Kapitel 2: Suche

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Knowledge and Data Engineering
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DEPARTMENT OF MATHEMATICS & COMPUTER SCIENCE
Mögliche Ziele einer Suche:
Kapitel 2: Suche
• finde eine Lösung
Teil 1
• finde alle Lösungen
• finde die kürzeste Lösung
(Dieser Foliensatz basiert auf Material von Mirjam Minor, HumboldtUniversität Berlin, WS 2000/01)
• finde eine optimale Lösung
In allen genannten Fällen kann zudem der Lösungsweg von Interesse
sein.
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Künstliche Intelligenz und Suche
Zustandsraumsuche
• Auswahl: Rucksackproblem
Bevor ein Suchverfahren eingesetzt werden kann, muß das Suchproblem zunächst auf adäquate Weise beschrieben werden. Eine Möglichkeit ist die Zustandsraumrepräsentation. Sie enthält:
• Planung: z.B. Blocksworld, Routen, TSP, Agenten, Roboter
• Problemlöser: Beweise/Ableitungen - Logik/Prolog; VLSI Layout
• intelligente Spielerprogramme - Gewinnstrategien
Zustände – Beschreibungen der verschiedenen möglichen Situationen
Zustandsübergänge – Operatoren die einen Zustand in einen anderen überführen
Es gibt zwei Mengen ausgewählter Zustände: Startzustände und
Zielzustände. Die Zielzustände können implizit (durch Kriterium)
oder explizit (durch Aufzählung) gegeben sein.
• Informationsbeschaffung / Recherche - Diagnose
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Beispiele für Zustandsraumbeschreibungen
– die Angabe einer expliziten Zielmenge kann evtl. genauso aufwendig
sein wie die Suche selbst
Prolog:
Zustände: Datenbasis + Abarbeitungszustand (offene Subgoals; alternative Klauseln)
Operatoren: Übergang zu einem Subgoal
Anfangszustand: initiales Programm + Anfrage
Zielzustände: Programmziel
– Interpretation als Graph/Baum
Schiebepuzzle:
Zustände: Positionen aller Steine
Operatoren: mögliche Bewegungen des leeren Feldes
Anfangszustand: aktuelle Stellung
Zielzustände: geordnete Stellung
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Beispiele für Zustandsraumbeschreibungen
Beweis eines Theorems:
Zustände: Faktenmenge (Lemmata, Zwischenresultate)
Operatoren: Inferenzregeln (Faktenmenge wird erweitert)
Anfangszustand: Axiome
Zielzustände: Faktenmengen, die das Theorem enthalten
– warum Bewegung des Leerfeldes und nicht der anderen Teile ?
– schwieriger + mehr zu überprüfen
– Modellierung beeinflusst, wie kompliziert die Suche wird
Zauber–Würfel:
Zustände: Stellungen
Operatoren: Drehungen
Anfangszustand: Anfangsstellung
Zielzustände: geordnete Stellung
– Feste Abarbeitungsreihenfolge (Inferenz): Tiefe zuerst, Klauselreihenfolge, links-rechts
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Generate and Test ?
bei den Anfangszuständen beginnend sukzessive Nachfolgezustände
generieren und auf Zielbedingung testen.
Problem: kombinatorische Explosion
Schema S zur Suche nach irgendeinem Weg
S0 : Sei z0 Anfangszustand. Falls dieser bereits Zielzustand ist: EXIT(yes)
OPEN := { z0 }, CLOSED := { }
S1 : Falls OPEN = { }: EXIT(no)
8-er Puzzle: 9! Zustände (davon 9!/2 erreichbar)
bei durchschnittlich 3 Nachfolgern in jedem Zustand und einer typischen Lösungsweglänge von 20 ⇒ 320 ≈ 3,5 Mrd. Knoten
ungarischer Würfel: rund 4, 3 ∗ 1019 erreichbare Zustände
kürzeste Lösungsfolge max. 40 – 50 Züge (52 gesichert; 43 vermutet)
Dame: ca. 1040 Spiele durchschnittlicher Länge
Schach: ca. 10120 Spiele durchschnittlicher Länge
Go: ≤ 3361 Stellungen
S2 : Sei z der erste Zustand in OPEN
OPEN := OPEN - {z }, CLOSED := CLOSED + {z }
Bilde Nachfolgermenge SUCC(z), Falls SUCC(z) = { }: GOTO S1
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Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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S3 : Falls SUCC(z) einen Zielzustand enthält: EXIT(yes)
S4 : Reduziere SUCC(z) auf NEW(z) durch Streichen nicht weiter zu betrachtender
Elemente, Füge New(z) in OPEN ein, GOTO S1
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Suchen in Graphen und Bäumen
– warum Schema ?
Probleme: Schlaufen,
Zyklen,
Abkürzungen,
unendliche Pfade
– OPEN enthält generierte, noch nicht expandierte Knoten
– CLOSED enthält die expandierten Knoten
–
–
–
–
–
Überführung eines Graphen in einen Baum durch Abwicklung
S0:
S1:
S2:
S3:
S4:
Start
negative Abbruchbedingung
Expandieren
positive Abbruchbedingung
Organisation von OPEN
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Strategien zur Expansion des Suchraumes
Blinde Suche – Breitensuche (BFS)
in S4 alle Nachfolger ans Ende von OPEN stellen
Platzbedarf bd; Zeitbedarf O(bd); vollständig; Lösung mit min. Anzahl
von Zustandsübergängen wird zuerst gefunden
• Expansionsrichtung: vorwärts, rückwärts, bidirektional
• Verwendung von Zusatzinformationen: blinde / heuristische Suche
Blinde Suche – Tiefensuche (DFS)
• Entfernung der Knoten vom Start beachten
in S4 alle Nachfolger an den Anfang von OPEN stellen
Platzbedarf b ∗ m = O(m); Zeitbedarf O(bd); nicht optimal, bei unendlichen Pfaden im Suchraum nicht vollständig;
• Verwendung aller / einiger Nachfolger
b – Verzweigungsgrad; d – Tiefe der Lösung; m – maximale Tiefe des
Suchbaumes
• Modifikationen bzgl. der Elemente in OPEN und CLOSED
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Bewertungskriterien für die Qualität eines Suchverfahrens
• Vollständigkeit: wird eine existierende Lösung immer gefunden?
Verwendung einer Kostenfunktion
• Jede Zustandsüberführung verursacht Kosten.
Verlängert sich der Weg, erhöhen sich die Kosten.
Die Kosten sind nicht negativ und können nicht beliebig klein
werden.
• Optimalität: wird die beste Lösung gefunden?
• Jedem Operator werden Kosten c(n → ń) ≥ > 0 zugeordnet.
• Platzbedarf: wieviele Knoten müssen gleichzeitig gespeichert werden?
• Zeitbedarf: wieviele Knoten müssen expandiert werden?
(im besten Fall, im schlimmsten Fall, im Durchschnitt)
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
• Kosten eines Pfades: g(n0n1...nk ) =
k−1
i=0 c(ni → ni+1)
• Kosten zum Erreichen von z: g(z) = M in{g(s)|s ist Weg von z0
nach z}
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Blinde Suche – Gleiche Kosten Suche
(UCS — Uniform Cost Search)
Iterative Tiefensuche (IDS) 1/2
• In S4 alle Nachfolger einfügen und OPEN nach Kosten zum Erreichen der Zustände (Wegkosten) sortieren.
• Ermittelte Kosten g(n) stellen eine obere Schranke für die tatsächlichen Kosten g ∗(n) dar: g ∗(n) ≤ g(n)
• In S4 nur die Nachfolger am Anfang einfügen wenn maximale
Suchtiefe c noch nicht überschritten.
• c sukzessive erhöhen.
• Platzbedarf b ∗ d; Zeitbedarf O(bd); vollständig; optimal
• Platzbedarf O(bd); Zeitbedarf O(bd); vollständig; optimal
• Zeitverhalten in Relation zur Tiefensuche:
Zeitbedarf (IDS)
1 ≤ Zeitbedarf
= b+1
b−1 ≤ 3
(DF S)
• BFS ist ein Spezialfall von USC ist ein Spezialfall von A*
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Iterative Tiefensuche (IDS) 2/2
• Knoten in niedrigen Suchtiefen werden wiederholt erzeugt.
Fragen:
– Welches Problem gibt es, wenn keine untere Schranke existiert?
• Hiervon gibt es (bei ungefähr gleichbleibendem Verzweigungsgrad)
jedoch relativ wenige.
– Wieso ist Breitensuche ein Spezialfall von Gleiche Kostensuche?
• IDS ist bevorzugte uninformierte Such-Methode bei großem Suchraum, wenn die Tiefe der Lösung nicht bekannt ist.
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Anforderungen an eine Heuristik h
Aufwand
• die Heuristik soll stets nicht-negative Werte liefern: h(n) ≥ 0
– alle vorgestellten blinden Suchverfahren haben Zeitverhalten von
O(bd)
– Hopcroft/Ullman 1979 “Introduction to Automata Theory”: das gilt
für jedes Blinde Suchverhalten
– Verzweigungsgrad b und Tiefe der Lösung d werden empirisch abgeschätzt, sie sind domänenabhängig
• Falls n Zielzustand ist, soll h(n) = 0 gelten.
• Bei tatsächlicher Annäherung an einen Zielzustand wird kleinere
Distanz signalisiert.
• h soll mit möglichst geringem Aufwand zu errechnen sein.
Seien h1 und h2 Heuristiken. h2 heißt besser informiert als h1, wenn
gilt: ∀n : h1(n) ≤ h2(n)
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Verwendung einer heuristischen Schätzfunktion
(Heuristik)
Um ein besseres Zeitverhalten zu erreichen, soll Wissen über das konkrete Suchproblem genutzt werden. Zustände, die nahe am Ziel liegen,
werden bei der Expansion bevorzugt.
Ideal: Funktion h∗(n), die die tatsächlichen Kosten des kürzesten
Weges von einem Zustand n zu einem Zielzustand angibt. Die Ermittlung von h∗ ist leider oft zu aufwendig.
h(n) liefert eine Abschätzung der Kosten für den kürzesten Pfad
zum Ziel.
Die Heuristik ist jeweils problemspezifisch.
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Beispiele für Heuristiken
• die am schlechtesten informierte Heuristik: ∀n : h(n) = 0
• für Routenplanung: Luftlinie
• für Schiebepuzzle: Anzahl der falsch liegenden Steine
• für Schiebepuzzle: Manhattan-Distanz
(Summe der horizontalen und vertikalen Entfernungen aller Steine
von ihren Zielpositionen)
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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• Warum Bergsteiger-Metapher?
– Suchraum als Landschaft interpretieren, h gibt Höhe an
• Warum läuft man nicht nach unten (Abstieg gehört ja auch zu
Bergsteigen)?
Frage: Welche Informationen über das Suchproblem werden jeweils
verwendet ?
– diskrete Version eines Gradienten-Abstiegs (je nachdem ob man
die Heuristik als Kosten- oder Qualitätsfunktion ansieht); Optimierung
– SHC “abwärts” ist analog zu der Pfadfinderregel: Wenn Verlaufen, immer bergab laufen. Irgendwann findet man Tal oder
Gewässer ( = bevorzugte Siedlungsplätze).
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Heuristische Suche mit schrittweiser lokaler Verbesserung
Bergsteigen (Hill Climbing with Backtracking BTHC)
– In S4 alle Elemente aus SUCC(z) gemäß ihrer Bewertung durch h
ordnen und an den Anfang von OPEN stellen.
– nicht vollständig in unendlichen Räumen
optimistisches Bergsteigen (Strict Hill Climbing SHC)
– In S4 nur das am besten bewertete Element aus SUCC(z) an den
Anfang von OPEN stellen.
– nicht vollständig
Strahlensuche (Beam Search - BS)
– In S4 die m am besten bewerteten Elemente aus SUCC(z) gemäß
ihrer Bewertung ordnen und an den Anfang von OPEN stellen
– nicht vollständig
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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• Raum-/Zeitbedarf sind abhängig von der Heuristik
• Übung: Expansion der Suchbäume bei verschiedenen Verfahren
zeigen
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Probleme beim Bergsteigen
Heuristische Suche mit schrittweiser lokaler Verbesserung
lokale Minima - vorübergehend keine Verbesserung möglich
Um die genannten Probleme zu umgehen werden die Verfahren modifiziert.
Randomisiertes Verfahren (Random Restart Hill Climbing RRHC)
Wenn kein Fortschritt mehr erzielt werden kann, wird das Verfahren
in einem zufällig gewählten Zustand neu gestartet. Der Zustand mit
der bislang besten Bewertung wird gespeichert.
Plateaus - keine Unterschiede in der Bewertung
Simulated Annealing (Simuliertes Abkühlen)
Mit bestimmter Wahrscheinlichkeit dürfen auch Schritte in Richtungen ausgeführt werden, die nicht zu einer weiteren Minimierung führen. Mit zunehmender Dauer des Verfahrens nimmt diese Wahrscheinlichkeit ab.
enge Talsohlen - vorhandene Operatoren
erfassen den Abstieg nicht
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Randomisiertes Verfahren
– Globales Minimum wird gefunden, wenn genug Neustarts
– Suche wird langsam bei Abflachung bzw. endet wenn kein Backtracking möglich
– Anzahl der notwendigen Neustarts abh. von Anzahl der lokalen Minima
Simulated Annealing
– Modelliert das Erstarrungsverhalten von Flüssigkeiten
– Erfahrungen vom Stahlkochen: erst stark erhitzen, dann langsam
abkühlen ergibt kristalline Struktur, d.h. harten Stahl
22-1
23-1
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Weitere mögliche Eigenschaften einer Heuristik
– Auswahl: Folgezustand zufällig wählen. Wenn er Abstieg bedeutet,
wird er auf alle Fälle gewählt, sonst nur mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit.
Weiterer Ansatz: bisherige Richtung zu einem gewissen Teil beibehalten lassen (kontinuierlicher Raum); Schrittweite verändern z.B. bei
Lernverfahren
• Eine Heuristik h heißt fair, falls es zu einem beliebigen k ≥ 0 nur
endlich viele Zustände n gibt mit h(n) ≤ k.
• eine Heuristik h heißt zulässig oder optimistisch, falls
∀n : h(n) ≤ h∗(n).
• eine Heuristik h heißt konsistent, falls für alle n gilt: h(n) −
h(n) ≤ c(n → n). Diese Eigenschaft wird auch als MonotonieBeschränkung bezeichnet.
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Heuristische Suche - Greedy Search (GS)
– Fairness + Zyklenvermeidung durch Abgleich mit CLOSE -> Greedy wird vollständig
Idee: Um schneller zum Ziel zu kommen und lokale Minima zu vermeiden, werden alle Zustände in OPEN zur Bewertung herangezogen.
“Gierig (greedy)”, weil ohne Rücksicht auf die Kosten jeweils mit dem
vielversprechendsten Zustand weitergemacht wird
In S4 alle Elemente aus SUCC(z) in OPEN übernehmen und die gesamte Liste OPEN gemäß der Bewertung durch h sortieren.
Unvollständig; nicht optimal; Zeit- und Raumbedarf O(bm); kann durch
gute Heuristik deutlich verbessert werden.
– bei endlichen Suchräumen ist Fairness automatisch erfüllt
– optimistisch: keine Überschätzung der Kosten
– Konsistenz: geschätzte Distanz zum Ziel schrumpft langsamer, als
die Kosten durch diesen Schritt wachsen.
– Heuristiken Anzahl falsche Steine und Manhattandistanz im Schiebepuzzle sind optimistisch
25-1
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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Heuristische Bestensuche - Algorithmus A
Heuristische Bestensuche - Algorithmus A*
A0 : Sei z0 Anfangszustand. Falls dies bereits Zielzustand ist: EXIT(yes)
OPEN := { z0 }, CLOSED := { }
In der weichen Form von A* wird verlangt, daß die Heuristik zulässig
ist. A* entsteht aus A durch folgende Modifikation:
A1 : Falls OPEN = { }: EXIT(no)
A2 : Sei z der erste Zustand in OPEN
Falls z Zielzustand ist: EXIT(yes)
A3 : OPEN := OPEN - {z }, CLOSED := CLOSED ∪ {z }
Bilde Nachfolgermenge SUCC(z), Falls SUCC(z) = { }: GOTO A1
A4 : für alle z ∈ SUCC(z) g(z ) gemäß aktuellem Suchbaum neu berechnen
NEW(z) := SUCC(z) - CLOSED
OPEN := OPEN ∪ NEW(z), OPEN nach aufsteigendem g(z )+h(z ) sortieren,
Wiederholungen in OPEN streichen
GOTO A1
Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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A*4 : für alle z ∈ SUCC(z) g(z ) gemäß aktuellem Suchbaum neu
berechnen:
NEW(z) := SUCC(z) - {z ∈ CLOSED|g(z) ≥ galt(z )}
OPEN := OPEN ∪ NEW(z), OPEN nach aufsteigendem
g(z ) + h(z ) sortieren, Wiederholungen in OPEN streichen
GOTO A1
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Heuristische Bestensuche - Algorithmus A*
– Änderungen gegenüber dem bisherigen Schema: Schritt 2 und 3
getauscht und modifiziert; Schritt 4 komplexer
– ohne genauere Angaben zur Heuristik lässt sich wenig über das
Verhalten von A sagen
Die harte Form von A* verlangt eine konsistente Heuristik. Dafür
kann auf die Tests bereits expandierter Knoten verzichtet werden,
denn es gilt: Der A*–Algorithmus in der harten Form untersucht den
selben Knoten nicht mehrfach.
A*4 : für alle z ∈ SUCC(z) g(z ) gemäß aktuellem Suchbaum neu
berechnen
NEW(z) := SUCC(z) - CLOSED
OPEN := OPEN ∪ NEW(z), OPEN nach aufsteigendem
g(z ) + h(z ) sortieren, Wiederholungen in OPEN streichen
GOTO A1
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Künstliche Intelligenz, Kapitel 2 — Suche
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– A* entspricht A mit zusätzlichen Anforderungen an die Heuristik
– Beweise in Nilsson, 1982: Principles of Artificial Intelligence
– Zeitbedarf ist — ausser bei sehr strengen Anforderungen an h, die
in der Praxis meist nicht zu erfüllen sind, immer noch exponentiell in
der Länge der Lösung. D.h. dass man optimale Lösungen oft nicht
erwarten darf.
– Da A* alle Zwischenergebnisse speichert, ist häufig bereits der Speicher der Engpass.
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