WS 2006/07 Diskrete Strukturen - Fakultät für Informatik

WS 2006/07
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. R. Westermann
Lehrstuhl für Computer Grafik und Visualisierung
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://wwwcg.in.tum.de/Teaching/WS2006/DiskreteStrukturen
24.10.2006
Kapitel II - Grundlagen
- Mathematische und notationelle Grundlagen
- Aussagen- und Prädikatenlogik
- Beweismethoden
- Mengen
- Relationen und Abbildungen
- Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Eine wesentliche Voraussetzung zum Verständnis
-
der Mathematik ist das Verständnis
mathematischer Aussagen und deren Beweis.
Die Regeln der Logik spezifizieren die Bedeutung
solcher Aussagen und stellen die Basis des
mathematischen Schließens (Folgerns).
- Praktische Anwendungen der mathematischen
Beweisführung finden sich in zahlreichen Gebieten der
Informatik, z.B. Programmverifikation,
Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche
Intelligenz und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Die mathematische Logik beschäftigt sich primär
mit den formalen Regeln des Schlussfolgerns.
- Die Aussagenlogik basiert auf Aussagen
-
(Propositionen), nach deren Wahrheitsgehalt gefragt
werden kann.
Beispiele:
1. Die Hauptstadt von Deutschland ist Bonn
2. 1 + 1 = 2
keine Aussagen sind:
3. Wie spät ist es?
4. x + 1 = 2
5. 1+3
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Definition: Eine Aussage ist ein Satzgebilde mit
einer wohldefinierten Bedeutung (nicht vage oder
mehrdeutig), die entweder wahr oder falsch ist.
- Eine Aussage ist nie wahr und falsch, keines von beiden
-
oder etwas “dazwischen”.
Der aktuelle Wahrheitswert der Aussage kann unbekannt
sein und vom Kontext abhängen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Der Wahrheitswert einer Aussage ist entweder
-
wahr (W) oder falsch (F).
Durch Anwendung von logischen Operatoren
auf Aussagen lassen sich neue Aussagen
(wiederum wahr oder falsch) bilden.
- Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden
-
zu einem komplexeren Ausdruck.
Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument
(z.B. -5), dyadische/binäre Operatoren haben zwei
Argumente (z.B. 4/5).
Logische Operatoren werden auf Aussagen (bzw. deren
Wahrheitswerte) angewendet.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Die Grundlagen der Aussagenlogik, speziell die
-
Methoden, um aus gegebenen Aussagen neue
Aussagen zu konstruieren, wurden von George
Boole („The Laws of Thought“ 1854) entwickelt.
Wir sprechen in diesem Zusammenhang
von den Booleschen Werten 1 (wahr)
und 0 (falsch).
Operatoren auf Booleschen Werten
werden auch Boolesche Operatoren
genannt.
George Boole
(1815-1864)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Einige Boolesche Operatoren
Formaler Name
Umg.spr.
Stelligkeit
Negation
NICHT
Mon.
¬
Konjunktion
UND
Dyad.
∧
Disjunktion
ODER
Dyad.
∨
Exclusives-Oder
XOR
Dyad.
⊕
Implikation
IMPLIZIERT
Dyad.
→
Bikonditional
IFF
Dyad.
↔
Symbol
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Boolesche Operationen
- In einer Wahrheitstabelle lassen sich die Beziehungen
-
zwischen Wahrheitswerten von Propositionen darstellen.
Beispiel Negation:
- Der einstellige Operator “¬” (NICHT) transformiert eine
Proposition in ihre logische Verneinung.
- Beispiel:
sei p = “Ich habe braune Haare.”
dann gilt: ¬p = “Ich habe keine braunen Haare.”
- Die Wahrheitstabelle für die Negation sieht wie folgt aus:
T := True; F := False
p
¬p
T
F
F
T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Konjunktion
- Der binäre Operator
-
“∧” (AND) kombiniert zwei Aussagen
zu ihrer logischen Konjunktion.
Beispiel:
sei p = “Ich bin ein Mann.” und q = “Ich habe braune
Haare.”
Dann gilt: p ∧ q = “Ich bin ein Mann mit braunen Haaren.”
Die Konjunktion behauptet die Wahrheit ihrer
Teilaussagen.
p q p∧q
Sie hat folgende Wahrheitstabelle:
Frage: Wieviele Zeilen hat die Wahrheitstabelle
einer Konjunktion p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn?
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Disjunktion
- Der binäre Operator
-
“∨” (OR) kombiniert zwei Aussagen
zu ihrer logischen Disjunktion.
Sie behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen
wahr ist.
Beispiel:
sei p = “Ich bin ein Mann.” und q = “Ich habe Hunger.”
Dann gilt: p ∨ q =“Ich bin ein Mann oder ich habe
Hunger.”
p q pVq
Die Disjunktion hat folgende
F
F F
Wahrheitstabelle:
T
F T
T
T F
T
T T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Hinweise
- Während p ∧ q bedeutet, dass p und q wahr sind,
-
bedeutet p ∨ q, dass p wahr ist, oder q wahr ist, oder
beide wahr sind.
Der Oder-Operator wird auch als NichtausschließendesOder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass p
und q wahr sind.
Mit Klammern werden Teilausdrücke gruppiert
- AND und OR haben die gleiche Bindung
- NOT bindet stärker als AND und OR, d.h. ¬s ∧ f bedeutet
(¬s) ∧ f
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Ausschließendes-Oder
- Der binäre Operator
-
“⊗” (XOR) kombiniert zwei Aussagen
zu ihrer logischen Exklusion – er schließt die Möglichkeit
aus, dass beide Operanden wahr sind.
Beispiel:
sei p = “Ich werde eine 1 in diesem Kurs bekommen.” und
q = “Ich werde diesen Kurs abbrechen.”
Dann gilt: p ⊗ q = “Ich werde entweder eine 1 in diesem
Kurs bekommen oder ihn abbrechen (aber nicht beides!).”
- Das Ausschließende-Oder hat
folgende Wahrheitstabelle:
p q p⊗q
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Implikation
- Die Implikation p → q ist die Aussage “wenn p (die
-
Hypothese), dann q (die Konklusion)”.
p → q ist falsch, wenn p wahr ist und q falsch ist.
Andernfalls ist p → q wahr.
Die Implikation hat folgende Wahrheitstabelle:
p q p→q
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Implikation
- Beispiel:
sei p = “Du erreichst mindestens 60% der Punkte in der
Klausur.” und q = “Du bekommst die Note 1.”
Dann gilt:
p → q = “Wenn du mindestens 60% der Punkte in der
Klausur erreichst, dann bekommst du die Note 1.”
- Beachte: Im Fall, dass weniger als 60% der Punkte erreicht
wurden, kann die Note 1 oder eine beliebige andere Note
vergeben werden. Wenn aber mindestens 60% erreicht
wurden und der Dozent vergibt keine 1, dann hat er
gelogen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Implikation
- Die Implikation p → q sagt, dass p eine hinreichende
Bedingung für die Konlusion q ist (die Wahrheit von p ist
hinreichend für die Wahrheit von q).
- Andere Ausdrucksweise:
„p nur dann wenn q“, d.h., p kann nicht wahr sein, wenn q
nicht wahr ist.
Die Aussage ist falsch, wenn p wahr ist aber q falsch ist.
Wenn p wahr ist, dann ist auch q wahr; wenn p falsch ist,
dann kann q entweder wahr oder falsch sein.
- Beachte: q ist eine notwendige Bedingung für p.
- Beachte: p → q fordert nicht, dass p oder q jemals wahr
sind.
Beispiel:
“(1=0) → Schweine können fliegen” ist WAHR!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Beispiele:
- “Wenn diese Vorlesung jemals endet, dann wird die
Sonne morgen aufgehen” Wahr oder False?
- “Wenn Dienstag ein Tag der Woche ist, dann bin ich ein
Pinguin.” Wahr oder Falsch?
- “Wenn 1+1=6, dann ist Merkel Kanzlerin.”
Wahr oder Falsch?
- “Wenn der Mond aus grünem Käse ist, dann bin ich
reicher als Bill Gates.” Wahr oder Falsch?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Implikation
- Umgangssprachlich meint “p → q” (if p then q)
normalerweise
“In allen möglichen Situationen, wenn p dann q.”
- D.h.: “Es ist unmöglich, dass p wahr ist und q falsch ist.”
- Dieser Sachverhalt kann in der Prädikatenlogik
ausgedrückt werden:
- “In allen Situationen s, wenn p in s wahr ist, dann ist q auch
in s wahr.”
- Formal: ∀s, P(s) → Q(s), wobei ∀ der sog. Allquantor ist,
P(s) das Prädikat und Q(s) die Konklusion.
- Umgangssprache und Logik stimmen nun wieder überein.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Umkehrung, Inverse, Kontraposition
- Terminologie: für eine Implikation p → q ist
seine Umkehrung:
seine Inverse:
seine Kontraposition:
q → p.
¬p → ¬q.
¬q → ¬p.
- Eine dieser drei hat dieselbe Bedeutung wie p → q.
Welche ist es und wie zeigen wir das?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Bikonditional
- Das Bikonditional p ↔ q sagt, dass p genau dann wahr
-
-
ist, wenn q war ist (und nur dann (IFF)).
p ↔ q bedeutet, dass p und q denselben Wahrheitswert
haben.
Beispiel:
sei p = “Merkel gewinnt die Wahl in 2005.” und q =
“Merkel wird 2006 Kanzlerin sein.”
Dann ist:
p ↔ q = “Wenn, und nur dann, Merkel die Wahl in 2005
gewinnt, wird sie Kanzlerin in 2006 sein.”
p ↔ q impliziert nicht, dass p und q wahr sind oder dass
eine Aussage die andere bedingt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Bikonditional
- Das Bikonditional hat folgende Wahrheitstabelle
p q p↔q
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T
- Wie unterscheidet sich das Bikonditional zum
Ausschließenden-Oder?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Was haben wir bisher gelernt?
- Was sind Aussagen.
- Operatoren in der Aussagenlogik.
-
Symbolische Notation.
Logische Bedeutung.
Wahrheitstabellen.
- Was kommt nun?
- Äquivalenz von Aussagen.
- Äquivalenzregeln.
- Beweis von Äquivalenzen durch symbolische Ableitung.
- Prädikatenlogik.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Tautologien und Widersprüche
- Eine Tautologie ist ein Ausdruck, der immer wahr ist
(unabhängig von den Wahrheitswerten der in ihm
enthaltenen Aussagen).
- Beispiel: p ∨ ¬p
(wie sieht die Wahrheitstabelle aus?)
- Ein Widerspruch ist ein Ausdruck, der immer falsch ist
(unabhängig von den Wahrheitswerten der in ihm
enthaltenen Aussagen)
- Beispiel: p ∧ ¬p
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Logische Äquivalenz
- Ein Ausdruck p ist logisch äquivalent zu einem Ausdruck q
-
(p ≡ q), genau dann wenn der Ausdruck p ↔ q eine
Tautologie ist.
Ausdrücke p und q sind genau dann logisch äquivalent,
wenn p und q die gleichen Wahrheitswerte in allen Zeilen
ihrer Wahrheitstabellen haben.
pq
FF
FT
TF
TT
pvq ¬p ¬q ¬p∧¬q
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
¬(¬p∧ ¬q)
F
T
T
T
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Äquivalenzregeln
- Anstelle von Wahrheitstabellen können wir Regeln
-
verwenden, um einen Ausdruck in einen anderen zu
transformieren.
Diese Regeln sind ähnlich zu arithmetischen Regeln der
Mathematik.
Diese Regeln können auch verwendet werden, um
Ausdrücke in einfachere Ausdrücke zu überführen.
Beispiel:
(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ≡ ¬p ∨ q ∨ ¬r.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
-
Äquivalenzregeln
-
Identität:
Dominanz:
Idempotenz:
Doppelte Negation:
Kommutativität:
Assoziativität:
-
Distributivität:
-
De Morgan’s:
-
p∧T ≡ p
p∨ F ≡ p
p∨T ≡ T
p∧ F ≡ F
p∨p ≡ p
p∧p ≡ p
¬¬p ≡ p
p∨q ≡ q∨p
p∧q ≡ q∧p
(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
¬(p∧q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p∨q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Triviale Tautology/Kontradiktion:
p ∨ ¬p ≡ T
p ∧ ¬p ≡ F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Anwendung von Äquivalenzregeln
- Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische
-
Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken.
Exklusives-Oder:
p ⊕ q ≡ (p∨q) ∧ ¬(p∧q)
p ⊕ q ≡ (p∧¬q) ∨ (q∧¬p)
- Implikation:
- Bikonditional:
p → q ≡ ¬p ∨ q
p ∨ q ≡ ¬p → q
p ↔ q ≡ (p→q) ∧ (q→p)
p ↔ q ≡ ¬(p⊕q)
- Tafelbeispiel: Zeigen Sie, dass (p∧q) → (p∨q)
Tautologie ist.
eine
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Zusammenfassung Aussagenlogik.
- Atomare Aussagen: p, q, r, …
- Boolsche Operatoren: ¬ ∧ ∨ ⊕ → ↔
- Zusammengestzte Ausdrücke: s = (p ∧ ¬q) ∨ r
- Äquivalenzen: p∧¬q ≡ ¬(p → q)
- Beweis von Äquivalenzen unter Verwendung von
- Wahrheitstabellen
- Symbolische Ableitung p ≡ q ≡ r …
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Prädikatenlogik
- Die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der
-
Aussagenlogik, die es ermöglicht, exakte
Schlußfolgerungen über Klassen von Objekten zu ziehen.
Während in der Aussagenlogik einfache Aussagen als
atomare Einheiten behandelt werden, unterscheidet die
Prädikatenlogik das Subjekt eines Satzes vom
Prädikat.
Prädikatenlogik ist die formale Notation, um
mathematische Definitionen eindeutig und präzise zu
spezifizieren.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Prädikatenlogik
- Die Prädikatenlogik stellt die Basis der mathematischen
-
Logik, die in Gödel’s Unvollständigkeits-Theorem
resultiert:
“Given any finitely describable, consistent
proof procedure, there will always remain
some true statements that will never be
proven by that procedure.”
D.h., wir können nicht alle mathematischen
Wahrheiten entdecken, solange wir nicht
auch Annahmen über nicht bewiesene
Aussagen machen.
Kurt Gödel
1906-1978
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik
- Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme.
- Zum automatischen Beweisen von Theoremen.
- Zur automatischen Verifikation von Programmen.
- Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken.
- Und viele mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Subjekte und Prädikate
- In dem Satz “Der Hund schläft” ist “der Hund” das
-
Subjekt (das Objekt, von dem der Satz handelt) und
“schläft” das Prädikat (die Eigenschaft des Hundes).
In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Funktion
P(·) modelliert.
- P(·) bildet Objekte auf Aussagen ab, z.B. P = “schläft”.
- P(x) = “x schläft” (wobei x ein Objekt ist).
- P kann auch eine beliebige Anzahl von Argumenten haben.
- Konvention: Kleinbuchstaben x, y, z... bezeichnen
-
Objekte, Großbuchstaben P, Q, R… bezeichnen Prädikate.
Wird ein Prädikat P auf ein Objekt x angewendet, so wird
daraus eine Aussage P(x). Das Prädikat P selbst ist keine
Aussage (es ist kein kompletter Satz!).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Wertevorrat (Domaine)
- Indem wir Objekte von Prädikaten unterscheiden, können
wir gleichzeitig über viele Objekte Aussagen treffen.
- Beispiel: sei P(x)=“x+1>x”, dann können wir sagen, dass
“für jede Zahl x, P(x) wahr ist” anstelle von
(0+1>0) ∧ (1+1>1) ∧ (2+1>2) ∧ ...
- Die Menge der Werte, die eine Variable x annehmen kann,
wird der Wertevorrat (Domaine) von x genannt.
- Quantoren werden verwendet um zu quantifizieren, wie
viele Objekte aus dem Wertevorrat einem Prädikat
genügen.
- “∀” ist der FORALL oder Allquantor.
∀x P(x) bedeutet, dass P für alle x in der Domaine gilt.
- “∃” ist der EXISTS oder Existenzquantor.
∃x P(x) bedeutet, dass P(x) für mindestens ein x in der
Domaine gilt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Allquantor und Existenzquantor
- Beispiel:
-
Sei der Wertevorrat von x “Parkplätze am FMI”.
Sei P(x) das Prädikat “x ist voll.”
Dann bezeichnet ∀x P(x) die Aussage
“Alle Parkplätze am FMI sind voll.”
Beispiel:
Sei der Wertevorrat von x “Parkplätze am FMI”.
Sei P(x) das Prädikat “x ist voll.”
Dann bezeichnet ∃x P(x) die Aussage
“Mindestens ein Parkplatz am FMI ist voll.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Geschachtelte Quantoren
- Beispiel:
Sei der Wertevorrat von x und y Menschen.
Sei L(x,y)=“x mag y” (ein Prädikat mit 2 freien Variablen)
Dann ist ∃y L(x,y) = “es gibt jemanden, den x mag.” (Ein
Prädikat mit einer freien Variablen, x)
Dann ist ∀x (∃y L(x,y)) = “Jeder mag jemanden.” eine
Aussage mit zwei gebundenen Variablen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Beispiel Quantoren:
- Sei R(x,y)=“x verlässt sich auf y.”
Übersetzen Sie die folgenden Ausdrücke
∀x(∃y R(x,y))= “Jeder kann sich auf jemanden verlassen.”
∃y(∀x R(x,y))= “Es gibt einen, auf den sich alle verlassen.”
∃x(∀y R(x,y))= “Es gibt einen, der sich auf alle verlässt.”
∀y(∃x R(x,y))= “Auf jeden verlässt sich irgend jemand.”
∀x(∀y R(x,y))= “Jeder verlässt sich auf alle.”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
- Zusammenfassung Prädikatenlogik
- Objekte x, y, z, …
- Prädikate P, Q, R, … sind Abbildungen von Objekten x auf
-
Aussagen P(x).
Prädikate mit mehreren Argumenten P(x, y).
Quantoren:
∀x P(x) :≡ “Für alle x’s, P(x).”
∃x P(x) :≡ “Es existiert ein x für das P(x) gilt.”
Wertevorrat, gebundene und freie Variablen.
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