Vorlesung 5 - Universität Hamburg

Brückenkurs Mathematik
Freitag 29.09. - Freitag 13.10.2017
Vorlesung 5
Dreiecke und Vektorrechnung
Kai Rothe
Technische Universität
Hamburg-Harburg
Freitag 6.10.2017
0
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Geometrie des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Trigonometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . .
4
Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Euklidische Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
1
Geometrie des Dreiecks
HH
γ
b
α
H
HH
H
HH
h
r
H
HH
H
HH
H
a
HH
H
HH
H
HH
HH
HH
β
H
H
c (= g)
h = Höhe
α, β, γ:
a, b, c:
Winkel im Dreieck
gegenüberliegende Seitenlängen zu α, β, γ,
g = Grundseitenlänge
2
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Was ist über ein beliebiges Dreieck bekannt?
• Flächeninhalt
F =
1
·g·h
2
• Winkelsumme
◦
α + β + γ = 180
• Sinussatz
b
c
a
=
=
sin α sin β sin γ
• Kosinussatz
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
3
Rechtwinklige Dreiecke
Hypotenuse = c =r
b = r sin α
Gegenkathete
α
r
a = r cos α Ankathete
Die Ankathete ist diejenige Seite, die an dem betrachteten Winkel α liegt.
Die Gegenkathete ist diejenige Seite, die gegenüber
dem betrachteten Winkel α liegt.
Die Hypotenuse ist diejenige Seite, die gegenüber
dem rechten Winkel liegt.
4
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Trigonometrische Formeln
Gegenkathete
sin (Winkel) =
Hypotenuse
Ankathete
cos (Winkel) =
Hypotenuse
tan (Winkel) =
Gegenkathete
Ankathete
In Formeln:
b
sin α =
c
⇔
b = c sin α
a
c
⇔
a = c cos α
cos α =
tan α =
b sin α
=
a cos α
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
5
Satz des Pythagoras
a2 + b2 = c2
AA
A
A
A
A
c
A
A
A
AA
A
A
A
A
A
c2
A
A
A
A
A
A
A
A
A
c
A
A
a
A
A
A
a
a2
b
b b2
p
6
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Zerlegungsbeweis
ab
(a + b) = c + 4 ·
2
2
2
a
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
b
A
A
A
c2
A
A
A
b
a2 + b2 = c2
⇔
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
c
A
A
A
A
A A
a
b
ab
2
A
A
a
q
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
7
Vektorrechnung
Warum Vektoren?
Manche Größen wie Temperatur oder Masse
- skalare Größen sind allein durch eine Zahl bestimmbar.
Andere Größen wie Geschwindigkeit oder Kraft benötigen neben einer Zahl die Angabe der Richtung:
Sie können durch einen Pfeil dargestellt werden, der
durch Länge und Richtung eindeutig bestimmt ist.
Solche Größen nennt man vektorielle Größen.
8
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil in der Ebene R2
oder im Raum R3 mit einer Richtung und einer Länge.
Mathematisch korrekt versteht man unter einem Vektor
einen geordneten 2-Tupel (bzw. einen 3-Tupel)
x1
x2

∈ R2 bzw.

x1
 x2  ∈ R 3 .
x3
y-Achse
6
x2
r
x1
-
x-Achse
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
9
Rechnen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man wie folgt rechnen:
Addition:
Seien x, y ∈ R3 zwei beliebige Vektoren:
    

x1
y1
x1 + y 1
x + y =  x2  +  y 2  =  x2 + y 2  .
y3
x3 + y 3
x3
Skalare Multiplikation:
Sei x ∈ R3 ein beliebiger Vektor und λ ∈ R eine beliebige Zahl (=Skalar):
  

x1
λx1
λx = λ  x2  =  λx2  .
x3
λx3
Bemerkung:
Bei Addition und skalarer Multiplikation im R2 fehlt
entsprechend die dritte Komponente.
10
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Beispiel
Addition:
2
6
2+6
8
+
=
=
8
−2
8−2
6
| {z } | {z }
| {z }
~x
~y
~x+~y
y-Achse
6
8
6
~y
P
PPP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
P
q
>
~x
~x + ~y
2
8
-
x-Achse
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
11
Differenz zweier Vektoren
y-Achse
6
~b − ~a
P
PPP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
P
q
>
~a
~b
-
x-Achse
12
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Beispiel
Skalare Multiplikation:
4
2·4
8
2·
=
=
3
2·3
6
| {z }
| {z }
~x
2~x
y-Achse
6
2~x
6
>
~x>
3
-
4
8
x-Achse
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
13
Länge eines Vektors im R2
Durch den Satz von Pythagoras erhält man die Länge
eines Vektors in der Ebene:
x1
Sei x :=
∈ R2, dann ist die Länge des Vektors
x2
x, also der Abstand vom Nullpunkt, gegeben durch
q
kxk := x21 + x22.
y-Achse
6
x2
>
p
x21 + x22 r
-
x1
x-Achse
14
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Länge eines Vektors im R3
Diese Längenberechnung kann man analog im dreidimensionalen Raum ausführen.
 
x1
Sei x :=  x2  ∈ R3,
x3
dann ist die Länge des Vektors x gegeben durch:
kxk :=
q
x21 + x22 + x23.
z-Achse
6
y-Achse
>
x2
x3
r
p
x21 + x22 + x23
-
x1
x-Achse
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
15
Euklidische Norm
Die Abbildung
k·k : R2 → R+
0
x 7→ kxk ,
die jedem Vektor eine Länge zuordnet, wird
euklidische Norm genannt. Sie besitzt für x, y ∈ IR2
und λ ∈ IR folgende Eigenschaften:
1.
||x|| ≥ 0 ,
2.
||x|| = 0 ⇒ x = 0 ,
3.
||λ · x|| = |λ| · ||x|| ,
4.
||x+y|| ≤ ||x||+||y||
Dreiecksungleichung .
y-Achse
6
||~x||
HH
H
||~y ||
HH
H
HH
H
HH
j
H
1
||~x + ~y ||
-
x-Achse
Dreiecksungleichung für Vektoren ~x, ~y
16
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Durch die Norm kann auch ein Abstand zwischen zwei
Punkten definiert werden, indem man die Länge der
Differenz der beiden Vektoren bestimmt:
Gegeben seien zwei Vektoren
x1
y1
x :=
∈ R2, y :=
∈ R2 ,
x2
y2
dann ist der Abstand zwischen x und y definiert durch
kx − yk =
p
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
Auf Grund der Eigenschaften des Betrages gilt für den
Abstand und x, y, z ∈ IR2:
1.
kx − yk ≥ 0 ,
2.
kx − yk = 0 ⇒ x = y ,
3.
kx − yk = ky − xk ,
4.
Dreiecksungleichung
kx − yk ≤ kx − zk + kz − yk
.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
17
Skalarprodukt
Die Länge eines Vektors können wir nun berechnen.
Wie sieht es mit der Richtung aus, d.h. mit dem Winkel des Vektors zur (bspw.) x-Achse?
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man mit Hilfe
des Skalarprodukts messen:
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren
x, y ∈ R2 ist wie folgt definiert:
h·, ·i : R2 × R2 → R,
(x, y) 7→ hx, yi ,
und
hx, yi := x1y1 + x2y2 =
2
X
k=1
xk y k .
18
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Skalarprodukt: anschaulich
Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren x, y ∈ R2 eine
skalare Größe hx, yi ∈ R zu.
Anschaulich entspricht dies der Multiplikation der Länge
kxk des Vektors x mit der Länge kyk cos(x, y) des auf
x projizierten Vektors y:
hx, yi = kxk kyk cos ∠(x, y)
mit ∠(x, y) ∈ [0, π], Winkel zwischen x und y.
Daraus ergeben sich bereits wichtige Eigenschaften des
Skalarprodukts:
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
19
Eigenschaften des Skalarproduktes
π
hx, yi = 0 ⇔ ∠(x, y) = ,
2
π
hx, yi < 0 ⇔
< ∠(x, y) < π,
2
π
hx, yi > 0 ⇔ 0 < ∠(x, y) < .
2
Der Winkel φ =: ∠(x, y) ∈ [0, π) zwischen zwei Vektoren x, y ∈ R2 berechnet sich dann durch:
cos(φ) =
hx, yi
.
kxk kyk
Dasselbe gilt ganz analog im R3 (und allgemein im Rn).
20
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Skalarprodukt und euklidische Norm
Die euklidische Norm kann mit Hilfe des Skalarproduktes wie folgt definiert werden:
p
kxk = hx, xi.
Es gelten folgende Rechenregeln für das Skalarprodukt:
Weitere Eigenschaften des Skalarproduktes
Seien x, y, z ∈ R2 und λ, µ ∈ R beliebig:
Symmetrie:
Linearität:
hx, yi = hy, xi .
hλx + µy, zi = λ hx, zi + µ hy, zi .
Positive Definitheit:
hx, xi ≥ 0 und hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
21
ha, bi
cos(φ) =
=
kak kbk
a
b
,
kak kbk
Beispiel
1
a = (1, 0) , b = √ (1, 1)
2
⇒
⇒
⇒
kak = 1 = kbk
1
1
1
cos(φ) = ha, bi = 1 · √ + 0 · √ = √
2
2
2
π
φ=
4
y-Achse
6
1
~b/ ~b
~a/ k~ak
φ
r
-
cos(φ)
-
1
-
x-Achse
22
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Kreuzprodukt im R3
Benötigt man einen dritten Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann man diesen mit
Hilfe des Kreuzproduktes berechnen.
Seien also zwei Vektoren x, y ∈ R3 gegeben.
Gesucht ist z ∈ R3,
so dass z = (z1, z2, z3)
auf x = (x1, x2, x3) und
auf y = (y1, y2, y3) senkrecht steht, d.h.
hx, zi = 0
⇔
∧
hy, zi = 0
∧
x1z1 + x2z2 + x3z3 = 0
y1z1 + y2z2 + y3z3 = 0
∧
z1 = −(x2z2 + x3z3)/x1
−y1(x2z2 + x3z3)/x1 + y2z2 + y3z3 = 0
⇒
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
⇒
∧
⇒
∧
23
z = −x2z2/x1 − x3z3/x1
1
x3 y 1
y 1 x2
z2 + y3 −
z3 = 0,
y2 −
x1
x1
z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1
(x1y2 − x2y1) z2 + (x1y3 − x3y1) z3 = 0 .
{z
}
|
{z
}
|
Wählt man
z2 = −(x1y3 − x3y1)
∧
z3 = x1y2 − x2y1 ,
so ist die letzte Gleichung erfüllt und man erhält:
z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1
= x2(x1y3 − x3y1)/x1 − x3(x1y2 − x2y1)/x1
= x2x1y3/x1 − x2x3y1/x1 − x3x1y2/x1 + x3x2y1/x1,
⇒
z1 = x2y3 − x3y2 .
24
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Durch obige Rechnung ist also ein Vektor z senkrecht
auf x und y bestimmt:
Man schreibt z = x × y und bezeichnet z als das
Kreuzprodukt von x und y.
Definition des Kreuzproduktes
× : R3 × R3 → R3
(x, y) 7→ x × y,



wobei



x1
y1
x2 y 3 − x3 y 2
x × y =  x2  ×  y 2  =  x3 y 1 − x1 y 3  .
x3
y3
x1 y 2 − x2 y 1
Bemerkung:
Im Unterschied zu allen obigen Definitionen, die sich
ganz analog in den n-dimensionalen Raum Rn
übertragen lassen, ist das Kreuzprodukt hier nur im
R3 definiert.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
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Beispiel
    
 

1
4
2·6−3·5
−3
2×5=3·4−1·6= 6 
3
6
1·5−2·4
−3
Probe
* 1   −3 +
 2  ,  6  = 1 · (−3) + 2 · 6 + 3 · (−3) = 0
−3
3
* 4   −3 +
 5  ,  6  = 4 · (−3) + 5 · 6 + 6 · (−3) = 0
6
−3
26
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 5
Eigenschaften des Kreuzproduktes
x × y = −y × x,
x × x = 0,
x, y ∈ R3 schiefsymmetrisch
x ∈ R3 ,
(λx) × y = λ(x × y),
λ ∈ R, x, y ∈ R3.
Sind zwei Vektoren x, y ∈ R3 linear abhängig, d.h. gibt
es ein
λ ∈ R \ {0} ,
so dass x = λy gilt,
dann ist das Kreuzprodukt null:
x × y = 0.