Ontologien im Semantic Web

Skript zur Vorlesung
Ontologien im Semantic Web
(Wintersemester 14/15)
Gehalten von Lutz Schröder
Mitgeschrieben von Hans-Peter Deifel
Stand: 23. März 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Logik erster Stufe
1.1 Das PCP (Post Correspondence
1.2 Unentscheidbarkeit . . . . . . .
1.3 Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiele . . .
1.3.1 Erreichbarkeit . . . . . .
1.3.2 Back-and-Forth-Systeme
1.3.3 FO-Definierbarkeit . . .
2 Algorithmik der Aussagenlogik
2.1 Recall Aussagenlogik . . . . . .
2.2 Normalformen . . . . . . . . . .
2.3 Resolution . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Optimierungen (DPLL)
2.4 Tableaux . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Flache Tableaux . . . .
2.4.2 (Echte) Tableaux . . . .
Problem)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Beschreibungslogik
3.1 Modallogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Terminologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bisimilarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tableaux für ALC . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vollständigkeit des Tableaux-Algorithmus . . . . .
3.6 PSPACE-Härte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 EL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 TBoxen in EL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 EL und klassische TBoxen in gfp-Semantik
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
. 5
. 5
. 7
. 9
. 10
. 13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
19
21
22
22
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
28
29
31
33
35
36
41
42
43
44
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Überblick
Formale Wissensrepresentation (logikbasiert)
• FOL: Unentscheidbarkeit, Ausdrucksstärke
• Propositionale Logik: Algorithmik (DPLL, Tableaux)
• Beschreibungslogiken/Modallogiken
– OWL
– ALC/Km
– ausdrucksstarke DL
∗ transitive Rollen
∗ Zählen
∗ Nominale
∗ TBoxen/ABoxen
– leichtgewichtige DL: EL, SNOMED CT
– Global Caching
3
1 Logik erster Stufe
ϕ ::= E = D | p(E1 , . . . , En ) | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ∀X.ϕ
(X ∈ V ar, p/n ∈ Σ)
E ::= X | f (E1 , . . . , En )
(f /n ∈ Σ)
Σ, die Signatur, ist ein Paar (F, P ) von Mengen
F von Funktionssymbolen
P von Prädikatssymbolen
gegebener Stelligkeit ≥ 0
Semantik = Modellbegriff + Erfüllbarkeitsrelation. Ein Σ-Modell M besteht aus:
• einem Grundbereich M
• für f /n ∈ Σ: MJf K : M n → M
• für p/n ∈ Σ: MJP K ⊆ M n
Umgebung: η : Var → M
M, η ϕ rekursiv definiert:
M, η ¬ϕ ⇔ M, η 6 ϕ
M, η ϕ1 ∧ ϕ2 ⇔ M, η ϕ1 und M, η ϕ2
M, η ∀X.ϕ ⇔ für alle x ∈ M :
M, η[X → x] ϕ
M, η E = D ⇔ MJEKη = MJDKη
M, η p(E1 , . . . , En ) ⇔ (MJE1 Kη , . . . , MJEn Kη ) ∈ MJpK
MJXKη = η(X)
MJf (E1 , . . . , En )Kη = MJf Kη (MJE1 Kη , . . . , MJEn Kη )
Aristotische Formeln:
Alle Q sind ϕ
∀X.(Q(X) → ϕ)
Einige Q sind ϕ
∃X.(Q(X) → ϕ)
4
1.1 Das PCP (Post Correspondence Problem)
Sei P ⊆ (Σ∗ )2 endlich. P heißt lösbar, genau dann wenn es (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) ∈ P
mit u1 . . . un = v1 . . . vn gibt. (Achtung: Die (ui , vi ) müssen nicht paarweise verschieden
sein.) P nennt man dann PCP-Instanz. Zum Beispiel:
1
0
010
P =
,
,
.
10 10
01
PCP = {P ⊆fin (Σ∗ )2 | P lösbar} ist unentscheidbar (für |Σ| > 1).
Rekursive Aufzählbarkeit: A ⊆ {0, 1}∗ r.e (recursively enumerable) ⇔ es existiert ein
Algorithmus, der alle Elemente von A ausgibt ⇔ es gibt ein Halbentscheidungsverfahren
für A.
A ist entscheidbar ⇔ (A und {0, 1}∗ − A r.e.)
1.2 Unentscheidbarkeit
Reduktion
Seien A, B ⊆ {0, 1}∗ , f : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ berechenbar. f reduziert A auf B, wenn
∀u ∈ {0, 1}∗ , f (u) ∈ B ⇔ u ∈ A.
Dann gilt: B entscheidbar ⇒ A entscheidbar (Reduction to). A unentscheidbar ⇒ B
unentscheidbar (Reduction from).
Satz
Gültigkeit in FOL ist unentscheidbar (nicht co-r.e.).
Recall: ϕ ⇔ ∀M, η. M, η ϕ (z.B. x = x).
Vollständigkeit: Φ ψ ⇔ Φ ` ψ, insbesondere ψ ⇔ ` ψ.
Damit ist Gültigkeit in FOL r.e.: Erzeuge alle Beweise und gib jeweils letzte Formel aus
(Britisch Museum Algorithm).
Äquivalente Formulierung des Satzes: Erfüllbarkeit in FOL ist unentscheidbar (nicht
r.e.).
5
Eingeschobener Erklärungseinschub
Φ ψ ⇔ ∀M, η. (M, η Φ ⇒ M, η ψ)
Φ ` ψ ⇔ es existiert ein Beweis von ψ mit Annahmen ausΦ
Beispiel:
∃Y. ∀X. P (X, Y ) ∀X. ∃Y. P (X, Y )
Sei M, η ∃Y. ∀X. P (X, Y ). Zu zeigen ist: M, η ∀X. ∃Y. P (X, Y )
Sei also x ∈ M , wähle y mit M, η[Y 7→ y] ∀X. P (X, Y ), also
M, η[X 7→ x, Y 7→ y] P (X, Y ), also M, η[X 7→ x] ∃Y.P (X, Y ).
1
∃Y. ∀X. P (X, Y )
2
c
d
∀X. P (X, d)
3
P (c, d)
∀E, 2
4
∃Y. P (c, Y )
∃I, 3
∃Y. P (c, Y )
5
6
∀X. ∃Y. P (X, Y )
Beweis Reduction from PCP.
D.h zu P ⊆ ({0, 1}∗)2 definiere Formel ϕP (berechenbar!) mit P lösbar ⇔ ϕP gültig.
Haskell-Einschub Algebraischer Datentyp wie in Haskell
data Bitstring = Epsilon | Null Bitstring | One Bitstring
data Nat
= Zero | Suc Nat
Die Formel ∀P.((∀n.(P (n) → P (Suc n))) ∧ P (Zero) → ∀n.P (n)) ist nicht FOL.
Signatur
Konstante
f0 , f1 unär
C binäres Prädikat
leerer Bitstring“
”
f0 (x) = 0x, f1 (x) = 1x“
”
konstruierbar“
”
Notation: fb1 ,...,bn (X) = fb1 · · · fbn (X) für b1 , . . . , bn ∈ {0, 1}∗ .
Setze
ψP =
^
(u,v)∈P
(C(fu (), fv ()) ∧ ∀x, y. (C(x, y) → C(fu (x), fv (y))))
|
{z
} |
{z
}
(i)
(ii)
ϕP = ψP → ∃X.C(X, X)
6
Behauptung: P lösbar ⇔ ϕP gültig.
⇒“: Sei P lösbar.
”
Seien (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) ∈ P mit u1 , . . . , un = v1 , . . . , vn .
Dann gilt ψP → C(fu1 ,...,un (ε), fu1 ,...,un (ε)),
(1.1)
=
also gilt ψP → ∃X. C(X, X).
Zeige für (1.1) allgemeiner:
für 1 ≤ k ≤ n
ψP → C(fu1 ,...,uk (), fv1 ,...,vk ())
Per Induktion über k:
I.A. (k = 1) per Teil (i) von ψP
I.S. (k − 1 → k). Sei ψP → C(fu2 ,...,uk (), fv2 ,...,vk ()). Ferner per (ii):
ψP → (C(fu2 ,...,uk (), fv2 ,...,vk ()) → C(fu1 (fu2 ,...,uk ()), fv1 (fv2 ,...,vk ())))
also ψP → C(fu1 ,...,uk (), fv1 ,...,vk ())
⇐“: Sei ϕP gültig.
”
Definiere das Modell M durch
M = {0, 1}∗
MJK = MJf0 K(x) = 0x
MJf1 K(x) = 1x
MJCK = {(u1 · · · un , v1 · · · vn ) | (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) ∈ P, n ≥ 1}
Dann nach Vorraussetzung M ψP → ∃X.C(X, X). Ferner M ψP . Beachte:
MJfu (X)Kη = uη(X)
MJfu ()Kη = u
also M ∃X.C(X, X). Dass heißt, es existiert (w, w) ∈ MJCK.
2014-10-17
1.3 Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiele
Definition Ein partieller Isomorphismus zwischen Σ-Modellen (ohne Funktionssymbolen) A und B ist eine Teilmenge {(a1 , b1 ), . . . , (an , bn )} ⊆ A × B, so dass:
• a: paarweise verschieden (also ai → bi wohl definiert)
• b: paarweise verschieden (also bi → ai injektiv)
Für alle P/k ∈ Σ: (ai1 , . . . , aik ) ∈ AJP K ⇔ (bi1 , . . . , bik ) ∈ BJP K.
7
Beispiel Φ ist partieller Iso.
Notation Für X = (X1 , . . . , Xn ) Vektor von Variablen bezeichnet (A, ā) mit Vektor
ā = (a1 , . . . , an ) ∈ An A mit Umgebung η mit η(Xi ) = ai (i = 1, . . . , n).
Definition (Quantorenrang)
von Quantoren in ϕ:
Der Quantorenrang QR(ϕ) bezeichnet Schachtelungstiefe
QR(ϕ) = 0, wenn ϕ atomar
QR(¬ϕ) = QR(ϕ)
QR(ϕ ∧ ψ) = max(QR(ϕ), QR(ψ))
QR(∀X.ϕ) = 1 + QR(ϕ)
Beispiel QR(∀X.(X = Y ) ∧ ∃X.∀Y.P (X, Y )) = 2
Definition (m-Äquivalent)
(A, ā) ∼
=m (B, b̄)
⇔
|ā| = |b̄|
∀ϕ. QR(ϕ) ≤ m ∧ FV(ϕ) ⊆ {X1 , . . . , Xk } ⇒ (A, ā) ϕ ⇔ (B, b̄) ϕ
8
Definition E-F-Spiel
Das m-Runden-E-F-Spiel Gm ((A, ā), (B, b̄)) hat
Konfigurationen: {(a1 , b1 ), . . . , (an , bn )} ⊆ A × B
n ≥ k ( potentielle partielle Isos“)
”
Initial: {(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )}
Spieler: Spoiler (beginnt), Duplicator
Züge: In der i-ten Runde (i + 1, . . . , m)
• Spoiler (zieht zuerst) wählt ak+i ∈ A (oder bk+i ∈ B)
• Duplicator wählt bk+i ∈ B (oder ak+i ∈ A)
Nach m Runden gewinnt D, wenn {(a1 , b1 ), . . . , (ak+m , bk+m )} ein partieller Iso ist.
Satz (E-F) (A, ā) ∼
=m (B, b̄) ⇔ D hat Gewinnstrategie Gm ((A, ā), (B, b̄)).
2014-10-23
1.3.1 Erreichbarkeit
Signatur: I unär, R binär.
x ∈ M erreichbar
⇔ es existiert MJIK 3 x0 und n ≥ 0 mit (xi , xi+1 ) ∈ MJRK, i = 0, . . . , n − 1
M erreichbar ⇔ jedes x ∈ M erreichbar
( erreichbar“ ist in FOL nicht ausdrückbar)
”
Strategie
Nimm an ϕ drücke Erreichbarkeit aus. Finde dann Modelle A, B mit
• A∼
=QR(ϕ) B per EF-Spiele
• A erreichbar, B nicht.
zum Beispiel QR(ϕ) = 3
9
1.3.2 Back-and-Forth-Systeme
Definition Seien (A, ā), (B, b̄) Σ-Modelle, ā ∈ Ak , b̄ ∈ B k . Ein m-Back-and-Forth-System
(Fraı̈ssé) zwischen (A, ā), (B, b̄) ist eine Familie (Ii )0≤i≤m von Mengen Ii partieller Isos
zwischen A und B mit
(a) {(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )} ∈ I0
(b) Forth: Für {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , bk+i )} ∈ Ii und ak+i+1 ∈ A existiert bk+i+1 ∈ B mit
{(a1 , b1 ), . . . , (ak+i+1 , bk+i+1 )} ∈ Ii+1
(c) Back: Entsprechend mit A und B vertauscht.
Lemma Seien (A, ā), (B, b̄) Σ-Modelle mit Umgebung ā ∈ Ak , b̄ ∈ B k . Duplicator
gewinnt Gm ((A, ā), (B, b̄)) genau dann, wenn ein B-n-F-System zwischen (A, ā) und
(B, b̄) existiert.
Beweis ⇐“: Sei (Ii )i≤m B-n-F zwischen (A, ā) und (B, b̄). Die Gewinnstrategie für
”
Duplicator ist: Bleibe in der i-ten Runde in Ii .
(a) Das gilt am Anfang: {(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )} ∈ I0
(b) Das kann D in der i + 1-ten Runde durchhalten:
Fall 1 Zieht Spoiler ak+i+1 ∈ A, wählt Duplicator dann bk+i+1 wie in Forth“
”
Fall 2 Analog mit Back“
”
(c) Nach m Runden gewinnt Duplicator: Im besteht aus partiellen Isos.
⇒“
”
Ii = {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , bk+i )} = P |
D gewinnt Gm−i ((A, (a1 , . . . , ak+i )), (B, (b1 , . . . , bk+i )))
Das ist B-n-F:
(a) {(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )} ∈ I0 n.V.
(b) Sei {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , bk+i )} ∈ Ii und ak+i+1 ∈ A. Sei bk+i+1 Antwort von D auf
|
{z
}
Gewinn pos für D
ak+i+1 , dann ist {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i+1 , bk+i+1 )} Gewinnposition für D, also in Ii+1 .
(c) Analog
2014-10-24
10
Recap-Satz (Wenn Σ endlich)
(A, ā) ∼
=m (B, b̄)
⇔
D hat Gewinnstrategie Gm ((A, ā), (B, b̄))
Lemma
⇔
Es existiert B’n’F zwischen (A, ā), (B, b̄)
⇐“ (gilt für beliebige Σ): Zu zeigen: (A, ā) ϕ ⇔ (B, b̄) ϕ für QR(ϕ) ≤ m, FV(ϕ) ⊆
”
{X1 , . . . , Xn }.
Per Induktion über ϕ, gegeben m-B’n’F (Ii )i≤m
Boolsche Schritte sind trivial. Beispiel: Konjugation, Disjunktion, usw:
I.V.
(A, ā) ¬ϕ ⇔ (A, ā) 6 ϕ ⇔ (B, b̄) 6 ϕ ⇔ (B, b̄) ¬ϕ
Atomare Formeln:
•
(1)
(A, ā) P (Xi1 , . . . , Xin ) ⇔ (ai1 , . . . , ain ) ∈ AJP K
⇔ (bi1 , . . . , bin ) ∈ BJP K ⇔ (B, b̄) P (Xi1 , . . . , Xin )
(1):
{(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )} ∈ Io aso partieller Iso
(1)
• (A, ā) Xi = Xj ⇔ ai = aj ⇔ bi = bj ⇔ (B, b̄) Xi = Xj
• ∃Xk+1 .ϕ:
(A, ā) ∃Xk+1 .ϕ ⇔ es existiert ak+1 mit (A, āak+1 ) ϕ
Forth
⇒ es existiert bk+1 ∈ B mit {(a1 , b1 ), . . . , (ak+1 , bk+1 )} ∈ I1
Setze Ji = Ii+1 (1 ≤ m − 1), dann ist
(Ji )i≤m−1 ein (m − 1)-B’n’F zwischen (A, āak+1 ), (B, b̄bk+1 )
I.V.
QR(ϕ) ≤ m − 1, FV(ϕ) ⊆ {X1 , . . . , Xk+1 } ⇒ (B, b̄bk+1 ) ϕ
⇒ (B, b̄) ∃Xk+1 .ϕ
Umkehrung analog mit Back“
”
Lemma Sei Σ endlich. Dann gibt es bis auf logische Äquivalenz (zum Beispiel ϕ ≡
ϕ ∧ ϕ ≡ ϕ ∧ ϕ ∧ ϕ) nur endliche ϕ mit QR(ϕ) ≤ m, FV(ϕ) ⊆ {X1 , . . . , Xn }.
11
Beweis N.B.: Die Behauptung gilt für Aussagenlogik“. Es existieren bis auf logische
”
Äquivalenz nur endlich viele aussagenlogische ψ mit At(ψ) ⊆ {A1 , . . . , Ar } (nämlich so
r
viele wie Wahrheitstafeln, also 2(2 ) ).
Damit Induktion über m:
m = 0 : ϕ ist aussagenlogische Formel über Atome P (Xi1 , . . . , Xin ), Xi = Xj .
|
{z
} | {z }
endlich viele
endlich viele
m → m + 1 : ϕ ist bis auf α-Äquivalenz (= umbennenen quantifizierter Variablen) aussagenlogische Formel mit Atomen wie bei m = 0 oder ∃Xk+1 .ϕ mit QR(ϕ) ≤ m, FV(ϕ) ⊆
{X1 , . . . , Xm }, also endlich viele ϕ nach IV .
⇒“ (für endliches Σ).
”
Setze (für i ≤ m)
Ii = {{(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , bk+i )} | (A, (a1 , . . . , ak+i )) ∼
=m−i (B, (b1 , . . . , bk+i ))}
Zu zeigen: Das ist m-B’n’F zwischen (A, ā), (B, b̄).
• {(a1 , b1 ), . . . , (ak , bk )} ∈ I0 nach Vorraussetzung.
• (Forth). Sei {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , . . . , bk+i )} ∈ Ii und ak+i+1 ∈ A.
Da Σ endlich, gibt es (bis auf Äquivalenz) nur endlich viele ψ1 , . . . , ψN mit QR(ψj ) ≤
m − (i + 1) und FV(ψj ) ⊆ {X1 , . . . , Xk+i+1 }
(
ψj
Setze ψ̄j =
¬ψj
falls A, (a1 , . . . , ak+i+1 ) ψj
sonst
Dann A, (a1 , . . . , ak+i , ak+i+1 ) N
^
ψ̄j
j=1
⇒A, (a1 , . . . , ak+i ) ∃Xk+i+1
N
^
ψ̄j
j=1
I
i
⇒B,
(b1 , . . . , bk+i ) ∃Xk+i+1
N
^
ψ̄j
j=1
⇒es existiert bk+i+1 mit B, (b1 , . . . , bk+i+1 ) N
^
ψ̄j
j=1
⇒(A, (a1 , . . . , ak+i+1 )) ∼
=m−(i+1) (B, (b1 , . . . , bk+i+1 ))
⇒{(a1 , b1 ), . . . , (ak+i+1 , bk+i+1 )} ∈ Ii+1
12
Ferner: Ii besteht aus partiellen Isos. {(a1 , b1 ), . . . , (ak+i , bk+i )} partieller Iso ⇔
A, (a1 , . . . , ak+i ) ∼
=0 B, (b1 , . . . , bk+i ).
2014-10-30
1.3.3 FO-Definierbarkeit
(A, ā) seien Σ-Strukturen.
Definition Seien C ⊆ D Klassen von Σ-Strukturen.
• C heißt FO-definierbar in D, genau dann wenn eine Formel ϕ existiert mit C =
{(A, ā) ∈ D | (A, ā) ϕ}
• C heißt FO-definierbar, wenn C FO-definierbar in der Klasse aller Σ-Strukturen ist.
Beispiel Σ = {≤}
ORD = {(A, (a0 , a1 )) | A ist endliche lineare Ordnung1 mit Min a0 , Max a1 }
EVEN = {(A, (a0 , a1 )) ∈ ORD | |A| gerade}
Satz EVEN ist nicht FO-definierbar in ORD.
Lemma Seien (A, ā), (B, b̄) ∈ ORD mit |A|, |B| > 2m . Dann (A, ā) ∼
=m (B, b̄).
Beweis (per E-F.) Gewinnstrategie für D.
Definiere Distanz auf A durch d(a, a0 ) = |{c ∈ A | a < c ≤ a0 }| ∈ N. Analog auf B.
Invariante in Runde i:
(a) {(a0 , b0 ), . . . , (ai+1 , bi+1 )} partieller Iso
(b) Für j, j 0 ∈ {0, . . . , i + 1}: d(aj , aj 0 ) = d(bj , bj 0 ) oder d(aj , aj 0 ), d(bj , bj 0 ) ≥ 2m−i
Damit gewinnt D nach Konstruktion:
• Die Invariante gilt Anfangs: Per Annahme |A|, |B| > 2m
• Die Invariante lässt sich in Runde i + 1 durchhalten: Ohne Einschränkung zieht
Spoiler ai+1 . Setze: j = arg max{ak | ak < ai+1 }
j 0 = arg min{ak | ak > ai+1 }
1
Anm. d. Red: Totale Ordnung
13
a0
j
ai+1
j
j0
j0
Fall 1 d(aj , aj 0 ) = d(bj , bj 0 ). Dann wähle bi+1 mit d(bj , bi+1 ) = d(aj , ai+1 ) und
d(bi+n , bj 0 ) = d(ai+1 , aj 0 ).
Fall 2 d(aj , aj 0 ), d(bj , bj 0 ) ≥ 2m−i .
(a) d(aj , ai+1 ), d(ai+1 , aj 0 ) ≥ 2m−i−1 , wählt dann bi+1 entsprechend
(b) . . . restliche Fälle ähnlich
⇒ Damit Beweis von Satz!
Man nehme jetzt an, ϕ mit QR(ϕ) = m definiere die Klasse EVEN. Wähle dann
A mit |A| > 2m und B mit |B| = |A| + 1.
Lemma
⇒ EVEN nicht FO-definierbar!
Logische Reduktion von C ⊆ D auf C 0 ⊆ D0 :
• nimm an, ϕ definiere C 0 in D0
• konstruiere daraus ϕ0 , das C in D definiert
• Wenn C in D nicht FO-definierbar, folgt C 0 in D0 nicht FO-definierbar.
Beispiel Zusammenhang von ungerichteten Graphen ist nicht FO-definierbar.
Annahme: ϕ definiert Zusammenhang (Σ = {R/2})
Idee: Konstruiere aus (A, ā) ∈ ORD“ ungerichteten Graphen (A, R) mit (A, ā) 6∈
”
EVEN ⇔ (A, R) zusammenhängend:
Drücke R(X, Y ) durch Formeln ψ(X, Y ) über ≤ aus.
(a)
14
(b) ψ(X, Y ) siehe Übung
Ersetze dann in ϕ R(X, Y ) durch ψ(X, Y )
ϕ0 . Dann:
(A, ā) ϕ0 ⇔ ϕ0 ⇔ (A, R) zusammenhängend ⇔ (A, ā) 6∈ EVEN
15
2 Algorithmik der Aussagenlogik
2014-10-31
(SAT-Solving)
• Resolution
• DPLL (Verfahren für SAT-Solver) (Stållmark: Alternative)
• Tableaux
2.1 Recall Aussagenlogik
(A ∈ A 6= ∅)
ϕ, ψ ::= A|¬ϕ|ϕ ∧ ψ|ϕ ∨ ψ
(⊥ ≡ A ∧ ¬A, > ≡ ¬⊥)
Modelle: Wahrheitsbelegungen (WB) κ : A → 2 = {⊥, >}
Erfüllbarkeit |=:
κ |= A ⇔ κ(A) = >
κ |= ¬ϕ ⇔ κ 6|= ϕ
κ |= ϕ ∧ ψ ⇔ κ |= ϕ und κ |= ψ
κ |= ϕ ∨ ψ ⇔ κ |= ϕ oder κ |= ψ
ϕ erfüllbar ⇔ ∃κ.κ |= ϕ
ϕ gültig ⇔ ∀κ.κ |= ϕ
ϕ erfüllbar ⇔ ¬ϕ nicht gültig
ϕ gültig ⇔ ¬ϕ nicht erfüllbar
Satz von Cook Efüllbarkeit in Aussagenlogik ist NP-vollständig.
CoNP = {A ⊆ {0, 1}∗ | {0, 1}∗ − A ∈ NP}.
16
Korrolar Gültigkeit in Aussagenlogik ist CoNP-vollständig
2.2 Normalformen
ϕ NNF (Negationsnormalform) ⇔ ϕ erzeugt durch
ϕ, ψ ::= A|¬A|ϕ ∧ ψ|ϕ ∨ ψ
ϕ CNF (Konjunktive Normalform) ⇔ ϕ erzeugt durch
L ::= A|¬A
C ::= ⊥|L ∨ C (Klauseln)
ϕ ::= >|C ∧ ϕ
ϕ CNF (Disjunktive Normalform) ⇔ ϕ erzeugt durch
ϕ ::= ⊥|C ∧ ϕ
C ::= >|L ∨ C (DNF-Klauseln)
L ::= A|¬A
Normalisierung zu NNF
¬(ϕ ∧ ψ) −→ ¬ϕ ∨ ¬ψ
¬(ϕ ∨ ψ) −→ ¬ϕ ∧ ¬ψ
¬¬ϕ −→ ϕ
Normalisierung zu CNF (Anwenden auf NNF)
ϕ ∨ (ψ ∧ ξ) −→ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ ξ)
(ψ ∧ ξ) ∨ ϕ −→ (ψ ∨ ϕ) ∧ (ξ ∨ ϕ)
Generell ist die Größe von CNF(ϕ) (bzw. DNF(ϕ)) eine exponentielle Funktion von der
Größe von ϕ.
2014-11-14
17
Ordered binary decision diagrams (OBDD) Ein BDD ist ein gerichteter Graph mit
Wurzel und genau zwei Senken, die mit 0 und 1 gekennzeichnet sind; alle anderen Knoten
sind mit Atomen von A gekennzeichnet. Aus jedem Knoten (außer den Senken) starten
zwei Kanten, die mit 0 und 1 markiert sind.
Ein OBDD ist ein BDD mit der Eigenschaft, dass in jedem Pfad von der Wurzel zu den
Senken die Atome in der gleichen Reihenfolge vorkommen.
ϕ = (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3 ) ∨ (x1 ∧ x2 ) ∨ (x2 ∧ x3 ), x1 > x2 > x3
Formeln
CNFs
DNFs
OBDD
Gültigkeit
CoNP
Logspace
CoNP
P*
Erfüllbarkeit
NP
NP (SAT)
Logspace
P
¬
O(1)
hart
hart
*: Die Berechnung selbst ist sehr komplex
18
∧
O(1)
O(1)
hart (O(n2 ))
∨
O(1) (per Heap)
hart (O(n2 ))
O(1)
2.3 Resolution
{{A} ∪ C, {¬A} ∪ D} ∪ B
Res
{{A} ∪ C, {¬A} ∪ D, C ∪ D} ∪ B
Resolutionsregel (prüft Erfüllbarkeit einer CNF)
Es gibt zwei Möglichkeiten:
• entweder (Res) ist nicht anwendbar und die leere Klausel ist nicht dabei. ⇒
erfüllbar.
• ist dabei. ⇒ nicht erfüllbar.
Der Algorithmus terminiert sobald keine neuen Untermengen mehr gefunden werden.
Vereinfachte Version:
{A} ∪ C
{¬A} ∪ D
C ∪D
hier ist implizit, dass bereits weiter oben aufgeführete Mengen mit erhalten bleiben.
Beispiel
{¬C, B, ¬A} {C, B, ¬A}
{B, ¬A}
{¬B, ¬A}
{D, B, ¬C} {D, C}
{¬A}
{¬B, A}
{D, B}
{¬D, B}
{¬B}
{B}
Lemma Sei D1 ∪ {A}, D2 ∪ {¬A} ∈ ϕ, Dann gilt: ϕ ist erfüllbar ⇔ ϕ ∪ {D1 ∪ D2 }
erfüllbar ist.
Beweis ⇐“ trivial
”
⇒“ Sei κ |= ϕ. Es gibt zwei Fälle:
”
(a) κ(A) = > ⇒ κ |= D2 ⇒ κ |= D1 ∪ D2
(b) κ(A) = ⊥ ⇒ κ |= D1 ⇒ κ |= D1 ∪ D2
19
Theorem (Korrektheit der Resolution) Wenn das Resolutionsverfahren die Antwort
Ja“ liefert, dann ist die Formel erfüllbar. Wenn es die Antwort Nein“ liefert, dann ist
”
”
die Formel nicht erfüllbar.
Wir sagen ϕ ist Resolution-Abgeschlossen (ra), wenn C ∪ D ∈ ϕ sobald C ∪ {A}, D ∪
{¬A} ∈ ϕ.
Beweis (der zweiten Aussage): Antwort ist Nein“ ⇒ ∈ ϕ ⇒ ϕ nicht erfüllbar ⇒
”
(nach Lemma) die ursprüngliche Formel ist auch nicht erfüllbar.
2014-11-20
Einschub: Dualität
2 = {⊥, >} Boolsche Algebra (∧, ¬)
¬ : |{z}
2 → |{z}
2op Iso
⊥≤>
>≤⊥
Dualität
zum Beispiel
∧:
¬(¬ϕ ∧ ¬ψ) = ϕ ∨ ψ
>:
¬> = ⊥
(ϕ ∨ ψ) ∧ ξ = (ϕ ∧ ξ) ∨ (ψ ∧ ξ)
Dual: (ϕ ∧ ψ) ∨ ξ = (ϕ ∨ ξ) ∧ (ψ ∨ ξ)
Einschub: Zur Gültigkeit CNF ϕ gültig ⇔ ∀C ∈ ϕ.∃A.A, ¬A ∈ C, also Gültigkeit
∈ L ⊆ P , dass heißt brauche nur konstant viele Pointer zu speichern.
reduzierte OBBDs: nicht erfüllbar
Weiter im Beweis
seln.
Terminierung: Über At(ϕ) gibt es nur 3| At(ϕ)| nichttriviale Klau-
Noch zu zeigen: Algorithmus sagt Ja“ ⇒ ϕ erfüllbar.
”
Zu zeigen also: ϕ ra. und 6∈ ϕ ⇒ ϕ erfüllbar. Per Induktion über | At(ϕ)| = n
I.A (n = 0): At(ϕ) = ∅, 6∈ ϕ ⇒ ϕ = ∅ = >, also ϕ erfüllbar.
I.S (< n → n): Sei A ∈ At(ϕ). Setze
ϕ/A = {C \ {¬A} | C ∈ ϕ, A 6∈ C}
ϕ angenommen A“
”
ϕ/¬A = {C \ {A} | C ∈ ϕ, ¬A 6∈ C}
20
ϕ ra
Dann ist 6∈ ϕ/A oder 6∈ ϕ/¬A, denn sonst: {¬A} ∈ ϕ 3 {A} ⇒ ∈ ϕ
Ohne Einschränkung sei 6∈ ϕ/A. Noch zu zeigen ist: ϕ/A ra.
Sei nun C ∪ {B}, D ∪ {¬B} ∈ ϕ/A. Dann existiert
C̃, D̃ mit C̃ \ {¬A} = C, D̃ \ {¬A} = D, C̃ ∪ {B}, D̃ ∪ {¬B} ∈ ϕ
ϕ ra
⇒ C̃ ∪ D̃ ∈ ϕ ⇒
C̃
∪ D̃} \{¬A}
| {z
∈ ϕ/A
63A
|
{z
}
=C̃\{¬A}∪D̃\{¬A}=C∪D
I.V
⇒ es existiert κ |= ϕ/A. Dann κ[A 7→ >] |= ϕ :
Sei D ∈ ϕ.
Fall 1 A ∈ D ⇒ κ[A 7→ >] |= D.
Fall 2 A 6∈ D ⇒ D \ {¬A} ∈ ϕ/A ⇒ κ |= D \ {¬A} ⇒ κ[A 7→ >] |= D \ {¬A} ⇒
κ[A 7→ >] |= D
N.B. Aus Beweis ϕ erfüllbar ⇔ ϕ/A erfüllbar oder ϕ/¬A erfüllbar (*).
(*) ist rekursiver Algorithmus, der Backtracking-Algorithmus.
2.3.1 Optimierungen (DPLL)
Unit Propagation L Literal: {L} ∈ ϕ ⇒ ϕ := ϕ/L
(sound per (*): ∈ ϕ/¬L)
Pure literal elimination ∀C ∈ ϕ.L 6∈ C ⇒ ϕ := ϕ/¬L
(sound: Zu zeigen: ϕ erfüllbar ⇔ ϕ/¬L erfüllbar)
⇐“ per (*)
”
⇒“ Sei κ |= ϕ, dann κ |= ϕ/¬L: Sei C ∈ ϕ/¬L, also C = C̃ \ {L} für C̃ ∈ ϕ mit
”
| {z }
=C̃ n.V
¬L 6∈ C̃. Also κ |= C̃ = C
21
Beispiel
ϕ : {A, B, ¬C}, {A, C, B}, {B, D}, {¬D, ¬A}, {¬A, B, C}, {¬D, A}, {¬A, ¬B}
ϕ/A : {B, D}, {¬D}, {B, C}, {¬B}
Unit Prop. mit ¬B: {D}, {¬D}, {C}
Unit Prop. mit D: , {C}
ϕ/¬A = {B, ¬C}, {C, B}, {B, D}, {¬D}
Unit Prop. mit ¬D: {B, ¬C}, {C, B}, {B}
Unit Prop. mit B: {} erfüllbar
2014-11-21
2.4 Tableaux
2.4.1 Flache Tableaux (Halpern/Mose 1992)
Tableaumethode: Modellbau längs der Formelstruktur.
Definition Ein flaches Tableau (für ϕ) ist eine endliche Menge T von Formeln (mit
ϕ ∈ T ), so dass
⊥ 6∈ T
ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ T ⇒ ϕ1 , ϕ2 ∈ T
¬(ϕ1 ∧ ϕ2 ) ∈ T ⇒ ¬ϕ1 ∈ T oder ¬ϕ2 ∈ T
¬¬ϕ ∈ T ⇒ ϕ ∈ T
¬A ∈ T ⇒ A 6∈ T
(
((
¬ϕ(∈
⇒(ϕ 6∈ T
(T((
(
Satz ϕ erfüllbar ⇔ es existiert ein flaches Tableau für ϕ.
Beweis ⇒“ Sei κ |= ϕ. Setze Σ = {ψ | ψ Unterformel von ϕ}∪{¬ψ | ψ Unterformel von ϕ}.
”
Dann T = {ψ ∈ Σ | κ |= ψ}. T ist flaches Tableau für ϕ:
κ |= ϕ ⇒ ϕ ∈ T
ψ1 ∧ ψ2 ∈ T ⇒ κ |= ψ1 ∧ ψ2 ⇒ κ |= ψ1 und κ |= ψ2 ⇒ ψ1 , ψ2 ∈ T
¬(ψ1 ∧ ψ2 ) ∈ T ⇒ κ |= ¬ψ1 oder κ |= ¬ψ2 ; ¬ψ1 , ¬ψ2 ∈ Σ, also ¬ψ1 ∈ T oder ¬ψ2 ∈ T
¬A ∈ T ⇒ κ |= ¬A ⇒ κ 6|= A ⇒ A 6∈ T
⇐“ (Modellexistenzlemma) Sei T flaches Tableau für ϕ. Setze κ(A) = >, genau dann
”
wenn A ∈ T . Dann gilt:
22
Wahrheitslemma
Für alle ψ ∈ T gilt κ |= ψ.
Beweis Induktion über ψ.
ψ = ⊥ : ψ 6∈ T
IV
ψ = ψ1 ∧ ψ2 : ψ1 ∧ ψ2 ∈ T ⇒ ψ1 , ψ2 ∈ T ⇒ κ |= ψ1 , κ |= ψ2 ⇒ κ |= ψ1 ∧ ψ2
ψ = ¬(ψ1 ∧ ψ2 ) : Sei ¬(ψ1 ∧ ψ2 ) ∈ T , dann ohne Einschränkung ¬ψ ∈ T
IV
⇒ κ |= ¬ψ1 ⇒ κ |= ¬(ψ1 ∧ ψ2 )
IV
ψ = ¬¬ψ0 : ¬¬ψ0 ∈ T ⇒ ψ0 ∈ T ⇒ κ |= ψ0 ⇒ κ |= ¬¬ψ0
ψ = ¬⊥ : κ |= ψ X
ψ = ¬A : ¬A ∈ T ⇒ A 6∈ T ⇒ κ 6|= A ⇒ κ |= ¬A
ψ = A : X nach Konstruktion
Beispiel (¬(¬(A ∧ ¬¬(¬A ∧ ¬B)) ∧ C)) ∧ ¬¬(¬C ∧ ¬¬(¬A ∧ ¬B)) = ϕ
T = {ϕ, ¬(¬(A ∧ ¬¬(¬A ∧ ¬B)) ∧ C), ¬¬(¬C ∧ ¬¬(¬A ∧ ¬B)),
¬C ∧ ¬¬(¬A ∧ ¬B), ¬C, ¬¬(¬A ∧ ¬B), ¬A ∧ ¬B, ¬A, ¬B}
2.4.2 (Echte) Tableaux
Bäume
Label = endliche Menge Γ, ∆, . . . von Formeln, konjunktiv gelesen
Regeln
(∧)
Γ, ϕ ∧ ψ
Γ, ϕ, ψ
Γ, ¬(ϕ ∧ ψ)
(¬∧)
Γ, ¬ϕ | Γ, ¬ψ
(¬¬)
Γ, ¬¬ϕ
Γ, ϕ
Schreibweise:
Γ, A, ¬A
(Ax)
⊥
Regelanwendung erzeugt Bäume, Knoten n haben Label l(n).
23
,=
b Vereinigung
ψ=
b {ψ}
Blätter: {⊥} = l(n) : Clash
n saturiert ⇔ keine Regel auf n anwendbar
innere Knoten =
b Regelinstanzen
(
n saturiert
n Blatt
Definition n erfolgreich ⇔
n hat erfolgreichen Nachfolger n innerer Knoten
(rekursiv!)
So ein Baum heißt Tableau für ϕ ⇔ ∃n. ϕ ∈ l(n), n erfolgreich.
Satz
ϕ erfüllbar ⇔ es existiert ein Tableau für ϕ.
Definition Label Γ erfolgreich ⇔ jede auf Γ anwendbare Regelinstanz hat eine erfolgreiche Konklusion.1 (rekursiv!)
Lemma n erfolgreich ⇔ l(n) erfolgreich.
Beweis
Γ0
Vor.
⇐“ Sei2
bei n angewendete Regelinstanz. ⇒ es existiert i mit
”
Γ1 | · · · | Γk
IV
Γi erfolgreich; ferner existiert n → ni mit l(ni ) = Γi ⇒ ni erfolgreich ⇒ n erfolgreich.
2014-11-27
Definition Ein Label Γ hat ein erfolgreiches Tableau, wenn ein erfolgreicher Knoten n
in einem Tableau existiert mit l(n) ⊆ Γ.
Theorem Äquivalent sind für Label Γ
(i) Γ erfolgreich
(ii) Γ hat ein erfolgreiches Tableau
(iii) Γ hat ein flaches Tableau T (d.h. Γ ⊆ T )
(iv) Γ erfüllbar
1
2
Anm. d. Red: Damit wäre ⊥ ein erfolgreiches Label
Anm. d. Red: Das setzt eine anwendbare Regelinstanz vorraus.
24
Beweis (iii) ⇔ (iv) siehe oben
(i) ⇒ (ii):
Fall 1 Auf Γ ist keine Regel anwendbar. ⇒ n mit l(n) = Γ ist erfolgreich.
Γ0 , ψ
(n = 0 =
b ⊥) nach
Γ, ∆1 | . . . | Γ, ∆n
Vorraussetzung, existiert ein i, so dass Γ, ∆i erfolgreich.
Fall 2 Haben wir Γ = Γ0 , ψ und die Regelinstanz
Γ
Γ, ∆1
Γ, ∆i
← neuer Knoten n
Γ, ∆n
Tableau, n erfolgreich
>
Da ∆i einfacher (Anzahl der Konnektiven) ist als ψ, hat Γ0 , ∆i nach IV ein erfolgreiches Tableau T .
(ii) ⇒ (iii): Sei l(n) ⊇ Γ, n erfolgreich.
I.A. n Blatt ⇒ keine Regel auf l(n) anwendbar ⇒ l(n) flaches Tableau.
IV
I.S. (von Kindern auf Eltern). Es existiert i mit mi erfolgreich. ⇒ l(mi ) = Γ, ∆i hat ein
flaches Tableau T .
l(n) = Γ, ψ
Γ, ∆1
l(m1 )
Γ, ∆k
=
=
...
l(m2 )
⇒ T ∪ {ψ} ist ein flaches Tableau für Γ, ψ (Formeln in T OK, da T flaches Tableau,
Formel ψ OK per Konstruktion: verlangte neue Formeln sind in T ; falls zum Beispiel
¬A ∈ T kann ψ = A nicht sein, da auf ψ Regel 6= (Ax) anwendbar)
(iii) ⇒ (i) Sei Γ ⊆ T , T flaches Tableau. Sei Γ = Γ0 , ψ und
25
Γ0 , ψ
RegelinΓ0 , ∆1 | . . . | Γ0 , ∆k
IV
stanz. T flaches Tableau ⇒ Γ0 , ∆i ⊆ T für alle i. ⇒ Γ0 , ∆i ist erfolgreich.
Tableau Beispiel
¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(B ∧ ¬C) ∧ A
(∧)∗
¬(A ∧ ¬B), ¬(B ∧ ¬C), A
(¬∧)
¬A, ¬(B ∧ ¬C), A
¬¬B, ¬(B ∧ ¬C), A
(¬¬)
⊥
B, ¬(B ∧ ¬C), A
(¬∧)
B, ¬¬C, A B, ¬B, . . .
(¬¬)
B, C, A
⊥
26
3 Beschreibungslogik
2014-12-04
• Fragment von FOL (erstmal)
• enthält Aussagenlogik (seit ca. 1990) (erstmal)
• Objektorientierte“ Sicht:
”
– Klassen
– (Attribute) / Eigenschaften
=
b
– unäre (Klassen) + binäre (Eigenschaften) Prädikate
– lokale“ Sicht
”
Syntaktisches Material“
”
• (NI Individuennamen)
• NC Klassennamen“ / atomare Konzepte
”
• NR Eigenschaften“ / Rollen(namen)
”
Syntax
Konzepte ( Class expressions“) (ALC)
”
C, D ::= ⊥ | A | ¬C | C u D | C t D | ∃R. C
Interpretationen
I besteht aus
• Bereich ∆I (domain)
• zu A ∈ NC : AI ⊆ ∆I
• Zu R ∈ NR : RI ⊆ ∆I × ∆I
27
(A ∈ NC , R ∈ NR )
Direkte Semantik C I ⊆ ∆I (schreibe I, d |= C ⇔ d ∈ C I ) rekursiv:
Extension
⊥I = ∅
(¬C)I = ∆I − C I
(C u D)I = C I ∩ DI
(∃R.C)I = {d ∈ ∆I | ∃e ∈ ∆I . (d, e) ∈ RI ∧ e ∈ C I }
Beispiel: ∃hasChild. gingerHaired
∀R.C :≡ ¬∃R.¬C
⇒ (∀R.C)I = {d ∈ ∆I | ∀e ∈ ∆I .(d, e) ∈ RI ⇒ e ∈ C I }
Beispiel: ∀hasAccount. overDrawn
3.1 Modallogik
Formeln: ϕ ::= ⊥ | p | ¬ϕ | ϕ1 ∧ ϕ2 | ♦i ϕ
♦i =
b ∃Ri ,
(p ∈ P, i ∈ I)
i = ¬♦i ¬ =
b ∀Ri
Modell: Kripke-Modelle M = (F, V ) mit F = (X, (Ri )i∈I ) (multimodaler) Kripkerahmen aus Menge X von Zuständen oder Welten
Ri ⊆ X × X
(i ∈ I)
V : P → P(X) Valuation
Semantik ist mutatis mutandis gleich.
Beispiel: ♦i gingerHaired (i =
b hasChild).
Wörterbuch
Modallogik
Formel
Kripkemodell
♦, Modalität
Relation
Erfüllbarkeit
Beschreibungslogik
Konzept
Interpretation
Restriktion
Rolle
Erfüllbarkeit oder Konsistenz
28
Indirekte“ Semantik Übersetzung STy (ϕ) (standard translation) in Logik erster Stufe
”
mit
M, w |= ϕ ⇔ M, w |= STy (ϕ)
| {z }
M = ((X, (Ri )), V ), w ∈ X
direkte Semantik
und FV(STy (ϕ)) ⊆ {y}:
STy (⊥) = ⊥
STy (p) = p(y)
STy (¬ϕ) = ¬ STy (ϕ)
STy (ϕ ∧ ψ) = STy (ϕ) ∧ STy (ψ)
STy (♦i ϕ) = ∃z.Ri (y, z) ∧ STz (ϕ)
(z frisch)
Variablen X0 , X1 reichen: STXj (♦i ϕ) = ∃X1−j .Ri (Xj , X1−j ) ∧ STX1−j (ϕ)
Das heißt: STXi (ϕ) ∈ F O2 ← entscheidbar
Mehr Syntax
I |= C v D ⇔ C I ⊆ DI
C v D Konzeptinklusion
C =D ≡C vD∧D vC
Beispiel
Grandfather = Male u (∃hasChild. Mother t ∃hasChild. Father)
Grandfather = Male u ∃hasChild. ∃hasChild. >
> = Person → (Male t Female)
> = ∀hasChild. Person
2014-12-05
3.2 Terminologien
Achtung: ∆I 6= ∅
(General) Concept Inclusion (gci) C v D
I |= C v D ⇔ C I ⊆ DI
zum Beispiel: I |= > v C ⇔ ∀d ∈ ∆I . I, d |= C
N.B.: C v D äquivalent zu > v ¬C t D
TBox (Terminologie) = Menge T von Konzeptinklusionen
29
I T -Modell ⇔ I |= T ⇔ ∀C v D ∈ T . I |= C v D
C erfüllbar über T ⇔ es existiert T -Modell I mit C I 6= ∅ (insbesondere C erfüllbar ⇔
es existiert I mit C I 6= ∅).
|= lokale Konsequenz: C |= D ⇔ ∀I, d. I, d |= C ⇒ I, d |= D
|
{z
}
C I ⊆DI , d.h I|=CvD
⇔ C v D gültig ⇔ ¬C t D gültig
|=g globale Konsequenz: T |=g C v D ⇔ ∀I. I |= T ⇒ I |= C v D
Reasoning Tasks
(i) TBox-Konsistenz: existiert ein T -Modell?
(ii) Konzepterfüllbarkeit
(iii) Subsumption: gilt T |=g C v D
Reduktionen
(i) → (ii) : T konsistent ⇔ > erfüllbar über T
(ii) → (iii) : C unerfüllbar über T ⇔ T |=g C v ⊥
(iii) → (ii) : T |=g C v D ⇔ C u ¬D unerfüllbar über T
T klassisch ⇔
(i) in C = D ∈ T ist C stets atomar.
(ii) Die linken Seiten aller C = D ∈ T sind paarweise verschieden.
Ohne Einschränkung nur = erlaubt: A v C äquivalent zu A = C u A
T azyklisch ⇒
(i) T klassisch (mit nur =)
(ii) Definiere uses per A uses B ⇔ A = C ∈ T , B kommt in C vor. Verlange uses
azyklisch.
Nicht azyklisch: PopularGuy v ∀ hasFriend.popularGuy
Wir können v in azyklischer TBox emulieren:
T ∪ {A v C} erfüllbarkeitsäquivalent (nicht äquivalent) zu T ∪ {A = C u A∗ } (A∗
frisch)
30
⇐“ I |= T ∪ {A = C u A∗ } ⇒ I |= T ∪ {A v C}
”
∗
⇒“ Sei I |= T ∪ {A v C}. Definiere I ∗ wie I, aber mit (A∗ )I = AI . Dann I ∗ |= T , da
”
∗
∗ wie oben
A∗ nicht in T vorkommt. Ferner I ∗ |= A = C u A∗ : C I ∩ (A∗ )I
= C I ∩ AI =
Beweis
I|=AvC
AI
=
∗
AI
2014-12-11
3.3 Bisimilarität
Definition Seien M1 = ((X1 , R1 ), V1 ), M2 = ((X2 , R2 ), V2 ) Kripkemodelle. Eine Relation S ⊆ X1 × X2 heißt Simulation (xSy: y simuliert x), wenn für alle (x, y) ∈ S gilt:
y
R1
R2
x0
S
∃y 0
x
• xR1 x0 ⇒ ∃y 0 . yR2 y 0 ∧ x0 Sy 0
x y (x similar zu“ y) ⇔ es existiert eine Simulation S mit xSy.
”
Beispiel
S
⇒
• x ∈ V1 (p) ⇒ y ∈ V2 (p) für alle p ∈ P
0
0
1∞
M1
11
12
2∞
3∞
22
M2
Simulation S = {(0, 0), (0, 1∞), (0, 2∞), . . .} Aber auch S2 = X2 × X1 ist eine Simulation.
Definition S ist eine Bisimulation, genau dann wenn S eine Simulation ist und S − =
{(y, x) | (x, y) ∈ S} eine Simulation ist.
x ≈ y (x bisimilar zu y) ⇔ es existiert eine Bisimulation S mit xSy.
31
Beispiel 0 6≈ 0:
M1
0
S
M2
0
0
S
11
0
11
Lemma Bisimilare Zustände erfüllen die gleichen Modalformeln (Modallogik ist bisimulationsinvariant).
Beweis Sei S eine Bisimulation. Zeige
∀x, y. xSy ⇒ (x |= ϕ ⇔ y |= ϕ)
per Induktion über Modalformeln in ϕ.
Boolsche Fälle trivial (⊥, ¬, ∧).
ϕ=p:
xSy
x |= p ⇔ x ∈ V1 (p) ⇔ y ∈ V2 (p) ⇔ y |= p
ϕ = ♦ψ : Sei x |= ♦ψ. Dann existiert x0 mit xR1 x0 , x0 |= ψ. Da S eine Simulation ist,
existiert y 0 mit yR2 y 0 , x0 Sy 0 .
IV
⇒ y 0 |= ψ, also y |= ♦ψ
Das heißt M1 , 0 6|= ♦⊥, M2 , 0 |= ♦⊥ impliziert M1 , 0 6≈ M2 , 0.
Also: xRx nicht durch Modalformel ausdrückbar, da nicht bisimulationsinvariant:
...
Es gilt im Allgemeinen nicht: x, y erfüllen die gleichen Modalformeln ⇒ x ≈ y.
1∞
o1
2∞
o2
···
11
32
o1 6≈ o2 :
o1
1i
S
S
o1
1∞
...
aber: o1 und o2 erfüllen die
gleichen Formeln.
ii
S
...
i∞
Definition Ein Modell M = ((X, R), V ) heißt endlich verzweigt, genau dann wenn
∀x ∈ X.{x0 | xRx0 } endlich ist.
Satz (Hennessy/Milner) Seien M1 = ((X1 , R1 ), V1 ), M2 = ((X2 , R2 ), V2 ) endlich verzweigt. Dann gilt: Wenn x ∈ X1 , y ∈ X2 die gleichen Modalformeln erfüllen, dann
x ≈ y.
Beweis Setze S = {(x, y) ∈ X1 × X2 | x und y erfüllen dieselben Formeln}
Zu zeigen: S Bisimulation. Sei also xSy.
Def S
• Sei x ∈ V1 (p) ⇒ x |= p ⇒ y |= p ⇒ y ∈ V2 (p)
• Sei xR1 x0 . Sei {y 0 | yR2 y 0 } = {y1 , . . . , yn } (NB: M2 endlich verzweigt). Anmerkung:
Gilt ¬(x0 Syi ) für alle i, dann existieren ϕ1 , . . . , ϕn mit ohne Einschränkung (NB:
haben ¬) x0 |= ϕi , yi |= ¬ϕi , also yi |= ¬ϕ1 ∨ . . . ∨ ¬ϕn . Dann
y |= (¬ϕ1 ∨ . . . ∨ ¬ϕn )
xSy
⇒ x |= (¬ϕ1 ∨ . . . ∨ ¬ϕn )
⇒x0 |= ¬ϕ1 ∨ . . . ∨ ¬ϕn .
Also existiert i mit (yR2 yi ), x0 Syi .
Satz (van Benthem/Rosen) Sei ϕ(X) eine Formel in FOL. ϕ(X) ist bisimulationsinvariant (dass heißt M1 , x1 ≈ M2 , x2 ⇒ M1 , x1 |= ϕ(X) ⇔ M2 , x2 |= ϕ(X)) ⇒ es
existiert ψ modal mit ϕ(X) ≡ STX (ψ) (über beliebigen oder endlichen Modellen).
2014-12-18
3.4 Tableaux für ALC
(Echte) aussagenlogische Tableaux plus Γ, ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ϕ0 ¬ (ohne Einschränkung
ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ϕ0
sei kein ψ ∈ Γ)
33
Beispiel ♦(♦p ∧ ♦¬p)
¬¬(¬¬p ∧ ¬p)
(¬)
¬¬(¬¬p ∧ ¬p)
(¬¬)
¬¬p ∧ ¬p
(∧)
¬¬p, ¬p
¬¬p
¬p (¬)
p (¬¬)
Anderes Beispiel: (q → ♦p), ♦q, ¬p
¬(q ∧ ¬p), ¬¬q, ¬p
(¬)
¬(q ∧ ¬p), ¬¬q, ¬p
(¬¬)
¬(q ∧ ¬p), q, ¬p
(¬∧)
¬q, q, ¬p ¬¬p, q, ¬p
(¬)
p, ¬p
⊥
⊥
Label Γ ist propositional saturiert genau dann, wenn Γ keine Formeln ϕ ∧ ψ enthält,
und ¬ψ nur für ψ = q. (Dass heißt Γ = ±q1 , . . . , ±qn , ±ϕ1 , . . . , ±ϕk ± ∈ {·, ¬}).
Äquivalente Formulierung: Auf Γ ist keine propositionale Regel anwendbar.
Γ heißt blatant inkonsistent genau dann, wenn q, ¬q ∈ Γ existieren.
Damit formale Definition von Tableaux:
• Bäume, Knoten gelabelt


(OR-Knoten)
• Kinder


(AND-Knoten)
per propositionaler Regel wenn Γ blatant inkonsistent
oder nicht propositional saturiert
per allen anwendbaren Instanzen von ¬ sonst
Ein Knoten n heißt erfolgreich, wenn
• n ein erfolgreiches Kind hat, wenn n ein OR-Knoten ist
• alle Kinder von n erfolgreich sind, wenn n ein AND-Knoten ist
Lemma (Korrektheit) L(n) erfüllbar ⇒ n erfolgreich.
34
Beweis Per Induktion über |L(n)|:
Fall n OR-Knoten wie bisher.
Fall n AND-Knoten Sei M = ((X, R), V ), x ∈ X, M, x |= L(n).
Seien ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ϕ0 ∈ L(n) ⇒ es existiert xRx0 mit x0 |= ϕi∈{1,...,n} und
IV
x0 |= ¬ϕ0 , also Kind n0 mit L(n0 ) = {ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ϕ0 } erfüllbar ⇒ n0 erfolgreich.
2014-12-19
3.5 Vollständigkeit des Tableaux-Algorithmus
Lemma n erfolgreich ⇒ L(n) erfüllbar.
Beweis Baue Modell: Zustände sind erfolgreiche AND-Knoten
Zustand
q1 , . . . , qn , ¬p1 , . . . , ¬pk , ϕ1 , . . . ϕm , ¬ψ1 , . . . , ¬ψl
ϕ1 , . . . , ϕn , ¬ψi
Zustandsübergang =
Baumstruktur
AND
AND
AND
i.A. kein Zustand
Zustände
Formal Setze M = ((X, R), V ) mit
X ={n | n erfolgreicher AND-Knoten}
nRn0 ⇔ n0 von n aus im Tableau erreichbar auf Pfad,
der sonst keine Knoten in X enthält.
n ∈ V (p) ⇔ p ∈ L(n)
Wahrheitslemma
M, n |= L(n)
Beweis Zeige per Induktion über ϕ: ϕ ∈ L(n) ⇒ M, n |= ϕ
• p ∈ L(n) ⇒ n ∈ V (p) ⇒ n |= p
• ¬p ∈ L(n)
L(n) nicht blatant inkonsistent
⇒
p 6∈ L(n) ⇒ n 6∈ V (p) ⇒ n |= ¬p
• ¬¬p ∈ L(n) Da L(n) propositional saturiert ist, ebenso ¬(ϕ1 ∧ ϕ2 ), ϕ1 ∧ ϕ2
• (der Einfachheit halber ⊥ = p ∧ ¬p)
35
• ¬ϕ ∈ L(n). Dann existiert n → n0 im Tableaux mit ¬ϕ ∈ L(n0 ) und n0 erfolgreich.
Es existiert n0 →k n00 (k ≥ 0) im Tableaux mit n00 erfolgreicher AND-Knoten (da
n0 erfolgreich) und nRn00 . Per Induktion über k: L(n00 ) |= L(n0 ) (in propositionaler
Logik) (Da L(n00 ) aus L(n0 ) durch propositionale Regeln entsteht). Insbesondere
L(n00 ) |= ¬ϕ propositional. Nach IV M, n00 |= L(n00 ), also M, n00 |= ¬ϕ.
• ϕ ∈ L(n). Sei nRn0 , n
k 0
n
¬
n00
k−1
ϕ ∈ L(n00 ). Wie oben L(n0 ) |= L(n00 ), also L(n0 ) |= ϕ, per IV n0 |= L(n0 ), also
n0 |= ϕ.
Korrolar Erfüllbarkeit in K/ALC (ohne T-Box) ist entscheidbar.
In der Weihnachtszeit erinnern wir uns gerne an Komplexitätsklassen: A Problem (A ⊆
{0, 1}∗ ). A ∈ PSPACE ⇔ es existiert eine Turingmaschine M , die A entschedet und
O(p(n)) Bandzellen besucht für ein Polynom p (n Eingabegröße).
Zu zeigen: Tableaux-Algorithmus in PSPACE implementiertbar: Unterstelle für alle ORKnoten Auswahl einer propositionalen Regel. Für AND-Knoten sind alle (¬)-Instanzen
ausgewählt“.
”
Deterministischer Algorithmus SAT(Γ) ( ist Γ erfüllbar?“) per Rekursion:
”
Γ0
SAT(Γ) ⇔ alle für Γ ausgewälten Regelninstanzen
(mit Γ0 ⊆ Γ) haben
Γ1 | . . . | Γn
SAT(Γi ) für ein i ∈ {1, . . . , n}
Rekursionsstack: Tiefe O(n), Stackframe: O(n), also Platz O(n2 )
Achtung: Tableau ist insgesamt exponentiell groß, wird aber nie als Ganzes gespeichert.
P ⊆ NP ⊆ NPSPACE = PSPACE ⊆ EXPTIME 6= P
2015-01-09
3.6 PSPACE-Härte
QBF: Quantifizierte Boolsche Formeln:
∀X.ϕ ≡ ϕ[X 7→ >] ∧ ϕ[X 7→ ⊥]
∃X.ϕ ≡ ¬∀X.¬ϕ
ϕ geschlossen (FV(ϕ) = ∅) ⇒ ϕ evaluiert zu > oder ⊥.
TQBF = {ϕ ∈ QBF geschlossen | ϕ war}
36
TQBF ∈ PSPACE: Definiert Funktion True(ϕ):
True(⊥) = ⊥
True(¬ϕ) = ¬ True(ϕ)
True(ϕ ∧ ψ) = True(ϕ) ∧ True(ψ)
True(∀X.ϕ) = True(ϕ[X 7→ >]) ∧ True(ϕ[X 7→ ⊥])
linear tiefer Stack, linear große Stack Frames, also Platz O(n2 ).
Turingmaschinen-Konfiguration in Platz s:


q Zustand der Kontrolleinheit
C = (q, p, t) mit p Kopfposition 1 ≤ p ≤ s


t Bandinhalt auf Positionen 1 . . . s
Größe: q
O(1)
p
log(s)
t
O(s)
Lemma Es existiert eine aussagenlogische Formel ϕsM zu Turingmaschine M und Platzschranke s, so dass für Konfigurationen C, C 0 in Platz s
ϕsM (C, C 0 ) ⇔ C geht in M in einem Schritt nach C 0 über
mit |ϕsM | ∈ O(s2 ):
Beweis Sei C = (q, p, t), C 0 = (q 0 , p0 , t0 )
O(log(s))
}|
{
^ z
ϕsM (C, C 0 ) =
(q = q0 ∧ p = p0 ∧ t@p = b0 ) → (
q 0 = nextstate(q0 , b0 )
O(log(s))
0
O(1)
∧ p = nextpos(q0 , b0 , p0 )
|
∧ t @p0 = nextsymb(q0 , b0 )
^
∧
t0 @p̄ = t@p̄)
|
{z
}
{z
O(s) Konjunkte
}
O(1)
0
q0 ∈Q,p0 ∈{1,...,s}
b0 ∈Σ
O(s)
p̄6=p0
O(1)
p̄∈{1,...,s}
Gesamt: O(s2 )
Satz
TQBF ist PSPACE-hart.
37
Beweis Sei M ∈ space(p(n)), p Polynom
Baue Reduktion f : {x | M (x) = 1} → TQBF
(d.h f : {0, 1}∗ → QBF, f (x) ∈ TQBF ⇔ M (x) = 1)
Prinzip:
f (x) = ϕ(Cinit,x , Cacc ) mit Cinit,x = (qinit , 1, x),
Cacc = (qacc , 1, 1 ( ja“))
”
2s
mit ϕ(C, C 0 ) ⇔ M ` C → C 0
(s = p0 (n), p0 Polynom)
Idee 1
ϕ(C, C 0 ) = ∃C0 , . . . , C2p0 (n) .C0 ∧ C 0 = C2p0 (n)
|
{z
}
∧ ∀i=0,...,2p0 (n)) −1.(ϕsM (Ci , Ci+1 ) ∨ Ci = Ci+1 )
exponentiell viele
i
Idee 2 ϕ(C, C 0 ) = ϕs (C, C 0 ) mit ϕi (C, C 0 ) = M ` C →2 C 0 rekursiv definiert:
ϕ0 (C, C 0 ) = ϕsM (C, C 0 )
ϕi+1 (C, C 0 ) = ∃C 00 . ϕi (C, C 00 ) ∧ ϕi (C 00 , C 0 )
{z
}
|
Dopplung, also exponentielle Größe
Idee 3 Abkürzen per ∀
Äquivalent ϕi+1 (C, C 0 ) =
= ∃C 00 . ∀D1 , D2 . (D1 = C ∧ D2 = C 00 ) ∨ (D1 = C 00 ∧ D2 = C 0 ) → ϕi (D1 , D2 )
⇒ O(s) Kein Blowup
Platzverbrauch: |ϕ1 | = O(s2 ), Σ|ϕi | = s · O(s), also wieder O(s2 ), Formel leicht auszurechnen. ⇒ Reduktion in ptime
Zeige: Erfüllbarkeit in K (beziehungsweise jeder Logik L mit K ⊆ L ⊆ S4) ist PSPACEhart per Reduktion von TQBF.
Recall: Pränexe Normalform: Q1 X1 . . . Qn Xn .ϕ, Qi ∈ {∀, ∃}, ϕ quantorenfrei
Fakt: Zu jeder QBF existiert eine äquivalente polymoniell große pränexe Normalform.
(Beweis wie in FOL)
Also: TQBF ist PSPACE-hart auch bei Einschränkung auf pränexe Normalform.
38
2015-01-15
Definition Ein Quantorenbaum für ϕ = Q1 X1 . . . Qn Xn .ϕ0 wie oben ist ein 2-1-Baum
uniformer Tiefe n, dessen Knoten v mit L(v) ∈ {⊥, >} beschriftet sind, so dass
(
1-verzweigend wenn Qi = ∃
• Knoten in Ebene i:
2-verzweigend wenn Qi = ∀
• Kinder von 2-verzweigenden Knoten haben verschiedene Label
• für Pfad v0 . . . vn gilt [X1 7→ L(V1 ), . . . , Xn 7→ L(Vn )] |= ϕ0
Beispiel: ∀X.∃Y (X ↔ ¬Y )
q0
·
⊥
>
∀X
∃Y
X→⊥
>
Y →>
X → > q1
⊥
Y → ⊥ q2
⊥ ↔ ¬>
> ↔ ¬⊥
Lemma ϕ geschlossene QBF: ϕ wahr ⇔ es existiert ein Quantorenbaum für ϕ.
Beweis ϕ = Q1 X1 . . . Qn Xn .ϕ0
⇒“ Fall 1: Q1 = ∀. Dann sind
”
ϕ> = Q2 X2 . . . Qn Xn .ϕ0 [X1 7→ >],
ϕ⊥ = Q2 X2 . . . Qn Xn .ϕ0 [X1 7→ ⊥]
·
IV
wahr. ⇒ es existieren Quantorenbäume T⊥ , T> für ϕ⊥ , ϕ> .
renbaum für ϕ. Fall 2 ist ähnlich.
⊥
T⊥ T⊥
⇐“ Sei T ein Quantorenbaum für ϕ.
”
·
Fall 1: Q1 = ∃, dann
>
b . Per Induktion ist ϕb wahr, also ϕ wahr.
Tb
39
ist Quanto-
Idee für die Reduktion Kontrolliere Baumstruktur durch propositionale Atome q0 , . . . , qn
für die Ebenen des Baumes. Konstruiere zu ϕ = Q1 X1 . . . Qn Xn .ϕ0 modales f (ϕ) mit:
ϕ hat Quantorenbaum ⇔ f (ϕ) erfüllbar
(3.1)
f (ϕ) Konjunktion von
(i) q0 : sind an der Wurzel
^
(ii) ≤n (qi →
¬qj ) i = 0, . . . , n; j = 0, . . . , n
j6=i
(iii) i (qi → ♦qi+1 )
i = 0, . . . , n − 1, Qi+1 = ∃
(iv) i (qi → (♦(qi+1 ∧ Xi+1 ) ∧ ♦(qi+1 ∧ ¬Xi+1 ))),
i = 0, . . . , n − 1, (Qi+1 = ∀)
(v) ≤n−1 (qi → ((Xj → Xj ) ∧ (¬Xj → ¬Xj )))
q ≤ j ≤ i, i = 1, . . . , n
(vi) n (qn → ϕ0 )
Polynomiell groß, leicht zu berechnen.
Zeige (3.1), genauer: ⇒“ f (ϕ) erfüllbar in S4:
”
Konstruiere ((X, R), V ), X = Knoten im Quantorenbaum T ; R = Abstammung in T :
vRw ⇔ es existiert ein Pfad v · · · w;
V (qi ) = Knoten der i-ten Ebene
V (Xi ) = {w | es
{z v in Ebene }i mit L(v) = >, vRw}
| existiert ein
v∈V (qi )
v0 Wurzel von T , dann (X, R) S4, ((X, R), V ), v0 |= f (ϕ)
⇐“ Sei M = ((X, R), V ) K-Modell mit M, x0 |= f (ϕ). Konstruiere Quantorenbaum T
”
induktiv als Teilmenge von X mit Nachfolgerrelation ⊆ R top-down.
I.A. Ebene 0: x0
I.S. Seien Ebenen 0, . . . , i−1 konstruiert. Sei v Knoten in Ebene i−1, also M, v |= qi−1
• Fall 1: Qi = ∃: Nach (iii) gilt M, v |= qi → ♦qi , also existiert ein v 0 mit vRv 0 , v 0 |= qi :
Mache v zu Kind von v, L(v 0 ) = > ⇔ v 0 ∈ V (Xi ).
• Fall 2: ähnlich
Sei nun v0 , . . . , vn Pfad in so konstruierten T .
Behauptung
Für j ≥ i: vj ∈ V (Xi ) ⇔ L(vi ) = >
Beweis Induktion über j − i: IA nach Konstruktion, IS per (v). Also vn ∈ V (Xi ) ⇔
l(vi ) = >. Nach (vi) M, vn |= ϕ0 , also [X1 7→ l(v1 ), . . . , Xn 7→ l(vn )] |= ϕ0 .
40
Satz
Erfüllbarkeit in L PSPACE-hart für K ⊆ L ⊆ S4.
2015-01-16
3.7 EL
ϕ ::= > | p | ϕ ∧ ψ | ♦ϕ
Reasoning-Problem: Subsumption (T ) |= ϕ v ψ ?
positive Formeln:
ϕ ::= |{z}
... | ⊥ | ϕ ∨ ψ
wie EL
Lemma Positive Formeln sind monoton, dass heißt, ((X, R), V ), x |= ϕ, V (p) ⊆ V 0 (p)
für alle p ⇒ ((X, R), V 0 ), x |= ϕ.
Lemma (Simulationsstabilität) positive Formeln ϕ sind stabil unter Simulation S, dass
heißt wenn xSy und x |= ϕ, dann y |= ϕ.
Beweis Induktion über ϕ.
x |= p ⇒ y |= p, da S Simulation
⊥,> trivial
IV
x |= ϕ ∧ ψ ⇒ x |= ϕ und x |= ψ ⇒ y |= ϕ und y |= ψ ⇒ y |= ϕ ∧ ψ
x |= ϕ ∨ ψ analog
x |= ♦ϕ ⇒ ∃x0 mit x → x0 , x0 |= ϕ
x
y
S
∃
x0
S
IV
⇒ y 0 |= ϕ ⇒ y |= ♦ϕ
y0
Definition Ein punktiertes Modell M, x heißt Materialisator von ϕ, wenn
∀N, y. N, y |= ϕ ⇔ es existiert eine Simulation S mit xSy
Fakten
Wenn M, x Materialisator von ϕ
(i) M, x |= ϕ (Wähle N, y = M, x, S = {(x0 , x0 ) | x0 ∈ . . .})
(ii) ϕ v ψ für ψ positiv ⇔ M, x |= ψ.
Denn: Wenn N, y |= ϕ, dann existiert eine Simulation S mit xSy, also per Simulationsstabilität1 N, y |= ψ, dass heißt ϕ v ψ (Umkehrung trivial).
1
Anm. d. Red: Und M, x |= ψ
41
(ii) liefert Algorithmus in PTIME (in der Größe von M ).
Satz
Jede EL-Formel hat einen Materialisator.
Beweis Definiere zu ϕ Materialisator Mϕ,xϕ rekursiv. ϕ hat“ Form ϕ ≡ p1 ∧ . . . ∧ pn ∧
”
♦ψ1 ∧ . . . ∧ ♦ψk , k, n ≥ 0
xϕ ·
Konstruiere Mϕ,xϕ , als
xψ1
p1 , . . . , pn
xψk
···
Mψ1
Mψk
Per Simulationsstabilität reicht:
(i) Mϕ,xϕ |= ϕ
(ii) ∀N, y. (N, y |= ϕ ⇒ es existiert eine Simulation S mit xSy)
(i) klar
(ii): Setze S = {(xχ , y) | y |= χ}. Behauptung: S ist Simulation.
Beweis: Sei (xχ , y) ∈ S.
y|=χ
(i) Sei xχ |= p. Dann ist p ein Konjunkt von χ ⇒ y |= p
xχ S y
, dann ist ♦ρ Konjunkt von χ, also y |= ♦ρ, also existiert y 0 mit
(ii) Sei
xρ S
y → y 0 und y 0 |= ρ, also xρ Sy 0 .
y0
2015-01-23
3.8 TBoxen in EL
Klassische TBoxen: A1 = C1
A2 = C 2 . . .
Ai paarweise verschieden, dürfen aber beliebig in den Ci vorkommen.
Semantiken:
deskriptiv“ AIi = CiI (wie bisher)
”
gfp greatest fixpoint (oder lfp)
Beispiele:
42
Engendered = ∃ engenderedBy.Engendered
gfp: · → · → · → · · ·
lfp: ⊥
Lion = ∃hasParent.Lion
Tiger = ∃hasParent.Tiger
gfp: Lion = Tiger
3.9 Fixpunkte
= Lösung von F (x) = x, nicht immer eindeutig (siehe oben).
wähle Lösung anhand Ordnung.
Recall
• (X, ≤) Ordnung ⇔ ≤ ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
• (X, ≤) ist ein vollständiger Verband ⇔ jedes A ⊆ X hat Supremum.
Recall
• x obere Schranke von A (x ≥ A) ⇔ ∀y ∈ A. x ≥ y.
• x Supremum von A ⇔ x kleinste obere Schranke von A
Fakt
Dann hat auch jedes A ⊆ X ein Infimum:
Beispiel
(P(Y ), ⊆) ist vollständiger Verband:
T
A.
W
{x | x ≤ A} =
W
S
A =
V
A
A (für A ⊆ P(Y )).
V
A =
X, Y vollständige Verbände ⇒ X × Y mit (x, y) ≤ (x0 , y 0 ) ⇔ x ≤ x0 ∧ y ≤ y 0 ist
vollständiger Verband.
Äquivalente Formulierung der Vollständigkeit: (X, ⊆) ist ein
W vollständiger Verband, genau dann wenn jede Familie (xi )i∈I ∈ X I ein Supremum
xi hat
i∈I
W
W
⇒“:
xi = {xi | i ∈ I}
”
i∈I
W
W
⇐“: A =
a
”
a∈A
W
W
W
W
W
Damit Vollständigkeit von (X×Y ): (xi , yi ) = ( xi ,
yi ). Damit A =
(x, y) =
i∈I
i∈I
x∈I
(x,y)∈A
W
W
W
W
(
x,
y) = ( {x | ∃y.(x, y) ∈ A}, {. . .})
(x,y)∈A
(x,y)∈A
2015-01-29
43
Satz (Knaster/Tarski) Sei (X, ≤) ein vollständiger Verband und f : X → X monoton
(dass
heißt, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)). Dann hat f einen kleinsten (Prä-)Fixpunkt2 µf =
V
{x | f (x) ≤ x}
W
Dual: f hat größten (Post-)Fixpunkt3 νf = {x | x ≤ f (x)}
Beweis Zu zeigen:
(i) µf ist Prä-Fixpunkt: f (µf ) ≤ µf , dass heißt f (µf ) ≤ x für einen Prä-Fixpunkt x:
µf ≤ x
f monoton
⇒
f (µf ) ≤ f (x) ≤ x
(ii) µf ist Fixpunkt, dass heißt µf ≤ f (µf )
Dazu reicht: f (µf ) ist Prä-Fixpunkt. Haben laut (i) f (µf ) ≤ µf
f (µf ).
f monoton
⇒
f (f (µf )) ≤
Falls X endlich: Definiere für monotones f :
^
∅ = ⊥ ≤ f (⊥) ≤ f 2 (⊥) . . . ≤ f n=|x| (⊥) = f n+1 (⊥) = . . .
Behauptung (Satz von Kleene)
µf =
f i (⊥) = f n (⊥), wenn f n+1 (⊥) = f n (⊥).
W
Reicht: µf ist kleinster Fixpunkt. Klar: µf ist Fixpunkt.
Sei f (x) = x, zu zeigen ist µf ≤ x. Dazu reicht“: f i (⊥) ≤ x für alle i. Per Induktion
”
über i:
f 0 (⊥) = ⊥
f i+1 (⊥)
f monoton, IV
≤
f (x) = x
Terminiert für X = P(Y ), ≤ =
ˆ ⊆ in |Y | Schritten.
3.9.1 EL und klassische TBoxen in gfp-Semantik
x 1 = ϕ1
..
.
(Jx1 K, . . . , Jxn K) := νF
dabei Jxi KV = V(xi )
x n = ϕn
2
3
x Prä-Fixpunkt ⇔ f (x) ≤ x
x Post-Fixpunkt ⇔ x ≤ f (x)
44
F : P(X)n → P(X)n
(A1 , . . . , An ) 7→ (Jϕ1 KV , . . . , Jϕn KV )
mit V(xi ) = Ai
x1 = p1 ∧ ♦x2
Beispiel
x2 = p2 ∧ ♦x1
x1
p1
s1
p1
s1 |= x1
s2
p2
x2
p2
x1
p1
s2 |= x2
x2
...
p2
Lemma (Simulationsstabilität mit gfp) Sei T klassische EL-TBox mit gfp-Semantik.
T = {xi = ϕi | i = 1, . . . , n}, M, w |= xi , S Simulation zwischen M und N und es gelte
wSv. Dann v |= xi .
Beweis S[A] = {v | ∃w ∈ A, wSv} für A ⊆ X
S[V](xi ) = S[V(xi )], Behauptung: S [JϕKV ] ⊆ JϕKS[V]
Induktion über ϕ: u trivial, ♦, p wie bisher.
ϕ = xi : w ∈ V(xi ), wSv ⇒ v ∈ S[V](xi ) = S[V(xi )] ⇒ v ∈ Jxi KS[V]
Zu zeigen jetzt: S [Jxi KM ] ⊆ Jxi KN
Koinduktion:4 Reicht: (S[Jxi KM ])i=1,...,n ist Post-Fixpunkt von F mit F (A1 , . . . , An ) =
(Jϕi K[x1 7→A1 ,...,xn 7→An ] )i=1,...,n , dass heißt S[Jxi K ]M ⊆ Jϕi K[xi 7→S[Jxi KM ]]i=1,...,n . Gezeigt, siehe
|{z}
=Jϕi K[xi 7→Jxi KM ]
Behauptung.
Normalisierung In xi = ϕi hat ϕi ohne Einschränkung folgende Form: ϕi = p1 ∧ . . . ∧
pk ∧ ♦xi1 ∧ . . . ∧ ♦xim
Zum Beispiel
x1 = x2 ∧ ♦ϕ1
x2 = x1 ∧ ♦ϕ2
ersetze x2 durch x1 , x1 = x1 ∧ ♦ϕ2 ∧ ♦ϕ1 ,
also x1 = x2
gfp
dass heißt x1 v ♦ϕ1 ∧ ♦ϕ2 ⇔ x = ♦ϕ1 ∧ ♦ϕ2
Materialisator
MT :
XT = {x1 , . . . , xn }
VT (p) = {xi | p ∈“ ϕi }
”
xi RT xj ⇔ ♦xj ∈“ ϕi
”
Lemma MT , xi |= xi
4
Koinduktion: x Post-Fixpunkt von f ⇒ x ≤ νf
45
Beweis Koinduktion: Reicht ({x1 }, . . . , {xn }) ist Post-Fixpunkt, dass heißt xi ∈ Jϕi K[xi 7→{xi }]i=1,...,n ,
gilt nach Konstruktion.
Lemma N, y |= xi ⇒ Es existiert eine Simulation S mit xi Sy.
xi S y
Beweis S := {(xi , y) | N, y |= xi } ist Simulation. Sei
xj
y0
xi RS xj ⇒ ♦xj ∈ ϕi ⇒ y |= ♦xj ⇒ es existiert ein y 0 mit y → y 0 und y 0 |= xj , also
xj Sy 0 .
PTIME (O(n2 ))
z
}|
{
T |= xi v xj ⇔ MT , xi |= xj , denn:
⇒“ klar, ⇐“ per letztem Lemma und Simulationsstabilität.
”
”
46