Computer Graphics - Fakultät für Informatik

WS 2007/08
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. R. Westermann
Lehrstuhl für Computer Grafik und Visualisierung
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://wwwcg.in.tum.de/Teaching/WS2007/DiskreteStrukturen
26.10.2007
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
–
–
–
–
–
Aussagen- und Prädikatenlogik
Beweismethoden
Mengen
Relationen und Abbildungen
Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Und nun ein kleiner Test, der zeigt, ob Sie die
Grundbegriffe der Aussagenlogik bereits verstanden
haben.
• http://www-info1.informatik.uniwuerzburg.de/databases/LogikLernprogramm/Weitere
Seiten/lernprogramm.html
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Zur Überprüfung der logischen Äquivalenz können wir
anstelle von Wahrheitstabellen Regeln verwenden, um
einen Ausdruck in einen anderen zu transformieren.
– Diese Regeln sind ähnlich zu arithmetischen Regeln der
Mathematik.
– Diese Regeln können auch verwendet werden, um
Ausdrücke in einfachere Ausdrücke zu überführen.
Beispiel:
(p  q)  (p  r)  p  q  r.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische
Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken.
– Exklusives-Oder:
P  Q  (PQ)  (PQ)
P  Q  (PQ)  (QP)
– Implikation:
P  Q  P  Q
P  Q  P  Q
– Bikonditional:
P  Q  (P  Q)  (Q  P)
P  Q  (P  Q)
Beachte: die Konnektoren ￢, ∧, ∨,  sind nicht unabhängig!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
–
–
–
–
–
–
Identität:
Dominanz:
Idempotenz:
Doppelte Negation:
Kommutativität:
Assoziativität:
– Distributivität:
PT  P
PF  P
PT  T
PF  F
PP  P
PP  P
P  P
PQ  QP
PQ  QP
(PQ)R  P(QR)
(PQ)R  P(QR)
P(QR)  (PQ)(PR)
P(QR)  (PQ)(PR)
– De Morgan’s:
(PQ)  P  Q
(PQ)  P  Q
– Triviale Tautologie/Kontradiktion:
P  P  T
P  P  F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Beispiel:
Zeige, (P  (P  Q)) ist logisch äquivalent zu P  Q
(P  (P  Q))







P  (P  Q)
P  ((P)  Q)
P  (P  Q)
(P  P)  (P  Q)
F  (P  Q)
(P  Q)  F
P  Q
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Beispiel:
Zeige, dass P  Q  Q  P.
1. Implikation ersetzen:
P  Q  Q  P
2. Doppel-Negation:
P  Q  Q  P
3. Kommutativität von Disjunktion: P  Q  P  Q
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Beispiel:
Zeige, dass ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∧ (s ∨ s))  (q ∨ r) eine
Tautologie ist.
((p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∧ (s ∨ s))  (q ∨ r)
 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∧ T)  (q ∨ r)
 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))  (q ∨ r)
 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
 ((p ∨ q) ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Beispiel:
 ((p ∨ q) ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ q ∨ r
 (p ∧ q) ∨ q ∨ (p ∧ r) ∨ r
 ((p ∨ q) ∧ (q ∨ q)) ∨ ((p ∨ r) ∧ (r ∨ r))
 ((p ∨ q) ∧ T) ∨ ((p ∨ r) ∧ T)
 p ∨ q ∨ p ∨ r
 p ∨ p ∨ q ∨ r
T∨q∨r
T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Beispiel:
Überprüfe ((P  Q)  R)  (P  (Q  R)).
1. (( P  Q)  R)  (P  Q  R)
2. ((P  Q)  R)  ((P  Q)  R)
3. Offensichtlich: ((P  Q)  R) ≢ ((P  Q)  R),
da (P  Q) ≢ (P  Q)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wieviele verschiedene Konnektoren gibt es?
– Wir wissen, dass Konnektoren durch Wahrheitstabellen
definiert werden.
– Da eine Wahrheitstabelle für n Aussagen 2n Einträge (1/0)
hat, gibt es genau 22n verschiedene Wahrheitstabellen.
– Für zwei Aussagen gibt es also 16 verschiedene
Konnektoren.
– Von diesen braucht man mindestens die Negation und einen
binären Konnektor, also z.B. {, }.
– Andere Konnektoren erhält man mit Hilfe der eingeführten
Identitäten, z.B. (P  Q)  (((P)  (Q))).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wieviele verschiedene Konnektoren gibt es?
– Eine adäquate Menge von binären Konnektoren kann aus
einem einzigen Konnektor bestehen, z.B.
nand:
(P nand Q)  ( (P  Q))
mit der Wahrheitstabelle
P Q
P nand Q
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– Es gilt dann:
( P)

(P  Q) 
(P  Q) 
0
0
1
1
(P nand P)
(P nand Q) nand (P nand Q)
(P nand P) nand (Q nand Q)
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0
1
0
1
1
1
1
0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Aussagenlogik
–
–
–
–
–
Atomare Aussagen (Aussagenvariablen): p, q, r, …
Logische Konnektoren:      
Zusammengestzte Ausdrücke: P = (p  q)  q
Äquivalenzen: p  q  (p  q)
Beweis von Äquivalenzen unter Verwendung von
• Wahrheitstabellen
• Symbolische Ableitung P  Q  R …
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Boolesche Operatoren
Formaler Name
Umg.spr.
Stelligkeit
Symbol
Negation
NICHT
Mon.
¬
Konjunktion
UND
Dyad.

Disjunktion
ODER
Dyad.

Exclusives-Oder
XOR
Dyad.

Implikation
IMPLIZIERT
Dyad.

Bikonditional
IFF
Dyad.

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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Prädikatenlogik
– Die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik,
die es ermöglicht, exakte Schlußfolgerungen über Klassen
von Objekten zu ziehen.
– Während in der Aussagenlogik einfache Aussagen als
atomare Einheiten behandelt werden, unterscheidet die
Prädikatenlogik das Subjekt eines Satzes vom Prädikat.
– Prädikatenlogik ist die formale Notation, um mathematische
Definitionen eindeutig und präzise zu spezifizieren.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Prädikatenlogik
– Die Prädikatenlogik stellt die Basis der mathematischen
Logik, die in Gödel’s Unvollständigkeits-Theorem resultiert:
“Given any finitely describable, consistent
proof procedure, there will always remain
some true statements that will never be
proven by that procedure.”
– D.h., wir können nicht alle mathematischen
Wahrheiten entdecken, solange wir nicht
auch Annahmen über nicht bewiesene
Kurt Gödel
Aussagen machen.
1906-1978
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik
–
–
–
–
–
Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme.
Zum automatischen Beweisen von Theoremen.
Zur automatischen Verifikation von Programmen.
Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken.
Und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Subjekte und Prädikate
– In dem Satz “Der Hund schläft” ist “der Hund” das Subjekt
(das Objekt, von dem der Satz handelt) und “schläft” das
Prädikat (die Eigenschaft des Hundes).
– In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Abbildung
P(·) modelliert.
– P(·) bildet Objekte auf Aussagen ab, z.B. P = “schläft”.
– P(x) = “x schläft” (wobei x ein Objekt ist).
– P kann auch eine beliebige Anzahl von Argumenten haben.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Subjekte und Prädikate
– Konvention:
Kleinbuchstaben x, y, z... bezeichnen Objekte,
Großbuchstaben P, Q, R… bezeichnen Prädikate.
Wird ein Prädikat P auf ein Objekt x angewendet, so wird
daraus eine Aussage P(x). Das Prädikat P selbst ist keine
Aussage (es ist kein kompletter Satz!).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wertevorrat (Domaine)
– Indem wir Objekte von Prädikaten unterscheiden, können
wir gleichzeitig über viele Objekte Aussagen treffen.
– Beispiel:
Sei P(x)=“x+1>x”, dann können wir sagen, dass
“für jede Zahl x, P(x) wahr ist” anstelle von
(0+1>0)  (1+1>1)  (2+1>2)  ...
– Die Menge der Werte, die eine Variable x annehmen kann,
wird der Wertevorrat (Domaine) von x genannt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wertevorrat (Domaine)
– Quantoren werden verwendet um zu quantifizieren, wie
viele Objekte aus dem Wertevorrat einem Prädikat genügen.
• Quantoren erlauben also Aussagen über Mengen von Objekten, für
die ein Prädikat gilt
– Die universelle Quantifizierung (“” der Allquantor) macht
eine Aussage über alle Elemente einer Menge; sie ist genau
dann wahr, wenn die quantifizierte Aussage für jedes
Element der Menge gilt.
x P(x) bedeutet, dass P für alle x der Menge gilt.
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Beispiel: Alle Menschen sind sterblich
x (mensch(x)  sterblich(x))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wertevorrat (Domaine)
– Die existentielle Quantifizierung (“” der Existenzquantor)
macht eine Aussage über einzelne Elemente einer Menge;
sie ist genau dann wahr, wenn die quantifizierte Aussage für
mindestens ein Element der Menge gilt.
x P(x) bedeutet, dass P(x) für mindestens ein x der Menge
gilt.
Beispiel: Es gibt sterbliche Menschen
x (mensch(x)  sterblich(x))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Allquantor und Existenzquantor
– Beispiel:
Sei der Wertevorrat von x “Parkplätze am FMI”.
Sei P(x) das Prädikat “x ist voll.”
Dann bezeichnet x P(x) die Aussage
“Alle Parkplätze am FMI sind voll.”
– Beispiel:
Sei der Wertevorrat von x “Parkplätze am FMI”.
Sei P(x) das Prädikat “x ist voll.”
Dann bezeichnet x P(x) die Aussage
“Mindestens ein Parkplatz am FMI ist voll.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Allquantor und Existenzquantor
– In den Ausdrücken x P(x) oder x P(x) heisst P der
Gültigkeitsbereich der Variablen x.
– Eine Variable im Gültigkeitsbereich eines Quantors heisst
gebunden. Eine nicht gebundene Variable heisst frei. Ein
Ausdruck ohne freie Variable heisst geschlossen.
Beispiel:
x (gerade(x))  null(x)
Erstes Vorkommen von x ist gebunden, zweites frei.
x (mensch(x)  y (mensch(y)  liebt(x,y) ) )
Der Ausdruck ist geschlossen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Allquantor und Existenzquantor
– Was sind die Negationen der Aussagen
x (x2 > x) und x (x2 = 2).
Die Negation von x (x2 > x) ist x (x2 > x).
Dies ist äquivalent zu x (x2 > x) und kann als x (x2  x)
ausgedrückt werden kann.
Die Negation von x (x2 = 2) ist x (x2 = 2).
Dies ist äquivalent zu x (x2 = 2) und kann als x (x2  2)
ausgedrückt werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Geschachtelte Quantoren
– Beispiel:
Sei der Wertevorrat von x und y Menschen.
Sei L(x,y)=“x mag y” (ein Prädikat mit 2 freien Variablen)
Dann ist y L(x,y) = “es gibt jemanden, den x mag.” ein
Prädikat mit einer freien Variablen, x.
Dann ist x (y L(x,y)) = “Jeder mag jemanden.” eine
Aussage mit zwei gebundenen Variablen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel Quantoren:
– Sei R(x,y)=“x verlässt sich auf y.”
Übersetzen Sie die folgenden Ausdrücke
x(y R(x,y))=
y(x R(x,y))=
x(y R(x,y))=
y(x R(x,y))=
x(y R(x,y))=
“Jeder kann sich auf jemanden verlassen.”
“Es gibt einen, auf den sich alle verlassen.”
“Es gibt einen, der sich auf alle verlässt.”
“Auf jeden verlässt sich irgend jemand.”
“Jeder verlässt sich auf alle.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Prädikatenlogik
– Objekte x, y, z, …
– Prädikate P, Q, R, … sind Abbildungen von Objekten x auf
Aussagen P(x).
– Prädikate mit mehreren Argumenten P(x, y).
– Quantoren:
x P(x) : “Für alle x’s, P(x).”
x P(x) : “Es existiert ein x für das P(x) gilt.”
– Wertevorrat, gebundene und freie Variablen.
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