Grundwissen Mathematik fur Ingenieure
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Matthias Richter Grundwissen Mathematik fur Ingenieure Matthias Richter Grundwissen Mathematik fur Ingenieure Teubner Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fOr diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhăltlich . Prof. Dr. Matthias Richter Hochschule fOr Technik und Wirtschaft Dresden (FH) E-Mail: [email protected] 1. Auflage August 2001 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 2001 Ursprunglich erschienen bei B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2001 www.teubner.de Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und daher von jedermann benutzt werden dOrften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de ISBN 978-3-519-00413-4 ISBN 978-3-663-05772-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-05772-7 Vorwort Das Lehrbuch "Grundwissen Mathematik flir Ingenieure" wendet sich an Studierende technischer Fachrichtungen. Es vermittelt die mathematischen Grundlagen einschlie6lich der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik, die im Mittelpunkt des Grundstudiums der Ingenieurausbildung stehen. Auswahl und Darlegung des Stoffes basieren auf Erfahrungen, die ich wahrend meiner langjahrigen Lehrtatigkeit an Fachhochschulen und Universitaten im In- und Ausland sammelte. Wichtige mathematische Begriffe, Definitionen und Aussagen werden im Text hervorgehoben. Der dargelegte Stoff wird dabei stets anhand zahlreicher vollstandig durchgerechneter Beispiele erlautert, und der Leser kann jederzeit beim LOBen der gestellten Aufgaben sein erworbenes Wissen iiberpriifen. AIle LOBungen dieser Aufgaben sind am Ende des Buches, oft auch noch erganzt durch zusatzliche Losungshinweise, angegeben. Das Buch ist so konzipiert, dass man sich auch selbststandig in den Vorlesungsstoff einarbeiten kann. Fiir weiterfiihrende Gebiete wird auf entsprechende Spezialliteratur verwiesen. In diesem Buch wird beriicksichtigt, dass in der Ausbildung zunehmend Computeralgebra-Systeme verwendet werden, die sowohl auf PC's als auch auf grafikfahigen Taschenrechnem vorhanden sind. Mit einem ComputeralgebraSystem lassen sich symbolische Berechnungen ausflihren. Taschenrechner mit derartigen Systemen liefem z.B. Texas Instruments, Casio, Hewlett Packard und Sharp. ErfahrungsgemaB hat ein gr06er Teil der Studenten beim ersten Umgang mit Computeralgebra-Systemen Schwierigkeiten. Aus diesem Grund wird an geeigneten Stellen im Buch auf die Handhabung von Taschenrechnem kurz eingegangen. Da sich die Struktur der Computeralgebra-Systeme wenig unterscheidet, lassen sich die angegebenen Hinweise zum Einsatz des TI-89 auch auf andere Taschenrechner iibertragen. Dem Anwender werden damit langwierige Rechnungen per Hand erspart, und er wird von Routinearbeit entlastet. In diesem Zusammenhangmussjedoch ausdriicklich daraufhingewiesen werden, dass die Verwendung modemer Rechentechnik nicht davon befreit, sich intensiv mit den mathematischen Grundlagen zu beschaftigen. Nur bei 6 Vorwort fundierten mathematischen Kenntnissen wird es erst moglich, das Hilfsmittel Taschenrechner bzw. Computer sinnvoll beim LOBen von Problemen und Aufgaben einzusetzen. Aus diesem Grund steht in diesem Buch die Vermittlung der mathematischen Grundlagen im Vordergrund. Die Druckvorlage wurde mit dem Textsatzsystem 'lEX erstellt. Die Einbindung des Inhaltes des Displays vom TI-89 in den Text erfolgte mit Hilfe des TI-GRAPH LlNKTM. Einige Bilder wurden mit der Software Mathematica angefertigt. Auf diesem Weg mOchte ich allen Kollegen recht herzlich danken, die mich bei der Arbeit an diesem Buch unterstutzten. Mein besonderer Dank gilt den Herren Prof. Dr. S. Scholz, Prof. Dr. G. Zeidler, Dr. H.-D. Dahlke und Dr. W. Mauermann, die das Manuskript kritisch durcharbeiteten und mir wertvolle Hinweise bei der Darlegung des Stoffes gaben. Die Herren Dr. H.-D. Dahlke und Dr. W. Mauermann haben samtliche Beispiele und Aufgaben mit gro6er Sorgfalt nachgerechnet. Weiterhin mOchte ich mich bei den Herren Prof. Dr. C. Lange, Prof. Dr. D. Oestreich und Prof. Dr. L. Paditz bedanken, die Teile des Manuskripts durchsahen. Gro6en Dank schulde ich auch Herrn J. WeiB aus Leipzig und dem Verlag B.G. Teubner fUr die angenehme Zusammenarbeit. Fur Hinweise und Bemerkungen zu diesem Buch bin ich jedem Leser und Nutzer dankbar. Dresden, im Februar 2001 Matthias Richter Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Grundbegriffe der Logik . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Aussagen, Elemente und Mengen . . . . . . 1.1.2 Aussageformen und Aussagenverbindungen . 1.1.3 Beweisverfahren..... 1.2 Grundbegriffe der Mengenlehre 1.2.1 Mengenoperationen . . . . 1.2.2 Losen von Ungleichungen . 1.2.3 Produktmengen und Abbildungen . 1.3 Funktionen . . . . . . 1.3.1 Grundbegriffe......... 1.3.2 Hilfsfunktionen . . . . . . . . 1.3.3 Eigenschaften von Funktionen 1.4 Grundfunktionen . . . . . 1.4.1 Potenzfunktionen . . . . . . . 1.4.2 Winkelfunktionen....... 1.4.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen . 1.5 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Polynome, ganze rationale Funktionen 1.5.2 Gebrochen rationale Funktionen ... 1.5.3 Hyperbolische und Area-Funktionen . 1.6 Die binomische Forme} . . . . . . . 1. 7 Hinweise zur Arbeit mit dem TI-89 . . . . . 13 13 13 15 19 21 21 25 27 33 33 35 2 Komplexe Zahlen 2.1 Definition der komplexen Zahlen . . . . . . 2.2 Darstellungen komplexer Zahlen . . . . . . 2.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen 2.4 Potenzieren und Radizieren . . . . 2.5 Produktdarstellung von Polynomen . . . . 71 37 45 45 46 56 58 58 64 65 69 70 71 73 76 80 84 lnhaltsverzeichnis 8 86 88 2.6 Komplexe Zahlen mit dem TI-89 . 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 3 Vektoren 3.1 Grundbegriffe......... 3.2 Vektoroperationen . . . . . . 3.2.1 Addition von Vektoren 3.2.2 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl . 3.2.3 Das Skalarprodukt von Vektoren (inneres Produkt) 3.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt, auBeres Produkt) 3.2.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Darstellung von Vektoren in der Ebene und im Raum 3.3.1 Vektordarstellung in der Ebene 3.3.2 Vektordarstellung im Raum 3.3.3 Vektoroperationen . . . . . . . 3.4 Anwendungen in der Geometrie . . . . 3.4.1 Parameterdarstellung einer Geraden . 3.4.2 Parameterdarstellung einer Ebene . . 3.4.3 Parameterfreie Darstellung einer Ebene . 3.4.4 Parameterfreie Darstellung einer Geraden 3.4.5 Abstandsprobleme . . . . . . 3.4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . 3.5 Der n-dimensionale Vektorraum lRn . 3.6 Vektoren mit dem TI-89 .. . . . . . 4 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 4.1 Grundbegriffe......... 4.2 Matrizenoperationen . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Addition von Matrizen . . . . . . . 4.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl 4.2.3 Multiplikation von Matrizen 4.2.4 Aufgaben . . . . . . 4.2.5 Verflechtungsmodelle 4.3 Lineare Gleichungssysteme . 4.3.1 Grundbegriffe.... 4.3.2 GauB'sches Eliminationsverfahren 4.3.3 LOsbarkeit linearer Gleichungssysteme 4.4 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . 4.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . 4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . 89 89 90 91 92 93 96 98 99 99 100 101 107 107 109 111 113 114 117 119 123 125 . 125 . 128 . 128 . 129 . 129 . 131 . 132 . 135 . 135 . 137 . 139 . 142 .145 .148 Inhaltsverzeichnis 4.7 4.8 Eigenwerte und Eigenvektoren Matrizen mit dem TI-89 . . . . 9 .152 .155 5 Kurven in der Ebene und im Raum 5.1 Koordinatensysteme 5.2 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Einfiihrung . . . . . . . . . 5.2.2 Darstellung ebener Kurven mit dem TI-89 5.2.3 Algebraische Kurven zweiter Ordnung 5.2.4 Rollkurven. 5.2.5 Spiralen 5.3 Raumkurven . . . . 159 .159 .163 .163 .165 .167 .171 .173 .173 6 Grenzwerte von Folgen und Funktionen 6.1 Folgen und Reihen von reellen Zahlen .. 6.1.1 Zahlenfolgen und deren Eigenschaften . 6.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6.1.3 Zahlenreihen . . . . . 6.2 Grenzwerte bei Funktionen . 6.3 Stetigkeit von Funktionen 175 .175 .175 .178 .186 . 191 .199 7 Differenzialrechnung 7.1 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . 7.2 Ableitung einiger elementarer Funktionen . 7.3 Ableitungsregeln . . . . . 7.4 Differenzial einer Funktion . . . . . 7.5 Hahere Ableitungen . . . . . . . . . 7.6 Differenzialrechnung mit dem TI-89 7.7 Mittelwertsatz . . . . 7.8 L'Hospitalsche Regel . . . . . . . . 7.9 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . 7.9.1 Monotonie von Funktionen . 7.9.2 Kriimmung von Funktionen und Kurven 7.9.3 Lokale Extrempunkte von Funktionen . 7.10 Newtonverfahren . . 7.11 Splines . . . . . . . . 7.12 Extremwertaufgaben 205 .205 .209 .211 .217 .222 .223 .224 .225 .227 .227 .228 .235 .240 .242 .246 10 Inhaltsverzeichnis 8 IntegraIrechnung 8.1 Bestimmtes Integral. . . . . . . . . . . . 8.2 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion . 8.3 Integrationsmethoden.... 8.3.1 Substitutionsregel......... 8.3.2 Partielle Integration . . . . . . . 8.3.3 Integration gebrochen rationaler Funktionen 8.4 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . 8.5 Uneigentliches Integral . . . . . 8.6 Integralrechnung mit dem TI-89 8.7 Anwendungen.......... 8.7.1 BogenHi.nge ebener Kurven . 8.7.2 Volumen und Mantelinhalte von Rotationskorpern . 8.7.3 Flacheninhalt ebener Flachen 8.8 Numerische Integration. 8.8.1 Rechteckregel 8.8.2 Trapezregel . . . 8.8.3 Simpsonregel .. 8.8.4 Beispiele und Folgerungen 249 . 249 . 250 . 253 . 253 . 255 . 258 . 263 . 267 . 271 . 273 .273 .276 .282 .287 .288 . 289 . 289 .290 9 Funktionenreihen 9.1 Funktionenfolgen und Funktionenreihen . 9.2 Potenzreihen .. 9.3 Taylor-Reihen. 9.4 Fourier-Reihen 295 .295 .298 .302 .308 10 Funktionen mehrerer Variabler 10.1 Funktionen zweier Variabler .. 10.2 Funktionen von n Variablen . 10.3 Differenzialrechnung flir Funktionen mehrerer Variabler . 10.3.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . 10.3.2 Totale Differenzierbarkeit und Gradient. 10.3.3 Totales Differenzial . . . . . . 10.3.4 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Verallgemeinerte Kettenregel. . . . . . . 10.3.6 Differenziation implizit gegebener Funktionen 10.3.7 Taylor-Formel . . . . . . . . . . . 10.3.8 Lokale Extrempunkte . . . . . . . . . 10.3.9 Methode der kleinsten Quadrate ... 10.3.10 Differenziation von Vektorfunktionen 315 .315 .319 .324 .324 .327 .330 .332 .334 .336 . 338 .339 .343 . 346 Inhaltsverzeichnis 10.4 Integralrechnung fur F'unktionen mehrerer Variabler . 10.4.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . 10.4.3 Ebene und raumliche Normalbereiche . 10.4.4 Berechnung von Mehrfachintegralen . 10.4.5 Transformationen von Integralen 10.4.6 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . 11 . 350 . 350 . 352 . 355 . 358 . 364 . 365 11 Differenzialgleichungen 11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . 11.2.1 Geometrische Darstellung der LOsung . 11.2.2 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen 11.2.3 Variation der Konstanten . . . . 11.2.4 Exakte Differenzialgleichungen. . . . . . . . 11.3 Differenzialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . 11.3.1 Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung 11.3.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . 11.4 Differenzialgleichungssysteme 11.5 Erganzungen . . . . . . . . 367 . 367 . 369 . 369 . 371 . 375 . 378 . 381 . 381 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung 12.1 Zufallige Ereignisse . . . . . 12.1.1 Grundbegriffe . . . . 12.1.2 Ereignisoperationen. 12.1.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses . 12.1.4 Klassische Methoden . . . . . . 12.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . 12.1.6 Unabhangigkeit von Ereignissen 12.2 ZufallsgroBen . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 ZufallsgroBe und Verteilungsfunktion 12.2.2 KenngroBen von ZufallsgroBen . 12.2.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . 12.2.4 Binomialverteilung . . . . . . . . . 12.2.5 Poisson- und Exponentialverteilung 12.2.6 Weibullverteilung . . . . 12.3 Mehrdimensionale ZufallsgroBen . . 12.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . 12.3.2 Kovarianz und Korrelation . 399 . 399 . 399 . 402 . 405 . 407 . 410 . 412 . 415 . 415 . 419 .423 . 425 . 427 . 430 .431 . 431 .434 .383 . 392 . 397 Inhaltsverzeichnis 12 12.3.3 Zweidimensionale Normalverteilung . . . . . . . 12.3.4 Summen von Zufallsgro6en und Grenzwertsatze 12.3.5 Priifverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Mathematische Statistik 13.1 Grundbegriffe . . . . 13.2 Deskriptive Statistik . 13.3 Induktive Verfahren. . 13.3.1 Parameterschatzungen 13.3.2 Beispiele von Parameterschatzungen 13.3.3 Parametertests . . . . . . . 13.3.4 Beispiele zu Parametertests 13.3.5 Parameterfreie Verfahren . 13.4 Erganzungen . . . . . . . . . . . . LOsungen Literatur Index . 436 . 437 . 439 441 . 441 . 442 . 449 . 449 . 454 . 457 . 458 . 463 . 466 467 495 496 Kapitell Grundlagen 1.1 Grundbegriffe der Logik Die Logik ist eine Wissenschaftsdisziplin, die sich mit Gesetzen des "richtigen Denkens" und mit Beziehungen zwischen diesen Gesetzen beschaftigt. In diesem Abschnitt stehen Grundbegriffe der mathematischen Logik im Mittelpunkt. 1.1.1 Aussagen, Elemente und Mengen Ein wichtiger Ausgangspunkt in der Logik sind Aussagen. Definition 1.1: Eine Aussage ist ein sinnvolles sprachliches oder formelmafliges Gebilde, das entweder den Wahrheitswerl wahr (w) oder den Wahrheitswerl falsch (fJ besitzt. Eine Aussage hat den Wahrheitswert wahr bzw. ist wahr, wenn sie die objektive Realitat richtig widerspiegelt. 1m anderen Fall handelt es sich urn eine Aussage mit dem Wahrheitswert falsch bzw. urn eine falsche Aussage. Aussagen im Sinne der mathematischen Logik konnen demzufolge nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Beispiel 1.1: Uberpriifen Sie, ob es sich bei den folgenden Gebilden um Aussagen handelt. (1) 3 ist eine natiirliche Zahl, (2) 3 ist eine gerade Zahl. (3) 3 + 1 = 4, (4) 3+1=5, (5) V5, (6) Wieviel ist 3 + I? M. Richter, Grundwissen Mathematik für Ingenieure © Springer Fachmedien Wiesbaden 2001 Kapitell. Grundlagen 14 Losung: (1) - (4) sind Aussagen. Die Aussagen (1) und (3) stellen wahre Auasagen dar, dagegen sind (2) und (4) falsche Aussagen. (5) und (6) bezeichnen keine Aussagen. Bei (5) handelt es sich urn einen Ausdruck oder Term. <J Als Nachstes werden die Begriffe Element und Menge eingefiihrt. Definition 1.2: Eine Menge ist eine Gesamtheit (Zusammen/assung) von bestimmten, wahl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Fur jedes Objekt ist dabei eindeutig geklart, ob dieses Objekt zur Menge gehart oder nicht. Ein Objekt einer Menge heipt Element. Mengen werden im Allgemeinen mit grofien lateinischen Buchstaben bezeichnet. Fur die Elemente dieser Mengen verwendet man kleine lateinische Buchstaben. Mit Hilfe des Elementsymbols E Hisst sich ausdrucken, ob ein Element x zu einer Menge M gehort oder nicht. Man schreibt: x EM, wenn das Element x zur Menge M gehort, x ¢ M , wenn das Element x nicht zur Menge M gehort. Mengen kann man durch das Aufschreiben aller ihrer Elemente oder durch die Beschreibung von Eigenschaften ihrer Elemente angeben. Die Elemente einer Menge werden dabei von geschweiften Klammern eingeschlossen. So sind z.B. A = {2; 3; 4} - die Menge, die die reellen Zahlen 2, 3 und 4 enthaIt, B = {x E lRl x ~ O} - die Menge der nicht negativen reellen Zahlen. Urn ein Verwechseln der Elemente einer Menge mit Dezimalzahlen zu vermeiden, werden die Elemente beim Aufzahlen durch ein Semikolon getrennt. In der Menge der reellen Zahlen lR werden folgende Mengen bezeichnet: N = {O; 1; 2; 3, ... } - die Menge der natiirlichen Zahlen, Z = { ... ; -2; -1; 0; 1; 2; 3, . . . } - die Menge der ganzen Zahlen, Q= {~I (r E Z) und (8 E Z, 8 # 0) } - die Menge der rationalen Zahlen. Zu beachten ist, dass Null als eine naturliche Zahl vereinbart wurde, d.h. es gilt 0 E N. Besonders ausgezeichnete Mengen sind die leere Menge 0 und die Grundmenge O. Die leere Menge enthaIt kein Element. Mit der Grundmenge werden alle Elemente zusammengefasst. Die leere Menge 0, die naturlichen Zahl 0 und die Menge {O} durfen nicht miteinander verwechselt werden. Die Menge {O} enthalt nur das Element "naturliche Zahl Null". 15 1.1. Grundbegriffe der Logik In der nebenstehenden Tabelle werden einige logischen Zeichen angegeben. Die logischen Zeichen V und :3 werden auch Quantoren genannt. Zu beachten ist, dass V x fUr alle x aus einer Menge, dem sogenannten Variablenbereich, und :3 x fur wenigstens ein x aus dem Variablenbereich zutrifft. An den folgenden Beispielen wird erHi.utert, wie man mit diesen logischen Zeichen Aussagen formulieren kann. Zeichen lies: . .. ist Element von ... E ... ist kein Element von ... I oder: .. . fur die gilt ... rt V fur alle . .. gilt :3 es existiert wenigstens ein ... ~ es existiert kein ... Tabelle 1.1: Logische Zeichen Beispiel 1.2: Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von logischen Zeichen. (1) Es existiert eine reelle Zahl x, die Losung der Gleichung x 3 - 1 = 0 ist. (2) Es existiert keine reelle Zahl x, die die Gleichung x 2 + 1 = 0 lOst. (3) Fur jede reelle Zahl x gilt x 2 + 2x + 1 ~ O. Losung: (1) :3xElRlx3 -1=O, (2) ~xElRlx2+1=O, (3) V x E 1R I x 2 + 2x + 1 ~ O. (1)-(3) sind wahre Aussagen. <l Aufgabe 1.1: Es bezeichne x eine beliebige reelle Zahl. Welche A ussagen sind wahr'l (1) (3) 1.1.2 :3xElRlx+1=x. V x E lR I x ~ 2. (2) VXElRlx 2 +x=x(x+1). (4) :3 x E lRl (x + 1)2 = x 2 + 3x. Aussageformen und Aussagenverbindungen In engem Zusammenhang zur Aussage steht die sogenannte Aussageform. Definition 1.3: Ein Gebilde heiflt Aussageform, wenn folgende Bedingungen erfullt sind: (1) Das Gebilde enthiilt mindestens eine Variable und (2) nach dem Ersetzen aller Variablen durch Konstanten oder Quantoren entsteht eine A ussage. Kapitel1. Grundlagen 16 Zu beachten ist, dass eine Aussageform weder wahr noch falsch ist. Erst dann, wenn alle in einer Aussageform auftretenden Variablen durch Konstanten bzw. durch Quantoren ersetzt wurden, entstehen wahre oder falsche Aussagen. Eine Aussageform ist folglich eine Vorschrift, aus der sich Aussagen gewinnen lassen. Beispiel 1.3: Klaren Sie, welehe Formulierungen A ussagen und was A ussa(1) Y wurde 1998 in Frankreieh Fupballweltmeister. geformen sind. (2) 3 + x = 4 . (3) V x E lRl 3 + x = 4 . (4) 3XElRI3+x=4. (5) xElR. Losung: (1), (2) und (5) sind Aussageformen. (3) und (4) sind Aussagen. Wird in der Aussageform y durch "Deutschland" ersetzt, entsteht eine falsche Aussage. Wird in der Aussageform y durch "Frankreich" ersetzt, entsteht eine wahre Aussage. Fur x = 1 wird aus (2) eine wahre Aussage und fUr x = 2 eine falsche Aussage. Da (3) "fur alle reellen Zahlen x gilt 3 + x = 4 " bedeutet, ist (3) eine falsche Aussage. 1m Unterschied dazu ist (4) "es existiert eine reelle Zahl x, so dass 3 + x = 4 gilt" eine wahre Aussage. Man muss nur x = 1 setzen. <l Durch Verknupfungen von Aussagen entstehen wieder Aussagen bzw. Aussagenverbindungen. Wichtige Aussagenverbindungen werden in der folgenden Definition zusammengefasst. Definition 1.4: Mit den Aussagen Aussagenverbindungen definiert: Ii p 1\ q pV q p ==> q p {::::::} q p und q werden folgende die Negation von p (lies "nieht p ") ist genau dann wahr, wenn p nieht wahr ist; die Konjunktion von p und q (lies "p und q ") ist genau dann wahr, wenn sowohl pals aueh q wahr sind; die Disjunktion von p und q (lies "p oder q ") ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der A ussagen p oder q wahr ist; die Implikation aus p folgt q (kurz "aus p folgt q ") ist genau dann falsch, wenn die A ussage p wahr und die A ussage q falsch ist; die Aquivalenz von p und q (lies "p genau dann, wenn q ") ist genau dann wahr, wenn die A ussagen p und q den gleichen Wahrheitswert haben. Bemerkungen: In der Literatur findet man noch die Alternative ("entweder p oder q"), die in diesem Buch nicht verwendet wird. 1.1. Grundbegriffe der Logik 17 Bei der Implikation p ~ q bezeichnet man die Aussage pals Pramisse (Voraussetzung) und die Aussage q als Konklusion (Behauptung). Man sagt auch "die Aussage p ist hinreichend flir die Aussage q" oder "die Aussage q ist notwendig flir die Aussage p". Hinter der Aquivalenz p {:::::} q verbergen sich (gleichzeitig) die Implikationen p ~ q und q ~ p, d.h., (p {:::::} q) {:::::} ~ q) A (q ~ p)). Man spricht in diesem Fall auch von liquivalenten bzw. identischen Aussagenverbindungen oder sagt "die Aussage p ist notwendig und hinreichend ftir die Aussage q". ((p Der Wahrheitsgehalt einer Aussagenverbindung Hisst sich mit einer sogenannten Wahrheitstafel beurteilen. In einer Wahrheitstafel wird flir jede Kombination der Wahrheitswerte (wahr: w, falsch: f) der eingehenden Aussagen der Wahrheitswert der Aussagenverbindung vereinbart bzw. ermittelt. Satz 1.1: Es gelten folgende Wahrheitstafeln: Konjunktion: p w f w f q w w f f pAq w f f f Disjunktion: p w f w f q w w f f pVq w w w f Implikation: p w f w f q w w f f p~q w w f w Negation: ttT+ p f w Aquivalenz: p w f w f q w w f f p{:::::}q w f f w Beweis: Die Beweise dieser Wahrheitstafeln ergeben sich unmittelbar aus der Definition 1.4. • Bei identischen Aussagenverbindungen stimmen die Wahrheitstafeln tiberein und umgekehrt: Wenn die Wahrheitstafeln zweier Aussagenverbindungen tibereinstimmen, dann gelten sie als aquivalent (identisch). Wenn mehr als zwei Aussagen miteinander verkntipft werden, lassen sich die Wahrheitstafeln analog wie im Satz 1.1 angeben. Eine haufige Fehlerquelle ist die nicht korrekte Ausfiihrung der Negation von Aussagenverbindungen. Offensichtlich sind die Aussagen p und p aquivalent (Negation der Negation). Nicht so offensichtlich sind die Aquivalenzen, die Kapitell. Grundlagen 18 in den beiden folgenden Satzen betrachtet werden. I Sat. 1.2: Beweis: Es ergibt sich die neb en- q==}p: stehende Wahrheitstafel. Da diese Wahrheitstafel mit der Wahrheitstafel fUr die Implikation (Seite 17) iiberein.... stimmt, ist der Satz bewiesen. w w f f q ==} P w p q q p f w f w w w f w f f f f w w w Aus dem Satz folgt: p =:::} q ist genau dann wahr, wenn die Aussage p wahr und gleichzeitig die Aussage q falsch ist. Satz 1.3: Es gelten die De Morganschen Regeln (p!\ q) <==? (p V q) und (p V q) <==? (p!\ q) . Beweis: Der Beweis lasst sich mit der Aufstellung der Wahrheitstafeln fUhren. Wir demonstrieren das fUr die erste Aussagenverbindung. p!\ q: p q p!\q p!\q w f w f w w f f w f f f f w w w pVq: p q p q pVq w f w f w w f f f w f w f f w w f w w w Da die beiden Wahrheitstafeln iibereinstimmen, sind die Aussagen p!\ q und p V q identisch. Den Beweis der zweiten Aussagenverbindung iiberlassen wir dem Leser. .... Aufgabe 1.2: V trachtet: bezeichne ein Viereck. Es werden folgende A ussagen be- p = (V ist ein Quadrat) q = (V ist ein Rechteck) r = (V hat vier rechte s= Winkel) (V hat vier gleichlange Seiten) Welche Aussagenverbindungen sind wahr'l (2) r (5) r <==? ==} q p (3) q ==} P (6) (r!\ s) <==? p 1.1. Grundbegriffe der Logik 19 Aufgabe 1.3: Es werden folgende Aussagen betrachtet: p = (Das Produkt A wird hergestellt.) q = (Der Umsatz geht zurilck.) Stellen Sie die folgenden Aussagenverbindungen auf. (1) (2) (3) (4) Wenn das Produkt A hergestellt wird, geht der Umsatz zuriick. Wenn der Umsatz zurilckgeht, wird das Produkt A hergestellt. Der Umsatz geht genau dann zuriick, wenn das Produkt A hergestellt wird. Wenn der Umsatz zurilckgeht, wird das Produkt A nicht hergestellt. In der Schaltalgebra lassen sich Aussagen als Schalter interpretieren, wobei die Schalterstellung den Wahrheitswert der Aussage ausdriickt. Ein offener Schalter ("Stromfluss unterbrochen") stellt den - /~G - Wahrheitswert "falsch" und ein geschlossener Schalter ("Strom flie6t") den Wahrheitswert Bild 1.1: Reihenschaltung "wahr" dar. Die Konjunktion entspricht dann mit oJJenen Schaltern einer Reihenschaltung von Schaltern. Es flie6t ~ genau dann Strom, wenn beide Schalter geschlossen sind. Analog entspricht einer Disjunk~ tion eine Parallelschaltung von Schaltern. Es flie6t genau dann Strom, wenn wenigstens ein Bild 1.2: Parallelschaltung Schalter geschlossen ist. mit oJJenen Schaltern :J- 1.1.3 Beweisverfahren Wichtige Behauptungen werden in der Mathematik als mathematische Satze (Satze, Hilfssatze (Lemmata), Folgerungen, Eigenschaften) formuliert. Bei diesen Satzen wird von gewissen vorgegebenen Voraussetzungen ausgegangen. Die Voraussetzungen (V) und die Behauptungen (B) sind Aussagen, die in einem mathematischen Satz durch eine Implikation (V) ==> (B) oder eine .Aquivalenz (V) {:::::} (B) verkniipft sind. In einem Beweis wird gezeigt, dass die Implikation (V) ==> (B) (bzw. die .Aquivalenz (V) {:::::} (B)) wahr ist. Dabei wird auf bereits bewiesene mathematische Satze zurUckgegriffen. Die Mehrheit der mathematischen Satze in diesem Buch wird angegeben, ohne den Beweis in vollem Umfang aufzuschreiben. Zum Teil werden nur die wesentlichen Ideen dieser Beweise aufgefiihrt. Wichtige Beweismethoden werden hier kurz besprochen. Kapitel1. Grundlagen 20 Direkter Beweis: Beim direkten Beweis geht man von einer wahren Aussage (V) aus und folgert daraus (mit bereits bewiesenen mathematischen Satzen) die Aussage (B). Die Aussage (B) ist dann ebenfalls wahr (siebe die Wahrheitstabelle der Implikation). Die Satze im vorangegangenen Abschnitt wurden mittels direktem Beweis bewiesen. Indirekter Beweis: Bei dieser Beweismetbode wird der Satz 1.2 verwendet. Es wird von der Negation (B) der Bebauptung (B) ausgegangen und ein Widerspruch konstruiert. Aus der Wahrheitstafel der Implikation folgt dann hieraus, dass die Aussage (B) falsch ist. Da (B) falsch ist, muss die Behauptung (B) wahr sein. Der folgende Satz wird indirekt bewiesen. I Satz 1.4: V2 is! eine imltiona/e Zahl. Beweis: Es wird das Gegenteil angenommen: y'2 sei eine rationale Zahl. Daraus folgt die Existenz zweier teilerfremder ganzen Zahlen r und 8, fUr die y'2 = ~ gilt. Hieraus folgt y'2. 8 = r bzw. 2· 8 2 = r2. Da 2 . 8 2 eine gerade Zahl ist, trifft dies auch fUr r2 zu. Daher muss r selbst gerade sein, d.h., es existiert ein mEN mit r = 2 . m. Hieraus erhalt man 2· 8 2 = (2 · m)2 = 4· m 2 . Aus der letzten Gleichung folgt, dass 8 2 geradzahlig und somit auch 8 geradzahlig ist. Da r und 8 gerade Zahlen sind, widerspricht das der Annahme: r und 8 sind teilerfremd. D.h., y'2 ist keine rationale Zahl. • Induktiver Beweis: Dieser Beweis wird zur Uberpriifung einer von n abhangenden Aussage B(n), n E N, n ~ no, verwendet. 1m ersten Schritt (Induktionsanfang) wird gepriift, ob B(no) wahr ist. 1m nachsten Schritt wird angenommen, dass die Aussage B(n) fUr ein beliebiges n EN, n ~ no, wahr sei. Unter dieser Voraussetzung wird dann gezeigt, dass auch B(n + 1) wahr ist (Induktionsschritt). Wenn das der Fall ist, gilt die Aussage B(n) fUr alle n E N, n ~ no. Bemerkung: 1m folgenden Satz wird das Summenzeichen E verwendet. Mit diesem Zeichen lassen sich Summen iibersichtlich aufschreiben. Dabei gilt n ~ ale := am + am+! + ... + an-l + an , Ie=m wobei der Laufindex k die ganzen Zahlen von m bis n durchlauft. Durch das Ergibt-Gleich-Zeichen ,,:=" wird verdeutlicht, dass es sich in diesem Fall urn eine Definitionsgleichung handelt. Der Doppelpunkt steht dabei vor dem zu definierenden Ausdruck. 21 1.2. Grundbegriffe der Mengenlehre Der Leser uberzeugt sich leicht von der Gultigkeit der folgenden Rechenregeln. n n Lak = LCli, k=m i=m n n n n n L c . ak = c· L ak , k=m k=m L(ak +bk) = L ak k=m k=m n Lc={n-m).c, k=m + Lbk k=m Satz 1.5: Es sei q =f. 1 eine reelle Zahl. Dann gilt fur jedes n E N n ~k n 12 L-q =l+q +q + ... +q = k=O 1 -1· ~1 q q Beweis: Fur n = 0 folgt die wahre Aussage 1 = 1. Es wird angenommen, n qn+l _ 1 dass B{n) = L qk = q _ 1 fUr beliebiges n E N gilt. Dann folgt k=O n+l n n+l 1 B{ n + 1) = L qk = L q" + qn+l = q _ ~ + qn+l k=O k=O q qn+l _ 1 + (q - 1) . qn+l qn+2 - 1 = = -"---q-1 q-1 D.h., wenn B{n) wahr ist, ist auch B{n + 1) und damit der Satz wahr. .... 1.2 Grundbegriffe der Mengenlehre Die Mengenlehre wurde von G. Cantor (1845-1918) begriindet. Sie ist eine wesentliche Voraussetzung urn Aufgaben aus den unterschiedlichsten Gebieten behandeln zu konnen. Der Begriff der Menge wurde bereits in der Definition 1.2 eingefUhrt. 1.2.1 Mengenoperationen Definition 1.5: Eine Menge A ist genau dann Teilmenge von der Menge B, wenn jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist. Man schreibt: A c B und sagt: "die Menge A ist in der Menge B enthalten ". Diese Definition ist gleichbedeutend mit A c B ~ (Vxl (x E A ==> x E B)).
