Blatt 5 - Uni Ulm
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Seminar Physikalische Chemie II für Biochemie und Lehramt WS 05/06 5. Übungsblatt Besprechungstermin Biochemie : 30.11.2005, Lehramt: 05.12.2005 25. November 2005 Die Übungsblätter gibt es auch online unter: www.pctheory.uni-ulm.de Aufgabe 1: Kommutatoren (1 + 1 + 1 + 1 + 1 Punkte) Im allgemeinen gilt - vgl. z.B. Blatt 2, Aufgabe h 1 a) i - für Operatoren kein Kommutativgesetz, d.h. ÂB̂ 6= B̂ Â. Unter dem Kommutator Â, B̂ zweier Operatoren versteht man den Ausdruck ÂB̂ − B̂ Â, welh i cher wiederum einen Operator darstellt. Ist Â, B̂ = 0, so liegt für dieses Operatorenpaar Vertauschbarkeit vor. Bestimmen Sie folgende Kommuatoren: a) [x̂, p̂y ] i h b) x̂, Ĥ h i c) L̂y , x̂ h i d) L̂y , ŷ , 2 ~ d i dy 2 ~ d + V (x) (eindimensionaler (Impulsoperator in y-Richtung), Ĥ = − 2m dx2 ~ ∂ ∂ Hamiltonoperator), L̂y = i z ∂x − x ∂z (Drehimpulsoperator in y-Richtung) und x̂ und ŷ die Ortsoperatoren darstellen. Was ist die physikalische Interpretation von h entsprechenden i Â, B̂ = 0? wobei p̂y = V(x) 000000000U 111111111 111111111 000000000 1 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000E 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000U 2 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 x1 0 0000000 1111111 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 x2 x3 x Abbildung 1: Barrieren zum Tunneleffekt Aufgabe 2: Tunneleffekt (3 Punkte) Erklären Sie den Tunneleffekt anhand obiger Skizze. Gehen Sie insbesondere darauf ein, welchen Ansatz für die Wellenfunktion Sie in welchem Bereich nehmen würden. Welche Bedingungen würden Sie verwenden, um die Konstanten der abschnittsweise definierten Wellenfunktionen anzupassen? - 1 von 2 - Anmerkung: Laplace- und Nabla-Operator. Diese beiden Operatoren findet man in der Quantenmechanik sehr häufig. Wir betrachten den Spezialfall einer skalaren Funktion U , wie er typischerweise in unseren Anwendungen vorkommt, also z.B. einer Wellenfunktion, die einem dreidimensionalen Vektor (Punkt im Ortsraum) eine (ev. komplexe) Zahl zuordnet, oder einer Energiefunktion, die einem solchen Punkt im Ortsraum eine Energie zuordnet. Dann schreibt man den Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten als ∂ ∂ ∂ ∇U (x, y, z) = grad U = U, U, U (1) ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ , ∂y , ∂z ( grad“ = Gradient) oder in reiner Operatorenschreibweise: ∇ = ∂x . ∇ angewandt ” auf U ordnet also einem Vektor einen Vektor zu. Der Laplace-Operator ist definiert als das Skalarprodukt von ∇ mit sich selbst, also ∆ = ∇ · ∇ = ∇2 (2) Insbesondere bei letzterer Schreibweise, die recht häufig zu finden ist, muß man sich bewußt machen, daß es sich um das Skalarprodukt zweier Vektoren handelt. In kartesischen Koordinaten ist dann ∂2 ∂2 ∂2 ∆U (x, y, z) = U + U + U (3) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 2 ∂ ∂ oder ∆ = ∂x 2 + ∂y 2 + Kugelkoordinaten gilt: ∂2 . ∂z 2 1 ∂ ∆= 2 r ∂r ∆ angewandt auf U ordnet also einem Vektor eine Zahl zu. In ∂ r ∂r 2 1 ∂ + 2 r sin θ ∂θ ∂ sin θ ∂θ ∂2 1 . + 2 2 r sin θ ∂θ2 (4) Damit kann man den dreidimensionalen Hamiltonoperator jetzt als ~2 ~2 Ĥ = − 2m ∆ + V (x) = − 2m ∇2 + V (x) schreiben. Aufgabe 3: Kugelflächenfunktionen (1 + 3 Punkte) Zeigen Sie, daß die folgenden Wellenfunktionen ψl, m (l = 0, 1, 2, . . . , m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l) eines Teilchens auf einer ~2 Kugeloberfläche die Schrödingergleichung − 2m ∆ψl, m = El ψl, m erfüllen und verifizieren Sie l(l+1)~2 dabei für diese Fälle, daß El = 2I mit dem Trägheitsmoment I = mr2 gilt. √ a) ψ0, 0 = 12 π q b) ψ1, 0 = 12 π3 cos θ Beachten Sie, daß die Funktionen in Kugelkoordinaten gegeben sind und verwenden Sie dementsprechend Gleichung (4). - 2 von 2 -
