Computer Graphics - Informatik (TUM)

WS 2007/08
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. R. Westermann
Lehrstuhl für Computer Grafik und Visualisierung
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://wwwcg.in.tum.de/Teaching/WS2007/DiskreteStrukturen
23.10.2007
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
–
–
–
–
–
Aussagen- und Prädikatenlogik
Beweismethoden
Mengen
Relationen und Abbildungen
Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Eine wesentliche Voraussetzung zum Verständnis der
Mathematik ist das Verständnis mathematischer
Aussagen und deren Beweis.
• Die Regeln der Logik spezifizieren die Bedeutung
solcher Aussagen und stellen die Basis des
mathematischen Schließens (Folgerns).
– Praktische Anwendungen der mathematischen
Beweisführung finden sich in zahlreichen Gebieten der
Informatik, z.B. Programmverifikation, Korrektheitsbeweise,
Systemsicherheit, künstliche Intelligenz und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logik untersucht, wie unter Berücksichtigung fester
Regeln aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen
folgen.
– Ableiten von Wissen!
– Die mathematische Logik beschäftigt sich primär mit den
formalen Regeln des Schlussfolgerns.
• Logik stellt Sprache(n) zur Darstellung von Wissen zur
Verfügung.
– Logik ist somit Grundlage für andere Gebiete, etwa der
Mathematik und der Informatik.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik
– Untersucht die Beziehungen zwischen Aussagen und
Aussagenverbindungen.
– Aussagen (Propositionen) sind abstrakte Begriffe, die in der
Alltagssprache durch Sätze ausgedrückt werden und nach
deren Wahrheitsgehalt gefragt werden kann.
• Eine Aussage ist nie wahr und falsch, keines von beiden oder etwas
“dazwischen”.
• Der aktuelle Wahrheitswert der Aussage kann unbekannt sein und
vom Kontext abhängen.
– In der Aussagenlogik kommt es nicht auf den konkreten
Inhalt der Aussagen an, sondern nur auf die
Entscheidbarkeit, ob eine Aussage wahr oder falsch ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Die Grundlagen der Aussagenlogik, speziell die
Methoden, um aus gegebenen Aussagen neue
Aussagen zu konstruieren, wurden von George Boole
(„The Laws of Thought“ 1854) entwickelt.
• Wir sprechen in diesem Zusammenhang
von den Booleschen Werten 1 (wahr)
und 0 (falsch).
• Operatoren auf Booleschen Werten
werden auch Boolesche Operatoren
George Boole
genannt.
(1815-1864)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik
– Beispiele:
1) Die Hauptstadt von Deutschland ist Bonn.
2) 1 + 1 = 2.
3) 8 ist eine Primzahl.
4) Peter liebt Maria, aber (und) sie verabscheut ihn.
Keine Aussagen sind:
Wie spät ist es?
x+1=2
1+3
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik
– In der formalen Logik werden Aussagen und
Aussagenverbindungen durch eine formale Sprache
ausgedrückt.
– Wir unterscheiden zwischen der Syntax und der Semantik
von Ausdrücken.
• Die Syntax einer Sprache legt durch Regeln fest, wie die Ausdrücke
der Sprache gebildet werden können.
• Die Semantik legt die Bedeutung oder Funktion der Ausdrücke fest.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Die Aussagenlogik als Kalkül:
Gegeben sind Grundelemente (das Vokabular) und
Regeln, die festlegen, welche der aus den
Grundelementen bildbaren Zeichenketten zulässig
oder ‘wohlgeformt’ sind und welche nicht.
• Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen
zusammen:
– Aussagenvariable:
p, q, r, s, t …
– Logische Operatoren: , , , 
– Hilfssymbole:
'(', ')', '[', ']', '{', '}'
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formationsregeln
– Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
– Regel 2: ist P eine Formel, dann ist auch P eine Formel.
– Regel 3: sind P und Q Formeln, dann sind
a. (P  Q)
b. (P  Q)
c. (P  Q)
ebenfalls Formeln.
– Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er
durch Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert
werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es lassen sich also durch Anwendung von logischen
Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln
bilden.
– Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden zu
einem komplexeren Ausdruck.
– Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument
(z.B. P), dyadische/binäre Operatoren haben zwei
Argumente (z.B. P  Q).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein wohlgeformter Ausdruck ist eine Formel.
• Formeln sind:
pqr
p  (p  q)  r
p  q  q  p
• Keine Formeln sind:
 (q  r]
]p  (p   q() r
pqqp
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ableitungsbeispiel
(1)p
Regel 1
(2)q
Regel 1
(3)q
Regel 2,
(2)
(4)(p  q)
Regel 3a,
(1), (2)
(5)(p  q)
Regel 2,
(4)
(6)(q q)
Regel 3b,
(2), (3)
(7)((p  q)  (qq))
Regel 3c,
(5), (6)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntaxbaum für den Ausdruck ((p  q)  (qq))



p

q

q
q
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken
–  bindet stärker als 
–  bindet stärker als 
–  bindet stärker als 
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Aussagenlogik
– Regel 1: eine Variable kann die Werte 1 oder 0 annehmen.
– Regel 2: f(P Q) = 1 gdw f(P) = 1 und f(Q) = 1, 0 sonst.
– Regel 3: f(P  Q) = 0 gdw f(P) = 0 und f(Q) = 0, 1 sonst.
– Regel 4: f(P  Q) = 0 gdw f(P) = 1 und f(Q) = 0, 1 sonst.
– Regel 5a: f(P) = 0, gdw f(P) = 1.
– Regel 5b: f(P) = 1, gdw f(P) = 0.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Aussagenlogik
– Negation: P:
Es ist nicht der Fall dass P, P ist falsch wenn P wahr ist, und wahr, wenn P falsch
ist.
– Konjunktion: P  Q:
Sowohl P als auch Q, wobei P  Q wahr ist gdw sowohl P als auch Q wahr sind.
– Disjunktion: P  Q:
Entweder P oder Q, oder beides, wobei P  Q falsch ist gdw sowohl P als auch Q
falsch ist.
– Implikation: P  Q:
Wenn P dann Q, wobei P  Q falsch ist gdw P wahr ist und Q falsch; andernfalls
ist es wahr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen
– In einer Wahrheitstabelle lassen sich die Beziehungen
zwischen Werten von Formeln darstellen.
– Beispiel Negation:
• Der einstellige Operator “” (NICHT) transformiert eine Formel in
ihre logische Verneinung.
• Die Wahrheitstabelle für die Negation sieht wie folgt aus:
P
¬P
1
0
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Konjunktion
– Der binäre Operator “” (UND) kombiniert zwei Formeln zu
ihrer logischen Konjunktion.
– Die Konjunktion behauptet die Wahrheit ihrer Teilaussagen.
– Die Konjunktion hat folgende Wahrheitstabelle:
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Frage: Wieviele Zeilen hat die Wahrheitstabelle einer
Konjunktion P1  P2  …  Pn?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Disjunktion
– Der binäre Operator “” (ODER) kombiniert zwei Formeln zu
ihrer logischen Disjunktion.
– Sie behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr
ist.
– Die Disjunktion hat folgende Wahrheitstabelle:
P Q P
V
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
Q
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Hinweise
– Während P  Q bedeutet, dass P und Q wahr sind, bedeutet
P  Q, dass P wahr ist, oder Q wahr ist, oder beide wahr
sind.
– Der Oder-Operator wird auch als NichtausschließendesOder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass P
und Q wahr sind.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ausschließendes-Oder
– Der binäre Operator “” (XOR) kombiniert zwei Formeln zu
ihrer logischen Exklusion – er schließt die Möglichkeit aus,
dass beide Operanden wahr sind.
– Sei P = “Ich werde eine 1 in diesem Kurs bekommen.” und
Q = “Ich werde diesen Kurs abbrechen.”
Dann gilt: P  Q = “Ich werde entweder eine 1 in diesem Kurs
bekommen oder ihn abbrechen (aber nicht beides!).”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ausschließendes-Oder
– Das Ausschließende-Oder hat folgende Wahrheitstabelle:
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
– P  Q ist äquivalent zu (P  Q)  (P  Q).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Implikation
– Die Implikation P  Q ist die Aussage “wenn P (die
Hypothese), dann Q (die Konklusion)”.
– P  Q ist falsch genau dann wenn P wahr ist und Q falsch
ist. Andernfalls ist P  Q wahr.
– Die Implikation hat folgende Wahrheitstabelle:
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Implikation
– Beispiel:
sei P = “Du erreichst mindestens 60% der Punkte in der
Klausur.” und Q = “Du bekommst die Note 1.”
Dann gilt:
P  Q = “Wenn du mindestens 60% der Punkte in der
Klausur erreichst, dann bekommst du die Note 1.”
• Beachte: Im Fall, dass weniger als 60% der Punkte erreicht wurden,
kann die Note 1 oder eine beliebige andere Note vergeben werden.
Wenn aber mindestens 60% erreicht wurden und der Dozent vergibt
keine 1, dann hat er gelogen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Implikation
– Die Implikation P  Q sagt, dass P eine hinreichende
Bedingung für die Konlusion Q ist (die Wahrheit von P ist
hinreichend für die Wahrheit von Q).
• Andere Ausdrucksweise:
„P nur dann wenn Q“, d.h., P kann nicht wahr sein, wenn Q nicht
wahr ist.
• Beachte: Q ist eine notwendige Bedingung für P.
• Beachte: P  Q fordert nicht, dass P oder Q jemals wahr sind.
Beispiel:
“(1=0)  Schweine können fliegen” ist WAHR!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiele:
– “Wenn diese Vorlesung jemals endet, dann wird die Sonne
morgen aufgehen” Wahr oder Falsch?
– “Wenn Dienstag ein Tag der Woche ist, dann bin ich ein
Pinguin.” Wahr oder Falsch?
– “Wenn 1+1=6, dann ist Merkel Kanzlerin.”
Wahr oder Falsch?
– “Wenn der Mond aus grünem Käse ist, dann bin ich reicher
als Bill Gates.” Wahr oder Falsch?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Implikation
– Umgangssprachlich meint “P  Q” normalerweise
“In allen möglichen Situationen, wenn P dann Q.”
• D.h.: “Es ist unmöglich, dass P wahr ist und Q falsch ist.”
– Dieser Sachverhalt kann in der Prädikatenlogik ausgedrückt
werden:
• “In allen Situationen s, wenn P in s wahr ist, dann ist Q auch in s
wahr.”
• Formal: s, P(s)  Q(s), wobei  der sog. Allquantor ist, P(s) das
Prädikat und Q(s) die Konklusion.
– Umgangssprache und Logik stimmen nun wieder überein.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Umkehrung, Inverse, Kontraposition
– Terminologie: für eine Implikation P  Q ist
seine Umkehrung:
Q  P.
seine Inverse:
P  Q.
seine Kontraposition: Q  P.
– Eine dieser drei hat dieselbe Bedeutung wie P  Q.
Welche ist es und wie zeigen wir das?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Tautologie
– Eine Tautologie ist ein Ausdruck, der immer wahr ist
(unabhängig von den Wahrheitswerten der in ihm
enthaltenen Aussagen).
– Eine einfache Tautologie ist z.B.
Es ist nicht der Fall, dass Hans dumm ist und nicht dumm ist.
(P  P)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Widerspruch (Kontradiktion)
– Ein Widerspruch ist ein Ausdruck, der immer falsch ist
(unabhängig von den Wahrheitswerten der in ihm
enthaltenen Aussagen).
– Der folgende Satz ist eine Kontradiktion:
Hans ist ehrlich und unehrlich.
P P
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logische Äquivalenz
– Zwei aussagenlogische Formeln P und Q heißen logisch
äquivalent (symbolisch: P  Q) genau dann, wenn sie unter
den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind, d.h. wenn
sie für jede konsistente Bewertung ihrer Elementaraussagen
stets den gleichen Wahrheitswert haben.
– Äquivalente Formeln haben die gleichen Wahrheitstafeln.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Bikonditional
– Das Bikonditional ist definiert durch
P  Q := (P  Q)  (Q  P)
– Sind P und Q logische Formeln, so ist das Bikonditional
P  Q eine wahre Aussage, wenn P und Q den
gleichen Wahrheitswert haben, andernfalls ist es eine
falsche Aussage.
– Sei P = “Merkel gewinnt die Wahl in 2009.” und Q = “Merkel
wird 2010 Kanzlerin sein.”
Dann ist: P  Q = “Wenn, und nur dann, Merkel die Wahl in
2009 gewinnt, wird sie Kanzlerin in 2010 sein.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Bikonditional
– Das Bikonditional hat folgende Wahrheitstabelle
P
Q
PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
• Wie unterscheidet sich das Bikonditional zum AusschließendenOder?
– Ein Ausdruck P ist logisch äquivalent zu einem Ausdruck Q,
genau dann wenn der Ausdruck P  Q eine Tautologie ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Was haben wir bisher gelernt?
– Syntax und Semantik der Aussagenlogik.
– Was sind Formeln.
– Operatoren in der Aussagenlogik.
• Symbolische Notation.
• Logische Bedeutung.
• Wahrheitstabellen.
• Was kommt nun?
– Äquivalenz von Aussagen.
• Äquivalenzregeln.
• Beweis von Äquivalenzen durch symbolische Ableitung.
– Prädikatenlogik.
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