Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
Prof. Christian Leibold, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
6. Übung/Lösung—
BIOLOGIE
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
—
11.11.2014
Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 20. November - 24. November besprochen.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Extremwerte) Bestimmen Sie die Extremwerte der untenstehenden Funktionen.
f (x) = x (1 − x)
(a)
x2 + 2 x
x2 − 4
f (x) = ln(x + x−1 )
1 x
f (x) = cosh(x) =
e + e−x
2
(b)
f (x) =
(c)
(d)
Lösung:
f (x) = x(1 − x) ; f 0 (x) = 1 − 2x ; f 00 (x) = −2
f (xE ) = 0 ⇒ xE = 1/2 ⇒ f 00 (xE ) < 0 ⇒ lokales Maximum; da limx→±∞ f (x) = −∞ ist (1/2, 1/4) auch
globales Maximum
x2 + 2 x
x(x + 2)
x
2
4
(b) Trick: f (x) = 2
=
=
; f 0 (x) = −
; f 00 (x) =
x −4
(x + 2)(x − 2)
x−2
(x − 2)2
(x − 2)3
f 0 (xE ) 6= 0 ∀x ∈ R ⇒ keine lokalen Maxima/Minima
−x4 + 4x2 + 1
x2 − 1
; f 00 (x) =
(c)
f (x) = ln(x + x−1 ); f 0 (x) =
2
x(x + 1)
x2 (x2 + 1)2
(a)
0
f 0 (xE ) = 0 ⇒ xE = ±1 wobei -1 nicht im Definitionsbereich liegt ⇒ f 00 (xE = 1) > 0 ⇒ lokales Minimum; da limx→∞ f (x) = ∞ und limx→0+ f (x) = ∞, ist (1, ln 2) auch globales Minimum
1 x
1 x
1 x
(d)
f (x) = cosh(x) =
e + e−x ; f 0 (x) = sinh(x) =
e − e−x ; f 00 (x) = cosh(x) =
e + e−x
2
2
2
f 0 (xE ) = 0 und f 00 (xE ) = 1 für xE = 0 ⇒ ein globales Minimum bei xE = 0.
2. (Taylor-Entwicklung)
Entwickeln Sie folgende Funktionen bis zur 2. und 3. Ordnung am angegebenen Punkt x0 . Skizzieren
Sie für Beispiel (a) die Funktion f (x) und beide Taylorreihen.
(a)
(c)
Lösung:
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 0
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 0
(b)
(d)
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 1
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 1
(a) und
(b)
f (x) = 2 x (x + 1)2 = 2x(x2 + 2x + 1) = 2x3 + 4x2 + 2x
f 0 (x) = 6x2 + 8x + 2, f 00 (x) = 12x + 8, f 000 (x) = 12
Allgemeine Taylorreihe für (a) und (b):
2. Ordnung: y(x) = 2(x0 + 2x20 + x30 ) + (2 + 8x0 + 6x20 )(x − x0 ) + (4 + 6x0 )(x − x0 )2
x0 = 0 ⇒ y(x) = 2x + 4x2
x0 = 1 ⇒ y(x) = 2(1 + 2 + 1) + (2 + 8 + 6)(x − 1) + (4 + 6)(x − 1)2 = 8 + 16(x − 1) + 10(x − 1)2 = 10x2 − 4x + 2
3. Ordnung: y(x) = 2(x0 + 2x20 + x30 ) + (2 + 8x0 + 6x20 )(x − x0 ) + (4 + 6x0 )(x − x0 )2 + 2(x − x0 )3
x0 = 0 ⇒ y(x) = 2x + 4x2 + 2x3 = f (x)
x0 = 1 ⇒ y(x) = 8 + 16(x − 1) + 10(x − 1)2 + 2(x − 1)3 = 2x + 4x2 + 2x3 = f (x)
6
orginal
2
3
5
4
3
2
1
0
1
1.0
(c)
f (x) =
0.0
0.5
p
0
0.5
x2 + a2 , a ∈ R, x0 = 0
1
3
5
f (x) = x(a + x2 )− 2 , f 00 (x) = (a2 )(a2 + x2 )− 2 , f 000 (x) = −(3a2 x)(a2 + x2 )− 2
x2
Taylorreihe 3. Ordnung: für x0 = 0: y(x) = a +
2a
√
a2
1
a2
3
2
√
(d) y(x) = 1 + a + 1+a2 · (x − 1) + 2(1+a2 )3/2 · (x − 1)2 − 2(1+a
2 )5/2 · (x − 1)
2
3. (de l’Hospital) Berechnen Sie die Grenzwerte:
1 − ex
lim
x→0
x
(a)
(d)
(b)
lim xn e−x , n ∈ N
(e)
ln(1 − x) + x2
x→1 ln(1 − x2 ) + ex
(h)
x→∞
(g)
ln x
lim
x→1 1 − x
lim
(Hinweis: Umwandlung in
0
0
oder
∞
∞
(c)
lim x(ln x)n , n ∈ N
x
1
lim
−
x→1 x − 1
ln x
x→0
(f)
(i)
p
lim
x(x + a) − x
x→∞
lim
x→1
ln(2 − x)
1−x
1
lim x x
x→∞
Formen.)
Lösung:
(a)
−ex
1
limx→1 1/x
−1
Typ: 00 , Lösung: −1, limx→0
0
0,
Lösung: −1,
(b)
Typ:
(c)
Typ: ∞−∞, Lösung: a2 , f −g →
= −1.
= −1.
g −1 −f −1
(gf )−1 ,
limx→∞
1−(1+a/x)−1/2
√
(x
1+a/x)−1
= limx→∞
−3/2
a(1+a/x)
√
2
1+a/x−
1+a/x
2x
√a
1+a/x
= a2 .
(d)
Typ: ∞ · 0, Lösung: 0, f · g →
g
f −1 ,
limx→∞ xn /ex = limx→∞ nxn−1 /ex = limx→∞ n!/ex = 0.
(e)
Typ: 0 · ∞, Lösung: 0, f · g →
f
g −1 ,
limx→0
(f)
Typ: 00 , Lösung: 1, limx→1
(g)
Typ:
(h)
Typ: ∞ − ∞, Lösung: 12 , f − g →
(i)
Typ: ∞0 , Lösung: 1, f g → exp(g ln f ), limx→∞ e x ln x = exp limx→∞ ( x1 ln x) = e0 = 1.
∞
∞,
ln(2−x)
1−x
Lösung: 1, limx→1
(ln x)n
1/x
= limx→1
−1/(2−x)
−1
ln(1−x)+x2
ln(1−x)+ln(1+x)+ex
g −1 −f −1
(gf )−1 ,
= limx→0
= limx→0
n!(1/x)
(−1)n+2 1/x2
= 0.
= 1.
= limx→1
limx→1
n!(ln x)
(−1)n+1 /x
1+x2 / ln(1−x)
1+(ln(1+x)+ex )/ ln(1−x)
x ln x−x+1
(x−1) ln x
= limx→1
= 1.
ln x
ln x+ x−1
x
= limx→1
1
x
1
1
+
x
x2
= 21 .
1
4. (de l’Hospital) Aus zwei positiven reellen Zahlen a und b kann man verschiedene Mittelwerte
bestimmen. Das Mittel der Ordnung α ist definiert als
Sα (a, b) =
aα + bα
2
1
α
.
Bekannte Sonderfälle sind S1 , das arithmetische, und S−1 , das harmonische Mittel. Welche Grenzwerte
ergeben sich für α → 0, +∞, −∞? (Hinweis: Untersuchen Sie den Logarithmus von Sα (a, b).)
Lösung: Für a = b erhält man Sα (a, a) = a. Für a 6= b untersuchen wir den Logarithmus des Ausdrucks:
1
ln Sα (a, b) = ln
α
aα + bα
2
.
und bestimmen den Grenzwert nach der Regel von de l’Hospital durch Ableitung von Zähler und Nenner:
(ln a)aα + (ln b)bα
α→0
aα + bα
lim ln Sα (a, b) = lim
α→0
Wir haben dabei die Ableitungsregel
dax
dex ln a
=
= ex ln a ln a = ax ln a
dx
dx
verwendet.
Der Grenzwert ergibt sich weiter zu
√
(ln a)aα + (ln b)bα
= (ln a + ln b)/2 = ln ab
α
α
α→0
a +b
√
und damit wird der Grenzwert das geometrische Mittel S0 (a, b) = ab.
lim
Für die Fälle α → +∞ und α → −∞ ändern sich nur die letzten Zeilen. Fall α → ∞: Falls a > b, so schreibt man
(ln a)aα + (ln b)bα
(ln a)1α + (ln b)(b/a)α
=
lim
= ln a.
α→+∞
α→+∞
aα + bα
1α + (b/a)α
lim
und damit wird S∞ = a. Falls b > a, vertauschen a und b die Rolle. Daher gilt S∞ (a, b) = max(a, b).
Fall α → −∞: Hier argumentiert man analog, nur vertauschen die Ungleichungen und man erhält S−∞ (a, b) =
min(a, b).
5. (Integration) Berechnen Sie folgende elementare Integrale:
Z
3
Z
2
−p dp
(a)
−3
2
Z
(d)
−1
0
Z
r−1 dr
0
(g)
(e)
(b)
(c)
(d)
e−2x dx
(h)
1
−7e−x dx
Z
x2 + 1
dx
2x
3
3y ln(3)dy
(f)
0
(y 3 − 2y) dy
Z
2
(i)
−2
3
−p2 dp =
(3x2 + 1) dx
0
1
r=1
0
−7e
(e)
−x
−x
dx = 7e
−1
Z
3
(f)
0
Z
x=−1
y=0
e−2x
−1
Z
x=0
= 7 − 7e
y=3
y
y = 26
3 ln(3)dy = (3 )
0
(g)
(i)
2
(c)
p=3
1
− p3 = −18
3
−3
p=−3
3
z=1
Z 1
Z 1
z
2
26
z 2 + 4z + 4dz =
(z + 2)2 dz =
= +8=
+ 2z 2 + 4z 3
3
3
−1
−1
z=−1
x=2
Z 2 2
3 1
x +1
1 2 1
= + ln 2
dx =
x + ln |x| 2x
4
2
4 2
1
x=1
r=2
Z 2
= ln 2
r−1 dr = (ln |x|)
Z
(h)
Z
−1
2
Z
−1
Lösung:
Z
(a)
2
(z + 2) dz
(b)
1
Z
1
0
1 −2x
e2 −1
dx = − e
= ... =
2
2
−1
2
2
1 4 2
y −2 − y 2 −2 = 0
4
−2
Z 2
x=2
2
3
(3x + 1) dx = x + x = 10
(y 3 − 2y) dy =
0
x=0
6. (Extremwertproblem)
Das Produkt zweier positiver Zahlen sei 42. Bestimmen Sie die Zahlen so, daß ihre Summe minimal
wird und geben Sie diese Summe an!
Lösung: Lösen wir das allgemeine Problem, d.h. mit Zahlen x > 0 und y > 0, so daß x · y = n und n > 0. D.h.
y = n/x.
Die Summe von x und y ist
s(x, y) =x + y = x + n/x = s̃(x)
s̃0 (x) =1 − n/x2
s̃00 (x) = + 2n/x3
Ein Minimum ist erreicht, wenn s̃0 (x) = 0 und s̃00 (x) > 0
s̃0 (x) = 0 ⇒ 1 − n/x2 = 0 ⇔ n = x2
Hieraus ergibt sich
√
x=± n
√
Wir beschränken uns auf die positive Lösung, also ist x = n Wir müssen nur noch
√
3
1
s̃00 ( n) = +2n/n 2 = 2n− 2 > 0
√
√
berechnen. Dies zeigt, dass s(x, y) bei x = n ein Minimum mit Wert 2 n hat. Wenn die Funktion konvex (bzw.
konkav) auf dem Definitionsbereich ist, ist das Minimum auch das globale Minimum. Wir haben
s̃00 (x) = +2n/x3 > 0
für ∀x > 0 und n > 0
Also ist das Minimum das globale Minimum.
Oder wir schauen
√ uns den Grenzwert von s̃(x) an der Grenze des Definitionsbereichs an und zeigen, dass dieser nicht
kleiner ist als 2 n. Setzen wir x = ε 1, dann ist
s̃(ε) = ε + n/ε
An der Grenze des Definitionsbereichs (ε → 0, da x = ε und y positiv sein müssen) haben wir
lim s̃(ε) = lim n/ε = +∞
ε→0
ε→0
√
Dies ist grösser als 2 n.
√
Nun können wir
√ den numerischen Wert einsetzen. Mit n = 42 ist die minimale Summe 2 42 und die Summanden
sind x = y = 42.