<
(1) A' = C
(2) Das Bild von A ist C.
(3) Man bildet den Punkt A auf den Punkt C ab.
3. (BCZ)'
1. D'
2. (ËAZD)'
''
Z )'
5. (A
''
B)'
6. (ABCD)'
4. (A
17. Beantworten Sie die folgenden Fragen!
1. An welcher Seite muss man ein gleichschenkliges Dreieck ABC spiegeln, so dass das Dreieck ABC und
sein Bild einen Rhombus bilden?
2. An welchem Punkt P 0 ABC muss man ein gleichschenkliges Dreieck ABC spiegeln, so dass das Dreieck
ABC und sein Bild einen Rhombus bilden?
3. Man spiegelt ein unregelmäßiges Dreieck ABC am Mittelpunkt einer seiner Seiten.
Was für eine Figur bilden ABC und sein Bild (ABC)'?
4. Bei einer Spiegelung bildet man ein rechtwinkliges Dreieck ABC auf ein Dreieck
(ABC)' so ab, dass ABC und (ABC)' ein Rechteck bilden.
Was wissen Sie über diese Spiegelung?
80
Definition von Eigenschaften von Objekten
18.
Abb. 14 8.
E, F, G und H sind die Mittelpunkte der Seiten des gleichschenkligen Trapezes ABCD. Deshalb ist das
Viereck EFGH ein Rhombus. Bestimmen Sie die Symmetrieachsen der folgenden Figuren!
HGF
< Die Symmetrieachse des Dreiecks HGF ist die Gerade g.
1. HFCD
2. HGE
3. HFBA
4. ABCD
5. HFE
19. Bei der Spiegelung an einer Geraden g erhält man zu einem Punkt P sein Bild P'.
1. Wo liegt P', wenn P ó g ?
2. Wo liegt P', wenn P 0 g ?
20. Auf einer Geraden t liegt ein Punkt A. Ein Punkt B ó t ist das Bild von A bei einer Spiegelung an einer
Geraden g.
1. Beschreiben Sie die Lage der Spiegelgeraden g !
2. Beschreiben Sie die Lage der Geraden t und ihres Bildes t' bezüglich der Spiegelgeraden g !
21. Für zwei Punkte A und B und eine Gerade s gelten folgende Aussagen:
(1) A … B
(2) A, B ó s
's v gAB ï s
(3) gAB z
1. Formulieren Sie diese Aussagen in Worten!
2. Spiegeln Sie A und B an s ! (Zeichnung)
3. Wie nennt man das Viereck mit den Eckpunkten A, B, A' und B' ?
22. Spiegeln Sie ein Dreieck ABC an einer Geraden g!
23.
Abb. 14.9.
81
Geometrie
1. Betrachten Sie die Abbildung 14.9. und ergänzen Sie die Tabelle!
B
liegt symmetrisch zu
M
bezüglich
T
D
R
HMG
AEMH
ETM
HRD
-------------------------------------
M
...
FME
...
...
...
-------------------------------------
...
M
...
M
M
M
2. Formulieren Sie mit Hilfe der Angaben in der Tabelle Aussagen über die Lage der Figuren!
< Der Punkt B liegt symmetrisch zum Punkt M bezüglich des Punktes T.
24. Der Punkt B liegt symmetrisch zum Punkt A bezüglich des Punktes Z. Wo liegt Z ?
25. Spiegeln Sie ein Viereck ABCD am Eckpunkt A!
26. Formulieren Sie folgende Aussagen über Eigenschaften der Spiegelung an einer Spiegelgeraden g d g in
Worten!
Veranschaulichen Sie die Aussagen durch eine Skizze!
1. œh d g: (h z g 6 h' = h)
2. œP 0 g: P' = P
3. œP ó g: PQ' z g
27. Formulieren Sie folgende Aussagen über Eigenschaften der Spiegelung an einem Zentralpunkt Z 0 g in
Worten!
Veranschaulichen Sie die Aussagen durch eine Skizze!
1. Z'= Z
2. œg ý Z: g'= g
3. œP 0 g: (P … Z 6 P' 0 gPZ)
4. œg d g: (g ó Z 6 g' 1 g = i)
5. œg d g: g' 2 g
82
15
Definitionen von Relationen zwischen Objekten
15.1
Aufbau und Formulierung der Definitionen von Relationen
Eine Relation R besteht immer zwischen Objekten M1, ..., Mn. Bei der Definition einer Relation R(M1, M2) gibt man
die Bedingung B für die Relation R zwischen den Objekten M1 und M2 an. Man formuliert B mit bereits definierten
Begriffen bzw. Grundbegriffen.
Abb. 15.1. Parallelität zweier Geraden
g ist eine Parallele zu h, bzw. h ist eine Parallele zu g. Die beiden Geraden g und h sind zueinander parallel ( g 2 h).
Zwischen g und h besteht eine Relation R(g,h), die definiert werden soll.
Dazu gibt man R(g,h) an:
Zwei Geraden sind zueinander parallel.
Die Bedingung B für diese Relation ist:
g und h liegen in einer Ebene g, und g und h haben keinen
gemeinsamen Punkt.
(g,h d g v g 1 h = i)
oder
(g = h)
g und h haben alle Punkte gemeinsam.
Mit Hilfe von R(g,h) und B kann die Definition der Parallelität von zwei Geraden formuliert werden.
Definition:
R
Zwei Geraden g und h sind zueinander parallel
g2h
genau
dann,
wenn
B
genau
dann,
wenn
g und h in einer Ebene g liegen und g und h keinen gemeinsamen Punkt haben
oder
g und h alle Punkte gemeinsam haben.
:
(g,h d g v g 1 h = i) w g = h
Diese Definition hat die sprachliche Form "R(g,h) genau dann, wenn B".
Man erhält die Definition einer Relation in drei Schritten:
1. Man gibt die Relation R(M1, ..., Mn) an.
2. Man gibt die Bedingung B für R(M1, ..., Mn) an.
3. Man formuliert die Definition in der Form "R(M1, ..., Mn) genau dann, wenn B".
Als weiteres Beispiel für eine Relation soll die Orthogonalität von zwei Geraden g und h definiert werden.
Abb. 15.2. Orthogonalität zweier Geraden
Die Gerade g ist eine Senkrechte (Orthogonale) zur Geraden h, bzw. h ist eine Senkrechte zu g. Die beiden Geraden
g und h sind senkrecht (orthogonal) zueinander (g z h).
Man sagt auch: g und h stehen aufeinander senkrecht.
Es gilt also:
R(g,h):
Zwei Geraden g und h sind zueinander senkrecht.
B:
g und h bilden rechte Winkel.
Definition:
Zwei Geraden g und h sind zueinander senkrecht genau dann, wenn g und h rechte Winkel bilden.
83
Geometrie
Wichtig ist, dass man Relationsbegriffe als solche erkennt und richtig formuliert. So ist z.B. die Formulierung
"g ist senkrecht" unvollständig. Der Begriff "senkrecht sein" ist ein Relationsbegriff. Deshalb muss man alle
Objekte angeben, zwischen denen die Relation besteht. Es muss also richtig heißen: g ist senkrecht zu h.
15.2
Relationen zwischen gleichartigen Figuren
Es sollen wichtige Relationen der Geometrie, die zwischen gleichartigen Figuren bestehen können, formuliert
werden.
Gleichartige Figuren sind z.B. zwei Strecken, zwei Winkel, zwei beliebige n-Ecke mit gleicher Anzahl n von
Eckpunkten.
15.2.1 Kongruenz
Wir betrachten zwei gleich lange Strecken AB und CD .
Abb. 15.3. Kongruente Strecken
Es ist AB ≠ CD , denn AB und CD sind verschiedene Punktmengen. Beide Strecken sind aber gleich lang. Für
( ) ( )
die Streckenlängen gilt die Gleichheitsrelation l AB = l CD bzw. a = b.
l( AB) liest man: "Länge der Strecke AB ".
Man kann z.B. die Strecke AB so bewegen, dass die Strecke AB
genau auf der Strecke CD liegt. Man sagt
deshalb: Die Strecken AB und CD sind kongruent und schreibt dafür: AB ≅ CD .
Man liest: " AB ist kongruent zu CD " oder " AB und CD sind kongruent zueinander."
Entsprechende Aussagen kann man auch für Winkel formulieren.
Abb. 15.4. Kongruente Winkel
Ë(h,k) und Ë(l,m) sind kongruent. Man schreibt Ë(h,k) – Ë(l,m).
Kongruente Winkel sind gleich groß.
Man schreibt:
Ëg(h,k) = Ëg(l,m) bzw. " = $.
Man liest:
"Die Größe des Winkels (h,k) ist gleich der Größe des Winkels (l,m)."
Nun sollen Vielecke (n-Ecke mit n$3) betrachtet werden.
In kongruenten n-Ecken sind einander entsprechende Strecken und Winkel kongruent.
84
Definition von Relationen zwischen Objekten
Abb. 15.5. Kongruente Dreiecke
So gilt z.B. bei den kongruenten Dreiecken A1B1C1 und A2B2C2:
A1C1 ≅ A2 C2 , C1 D1 ≅ C2 D2
∠ C1 A1 B1 ≅ ∠ C2 A2 B2 , ∠ B1C1 D1 ≅ ∠ B2 C2 D2 usw.
Da kongruente Strecken gleich lang und kongruente Winkel gleich groß sind, folgt aus obigem:
Satz:
Wenn zwei n-Ecke F1 und F2 kongruent sind, dann sind alle entsprechenden Strecken von F1 und F2
gleich lang und alle entsprechenden Winkel von F1 und F2 gleich groß.
Weil kongruente Figuren in Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen, haben ebene kongruente Figuren
auch den gleichen Umfang u und den gleichen Flächeninhalt A, räumliche kongruente Figuren haben das gleiche
Volumen V.
Wenn F1 – F2 und F1 … F2 sind, dann unterscheiden sich F1 und F2 nur durch ihre unterschiedliche Lage.
15.2.2 Ähnlichkeit
In der Abb. 15.6. sind zwei Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2 dargestellt.
Abb. 15.6. Ähnliche Dreiecke
Diese beiden Dreiecke sind nicht kongruent, aber ähnlich.
Man schreibt:
A1B1C1 - A2B2C2
Man liest:
"A1B1C1 ist ähnlich zu A2B2C2." oder "A1B1C1 und A2B2C2 sind ähnlich."
Entsprechende Winkel ähnlicher Figuren sind zueinander kongruent.
Es gilt also:
ËC1A1B1 – ËC2A2B2
ËA1B1C1 – ËA2B2C2
ËB1C1A1 – ËB2C2A2
Die Länge entsprechender Strecken ähnlicher Figuren sind zueinander proportional.
85
Geometrie
a2
= k @ a1
hc2 = k @ hc1
b2
= k @ b1
c2
= k @ c1
Der Faktor k heißt Proportionalitätsfaktor.
Der Proportionalitätsfaktor ist gleich dem Verhältnis der Längen entsprechender Strecken.
Für die ähnlichen Dreiecke in Abb. 15.6. sei k = 1,5.
Somit gilt:
a2 : a1 = 1,5 ("a2 zu a1 gleich 1,5")
b2 : b1 = 1,5
c2 : c1 = 1,5
Weil diese Verhältnisse gleich sind, kann man sie zu Gleichungen zusammenfassen:
a2 : a1 = b2 : b1
Man liest: "a2 zu a1 wie b2 zu b1"
Man nennt solche Gleichungen Verhältnisgleichungen oder Proportionen.
Allgemein gilt:
Wenn zwei Figuren F1 und F2 ähnlich sind, dann sind alle entsprechenden Winkel von F1 und F2 gleich groß und die
Längen der entsprechenden Strecken von F1 und F2 sind zueinander proportional.
Ähnliche Figuren sind z.B. 1. alle Kreise, 2. alle regelmäßigen Vielecke1 mit gleicher Seitenzahl n $ 3 und 3. alle
Dreiecke, deren entsprechende Winkel kongruent sind (Hauptähnlichkeitssatz).
Anmerkung:
Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Winkel gleich groß und alle Seiten gleich lang.
Alle kongruenten Figuren sind ähnliche Figuren mit dem Proportionalitätsfaktor k = 1.
Besonders wichtig sind Aussagen über die Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken, denn Dreiecke spielen bei
der Betrachtung vieler Figurenarten eine große Rolle. So bilden z.B. für n $ 4 Seiten und Diagonalen eines n-Ecks
Dreiecke. Mit Hilfe dieser Dreiecke erhält man Aussagen über die n-Ecke.
Das bedeutet:
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Wie erhält man die Definition eines Relationsbegriffes?
Was bedeutet R(M,N) ?
Unter welcher Bedingung sind zwei Geraden g und h zueinander parallel?
Definieren Sie die Orthogonalität zweier Geraden g und h!
Unter welcher Bedingung sind zwei Strecken kongruent?
Unter welcher Bedingung sind zwei Winkel kongruent?
Unter welcher Bedingung sind zwei Figuren F1 und F2 kongruent?
Was folgt aus der Kongruenz zweier Figuren F1 und F2 für zwei entsprechende Winkel bzw. Strecken von F1
und F2 ?
9. Warum haben zwei kongruente Dreiecke den gleichen Flächeninhalt?
10. Wodurch können sich kongruente Figuren unterscheiden?
11. Unter welchen Bedingungen sind zwei Figuren ähnlich?
12. Was folgt aus der Ähnlichkeit zweier Figuren F1 und F2 für die Größe entsprechender Winkel von F1 und F2 ?
13. Was folgt aus der Ähnlichkeit zweier Figuren F1 und F2 für die Länge entsprechender Strecken von F1 und
F2 ?
Übungen und Aufgaben
1. Formulieren Sie folgende Definitionen in Worten!
Anmerkung: g ("epsilon") und 0 ("eta") bezeichnen Ebenen.
1. g 2 h : g = h w (g,h d g v g 1 h = i)
2. g 2 0 : g = 0 w g 1 0 = i
1
86
Zu den regelmäßigen Vielecken gehören z.B. die Quadrate und die gleichseitigen Dreiecke.
Definition von Relationen zwischen Objekten
2.
Bilden Sie eine Frage mit "Welche Relation besteht zwischen ...", und beantworten Sie die Frage!
die Diagonalen eines Rhombus
< Welche Relation besteht zwischen den Diagonalen eines Rhombus?
Die Diagonalen eines Rhombus sind zueinander senkrecht.
1. die Diagonalen eines Quadrates
2. zwei Gegenseiten eines Rechtecks
3. die Schenkel eines rechten Winkels
4. die Symmetrieachse und die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks
5. die Gegenseiten eines Rhombus
6. die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
3.
Ergänzen Sie folgende Ausdrücke zu wahren Aussagen!
Formulieren Sie diese Aussagen mit Symbolen und Worten!
g 2 h 6 g 1 h = i w ...
< g2h6g1h=iwg=h
Wenn die Geraden g und h zueinander parallel sind, so haben g und h keinen gemeinsamen Punkt, oder
g und h sind gleich.
1. g 2 h 6 ›g: g d g v ...
2. g 2 0 6 g 1 0 = i ...
3. g ï h 6 (-›g: g,h d g) w g 1 h … ...
4. g ï 0 6 g 1 0 … ...
5. g 2 g 6 g 1 g = i w ...
6. g ï 0 6 g 1 0 ...
4.
Formulieren Sie folgende Aussagen in Worten!
g,h z g 6 g 2 h
< Wenn die Geraden g und h senkrecht zur Ebene g sind, so sind g und h zueinander parallel.
1. g z g,0 6 g 2 0
2. g z g v g 2 0 6 g z 0
3. g z g v g 2 h 6 h z g
4. g 2 0 v g z g 6 g z 0
5. P ó g 6 ›!!g: g ý P v g z g
6. P ó g 6 ›!!h: h ý P v h z g
5.
Antworten Sie auf folgende Fragen!
1. Wo liegen alle Punkte P 0 g, die von einem Punkt M 0 g den gleichen Abstand r haben?
2. Wo liegen alle Punkte P 0 g, die von einer Geraden g d g den gleichen Abstand a haben?
3. Wo liegen alle Punkte, die von zwei Parallelen g und h den gleichen Abstand haben?
6.
Die Seiten und Diagonalen eines Rhombus bilden kongruente Dreiecke.
Abb. 15.7.
Geben Sie alle Paare dieser kongruenten Dreiecke an!
< ASD – CSD
Das Dreieck ASD ist kongruent zum Dreieck CSD.
87
Geometrie
7.
Die Seiten und die Diagonalen eines Parallelogramms bilden kongruente Dreiecke.
Abb. 15.8.
1. Ergänzen Sie und lesen Sie dann!
ABC – ...
<ABC – CDA
Das Dreieck ABC ist kongruent zum Dreieck CDA.
1. ABS – ...
2. ËBSA – ...
3. AD – ...
4. BCS – ...
7. ACD – ...
5. ËCDB – ...
8. ËCAB – ...
6. BS – ...
2. Geben Sie alle Paare entsprechender Seiten und Winkel der kongruenten Dreiecke ASD und CSB an!
< AS und CS sind entsprechende Seiten der kongruenten Dreiecke ASD und CSB.
3. Begründen sie die folgenden Aussagen!
l( AS ) = l(CS )
<
Die Länge der Strecke AS ist gleich der Länge der Strecke CS , weil AS und CS entsprechende
Seiten der kongruenten Dreiecke ABS und CDS sind.
ËgABD = ËgCDB
< Die Größe des Winkels ËABD ist gleich der Größe des Winkels ËCDB, weil ËABD und ËCDB
entsprechende Winkel der kongruenten Dreiecke ABD und CDB sind.
ËABD – ËCDB
< Die Winkel ËABD und ËCDB sind kongruent, weil ËABD und ËCDB entsprechende Winkel
der kongruenten Dreiecke ABD und CDB sind.
( ) ( )
3. l( AD) = l(CB)
4. Ë DSC – ËBSA
5. AS ≅ CS
7. ËABC – ËCDA
6. BS ≅ DS
8. ËgDAC = ËgBCA
1. l BS = l DS
2. ËgASD = ËgCSB
8.
Abb. 15.9.
Das Dreieck ABC habe einen rechten Winkel bei C.
1. Lesen Sie! Begründen Sie die Aussagen!
ABC - ADC; ADC - DBC; ABC - DBC
88
Definition von Relationen zwischen Objekten
2. Ergänzen Sie die Tabelle!
Beachten Sie, dass AC die größere Kathete im Dreieck ABC ist!
ähnliche Dreiecke
ABC
ADC
DBC
AC
AD
DC
gleichliegende Seiten
DC
BC
ËABC
ËCAB
gleichliegende Winkel
ËDCA
ËDBC
ËCDB
3. Nennen Sie mit Hilfe der Tabelle Paare entsprechender Seiten und Winkel der ähnlichen Dreiecke!
<
AC und AD sind entsprechende Seiten der ähnlichen Dreiecke ABC und ADC. ËABC und
ËDCA sind entsprechende Winkel der ähnlichen Dreiecke ABC und ADC.
4. Betrachten Sie die ähnlichen Dreiecke ABC, ADC, DBC und ergänzen Sie die folgenden Ausdrücke zu
Proportionen! Lesen Sie die Proportionen!
a:c=h:
< a : c = h : b "a zu c wie h zu b"
1. h : = b : a
2. : b = b : q
3. a : p = b :
4. b : q = : h
5. c : b = a :
6. c : = a : p
9.
Zwei Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2 seien ähnlich.
a1 = 2 cm, b1 = 3 cm und c1 = 4 cm sind die Seitenlängen des Dreiecks A1B1C1.
Wie lang sind die Seiten des Dreiecks A2B2C2, wenn der Proportionalitätsfaktor
k = a2 : a1 = 3 ist?
10. Zwei Parallelen g1 und g2 schneiden zwei Strahlen h und k, die den gemeinsamen Anfangspunkt S haben.
Abb. 15.10.
( )
( )
( )
1. Es ist l SC = 3 cm, l SA = 2 cm, l SB = 5 cm.
Wie lang ist die Strecke CD ?
( ) ( )
Welche Bedeutung hat das Verhältnis l( AC ) : l( BD) für die ähnlichen Dreiecke SCA und SDB ?
Es ist l( AC ) = 1,4 cm. Berechnen Sie die Länge der Strecke BD !
2. Berechnen Sie den Wert des Verhältnisses l AC : l BD !
3.
4.
89
Geometrie
11. Welche Bedeutung haben die Variablen in den folgenden Formeln ? Benutzen Sie das Tafelwerk!
A=
1
gh
2 g
< A ist der Flächeninhalt einer Dreiecksfläche. ( A ist der Flächeninhalt eines Dreiecks.)
g ist die Länge einer Dreiecksseite. ( g ist eine Dreiecksseite.)
hg ist die Länge der Höhe zur Dreiecksseite mit der Länge g. (hg ist die Höhe zur Seite g.)
1. u = a + b + c
2. A = ab
3. u = 2π r = π d
4. u = 2a + 2b
5. A = a2
6.
8. u = 4a
9. b =
1
( a + c) h
2
10. e = a 2
7. A =
A = πr 2
rαπ
180o
11. A = ghg
12. Vergleichen Sie den Flächeninhalt des Paralellogramms ABCD mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms ABEF! Begründen Sie das Ergebnis des Vergleichs!
Abb. 15.11.
90
16
Definitionen von Figuren als Relationen oder Objekte
Verschiedene geometrische Figuren kann man sowohl als Relation als auch als Objekt definieren.
16.1
Schnittpunkt und Verbindungsgerade
Abb. 16.1. Schnittpunkt zweier Geraden
Die Geraden g und h schneiden einander in dem Punkt Sgh. Sgh ist der Schnittpunkt von g und h.Wir betrachten Sgh
zunächst als Relation.
R(S, g, h): Sgh ist der Schnittpunkt der verschiedenen Geraden g und h.
B:
Sgh liegt auf g und h.
Definition:
Sgh ist der Schnittpunkt der verschiedenen Geraden g und h genau dann, wenn Sgh auf g und h
liegt.
Nun betrachten wir Sgh als Objekt.
A:
der Schnittpunkt Sgh der verschiedenen Geraden g und h
O(A):
ein Punkt
Sgh liegt auf g und h
EC(A):
Definition:
Der Schnittpunkt Sgh der verschiedenen Geraden g und h ist der Punkt, der auf den Geraden g
und h liegt.
Abb. 16.2. Verbindungsgerade zweier Punkte
Die Gerade gPQ verbindet die Punkte P und Q. gPQ ist die Verbindungsgerade der Punkte P und Q.
Die Definition dieses Begriffes als Relation lautet:
Definition:
Die Gerade gPQ ist die Verbindungsgerade der verschiedenen Punkte P und Q genau dann, wenn
gPQ durch P und q geht.
Wenn man gPQ als Objekt betrachtet, so lautet die Definition:
Definition:
Die Verbindungsgerade gPQ der verschiedenen Punkte P und Q ist die Gerade, die durch die
Punkte P und Q geht.
In den folgenden Textabschnitten werden weitere geometrische Begriffe eingeführt. Ihre Definitionen werden nicht
angegeben, können aber analog gebildet werden.
91
Geometrie
16.2
Strecken und Geraden am Kreis
Die Strecke MP ist ein Radius r des Kreises k mit dem Mittelpunkt M.
Abb. 16.3. Radius eines Kreises
Zu jedem Punkt P 0 k gibt es genau eine Strecke MP . Alle diese Strecken sind Radien des Kreises k und haben
(
)
die gleiche Länge r. Man schreibt: l MP = r.
Man sagt: "Die Länge der Strecke MP ist r."
(
)
Beachten Sie den Unterschied zwischen MP und r = l MP !
MP ist eine Strecke, also eine Punktmenge. l( MP) ist die Länge der Strecke MP und somit keine Punktmenge.
(
)
r = l MP bezeichnet man als den Radius des Kreises k.
Mittelpunkt M und Radius r bestimmen einen Kreis eindeutig.
Man schreibt:
k(M;r)
Man sagt:
"Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r."
Abb. 16.4. Sehne, Durchmesser und Sekante eines Kreises
Die Strecke AB ist eine Sehne des Kreises k.
Die Sehne CD mit M 0 CD ist ein Durchmesser des Kreises k mit dem Mittelpunkt M.
d = 2r ist der Durchmesser des Kreises k.
Die Gerade s ist eine Sekante des Kreises k.
92
Definition von Figuren als Relationen oder Objekte
Abb. 16.5 Tangente an einen Kreis
t berührt k in P. Die Gerade t ist eine Tangente an den Kreis k. t ist die Tangente an k mit dem Berührungspunkt P.
MP ist der Berührungsradius der Tangente t an den Kreis k. Der Berührungsradius einer Tangente an k steht
senkrecht auf dieser Tangente.
16.3
Kreis und Winkel
ËAPB ist ein Peripheriewinkel des Kreises k über dem Kreisbogen AB.
ËAMB ist der Zentriwinkel des Kreises k über dem Kreisbogen AB.
Abb. 16.6. Peripheriewinkel und Zentriwinkel eines Kreises
16.4
Dreieck und besondere Strecken, Geraden und Kreise
Es sei ABC ein Dreieck in der Ebene g. Mb ist der Mittelpunkt der Dreiecksseite b. Die Strecke BM b heißt die
Seitenhalbierende sb der Seite AC .1
1
Die Bezeichnung Seitenhalbierende, Höhe und Winkelhalbierende werden in manchen Büchern auch für
die Geraden benutzt, auf denen die Strecken liegen.
93
Geometrie
Abb. 16.7. Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks
Die Seitenhalbierenden sa, sb und sc eines Dreiecks schneiden einander in dem Punkt S.
In Zeichen: sa 1 sb 1 sc = {S}
Die Strecke CH c heißt Höhe hc zur Seite AB .
Für hc gilt: hc z AB
Abb. 16.8. Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks
Die Höhen ha, hb und hc eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt H.
In Zeichen: ha 1 hb 1 hc = {H}
Die Gerade mc heißt Mittelsenkrechte der Seite AB .
Für mc gilt: mc z AB v mc ý Mc. Mc ist der Mittelpunkt der Dreiecksseite c. Die Mittelsenkrechten ma, mb und mc
eines Dreiecks schneiden einander im Punkt M. In Zeichen: ma 1 mb 1 mc = {M}.
Abb. 16.9. Umkreis eines Dreiecks
94
Definition von Figuren als Relationen oder Objekte
M ist der Mittelpunkt des Kreises k, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks ABC geht. Der Kreis k mit A, B, C 0
k heißt Umkreis des Dreiecks ABC.
Abb. 16.10. Inkreis eines Dreiecks
Die Strecke CW heißt Winkelhalbierende w( des Winkels (.
Die Winkelhalbierenden w", w$ und w( eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt W.
In Zeichen: w" 1 w$ 1 w( = {W}.
W ist der Mittelpunkt des Kreises k, der alle Dreiecksseiten von innen berührt. k heißt der Inkreis des Dreiecks.
Damit sind die Dreiecksseiten Tangentenabschnitte an den Inkreis.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
Unter welcher Bedingung heißt ein Punkt S Schnittpunkt zweier Geraden g und h ?
Was versteht man unter dem Schnittpunkt Sgh ?
Unter welcher Bedingung heißt eine Gerade g die Verbindungsgerade von zwei Punkten P und Q ?
Was versteht man unter der Verbindungsgeraden gPQ ?
5.
Unter welcher Bedingung ist AM ein Radius des Kreises k ?
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Welcher Unterschied besteht zwischen einem Radius MP eines Kreises k und dem Radius r von k ?
Was bedeutet d in d = 2r ?
Wie viel Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?
Welche besonderen Strecken gibt es bei Dreiecken?
Welche besonderen Geraden gibt es bei Dreiecken?
Welcher Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ABC ?
Welcher Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks ABC ?
Übungen und Aufgaben
1.
Formulieren Sie die folgenden Definitionen in Worten!
1. S = Sgh : g … h v S 0 g, h
2. g = gPQ : P … Q v g ý P, Q
2.
Formulieren Sie wahre Aussagen!
die Diagonalen eines Parallelogramms / S
< Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden einander in einem Punkt S.
1. alle Durchmesser eines Kreises / Mittelpunkt M des Kreises
2. die Winkelhalbierenden eines Dreiecks / Mittelpunkt W des Inkreises des Dreiecks
3. die Mittelsenkrechten eines Dreiecks / Mittelpunkt M des Umkreises des Dreiecks
4. die Seitenhalbierenden eines Dreiecks / S
5. die Höhen eines Dreiecks / H
95
Geometrie
3.
Lesen Sie folgende Symbolreihen und geben Sie die Bezeichnung der Strecken oder der Geraden an!
hc z AB v hc ý C
< hc steht auf der Seite AB = c und geht durch den Eckpunkt C. hc heißt die Höhe zur Seite C.
1. ha z BC v ha ý A
2. sb ý B v sb ý Mb
3. ma z BC v ma ý Ma
4. w( ý C v w( halbiert (
4.
Geben Sie die Eigenschaften der folgenden Figuren an!
die Höhe hc
< Die Höhe hc ist orthogonal zur Seite c und geht durch den Eckpunkt C.
1. die Mittelsenkrechte mb
2. die Seitenhalbierende sc
3. die Höhe ha
4. die Winkelhalbierende w$
5. der Umkreis von ABC
6. der Inkreis von ABC
5.
Konstruieren Sie
1. den Umkreis eines Dreiecks ABC !
2. den Inkreis eines Dreiecks ABC !
3. den Mittelpunkt eines Kreises k !
Beschreiben Sie Ihr Vorgehen!
6.
Formulieren Sie folgende Aussagen über Höhen, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
eines Dreiecks ABC in Worten !
2. sa 1 sb 1 sc = {S}
1. ha 1 hb 1 hc = {H}
4. w" 1 w$ 1 w( = {W}
3. ma 1 mb 1 mc = {M}
7.
Definieren Sie
1. den Inkreis des Dreiecks ABC !
2. den Umkreis des Dreiecks ABC !
8.
Gegeben ist eine Relation R und die Bedingung B, mit der man R definieren kann.
(a) Zeichnen Sie die Figuren, zwischen denen die Relation R besteht!
(b) Formulieren Sie mit Hilfe von R und B die Definition der Relation R !
R: Der Punkt M ist Mittelpunkt einer Strecke AB .
(
)
(
B: M 0 AB v l MA = l MB
)
< (a)
(b) Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke AB genau dann, wenn M zwischen A und B liegt und
wenn die beiden Strecken MA und MB gleich lang sind.
1. R: Der Punkt M ist der Mittelpunkt eines Kreises k.
B: M hat von allen Punkten des Kreises k den gleichen Abstand.
2. R: Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte einer Strecke AB .
B: g z AB v g ý M (M ist der Mittelpunkt von AB .)
96
Definition von Figuren als Relationen oder Objekte
3. R: Die Strecke AB ist eine Sehne eines Kreises k.
B: A, B 0 k v A … B
4. R: Die Strecke AB ist ein Durchmesser eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M.
B:
5. R:
B:
6. R:
B:
9.
A, B 0 k v M 0 AB
Die Gerade s ist eine Sekante eines Kreises k.
s 1 k = {A;B}
Die Gerade t ist eine Tangente eines Kreises k.
t 1 k = {P}
Vervollständigen Sie die Definitionen von Relationen!
Zeichnen Sie die Figuren, zwischen denen eine Relation besteht!
t ist eine Tangente an den Kreis k genau dann, wenn ...
< t ist eine Tangente an den Kreis k genau dann, wenn t und k genau einen gemeinsamen Punkt haben.
1. Die Strecke AB ist eine Sehne des Kreises k(M;r) genau dann, wenn ...
2. Der Winkel ËACB ist ein Peripheriewinkel des Kreises k(M;r) genau dann, wenn ...
3. Die Strecke AB ist ein Durchmesser des Kreises k(M;r) genau dann, wenn ...
4. Der Kreis k(M;r) ist ein Umkreis des Dreiecks ABC genau dann, wenn ...
5. Der Winkel ËAMB ist ein Zentriwinkel des Kreises k(M;r) genau dann, wenn ...
97
Geometrie
98
17
Mathematische Sätze
An Beispielen der Geometrie wurde gezeigt, dass Definitionen in einer Theorie eine große Rolle spielen. Alle
Begriffe einer Theorie mit Ausnahme der Grundbegriffe muss man definieren. Für den Aufbau einer Theorie sind
außerdem Sätze (Gesetze) wichtig, d.h. wahre Aussagen über Objekte, Eigenschaften von Objekten und Relationen
zwischen Objekten. Alle Sätze einer Theorie muss man beweisen. Eine Ausnahme bilden Aussagen über Grundbegriffe dieser Theorie. Solche Aussagen heißen Axiome, und man setzt voraus, dass diese Axiome wahr sind.
Weil dieses Lehrbuch besonders auf den Erwerb der Fachsprache der Mathematik ausgerichtet ist, werden nicht alle
Sätze bewiesen, auch wenn sie keine Axiome sind.
17.1
Kongruenzsätze für Dreiecke
Die Kongruenzsätze geben an, unter welchen Bedingungen Dreiecke kongruent sind.
Kongruenzsatz sws (Seite - Winkel - Seite):
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und in der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
Kongruenzsatz wsw:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite und in den Größen von zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
Kongruenzsatz sss:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen der drei Seiten übereinstimmen.
Kongruenzsatz sSW:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und in der Größe des Winkels
übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt.
Ein Dreieck ist bereits durch die Angabe von drei "Stücken" (Seiten bzw. Winkeln), die die Kongruenzsätze
nennen, eindeutig bestimmt. Das ist für geometrische Beweise und für Berechnungen wichtig.
17.2
Sätze über rechtwinklige Dreiecke
Von besonderer Bedeutung sind Sätze über rechtwinklige Dreiecke.
Satz des Pythagoras1:
Für alle rechtwinkligen Dreiecke mit der Hypotenusenlänge c und den Kathetenlängen a und b
gilt:
c2 = a 2 + b2
Höhensatz:
Für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt:
h2 = p ⋅ q
h ist die Länge der Höhe auf der Hypotenuse, q und p sind die Längen der Hypotenusenabschnitte (vgl. Abb.
17.1.).2
1
2
Pythagoras von Samos, -570 - 480 vor Christus (v. Chr.), griechischer Philosoph und Mathematiker.
Man erhält die Höhe hc, indem man die Senkrechte zu AB durch C zeichnet, oder indem man das Lot von
C auf AB fällt.
99
Geometrie
Abb. 17.1.
Abb. 17.2.
Kathetensatz:
Für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt:
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
a und b sind die Längen der Katheten. c ist die Länge der Hypotenuse. p und q sind die Längen der Hypotenusenabschnitte. (vgl. Abb. 17.2.)
17.3
Sätze über Winkel
Sätze über Winkel benutzt man oft beim Beweisen.
Nebenwinkel:
Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so beträgt die Summe ihrer Winkelgrößen 180°.
Abb. 17.3.
Scheitelwinkel:
Wenn zwei Winkel Scheitelwinkel sind, so
sind sie kongruent.
Abb. 17.4.
100
Mathematische Sätze
Stufenwinkel an Parallelen :
Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an Parallelen sind, so sind sie kongruent.
Abb. 17.5.
Wechselwinkel an Parallelen:
Wenn zwei Winkel Wechselwinkel an Parallelen sind, so sind sie kongruent.
Abb. 17.6.
Zentriwinkel - Peripheriewinkel:
Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen. " = 2$
Abb. 17.7.
Peripheriewinkel:
Alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen sind gleich groß. " = $ = ( = ...
Abb. 17.8.
17.4
Beweis einer Äquivalenz
Die Ausführungen zur Planimetrie sollen mit dem Beweis einer Äquivalenz abgeschlossen werden.
Satz:
Ein Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn seine Diagonalen einander halbieren.
Man führt den Beweis einer Äquivalenz A : B, indem man die beiden Folgerungen A 6 B und B 6 A beweist.
Beweis der ersten Folgerung:
Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, so halbieren die Diagonalen des Vierecks einander.
Skizze:
Abb. 17.9.
101
Geometrie
Vorbetrachtungen:
Die Diagonalen AC und BD haben für das Parallelogramm ABCD die gleiche Bedeutung. So zerlegt jede
Diagonale das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke. Deshalb muß die Halbierung nur einer Diagonalen
gezeigt werden. Man sagt: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o. B. d. A.) beweist man die Halbierung von
AC , d.h., dass AM ≅ MC ist.
Die Kongruenz von "Stücken" geometrischer Figuren beweist man oft über kongruente Dreiecke.
Voraussetzung:
Ein Viereck ist ein Parallelogramm. d.h.
AB ≅ CD ; AB || CD ; AD ≅ BC ; AD || BC
Behauptung:
Die Diagonalen des Vierecks halbieren einander, d.h.
AM ≅ MC
Beweis:
1. Dreieck ABM – Dreieck DCM
denn:
AB ≅ DC (nach Voraussetzung)
(Wechselwinkel an Parallelen)
(Wechselwinkel an Parallelen)
ËMBA – ËMDC
ËMAB – ËMCD
2.
AM und MC sind entsprechende Seiten in den kongruenten Dreiecken AMB und DCM.
3. Aus 1. und 2. folgt: AM ≅ MC .
w.z.b.w.
Beweis der zweiten Folgerung:
Wenn die Diagonalen eines Vierecks einander halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
Abb. 17.10.
Vorbetrachtungen:
Wenn man zeigen will, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist, zeigt man, dass es zwei Paare kongruenter
Gegenseiten hat.
O. B. d. A. zeigen wir, dass AB ≅ DC ist.
Hinweis: Wenn ein Viereck zwei Paare kongruenter Gegenseiten hat, so sind die Gegenseiten auch parallel.
Voraussetzung:
AM ≅ MC ; DM ≅ MB
Behauptung:
AB ≅ DC
Beweis:
1. Dreieck ABM – Dreieck MDC (sws)
denn ËAMB – ËDMC (Scheitelwinkel)
2.
AM ≅ MC
(nach Voraussetzung)
DM ≅ MB
(nach Voraussetzung)
DC und AB sind entsprechende Seiten in den kongruenten Dreiecken AMB und DCM.
3. Aus 1. und 2. folgt: AB ≅ DC .
102
w.z.b.w.
Mathematische Sätze
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Was versteht man in der Mathematik unter einem Satz?
Wie zeigt man, dass ein Satz (eine Aussage) wahr ist?
Welche Aussagen beweist man nicht?
Was versteht man unter einem Axiom?
Unter welchen Bedingungen sind zwei Dreiecke kongruent?
Welche Sätze für rechtwinklige Dreiecke kennen Sie?
Welche Relation gilt für Nebenwinkel?
Welche Relation gilt für Scheitelwinkel?
Welcher Satz gilt für Stufenwinkel an Parallelen?
Welcher Satz gilt für Wechselwinkel an Parallelen?
Welche Relation gilt für die Winkelgrößen eines Zentriwinkels und der Peripheriewinkel über demselben
Kreisbogen?
12. Wie groß ist der Peripheriewinkel über einem Halbkreis?
13. Wie führt man den Beweis einer Äquivalenz A : B ?
Übungen und Aufgaben
1.
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind!
Korrigieren Sie die falschen Aussagen!
Alle Dreiecke haben mindestens zwei spitze Winkel.
< Diese Aussage ist wahr.
Es gibt gleichseitige Dreiecke, die einen rechten Winkel haben.
< Diese Aussage ist falsch, weil es keine gleichseitigen Dreiecke gibt, die einen rechten Winkel haben.
1. Es gibt Figuren, die beliebig viele Symmetrieachsen haben.
2. Jedes gleichschenklige Dreieck hat genau einen spitzen Winkel.
3. Jedes Rechteck ist ein Trapez.
4. In jedem Dreieck liegt der längeren Seite von zwei Seiten der kleinere Winkel gegenüber.
5. Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, so ist es nicht gleichseitig.
6. Die Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang.
7. Die Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks sind gleich groß.
8. Für jedes Dreieck ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
9. Jedes gleichseitige Dreieck ist zentralsymmetrisch bezüglich des Schnittpunktes seiner Winkelhalbierenden.
2.
Formulieren Sie folgende Axiome in Worten! Veranschaulichen Sie die Axiome 1., 4. und 5. durch eine
Zeichnung!
1. A … B 6 ›!! g: g ý A,B
2. g 1 0 … i 6 ›g: g d g, 0
3. -›g: g ý P,Q,R 6 ›!! g: g ý P,Q,R
4. P 0 g 6 ›A,B 0 g: P 0 AB
5. A ó g 6 ›!!h: h ý A v h 2 g
6. P,Q 0 g, g v P … Q 6 g d g
3.
Sprechen Sie über den Zusammenhang von Definitionen, Sätzen und Axiomen beim Aufbau einer mathematischen Theorie!
103
Geometrie
4.
Formulieren Sie mit den Aussagen A und B Folgerungen der Form "Wenn A, so B" bzw. "Wenn B, so A"!
Hinweis:
1. Folgerungen wurden im Text 10 behandelt.
2. Überlegen Sie sich, wie die Objekte bzw. Eigenschaften definiert sind!
A: Ein Dreieck ist gleichschenklig.
B: Ein Dreieck ist gleichseitig.
< Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, so ist das Dreieck gleichschenklig.
1. A: Ein Parallelogramm ist ein Quadrat.
B: Die Diagonalen des Parallelogramms sind gleich lang.
2. A: Die Diagonalen eines Vierecks halbieren einander.
B: Ein Viereck ist ein Rhombus.
3. A: Ein Viereck ist ein Rechteck.
B: Die Gegenseiten eines Vierecks sind gleich lang.
4. A: Zwei Gegenwinkel eines Vierecks sind gleich groß.
B: Ein Viereck ist ein Parallelogramm.
5. A: Ein Viereck ist ein Rhombus.
B: Ein Viereck ist zentralsymmetrisch bezüglich des Schnittpunktes seiner Diagonalen.
6. A: Ein Parallelogramm ist ein Quadrat.
B: Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander.
7. A: Die Diagonalen eines Vierecks sind gleich lang.
B: Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez.
8. A: Die Abstände eines Punktes P von zwei Punkten A und B sind gleich groß.
B: Ein Punkt P ist der Mittelpunkt der Strecke AB .
9. A: Eine Figur ist ein regelmäßiges n-Eck.
B: Eine Figur hat mindestens drei Symmetrieachsen.
10. A: Ein Dreieck ist axialsymmetrisch.
B: Ein Dreieck ist gleichseitig.
5.
In welchen Stücken stimmen die Dreiecke überein?
Abb. 17.11.
< Die Dreiecke stimmen in (der Länge) einer Seite und in (den Größen von) zwei entsprechenden Winkeln
überein.
Abb. 17.12.
104
Mathematische Sätze
6.
Abb. 17.13.
Begründen Sie, warum die Konstruktion eines Dreiecks ABC aus den gegebenen Stücken eindeutig ausführbar
ist!
a = 4 cm; b = 5 cm; ( = 30°
< Es sind die Längen von zwei Seiten und die Größe des eingeschlossenen Winkels gegeben. Deshalb ist
nach dem Kongruenzsatz sws die Konstruktion des Dreiecks eindeutig ausführbar.
1. a = 5 cm; b = 6 cm; c = 4 cm
2. a = 4 cm; b = 5 cm; $ = 50°
3. b = 5 cm; c = 6 cm; " = 40°
4. a = 6 cm; " = 42°; ( = 60°
5. b = 5 cm; c = 6 cm; ( = 60°
7.
Warum ist die Konstruktion eines Dreiecks mit den gegebenen Seitenlängen und Winkelgrößen nicht bzw.
nicht eindeutig ausführbar?
1. a = 4 cm; $ = 85°; ( = 98°
2. a = 2 cm; b = 3 cm; c = 6 cm
3. " = 40 °; $ = 50°; ( = 90°
4. b = 5 cm; c = 6 cm; $ = 55 °
8.
Für ein rechtwinkliges Dreieck ABC gilt:
a2 + b2 = c2; a2 = c @ p; b2 = c @ q; h2 = p @ q
1. Lesen Sie die Formeln!
2. Was bedeuten a, b, c, p, q und h in diesen Formeln?
3. Formulieren Sie den Inhalt der Gleichungen in Worten!
9.
Die Längen der Hypotenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks ABC mit der Hypotenuse AB sind
p = q = 3 cm.
1. Was für ein rechtwinkliges Dreieck ist ABC ?
2. Wie groß ist der Abstand des Punktes C von AB ?
3. Wie groß ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Dreiecksseite AC ?
4. Wie groß ist der Flächeninhalt von ABC ?
10. Für ein Dreieck ABC gelten folgende Aussagen:
( ) ( )
(a) ∃ Q ∈ AB: l AQ = l AC
(b) ËgACQ = 70°
(c) ËgQCB = 30°
1. Skizzieren Sie das Dreieck ABC !
2. Wie groß sind die Innenwinkel der Dreiecke AQC, QBC und ABC ?
3. Welche Eigenschaften haben die Dreiecke AQC, QBC und ABC ?
105
Geometrie
11. Beantworten Sie die Fragen!
1. Wie groß ist die Summe (der Größen) zweier Nebenwinkel?
2. Wie viel Nebenwinkel gibt es zu jedem Winkel?
3. Welche Relation besteht zwischen zwei Winkeln, die Nebenwinkel zu einem dritten Winkel sind?
4. Wie groß sind zwei Nebenwinkel, die kongruent sind?
5. Was wissen Sie über Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen?
6. Unter welcher Bedingung sind zwei Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden g und h kongruent?
12. Was wissen Sie über den Nebenwinkel mit der Größe $ zum Winkel mit der Größe " ?
" = 45°
< Weil " = 45° ein spitzer Winkel ist, ist sein Nebenwinkel $ = 135° ein stumpfer Winkel.
2. " = 180°
1. " = 100°
3. " = 90°
4. " = 20°
13. Beantworten Sie die Fragen!
1. Wie viel Peripheriewinkel gibt es über einem Kreisbogen AB ?
2. Wie viel Zentriwinkel gibt es über einem Kreisbogen AB ?
3. Was wissen Sie über Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen?
(
)
14. Gegeben sind ein Kreis k(M;r) und einem Punkt P mit l MP > r .
1. Welche Lage hat der Punkt P bezüglich des Kreises k ?
2. Wie viel Geraden t mit t ý P gibt es, die Tangenten des Kreises k sind?
3. Eine Tangente t des Kreises k mit t ý P berührt k in B.
Wie bestimmt man den Punkt B ?
15. Für zwei Geraden g und h und einen Kreis k(M;r) gelten folgende Aussagen:
(a) g 1 k = {A;P}
(b) h 1 k = {A;Q}
(c) h z g
1. Welche geometrische Bedeutung haben diese Aussagen?
2. Skizzieren Sie g, h und k!
3. Formulieren Sie eine Aussage über PQ !
Begründen Sie diese Aussage!
16. Betrachten Sie die Zeichnung und beantworten Sie die Fragen!
Begründen Sie die Antworten!
Abb. 17.13.
1. Welche Aussage gilt für die Längen der Sehnen AP und PB ?
2. Welche Aussage gilt für die Dreiecke APC und BPC ?
106
Mathematische Sätze
17. Beweisen Sie folgende Äquivalenzen!
( a + b) ( c + d )
a c
=
⇔
=
b d
b
d
2. Zwei Sehnen in einem Kreis sind gleich lang genau dann, wenn ihre Abstände vom Mittelpunkt gleich
groß sind.
3. Ein Parallelogramm ist ein Rechteck genau dann, wenn seine Diagonalen gleich lang sind.
1.
107
Geometrie
108
18
Begriffe aus der Stereometrie
18.1
Begriff des geometrischen Körpers
Wenn eine Fläche oder mehrere zusammenhängende Flächenstücke eine räumliche Figur allseitig begrenzen, so
nennt man die Figur einen (geometrischen) Körper. Die Flächenstücke, die den Körper begrenzen, nennt man
Oberfläche des Körpers. Die Berechnung von Größen der Körper (z.B. Oberfläche, Volumen) erfolgt in der
Stereometrie.
Man verwendet im allgemeinen für einen Körper und seine Oberfläche die gleiche Bezeichnung. So bezeichnet man
als Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r die Menge aller Punkte P des Raumes, die von M die Abstände
(
)
a mit a = l MP ≤ r haben, aber auch die Menge aller Punkte P des Raumes, die von M den gleichen Abstand
l( MP) = r haben.
18.2
Polyeder (Vielflächner)
18.2.1
Prismen
Wenn die Oberfläche eines Körpers nur aus ebenen Flächenstücken besteht, so heißt der Körper Polyeder. Spezielle
Polyeder sind die Prismen.
Abb. 18.1. Gerades und schiefes Prisma
Definition:
Ein gerades n-seitiges Prisma ist ein Polyeder mit zwei kongruenten n-Ecken als Grundfläche
bzw. Deckfläche in parallelen Ebenen und mit n Seitenflächen und n Seitenkanten, die senkrecht
auf der Grundfläche stehen (n $ 3).
Die n Seitenflächen bilden den Mantel des Prismas. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke.
Ein Prisma ist regelmäßig, wenn die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges n-Eck ist. Sonst ist das Prisma
unregelmäßig.
Ein Prisma ist schief, wenn die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen.
Zu den geraden Prismen gehören die Quader.
Definition:
Ein Quader ist ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche.
Abb. 18.2. Quader
109
Geometrie
Eine Teilmenge der Menge aller Quader ist die Menge der Würfel.
Definition:
Ein Quader heißt Würfel genau dann, wenn alle Kanten die gleiche Länge a haben.
Bei einem Würfel haben Grund-, Deck- und jede der 4 Seitenflächen den Flächeninhalt a2, die 12 Flächendiagonalen die Länge a ⋅ 2 und die 4 Raumdiagonalen die Länge a ⋅ 3 .
Für die Berechnung des Volumens V, der Oberfläche AO und der Mantelfläche AM eines Prismas gelten folgende
Formeln:
V = AGh; AO = 2AG + AM; AM = S1 + S2 + ... + Sn.
AG ist der Flächeninhalt der Grundfläche G des Prismas.
S1, S2, ... Sn sind die Flächeninhalte der Seitenflächen des Prismas. Die Höhe h des Prismas ist der Abstand von
Grund- und Deckfläche.
Die Formeln zur Berechnung von V, AO und AM gelten für gerade und für schiefe Prismen.
18.2.2
Pyramiden
Eine andere Teilmenge der Polyeder sind die Pyramiden.
Abb. 18.3. Gerade und schiefe Pyramide
Definition:
Eine n-seitige Pyramide ist ein Polyeder mit einem n-Eck als Grundfläche und n Dreiecken als
Mantel (n $ 3).
Die Seitenkanten einer Pyramide haben einen Punkt S gemeinsam.
S ist die Spitze der Pyramide.
Die Höhe h einer Pyramide ist gleich dem Abstand der Pyramidenspitze von der Grundfläche.
Satz:
Das Volumen V jeder Pyramide mit dem Grundflächeninhalt AG und der Höhe h beträgt
V =
110
1
A ⋅h.
3 G
Begriffe aus der Stereometrie
18.2.3
Pyramidenstümpfe
Wenn eine Ebene g eine Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche schneidet, so entsteht ein Pyramidenstumpf.
Abb. 18.4. Pyramidenstumpf
Definition:
Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit zwei ähnlichen, aber nicht kongruenten n-Ecksflächen
in parallelen Ebenen und mit n Trapezflächen.
Die Höhe h eines Pyramidenstumpfes ist gleich dem Abstand von Grund- und Deckfläche.
18.3
Krummflächige Figuren
Wichtige krummflächige Figuren sind der Kreiszylinder, der Kreiskegel und die Kugel. Man unterscheidet gerade
und schiefe Kreiszylinder bzw. Kreiskegel.
Abb. 18.5. Gerader und schiefer Kreiszylinder
Abb. 18.6. Gerader und schiefer Kreiskegel
111
Geometrie
Die geraden Kreiszylinder, die geraden Kreiskegel und die Kugeln sind Rotationskörper bzw. Oberflächen von
Rotationskörpern.
Abb. 18.7. Rotationskörper
Ein gerader Kreiszylinder entsteht bei der Rotation eines Rechtecks um eine Seite.
Ein gerader Kreiskegel entsteht bei der Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete.
Eine Kugel entsteht bei der Rotation eines Halbkreises um seinen Durchmesser.
Wenn eine Ebene einen Kreiskegel parallel zu seiner Grundfläche schneidet, so entsteht ein Kegelstumpf.
Fragen zum Text
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.
16.
Was versteht man unter der Oberfläche eines Körpers?
Unter welcher Bedingung ist ein Körper ein Polyeder?
Welche Bedingungen erfüllen die Grund- und Deckfläche eines Prismas?
Unter welcher Bedingung ist ein Prisma gerade?
Unter welcher Bedingung ist ein Prisma schief?
Was versteht man unter einem Quader?
Welche zwei Arten von Diagonalen in einem Prisma unterscheidet man?
Mit Hilfe welcher Größen berechnet man bei einem Prisma das Volumen und die Oberfläche?
Was versteht man unter einer (n-seitigen) Pyramide?
Wieviel ebene Flächen begrenzen eine n-seitige Pyramide?
Wie heißt der gemeinsame Punkt der Seitenkanten einer Pyramide?
Mit welcher Formel berechnet man das Volumen einer Pyramide?
Unter welcher Bedingung entsteht aus einer Pyramide ein Pyramidenstumpf?
Welche Relationen bestehen zwischen Grund- und Deckfläche eines Pyramidenstumpfes?
Bei welchen krummflächig begrenzten Körpern ist die Länge der Mantellinien gleich der Höhe des Körpers?
Bei welchem Körper haben alle Mantellinien einen gemeinsamen Punkt S und die gleiche Länge s ? Wie heißt
der Punkt S ?
17. Warum bezeichnet man einen geraden Kreiszylinder/Kreiskegel als Rotationskörper?
18. Unter welcher Bedingung ist ein Kreiskegel kein Rotationskörper?
19. Welcher Unterschied besteht bei einem Kreiskegelstumpf zwischen Grund- und Deckfläche?
Übungen und Aufgaben
1.
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Formulieren Sie wahre Aussagen!
Kreis/Kreisfläche
< Ein Kreis begrenzt eine Kreisfläche.
1. drei zusammenhängende Strecken/Dreiecksfläche
2. n zusammenhängende Strecken/n-Ecksfläche
3. zwei Punkte/ ...
4. sechs zusammenhängende Quadratflächen/ ...
5. sechs zusammenhängende Rechteckflächen/ ...
Begriffe aus der Stereometrie
2.
Charakterisieren Sie die Oberfläche des gegebenen Prismas!
ein regelmäßiges, gerades, vierseitiges Prisma
< Die Oberfläche eines regelmäßigen, geraden, vierseitigen Prismas besteht aus zwei parallelen kongruenten
Quadratflächen und vier kongruenten Rechtecksflächen.
1. ein regelmäßiges, schiefes, vierseitiges Prisma
2. ein unregelmäßiges, gerades, vierseitiges Prisma
3. ein regelmäßiges, gerades, dreiseitiges Prisma
4. ein unregelmäßiges, schiefes, dreiseitiges Prisma
5. ein regelmäßiges, gerades, sechsseitiges Prisma
3.
Definieren Sie folgende Prismen!
1. unregelmäßiges Prisma
2. schiefes Prisma
3. n-seitiges Prisma
4.
Erläutern Sie die Sätze!
Wenn es nötig ist, benutzen Sie ein Tafelwerk!
V = a3
< Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a beträgt V = a3.
1. V = abc
4. AO = 6a2
2. e = a 3
5. f = a 2
3. V = AGh
6. AO = 2AG + AM
5.
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind! Korrigieren Sie die falschen Aussagen!
1. Alle schiefen Prismen haben Parallelogrammflächen als Seitenflächen.
2. Es gibt kein schiefes Prisma mit einer Rechteckfläche als Seitenfläche.
3. Bei jeder Pyramide besteht der Mantel aus Flächen gleichseitiger Dreiecke.
4. Bei jedem geraden Pyramidenstumpf besteht der Mantel aus Flächen gleichschenkliger Trapeze.
6.
Beantworten Sie die folgenden Fragen!
1. Wo liegen alle Punkte einer Ebene g, die von einem Punkt M 0 g den gleichen Abstand r haben?
2. Wo liegen alle Punkte des Raumes, die von einem Punkt M den gleichen Abstand r haben?
3. Wo liegen alle Punkte des Raumes, die von einer Strecke PQ den gleichen Abstand d haben?
4. Wo liegen alle Kreise k(M;r) des Raumes mit dem gleichen Mittelpunkt M und dem gleichen Radius r ?
5. Wo liegen alle Kreise des Raumes, deren Mittelpunkte auf einer Strecke PQ liegen und deren gleich
große Durchmesser senkrecht auf PQ stehen?
7.
Unter welcher Bedingung entsteht der Rotationskörper bzw. seine Oberfläche?
Kugel
< Eine Kugel entsteht, wenn eine Halbkreisfläche um den Durchmesser rotiert.
1. gerader Kreiskegel
2. gerader Kreiszylinder
3. gerader Kreiskegelstumpf
8.
Geben Sie an, für welche Körperarten die folgenden Volumenformeln gelten!
1. V = AGh
2.
V =
1
A ⋅h
3 G
113
Geometrie
9.
Erläutern Sie die Sätze!
Wenn es nötig ist, benutzen Sie ein Tafelwerk!
AM = π rs
< Der Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiskegels mit dem Radius r und der Mantellinienlänge s beträgt
AM = π rs .
1. A M = 2π rs
2. AO = πd 2 = 4πr 2
3. V = π r 2 h
4. AO = πr ( r + s)
5. V =
114
1 2
πr h
3
6. V =
4 3
πr
3