Zusatzübungen und Wiederholung

HM I Schneider
Zusatzübungen
Zusatzübungen und Wiederholung
Aufgabe 1
a)
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
1 n
n 2 .
Pn
k=1
k2 =
1
6
n(n + 1)(2n + 1) und
Pn
k
k=1 2k
=2−
1 n−1
2
−
b) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt: (1 + x)n ≥ 1 + nx für alle x ∈ [−1, ∞) (bernoullische
Ungleichung).
Aufgabe 2
a) Was ist nk=0 z k (für eine beliebige komplexe Zahl z ∈ C und n ∈ N)? Wie kann man die Dierenz
n
u − v n durch u − v ausdrücken (wobei wieder u, v beliebige komplexe Zahlen sind und n ∈ N)?
P
b) Was ist (a + b)n ?
Aufgabe 3
a) Warum sind monotone beschränkte reelle Zahlenfolgen konvergent in R?
konvergiert für jedes r ∈ R. Zeigen Sie auÿerdem für r ∈ Q,
b) Zeigen Sie,
dass die Folge 1 + nr
r n
dass lim 1 + n = er . (Das gilt auch für nichtrationale r ∈ R.)
n c) Sei x1 = 1 und xn+1 =
den Grenzwert.
1
1+xn
für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass (xn ) konvergiert und bestimmen Sie
d) Sei a ∈ (0, ∞) und sei x1 ∈ [a, ∞) und xn+1 =
√
konvergiert, und zwar gegen a.
1
2
xn +
a
xn
für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass (xn )
Aufgabe 4
a) Zeigen Sie, dass e = exp(1), wobei exp(x) :=
dass er = exp(r) für r ∈ Q.
b) Zeigen Sie, dass 0 < e −
e irrational ist.
P∞
1
k=0 k!
<
1
n n!
xk
k=0 k!
P∞
und e := lim 1+ n1 . Zeigen Sie auÿerdem,
n
für alle n ∈ N. Zeigen Sie damit, dass die eulersche Zahl
Aufgabe 5
a) Warum ist jede konvergente Folge beschränkt? Wie steht's mit der Umkehrung? Was sagt der
Satz von Bolzano und Weierstraÿ?
b) Was sind die Häufungspunkte der Folgen ((−i)n ), (tanh(n)+cos(nπ)), (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . )
und (rn ), wobei (rn ) eine Abzählung von Q sei?
1
HM I Schneider
Zusatzübungen
c) Wie sind lim inf an und lim sup an für eine Folge reeller Zahlen deniert?
Aufgabe 6
a) Warum ist jede Cauchyfolge beschränkt? Warum kann eine Reihe
ren, wenn (ak ) eine Nullfolge ist?
P∞
k=1
ak nur dann konvergie-
b) Warum ist jede Cauchyfolge reeller oder komplexer Zahlen konvergent (das heiÿt: R und C
vollständig)?
Aufgabe 7
Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen (an ) auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den
Grenzwert an.
√
√
√
√ 3
b) an = n n6 + 7n2 − n6 − 5
a) an = n + 1 − n
c) an = n 1 −
q
4
1−
1
nα
d) an =
, α ∈ (0, ∞)
p
p
√
√
3
n + 3 n − 3 n − 3 n.
Aufgabe 8
gilt
a)√Zeigen Sie: wenn (an ) eine reelle Folge ist mit 0 < lim inf n→∞ an ≤ lim supn→∞ an < ∞, dann
n a
n −→ 1.
√
√
b) Was ist lim n a für a ∈ (0, ∞)? Was ist lim n n?
Aufgabe 9
Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen (an ) auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den
Grenzwert an.
√
√
b) an = n n7 + 7n + an , a ∈ (0, ∞)
a) an = n n3 + 2n + 1
c) an =
p
n
d) an =
cosh(n)
p
n
sinh(n)
e) an = xn1 + xn2 + · · · + xnk , xi ∈ (0, ∞).
Was ist demnach limp→∞ kxkp für x ∈ Rd ?
p
n
Aufgabe 10
n
konvergiere gegen eine Zahl q ∈
a) Sei (an ) eine Folge in (0, ∞) und die Quotientenfolge aan+1
√
n
(0, ∞). Zeigen Sie, dass dann auch ( an ) konvergiert, und zwar ebenfalls gegen q .
√
b) Was ist lim n1 n n! und was ist lim
p
n
log(n)?
Aufgabe 11
a) Sei (rn ) eine Folge reeller Zahlen, sodass rn −→ r für ein r ∈ R. Zeigen Sie, dass 1 +
er := exp(r) (n → ∞).
2
rn n
n
−→
HM I Schneider
Zusatzübungen
Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
n
n2 +2n
b) an = 1 + n12
c) an = 1 + n1
d) an = 1 + √1n
e) an =
n
f) an = 1 + sin( n1 )
n2 +2n n
n2 −1
g) an = 1 + (−1)
n
n
n
n
.
Aufgabe 12
an.
Zeigen Sie, dass die Reihen
P∞
k=1
(−1)k +3
2k
und
P∞
1
k=1 4k2 −1
konvergieren und geben Sie ihren Wert
Aufgabe 13
Für welche komplexen Zahlen z ∈ C sind die folgenden Reihen (absolut) konvergent?
P
P
P
zk
zk
k
a) ∞
b) ∞
c) ∞
k=1 z
k=1 k
k=1 k2 .
Aufgabe 14
a) Was besagen Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium, Abelkriterium (verallgemeinertes Leibnizkriterium) und Cauchykriterium (cauchyscher Verdichtungssatz)?
Worauf beruhen Wurzel- und Quotientenkriterium?
b) Warum kann man
pkeine allgemeine Aussage über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe
machen, wenn lim sup k |ak | = 1? Warum ist die Monotonie im Leibnizkriterium wesentlich?
P∞
k=1
ak
Aufgabe 15
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz. (In o) wird nur die
Untersuchung auf Konvergenz verlangt.)
√
√
√ √
P
P
P
k+1−
k
k!
k
√
b) ∞
k+1− k
c) ∞
a) ∞
k=1 (−1)
k=1 kk
k=1
k
d)
g)
j)
√
( k+1 )k−1
(−k)k
k
P∞
k
k=1 k+1
√
P∞
3
k k6 +k
k=1 (−1)
k2
P∞ − √
3
k
k=1 2
P∞
k=1
m)
p)
P∞
k=1
log 1 +
1
k
e)
P∞
f)
P∞
h)
P∞
i)
P∞
k)
P∞
l)
P∞
n)
k4
k=1 2k
k=1 (−1)
k
log(1 +
1
√
k
k!
P∞
1
k=2 kα log k ,
1
k3 +k )
k=1
o)
α∈R
k
4k+cos k)k
k k+1 k
k=1 (−1)
2k
k=1 (
√
5
1√
k=1 kα k k! ,
P∞ sin k
k=1 k
α∈R
.
Aufgabe 16
Für welche a ∈ R konvergieren die Reihen
a2k
k=1 (1+a2 )k
P∞
3
und
1−a2k
k=1 1+a2k
P∞
(absolut)?
HM I Schneider
Zusatzübungen
Aufgabe 17
a) Warum gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y)? Warum ist exp monoton wachsend (auch auf (−∞, 0])?
∞
k x
k x
b) Worauf beruht cos2 x+sin2 x = 1 und weshalb gilt cos x = ∞
k=0 (−1) (2k)! sowie
k=0 (−1) (2k+1)!
(wenn man cos x als Re eix deniert und sin x als Im eix )? Wie sind cos(z) und sin(z) für komplexe Zahlen z ∈ C deniert?
2k
P
2k+1
P
c) Warum ist exp stetig?
d) Zeigen Sie, dass 1 + nr
n
−→ exp(r) für alle r ∈ R.
e) Was sagt der Zwischenwertsatz? Warum ist also beispielsweise der Wertebereich von exp die ganze
positive Halbachse (0, ∞)?
Aufgabe 18
a) Wie ist xα deniert für x ∈ (0, ∞) und α ∈ R (allgemeine Potenz)? Was ist also beispielsweise
die Ableitung von x 7→ xx ?
x
α
b) Was ist limx→∞ xex für α ∈ (0, ∞)? Was ist limx→∞ log
xα und was ist limx&0 x log x für α ∈
(0, ∞)?
α
Aufgabe 19
a) Was sagt der Mittelwertsatz? Was sagt der de l'hospitalsche Satz?
Welchen Wert (in der erweiterten Zahlengeraden R ∪ {±∞}) haben die folgenden limites?
c) limx→0 cosx x
d) limx→0 1−cos(ax)
b) limx→0 sinx x
1−cos x , a ∈ R
e) limx&0 xx
f) limx→∞ x1/x
g) limx&0 x1/x
h) limx→∞ 1 + xa , a ∈ R
i) limx&0 (2 − a x )x , a ∈ (0, 1)
j) limx→∞ (2 − a x )x , a ∈ (0, ∞)
k) limx→0
l) limx→0
m) limx→ π2 tan x + x−1 π
x
1
sin x
−
1
x
n) limx→∞ 1 + 2x
1
3x
1
1
sin2 x
−
1
x2
3x)
o) limx→0 log(cos
log(cos 2x)
1
2
4
arctan(x )
p) limx→0 cosh(x)−1−
x2
2
Aufgabe 20
a) Was sagt der taylorsche Satz?
b) Sei f (x) := 4x2 e−x . Was sind die Extrempunkte von f ? Wie lautet das 3-te Taylorpolynom
T3 f ( . , 2) von f um 2?
Aufgabe 21
Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe
wenn die ak wie folgt gegeben sind?
P∞
k=1
4
ak (z − z0 )k mit Entwicklungspunkt z0 ∈ C,
HM I Schneider
√
Zusatzübungen
a)
2k k
(k+1)6
b) (−1)k kk!k
c)
1
1+k2
g)
k5 +cos k
k4 +k
h) k cosh(k)
i)
log k
k .
d)
√1
k!
e)
1
kk
f) 1 + k12
c)
P∞
k
Aufgabe 22
Für welche x ∈ R konvergieren die folgenden Reihen?
P
P
(−3)k +1 k
1
k
√
a) ∞
b) ∞
x
3
k=1 k2 +k (x − 1)
k=1
k
d)
P∞
1
k=1 27k +k3 (2x
1
k k
2k
k=1 k (3 + (−1) ) (x − 7)
− 1)3k .
1

 7k für k = 3n − 2
P∞
k
Für welche x ∈ R konvergiert die Reihe k=1 ak x , wobei ak = k!1 für k = 3n − 1

 k k 2
für k = 3n
k+1
P
log k
k
welche x ∈ [−1, 1] konvergiert die Reihe ∞
(arcsin
x)
?
k=1 k
? Und für
Aufgabe 23
1
1
, f (x) = 1+x
a) Was ist die Taylorreihe von f um 0, wenn f (x) = 1+x
2 , f (x) = arctan(x),
α
f (x) = log(1 + x), f (x) = (1 + x) für ein α ∈ R, f (x) = arcsin(x) bzw. f (x) = arccos(x)?
7x
b) Was ist die Taylorreihe von f um 0, wenn f (x) = 3+6x
2 ? Was ist die Taylorreihe von g um 1,
1
wenn g(x) = 1+2x ? Was ist jeweils der Konvergenzradius der Taylorreihe? Was die 2011-te und was die
2012-te Ableitung von f bzw. g an der Stelle 0 bzw. 1?
c) Berechnen Sie für jedes x ∈ (−1, 1) den Wert der Reihe
P∞
k=0
k 2 xk .
Aufgabe 24
∞
k
Sei (ak ) eine Folge in (0, ∞), sodass ∞
k=1 ak z den Konvergenzradius 1 hat und sodass
k=1 ak
P∞
k
divergiert (Beispiele hierfür?). Sei weiter fn := k=1 ak 1 − n1 für alle n ∈ N. Zeigen Sie mithilfe der
bernoullischen Ungleichung, dass fn −→ ∞ (n → ∞).
P
P
Aufgabe 25
Welche der Funktionenfolgen (fn ) konvergieren gleichmäÿig auf (0, 1), wenn die fn wie folgt gegeben
sind?
√
1
x
c) fn (x) = 1+nx
.
a) fn (x) = n x
b) fn (x) = 1+nx
P∞ k
Zeigen Sie auÿerdem, dass k=0 z nicht gleichmäÿig auf U1 (0) = {z ∈ C : |z| < 1} konvergiert.
Aufgabe 26
a) Was bewirken die Abbildungen z 7→ −z bzw. z 7→ (1 + i)z geometrisch?
b) Was ist Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen
2+i
von 1−3i
?
5
2+i
1−3i
und
5+i
7−3i
2
+ (3+i)
2 ? Was ist der Betrag
HM I Schneider
Zusatzübungen
c) Wie viele komplexe Nullstellen hat ein Polynom m-ten Grades (m ∈ N)? Warum ist für ein Polynom mit reellen Koezienten mit z auch z eine Nullstelle?
d) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen z 5 = −7, z 4 = 2i und z 3 = 1 + i.
e) Skizzieren Sie die folgenden Untermengen von C und entscheiden Sie jeweils, ob die Menge (aufgefasst als Untermenge von R2 ) oen oder abgeschlossen oder nichts von beidem ist. Bestimmen Sie
auÿerdem jeweils den Rand der Menge.
M1 = {z ∈ C : Re z 2 = 0 und z 6= 0}
M2 = {z ∈ C : Im(z + 2i) < 3 + 2 Re z und |z +
i − 1| ≥ 1}
M3 = {z ∈ C : Im z 2 = 1}
M4 = {z ∈ C : 1 < |z + 1| <
π
2 }.
3
2
und 0 < arg(z) <
Aufgabe 27
a) Wie bestimmt man die allgemeine komplexe Lösung einer homogenen linearen Dierenzialgleichung mit konstanten Koezienten in C? Wie bestimmt man bei reellen Koezienten die allgemeine
reelle Lösung?
Was ist die allgemeine komplexe Lösung der folgenden Dierenzialgleichungen? Was die allgemeine
reelle Lösung?
b) y 00 − 5y 0 − 14y = 0
c) y 000 + 6y 00 − 5y = 0
d) y 000 − 2y 00 + 2y 0 = 0
e) y (6) + 9y 00 = 0.
Aufgabe 28
a) Wie bestimmt man eine partikuläre Lösung einer inhomomogenen linearen Dierenzialgleichung
mit konstanten Koezienten in C, wenn die Inhomogenität von der Form q(t)eµt ist mit einem µ ∈ C
und einem Polynom q (oder von der Form q1 (t)eµ1 t +· · ·+qm (t)eµm t )? Wie bekommt man die allgemeine
Lösung?
Was ist die allgemeine komplexe Lösung der folgenden Dierenzialgleichungen? Was die allgemeine
reelle Lösung?
b) y 00 − 5y 0 − 14y = e−2t
c) y (6) + 9y 00 = et
d) y 00 − 2y 0 − 3y = t + 5t2
e) y 00 − 5y 0 − 14y = e7t + tet
f) y 00 − 2y 0 + 10y = tet cos(3t)
f) y 00 − 2y 0 + 10y = tet cos(2t).
Aufgabe 29
Untersuchen Sie, für welche Werte des Parameters t ∈ R das folgende Gleichungssystem keine, genau
eine, unendlich viele Lösungen hat, und geben Sie jeweils die Lösungsmenge an.
a) x1 + tx2 = 7
3x1 + 3x2 = 4
b)
2x1 − x2 + tx3 = 2 − 2t
2x2 + x3 = t
x1 + 6x2 + 4x3 = 2 + 2t
6
c)
6x1 + tx2 + 4tx3 = −6
2x1 + tx3 = −3
x1 + tx2 + t2 x3 = t
HM I Schneider
Zusatzübungen
Aufgabe 30
Sei E1 die durch die Punkte A = (−3, 8, 1), B = (6, −4, 12) und C = (0, 4, 3) festgelegte Ebene und
sei E2 die Ebene {x ∈ R3 : 2x1 + x2 + 2x3 = 6}.
a) Was ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ? Was sind die Innenwinkel und was die Seitenlängen?
b) Bestimmen Sie die hessesche Normalform von E1 und E2 und die Schnittgerade g von E1 und
E2 . Was ist der Schnittwinkel zwischen E1 und E2 ?
c) Sei D = (−1, 9, −2). Bestimmen Sie die Punkte E und F so, dass AD, BE und CF die Seitenkanten eines Prismas mit Grundäche ABC sind. Was ist das Volumen dieses Prismas? Was ist der
Schnittwinkel zwischen der Grundäche ABC und den Seitenkanten?
d) Sei h die Gerade {x ∈ R : x = λ(1, 2, −3), λ ∈ R}. Zeigen Sie, dass sich g und h nicht schneiden
und bestimmen Sie den Abstand von g und h.
Aufgabe 31
Sei Ek für k ∈ R die Ebene {x ∈ R3 : x = x1 + (k − 2)x2 + (2k + 1)x3 = 5 − 2k} und sei g die Gerade
durch die Punkte P = (0, −4, 1) und Q = (3, 2, −2).
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt und Schnittwinkel von g und E1 . Bestimmen Sie den Abstand
von P zu E1 und zeigen Sie, dass P und Q auf verschiedenen Seiten von E1 liegen.
b) Welche der Ebenen Ek enthält den Ursprung, welche ist parallel zur x3 -Achse? Zeigen Sie, dass
keine der Ebenen Ek orthogonal zur x3 -Achse ist. Zeigen Sie auÿerdem, dass es genau eine Gerade h
gibt, die in allen Ebenen Ek liegt, und bestimmen Sie eine Parameterdarstellung dieser Geraden.
c) Zeigen Sie: es gibt genau eine Ebene Ek0 , die zu keiner der anderen Ebenen Ek orthogonal ist.
Zeigen Sie auÿerdem, dass es eine Ebene E gibt, die die Gerade h enthält aber mit keiner der Ebenen
Ek zusammenfällt.
7