Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
3. Vorlesung - 21.10.2016
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Bedingte Wahrscheinlichkeit
In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne
Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass :
a) man eine grüne und danach eine blaue Kugel zieht?
b) beide Kugeln die gleiche Farbe haben?
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition 4
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B ∈ K. Die
bedingte Wahrscheinlichkeit von A durch B ist P(·|B) : K → R
definiert durch
P(A ∩ B)
P(A|B) =
,
P(B)
wenn P(B) > 0. P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des
Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Eintreten des Ereignisses B
bereits bekannt ist.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Übung
Man beweise, dass für A, B ∈ K, P(A) > 0, P(B) > 0 gilt:
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
P(A|B) = 1 − P(Ā|B)
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Satz 5 - Multiplikationsregel
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A1 , . . . , An ∈ K so
dass
P(A1 ∩ · · · ∩ An−1 ) > 0.
Es gilt
P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )P(A2 |A1 ) . . . P(An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ).
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Vollständiges System von Ereignissen
Definition 5
Eine Menge von Ereignissen (Ai )i∈I aus Ω heißt vollständiges System
von Ereignissen (Partition, Unterteilung) in Ω, wenn
[
Ai = Ω
i∈I
und für alle i, j ∈ I , i 6= j, die Ereignisse Ai und Aj disjunkt sind, d.h.
∀i, j ∈ I , i 6= j,
Ai ∩ Aj = ∅.
.
Beispiel: A ⊂ Ω ⇒ {A, Ā} ist vollständiges System von Ereignissen in Ω.
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Satz 6 - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) sei (Ai )i∈I ein vollständiges
System von Ereignissen mit P(Ai ) > 0 und Ai ∈ K für alle i ∈ I . Für
A ∈ K gilt
X
P(A) =
P(Ai )P(A|Ai ).
i∈I
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Satz 7 - Formel von Bayes
In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) sei (Ai )i∈I ein vollständiges
System von Ereignissen mit P(Ai ) > 0 und Ai ∈ K für alle i ∈ I und sei
A ∈ K, so dass P(A) > 0. Es gilt
P(Aj )P(A|Aj )
P(Aj |A) = X
P(Ai )P(A|Ai )
∀j ∈ I .
i∈I
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Unabhängige Ereignisse
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 6
Die Ereignisse A, B ∈ K sind unabhängig, wenn das Auftauchen des
Ereignisses A, das Auftauchen des Ereignisses B nicht beeinflusst und
umgekehrt
Wenn A und B unabhängig sind, dann gilt
P(A|B) = P(A) und P(B|A) = P(B)
Definition 6∗
Die Ereignisse A, B ∈ K sind unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
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Unabhängige Ereignisse
Satz 8
In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, K, P) mit A, B ∈ K sind folgende
Aussagen äquivalent:
a) A und B sind unabhängig;
b) A und B̄ sind unabhängig;
c) Ā und B sind unabhängig;
d) Ā und B̄ sind unabhängig.
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Unabhängige Ereignissen
Definition 7
Die Ereignisse A1 , . . . , An aus K sind unabhängig (in der Gesamtheit),
wenn für jede endliche Menge {i1 , . . . , im } ⊂ {1, . . . , n}
P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aim ) = P(Ai1 ) . . . P(Aim ).
A1 , . . . , An aus K sind paarweise unabhängig, wenn
P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ) ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j.
Fragen: Was bedeutet:
a) dass 3 Ereignisse A, B, C paarweise unabhängig sind?
b) dass die 3 Ereignisse A, B, C unabhängig sind?
Antworten:
a) P(A ∩ B) = P(A)P(B), P(B ∩ C ) = P(B)P(C ), P(A ∩ C ) = P(A)P(C )
b) P(A ∩ B) = P(A)P(B), P(B ∩ C ) = P(B)P(C ), P(A ∩ C ) = P(A)P(C )
und P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C )
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Beispiel mit dem Tetraeder
Die 4 Flächen eines fairen Tetraeders sind eine rot, eine blau, eine grün
gefärbt. Die vierte Fläche ist mit allen drei Farben bunt bemalt. Das
Tetraeder wird geworfen, und es werden die folgenden Ereignisse
betrachtet:
R: der Teraeder fällt auf eine Fläche mit roter Farbe
B: der Teraeder fällt auf eine Fläche mit blauer Farbe G : der Teraeder fällt
auf eine Fläche mit grüner Farbe
a) Sind R, B, G paarweise unabhängig?
b) Sind die 3 Ereignisse R, B, G unabhängig?
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Zufallsgrößen
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 8
X : Ω → R heißt Zufallsgröße (zufällige Variable), wenn
{ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x} ∈ K für alle x ∈ R.
Zufallsgröße → ZG
Beispiel: Ein Spieler wirft zwei unterscheidbare Münzen
⇒ Ω = {(K , Z ), (K , K ), (Z , K ), (Z , Z )}
Die Zufallsgröße X zeigt an wie oft Zahl (Z ) aufgetaucht ist:
⇒ X : Ω → {0, 1, 2}
⇒ P(X = 0) = P(X = 2) = 14 , P(X = 1) = 12 ,
weil X ((K , Z )) = 1, X ((K , K )) = 0, X ((Z , K )) = 1, X ((Z , Z )) = 2
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Eine Zufallsgröße heißt
diskret,
wenn sie endlich viele (x1 , . . . , xn ) oder
abzählbar unendlich viele (x1 , . . . , xn , . . . ) Werte
stetig,
wenn sie (überabzählbar viele) Werte in einem Intervall
oder aus R
annehmen kann.
Diskrete ZG: Summe der Zahlen beim Würfeln, Anzahl defekter Teile
während der Produktion, Anzahl Druckfehler auf einer Zeitungsseite. . .
Stetige ZG: Brenndauer einer Glühlampe, Abfüllmenge in Konserven,
Länge von hergestellten Schrauben, Temperaturen . . .
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Diskrete Zufallsgrößen X : Ω → {x1 , x2 , . . . , xi , . . . }
Beschreibung durch
X ∼
x1 x2 . . .
p1 p2 . . .
xi
pi
...
...
xi
=
pi i∈I
I ⊆ N (Indexmenge)
mit den Wahrscheinlichkeiten pi = P(X = xi ) > 0, i ∈ I , wobei
P
i∈I
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pi = 1
