Zahlentheorie

Prof. Dr. H. Brenner
Osnabrück WS 2016/2017
Zahlentheorie
Vorlesung 6
Der Charakterisierungssatz für zyklische Einheitengruppen
Wir beenden zunächst unsere Überlegungen, wann die Einheitengruppe eines
Restklassenringes von Z zyklisch ist.
Lemma 6.1. Die Einheitengruppe von Z/(2r ) ist nicht zyklisch für r ≥ 3.
Beweis. Bei r = 3 ist dies eine direkte Berechnung. Generell ist für r ≥ 3
die Abbildung
(Z/(2r ))× −→ (Z/(8))×
surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind). Da eine
Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist, folgt, dass
(Z/(2r ))× nicht zyklisch sein kann.
Unser abschließendes Resultat ist nun der folgende Satz.
Satz 6.2. Die Einheitengruppe (Z/(n))× ist genau dann zyklisch, wenn
n = 1, 2, 4, ps , 2ps
ist, wobei p eine ungerade Primzahl und s ≥ 1 ist.
Beweis. In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe (Z/(n))× zyklisch aufgrund von Satz 5.11, Bemerkung 5.12 und der Isomorphie
×
×
×
(Z/(2pr ))× ∼
= (Z/(2)) × (Z/(pr )) ∼
= (Z/(pr )) .
Sei also umgekehrt n mit der Eigenschaft gegeben, dass (Z/(n))× zyklisch
sei. Es sei n = 2r · pr11 · pr22 · · · prkk die kanonische Primfaktorzerlegung mit
ungeraden Primzahlen p1 , . . . , pk und ri ≥ 1, die nach dem Chinesischen
Restsatz zur Isomorphie
(Z/(n))× = (Z/(2r ))× × (Z/(pr11 ))× × (Z/(pr22 ))× × · · · × (Z/(prkk ))×
führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind,
folgt nach Lemma 6.1, dass r = 0, 1 oder 2 ist. Ein Produkt von zyklischen
Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise
teilerfremd sind. Die Ordnungen von (Z/(pri i ))× sind aber gerade für pi ungerade und ri ≥ 1, und die Ordnung von (Z/(2r ))× ist gerade für r ≥ 2.
Also ist k ≤ 1. Bei k = 1 ist r = 2 nicht möglich. Bei k = 0 verbleiben die
angeführten Fälle n = 1, 2, 4.
1
2
Quadratische Reste
Wir wollen nun wissen, welche Zahlen k modulo einer fixierten Zahl n (häufig
einer Primzahl) ein Quadrat sind, also eine Quadratwurzel besitzen. Man
spricht von quadratischen Resten und nichtquadratischen Resten (häufig wird
auch von quadratischen Nichtresten gesprochen).
Definition 6.3. Eine ganze Zahl k heißt quadratischer Rest modulo n, wenn
es eine Zahl x gibt mit
x2 = k mod n .
Im anderen Fall heißt k ein nichtquadratischer Rest modulo n.
Eine Quadratzahl ist natürlich auch ein quadratischer Rest modulo jeder Zahl
n. Umgekehrt ist eine Zahl, die selbst keine Quadratzahl ist, modulo gewisser
Zahlen ein quadratischer Rest und modulo gewisser Zahlen ein nichtquadratischer Rest. Grundsätzlich kann man zu gegebenen k und n naiv testen, ob
k ein quadratischer Rest ist oder nicht, indem man alle Reste quadriert und
schaut, ob der durch k definierte Rest dabei ist. Die Frage nach den Quadratresten weist aber eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten auf, die wir im folgenden
kennen lernen werden und mit deren Hilfe man effektiver entscheiden kann,
ob ein Quadratrest vorliegt oder nicht.
Beispiel 6.4. In Z/(11) sind die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16 = 5, 25 = 3 Quadratreste, die Zahlen 2, 6, 7, 8, 10 sind nichtquadratische Reste.
Satz 6.5. Sei n eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung n = pr11 · pr22 · · · prss (die pi seien also verschieden). Dann ist k
genau dann Quadratrest modulo n, wenn k Quadratrest modulo pri i ist für
alle i = 1, . . . , s.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.13.
Satz 6.6. Sei p eine ungerade Primzahl und sei k ∈ Z/(pr ).
(1) Ist k teilerfremd zu p (also kein Vielfaches von p), dann ist k genau
dann ein Quadratrest modulo pr , wenn k ein Quadratrest modulo p
ist.
(2) Ist k = ps u mit u teilerfremd zu p und s < r, so ist k genau dann ein
Quadratrest modulo pr , wenn s gerade und wenn u ein Quadratrest
modulo p ist.
Beweis. Die natürliche Abbildung
Z/(pr ) −→ Z/(p)
liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo pr auch ein Quadratrest modulo
p ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Lemma 5.9
ist die Abbildung
(Z/(pr ))× −→ (Z/(p))×
3
surjektiv und nach Satz 5.11 sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h.
ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man
diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der
Homomorphismus die den additiven Erzeuger 1 auf die 1 schickt. Dies erreicht
man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation
links mit einem primitiven Element g ∈ Z/(pr ) und rechts ebenfalls mit g
(jetzt aufgefasst in Z/(p)) stiftet.
(Z/(pr ))×
−→ (Z/(p))×
∼
↑∼
=↑
= .
r−1
Z/(p (p − 1)) −→ Z/(p − 1)
Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als
Z/(pr−1 ) × Z/(p − 1) ∼
= Z/(pr−1 (p − 1)) −→ Z/(p − 1) mit 1 = (1, 1) 7−→ 1 .
Da überdies p und p − 1 teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die
Projektion (b1 , b2 ) 7→ b2 vor.
Die Voraussetzung, dass k modulo p ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das k entsprechende Element (sagen wir b = (b1 , b2 )) in Z/(p−1)
ein Vielfaches von 2 ist. D.h. die zweite Komponente, also b2 , ist ein Vielfaches der 2. Da modulo der ungeraden Zahl pr−1 jede Zahl ein Vielfaches von
2 ist (da 2 eine Einheit in Z/(pr−1 ) ist), ist auch die erste Komponente, also
b1 , ein Vielfaches von 2 und so muss b insgesamt ein Vielfaches der 2 sein.
Sei nun k = ps u, 1 ≤ s ≤ r − 1, und zunächst angenommen, dass k ein
Quadrat ist. D.h wir können k als k = x2 mit x = pt v, schreiben, wobei
v eine Einheit sei. Es ist also ps u = p2t v 2 in Z/(pr ) und es ist 2t < r
(sonst steht hier 0). Durch Betrachten modulo ps und modulo p2t sieht man,
dass s = 2t sein muss. Insbesondere ist s gerade. Es gilt also ps u = ps v 2
mod pr und somit können wir ps (u − v 2 ) = cpr schreiben. Kürzen in Z
ergibt u − v 2 = cpr−s , also u = v 2 mod p. Also ist u ein quadratischer Rest
modulo p und nach dem ersten Teil auch modulo pr .
Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.
Satz 6.7. Sei p = 2 und sei k ∈ Z/(2r ).
(1) Für r = 2 ist k genau dann quadratischer Rest, wenn k = 0, 1
mod 4 ist.
(2) Für r ≥ 3 und k ungerade ist k genau dann quadratischer Rest
modulo 2r , wenn k = 1 mod 8 ist.
Beweis. (1) ist trivial.
(2). In Z/(8) ist von den ungeraden Zahlen lediglich die 1 ein Quadrat, so
dass der Ringhomomorphismus
Z/(2r ) −→ Z/(8)
4
für r ≥ 3 zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Sei diese
umgekehrt nun erfüllt, also a ∈ (Z/(2r ))× mit a = 1 mod 8. Dann kann
man nach Bemerkung 5.12
a = ±5i .
schreiben. Dies gilt aber auch modulo 8, woraus sofort folgt, dass i gerade
und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist 5i/2 eine Quadratwurzel von a
in Z/(2r ).
Wir werden uns im folgenden weitgehend darauf beschränken, welche Zahlen
modulo einer Primzahl Quadratreste sind. Da allerdings die Primfaktorzerlegung einer größeren Zahl nicht völlig unproblematisch ist, müssen wir später
auch Techniken entwickeln, die ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung auskommen. Direkt beantworten lässt sich die Frage, wann −1 ein Quadratrest
modulo einer Primzahl ist.
Satz 6.8. Sei p eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.
Für p = 2 ist −1 = 1 ein Quadrat in Z/(2).
Für p = 1mod 4 ist −1 ein Quadrat in Z/(p).
Für p = 3mod 4 ist −1 kein Quadrat in Z/(p).
Beweis. Die erste Aussage ist klar, sei also p ungerade. Nach Satz 5.3 ist
die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung p − 1. Identifiziert man
,
((Z/(p))× , 1, ·) mit (Z/(p − 1), 0, +), so entspricht −1 dem Element p−1
2
und −1 besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn p−1
in
Z/(p
−
1)
ein
2
Vielfaches von 2 ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn p−1
selbst gerade
2
ist, was zu p = 1 mod 4 äquivalent ist.