Vorlesung Tl.4

HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
Prof. Dr. J. Wiebe
1. e
2.
3.
www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4. Komplexe Zahlen
4.1 Die „Imagin•re Einheit i“ und die „Imagin•re Zahl“
Bei der L•sung von Gleichungen wie z.B.  x2 + 1 = 0
ergab sich die Notwendigkeit,
die Gr•‚e   zu verwenden ( Geronimo Cardano, 1545 ).

Spƒter wurde   mit i ( Euler, ab 1777 ) oder in der Elektrotechnik mit j abgek„rzt.
Mit der Festlegung
i€i = -1
ist i als die Imaginƒre Einheit definiert.
________________

Anmerkung: Die Verwendung von   nach den herk•mmlichen Rechenregeln st•‚t auf Widerspr„che:
 

 

Da  a  b =  a€b , ergibt sich f„r     =   = … 1. i€i ist aber eindeutig gleich -1.
_________________
Die Angabe
b€i mit b  IR ist damit eine „Imaginƒre Zahl“.
Imaginƒre Zahlen und reelle Zahlen haben verschiedenartige Eigenschaften, sie k•nnen z.B. nicht bez„glich ihrer Gr•‚e verglichen werden.
4.2 Die komplexe Zahl
Die Summe einer reellen Zahl a und einer imaginƒren Zahl b€i hei‚t „Komplexe Zahl“
z = a + b€i
mit a : Realteil, b : Imaginƒrteil
Damit lƒ‚t sich formulieren:
F„r jedes Polynom
p(x) = xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
gibt es komplexe Zahlen zk = ak + i€bk , so da‚
p(x) = ( x - z1 ) ( x - z2 ) ... ( x - zn ) .
Die z1, z2, ... , zn hei‚en „Wurzeln“ des Polynoms.
Rechengesetze:
Seien a, b, c, x beliebige komplexe Zahlen, und speziell gelte 1 = 1 + i€0, 0 = 0 + i€0.
Neben den Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren in der Ebene gilt:
1.)
2.)
3.)
4.)
a€(b€c) = (a€b)€c
a€b = b€a
a€1 = 1€a = a
( a+b ) €c = a€c + b€c
4-2
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.3 Darstellung von komplexen Zahlen
1.)
Kartesische Koordinaten,
d.h. mit Real- und Imaginƒrteil
z = a + i€b
( siehe 4.2 )
graphisch als Punkte mit den Koordinaten ( a,b ) in der Gau‚schen Zahlenebene
Re : Realteil
Im : Imaginƒrteil
Die Punkte k•nnen f„r Rechenzwecke auch
durch ihre Ortsvektoren gekennzeichnet werden.
2.)
Polarkoordinaten, d.h. mit Betrag und Winkel
r,  : Polarkoordinaten von z
Wertebereiche:
r  0, 0  2
Die Addition  + k€2 , k ,
verƒndert den Wert von z nicht.
r hei‚t „Betrag“ von z,  hei‚t „Argument“ (=Winkel) von z.
Polardarstellungen von z :
a)
b)
z = r ( cos + i€sin )
z = r e i€
Es gilt:
<== Real-/Imaginƒrteil
<== Exponentialform
| cos + i€sin | = | e i€ | = 1
4-3
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
Die Verbindung zwischen den Formen (a) und (b) ist durch die Eulersche Beziehung gegeben:
e i€ = cos + i€sin
Damit gilt auch:
cos = ˆ ( e i€ + e -i€ ) und sin = 1/2i ( e i€ - e -i€ )
3.)
Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen:
*
Gegeben: Betrag r und Winkel  von z , gesucht: Realteil und Imaginƒteil von z :
Re(z) = a = r cos
*
Im(z) = b = r sin
Gegeben: Realteil a und Imaginƒteil b von z , gesucht: Betrag r und Winkel  von z :
| z | = r =  a2 + b2
Argument ( Winkel ) von z :
 a 
 b 
b
 = arctan   = arcsin 
 = arccos  | z | 
a


| z |
Achtung: die Funktion tan(x) ist nur im Bereich -


x + definiert.
2
2
Winkel au‚erhalb dieses Bereiches
sind nur durch eine „geeignete Abfrage“
zu erkennen.
Definitionsbereich des tan()
Ist Re(z) = a < 0, so mu‚ der Winkelwert, der
sich mit der arctan-Funktion ergibt, um 
( bzw. 180‰) erh•ht werden.
Šhnliche Probleme treten bei Verwendung von arcsin( ) und arccos( ) auf,
die Korrektur ist aber nicht so einfach wie bei arctan( ) .
4-4
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.)
Spezielle Werte von z :
1=
i=
-1 =
-i =
e i€0
e i€(/2)
e i€ = e -i€
e -i€(/2)
siehe Abb. zu 1.) Kartesische Koordinaten
4.4 Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie entweder
a)
gleiche Real- und gleiche Imaginƒrteile
oder
b) gleiche Betrƒge und gleiche Argumente ( Winkel )
haben. F„r die Feststellung der Gleichheit m„ssen immer zwei Bedingungen gleichzeitig erf„llt sein.
zu a)
Gegeben seien z1 = a1 + i€b1 , z2 = a2 + i€b2
z1 = z2 hei‚t: a1 = a2 und b1 = b2
Gegeben seien z1 = r1 e i€ , z2 = r2 e i€
zu b)
z1 = z2 hei‚t: r1 = r2 und 1 = 2
Merke: Eine Gleichung mit komplexen Zahlen ergibt immer zwei Gleichungen mit reellen Zahlen.
Das gleiche gilt f„r 2-dimensionale Vektoren.
4.5 Die konjugiert komplexe Zahl
F„r z = x + i€y definieren wir die zu z konjugiert komplexe Zahl durch
_
z : = x - i€y
Es gilt:
Schreibweise auch : z*
_
_
z1 + z2 = z1 + z2
_ _
z1 € z2 = z1 € z2
z
Geometrisch bedeutet die Konjugation:
Spiegelung an der reellen Achse
_
z
4-5
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.6 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
Addition und Subtrakton von komplexen Zahlen werden genauso ausgef„hrt wie die Addition und Subtraktion von 2-dimensionalen Vektoren in einem kartesischen x-y-Koordinatensystem. Dabei entspricht
der Realteil der komplexen Zahl der x-Komponente des Vektors und der Imaginƒrteil der komplexen Zahl
der y-Komponente des Vektors.
Addieren oder Subtrahieren von komplexen Zahlen in der Exponentialform ist nicht mƒglich !
4.7 Multiplikation von komplexen Zahlen
Gegeben:
z1 = a1 + i€b1 = r1 e i€ ,
z2 = a2 + i€b2 = r2 e i€
Produkt mit Exponentialform:
z = z1 € z2 = r1r2 e i (  
( Die Betrƒge werden multipliziert,
die Winkel werden addiert. )
Produkt mit Real-/Imaginƒrteil:
z = z1 € z2 = (a1 + i€b1) (a2 + i€b2)
= a1a2 - b1b2 + i€(a1b2 + a2b1)
Geometrisch bedeutet die Multiplikation mit z2 :
Drehung um 2 und Streckung (bzw. Stauchung) mit r2.
Beispiele:
1.)
Gegeben: z1 = 2 + i€3, z2 = 1 + i€1
z = z1 € z2 = 2€1 - 3€1 + i ( 3€1 + 2€1 ) = -1 + i€5
oder in der Exponentialdarstellung:
(1)
Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform
r1 =  22+32 =  13 = 3,606
^ 56,3‰
1 = arctan(3/2) = 0,983rad =
r2 =  12+12 =  2 = 1,414
2 = arctan(1/1) = 0,785rad
4-6
^ 45‰
=
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
(2)
Multiplizieren
z = z1 € z2 = 3,606€1,414€e i(0,983+0,785)rad = 5,099€e i€1,768rad
(3)
^ 101,3‰)
( 1,768rad =
R„ckwandeln in Re-/Im-Teil
z = 5,099 ( cos(1,768rad) + i€sin(1,768rad)) = -0,999 +i€5,000
Vergleich mit der Rechnung in Re-/Im-Teil:
Bis auf geringe Rundungsfehler stimmen die Ergebnisse „berein.
Der Aufwand f„r die Rechnung mit der Exponentialform ist erheblich gr•‚er, wenn die Exponentialform nicht von vornherein vorliegt und das Ergebnis wieder nach Re-/Im-Teil vorliegen soll,
was immer der Fall ist, wenn sich Addition oder Subtraktion anschlie‚t.
z
Der Betrag von z2 ist > 1. Daher wird der Betrag
des Produktes gr•‚er als der Betrag von z1.
z1
Der Winkel 2 ist > 0, daher wird der Winkel von z1
in mathematisch positiver Richtung weitergedreht.
z2
2.)
Gegeben: z1 = 2 + i€3, z2 = 1 - i€1
z = z1 € z2 = 2€1 + 3€1 + i ( 3€1 - 2€1 ) = 5 + i€1
oder in der Exponentialdarstellung:
(1)
Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform
r1 = 3,606 ,
r2 = 1,414 , 1 = 0,983rad
wie in 1.)
2 = - 0,785rad , der Imaginƒrteil von z2 ist jetzt negativ
4-7
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
(2)
Multiplizieren
z = z1 € z2 = 3,606€1,414€e i(0,983-0,785)rad = 5,099€e i€0,198rad
(3)
^ 11,3‰)
( 0,198rad =
R„ckwandeln in Re-/Im-Teil
z = 5,099 ( cos(0,198rad) + i€sin(0,198rad)) = 4,999 +i€1,003
z1
Da z2 einen negativen Winkel hat,
wird z1 mathematisch negativ verdreht.
z
z2
3.)
Gegeben: z1 = 1,
z3 = z1€z2 = i;
z2 = i
z4 = z3€z2 = -1
z3 bzw. z2
Jede Multiplikation mit i bewirkt
eine Drehung um /2 gegen den Uhrzeigersinn,
z4
d.h. mathematisch positiv.
4-8
z1
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.8 Division von komplexen Zahlen
Gegeben:
z1 = r 1 e i  1 ;
z2 = r2 e i 2
Division mit der Exponentialform:
i
z
r e 1
r
z = 1 = 1 € i = 1 € e i (   )
z2
r2 e 2
r2
oder mit Real- und Imaginƒrteil:
a1a2 + b1b2 + i€(a2b1 - a1b2)
z1
a1 + i€b1
( a1 + i€b1 ) ( a2 - i€b2 )
z = z = a + i€b = ( a + i€b ) ( a - i€b ) =
a 2 2 + b2 2
2
2
2
2
2
2
2
konjugiert komplexe Erweiterung
Speziell gilt:
1
1

-1
- i (/2)
: R„ckdrehung um 2
i = i = e i (/2) = e
1
 i
i
4.9 Betr•ge von Produkten und Quotienten
(a)
Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt der Betrƒge der Faktoren:
| z | = | z1€z2 | = | z1 | | z2 |
(b)
(c)
Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Betrƒge
von Zƒhler und Nenner:
z
|z |
|z| = 1  1
z2 | z2 |
| e i€ | = 1
4-9
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.10 Wurzel aus einer komplexen Zahl
Gegeben:
z = r € e i
__ __
z €z =z
Mit dem Ansatz
und wegen
e i = e i(+k€2) , k=1, 2, ...
ist
__
__
__

 z =  r € ( e i )ˆ =  r € e i /2
auch
__
__
__

 z =  r € (e i(+2))ˆ =  r € e i( /2+)
__
 z hat also zwei L•sungen,
die sich auf dem
__
Kreis mit Radius  r genau gegen„ber liegen.
Allgemeiner Fall: n-te Wurzel aus z
Die n-te Wurzel hat genau n verschiedene L•sungen
Die n Wurzeln liegen gleichmƒ‚ig
verteilt auf einem
n __
Kreis mit dem Radius  r .
Beispiel: 3. Wurzel aus z
Es gibt drei L•sungen jeweils um 120‰ verschoben.
Weitere Beispiele:
1.)
__
 -1 = +i oder -i
2.)
Gegeben: z = 9€e i 1,047
( =^ 60‰ )
__
__
 z =  9 € e i (ˆ€1,047) = 3€ e i€0,524
oder
( =^ 30‰ )
= 3€ e i€(0,524 + ) = 3€ e i€3,666
4-10
(  210‰ )
Prof. Dr. J. Wiebe € HS Emden-Leer € Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik
www.technik-emden.de/~wiebe
Mathematik 1, Teil B, Kap.4
_____________________________________________________________________________________
4.11 Die komplexe Exponentialfunktion
Mit z = a + i€b gilt
e z = e (a + i€b) = e a € e i€b
reelle Zahl,
gibt Betrag von e z an
komplexe Zahl mit Betrag 1,
gibt Richtung an ( b = Winkel von e z )
‹
F„r a = 0 ist | e z | = 1.
Es sei t IR ein Parameter. Dann beschreibt
1.)
c(t) = e i€t den Einheitskreis
Dies bildet die Grundlage f„r die Darstellung von
sinusf•rmigen Schwingungen durch komplexe Zahlen,
in der Elektrotechnik „Zeiger“ genannt:
Re( c(t) ) = cos( t )
Im( c(t) ) = sin( t )
( sinusf•rmige Schwingung mit der Kreisfrequenz 1 )
2.)
c(t) = e (a + ib)€t mit a < 0 eine einziehende Spirale
Re( c(t) ) und Im( c(t) ) stellen jeweils eine
abklingende Schwingung dar.
4-11