Mathematik 1, Teil B

FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven · Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
Prof. Dr. J. Wiebe
www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B
Inhalt:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
Grundbegriffe der Mengenlehre
Matrizen, Determinanten
Vektoren, Rechenregeln
Komplexe Zahlen
Lineare Gleichungssysteme
Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik
Vektoren, Anwendungen in der Geometrie
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Mathematik 1, Teil B, Kap.1
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1. Grundbegriffe der Mengenlehre
1.1 Mengenbegriff
Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung ( Gesamtheit ) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens mit gemeinsamen Merkmalen.
[ Georg Cantor, 1895 ]
Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Symbolik:
große Buchstaben für Mengen: A, B, M, N, ...
kleine Buchstaben für Elemente: a, b, x, y, ...
a ∈ M : a ist Element von M
a ∉ M : a ist nicht Element von M
Beispiele für Mengen:
-
Mengen, die in der realen Welt vorkommen : Autos, Zuhörer, ...
-
Mengen in mathematischen Zusammenhängen :
· Lösungsmenge einer Gleichung IL
· Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen
· Zahlenmengen:
IN Menge der natürlichen Zahlen ( inkl. der Null )
Z Menge der ganzen Zahlen
( Menge der rationalen Zahlen
Q
IR Menge der reellen Zahlen
C(
Menge der komplexen Zahlen
Beschreibung von Mengen:
1.)
Durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern
L = { -2; 4 },
M = { 2, 4, 6, 8, 10 },
S ={ 0}
N = { } ist die sog. Leere Menge ( die kein Element enthält ); spezielles Symbol: Ø
A = { a, b, a, c }
2.)
ist ein Widerspruch zur Definition, keine Aufzählung mit gleichen Elementen
Durch verbale Beschreibung:
„alle durch 5 teilbaren Zahlen“
( , IR
andere Beispiele sind IN , Z , Q
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3.)
Durch Angabe der charakteristischen Eigenschaften der Elemente
M = { x | Eigenschaft(en) }
z.Bsp.:
M = { n | n < 10 },
A = { x ∈ IR | 5 teilt x }
Verwenden von Symbolen der Boolschen Algebra
„∨“ bedeutet ODER,
„∧“ bedeutet UND ( und zugleich )
z. Bsp.: M = { n | ( n ∈ Z ) ∧ ( n ≤ 10 ) }
= { n ∈ Z | n ≤ 10 }
M={ n∈Z |( n<0)∨ (n>1) }
Auf Widersprüche achten:
M = { n ∈ Z | ( n < 0 ) ∧ ( n > 1 ) } bedeutet: M = { }
M = { n ∈ Z | 0 > n > 1 } ist nicht erlaubt; die Ungleichungskette ist transparent, d.h. es werden
nicht nur die Werte unmittelbar neben den Ungleichheitszeichen einbezogen sondern alle,
hier also die falsche Aussage: 0 > 1.
Damit sind auch Angaben wie M = { n ∈ Z | 0 < n > 1 } nicht erlaubt.
4.
Intervalle reeller Zahlen
(a)
Beschränkte Intervalle
(1)
Offenes Intervall
( a, b ) ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a < x < b
Mengenschreibweise: A = { x ∈ IR | a < x < b }
graphische Darstellung:
(2)
Abgeschlossenes Intervall
[ a, b ] ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b
Mengenschreibweise: A = { x ∈ IR | a ≤ x ≤ b }
graphische Darstellung:
IR
(3)
Halboffenes Intervall
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[ a, b ) =
{ x ∈ IR | a ≤ x < b }
( a, b ] =
{ x ∈ IR | a < x ≤ b }
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(b)
Unbeschränkte Intervalle
sind Intervalle, die die uneigentliche Grenze Unendlich ( ∞ ) enthalten
(
(
(
[
(
- ∞, ∞ ) = { x ∈IR | - ∞ < x < ∞ }
a, ∞ ) = { x ∈ IR | a < x < ∞ } = { x ∈ IR | a < x }
- ∞, b ) = { x ∈ IR | - ∞ < x < b } = { x ∈ IR | x < b }
a, ∞ ) = { x ∈ IR | a ≤ x < ∞ } = { x ∈ IR | a ≤ x }
- ∞, b ] = { x ∈ IR | - ∞ < x ≤ b } = { x ∈ IR | x ≤ b }
Anmerkung: Das Symbol ∞ kennzeichnet nicht einen festen Punkt auf der Zahlengeraden.
Daher kann es keine abgeschlossene Intervallgrenze bei ∞ geben !
1.2 Mengenrelationen
Def.:
Eine Menge A heißt Teilmenge ( = Untermenge ) der Menge B, wenn jedes Element von A
auch Element von B ist.
Symbolik:
A ⊂ Β ( echte Teilmenge )
oder A ⊆ B ( Das Enthaltensein schließt die Gleichheit ein. )
B heißt damit auch „Obermenge“ von A : B ⊃ Α.
Graphische Darstellung
als VENN-Diagramm:
Beispiele:
( ⊂ IR ⊂ C
(
IN ⊂ Z ⊂ Q
Def.:
Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
Def.:
Zwei Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn sie keine gemeinsamen
Elemente enthalten.
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1.3 Mengenoperationen
M=A∪B
Vereinigung
M = Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören
Man schreibt:
x∈Μ ↔ x∈A ∨ x∈B
Graphische Darstellung:
Beispiele:
1.)
M 1 = { x | x gerade Zahl }
M 2 = { x | x ungerade Zahl }
M1 ∪ M2 = Z
2.)
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 3, 6, 7 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Wenn gilt: A = B , dann gilt auch A ∪ B = A = B
Durchschnitt oder Schnittmenge
M=A∩B
M = Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören
Man schreibt:
x∈Μ ↔ x∈A ∧ x∈B
Graphische Darstellung:
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Beispiele zur Schnittmenge:
1.)
M 1 = IN , M 2 = IR
M = M 1 ∩ M 2 = IN
2.)
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
A ∩ B = { 2, 3 }
B = { 2, 3, 6, 7 }
Wenn A = B, dann A ∩ B = A = B
Sind A und B disjunkte Mengen, dann ist ihr Durchschnitt leer: A ∩ B = Ø
Rechengesetze zu Vereinigung und Durchschnitt:
Gegebene Mengen: A, B, C
• Kommutativgesetze:
A ∪B=B∪A
A∩ B=B ∩A
• Assoziativgesetze:
A ∪B∪C = (A∪B ) ∪C = A∪(B ∪C)
A∩B∩C = (A ∩B) ∩C = A∩(B∩C)
• Distributivgesetze:
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩B )∪ ( A∩ C )
A∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A∪C )
• Leere Menge:
A ∪ Ø = A,
A∩Ø = Ø
Komplementärmenge:
Gegeben:
M : Universal- / Obermenge, Menge A mit A ⊆ Μ
_
_
_
Die Komplementärmenge A ist definiert durch A ∪ A = M und A ∩ A = Ø.
Grafisch:
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Differenz:
M = A \ B oder A - B
M ist die Menge aller Punkte, die zu A, aber nicht zu B gehören.
Man schreibt:
x∈Μ ↔ x∈A ∧ x∉B
Beispiele:
1.)
A = { x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 10 },
B = { x ∈ IR | 8 ≤ x ≤ 12 }
A\B = { x ∈ IR | 0 ≤ x < 8 }
2.)
M 1 = { 1, 2, 3, 4, 5 }
M 2 = { 2, 4, 6, 8, 10 }
M 1 \M2 = { 1, 3, 5 }
3.)
A\ Ø = A
4.)
Wenn A = B, dann A\B = Ø
Mengenprodukt ( oder Kreuzprodukt )
A×Β = Menge aller geordneten Paare ( a, b ) mit a ∈ A und b ∈ B
symbolisch:
A×Β = { ( a, b ) | a ∈ A ∧ b ∈ B }
Beispiele:
1.)
A = { a 1, a2 , a 3 },
B = { b1 , b 2 }
A×Β = { (a 1, b1), (a1, b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b 2), (a 3, b1), (a3 , b2 ) }
B×Α = { (b 1, a 1), (b1, a2 ), (b1 , a3 ), (b2 , a 1), (b 2, a 2), (b2, a3 ) }
Die Reihenfolge ist wichtig; z.B. Spielplan der Fußball-Liga, erste Mannschaft hat Heimrecht;
oder Zuordnung der Werte in einem Koordinatensystem
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2.)
M 1 = { x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 3 },
M 2 = { y ∈ IR | 2 ≤ y ≤ 4 }
M 1 ×Μ 2 = { (x,y) | ( x, y ∈ IR ) ∧ ( 0 ≤ x ≤ 3 ) ∧ ( 2 ≤ y ≤ 4 ) }
Lösung graphisch:
3.)
x,y-Ebene : IR × IR = IR 2
Das Kreuzprodukt der reellen Zahlen stellt die gesamte x,y-Ebene lückenlos dar.
erstellt mit Papyrus X!
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