Quantenphysik – ¨Ubungsblatt 1 Website: http://www.thp.uni

Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 1
Abgabe bis 15.04.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Für die Abgabe der Übungsblätter und die Klausurzulassung gelten die folgenden Spielregeln:
• Die Übungsblätter werden (spätestens) mittwochs auf der Webseite (s.o.) veröffentlicht und sind am darauf folgenden Mittwoch bis spätestens 12:00 Uhr in den zur
richtigen Übungsgruppe gehörenden Briefkasten vor dem Institut für theoretische
Physik abzugeben.
• Die Abgaben sind zu tackern und mit Name und Übungsgruppennummern zu versehen.
• Gruppenabgaben sind nicht zulässig.
• Die Aufgaben werden binär, d.h. entweder als akzeptiert oder als nicht akzeptabel,
bewertet. Für die Klausurzulassung müssen mindestens 3/4 der Aufgaben akzeptabel
bearbeitet werden.
• Eine akzeptable Bearbeitung setzt voraus, dass alle Teilaufgaben ernsthaft bearbeitet
wurden. Eine “perfekte” Lösung der Aufgaben ist nicht notwendig. Es muss vielmehr
erkennbar sein, dass Sie sich aktiv und im Bezug zur Vorlesung mit der Aufgabe
auseinander gesetzt haben. Sollte dies nicht zu einer Lösung geführt haben so sind
die aufgetretenen inhaltlichen Probleme möglichst genau zu schildern. Es ist zu
erwarten, dass zumindest die Vorlesung (bzw. zugrunde liegende Literatur und im
Zweifel Wikipedia) konsultiert wurden. Eine akzeptable Problembeschreibung muss
als Diskussionsgrundlage in der Übung dienen können.
Aufgabe 1.1. Komplexe Zahlen
√
Seien im folgenden x, y ∈ R reelle Zahlen, i = −1 und z ∈ C. Wir bezeichnen
die
p
komplexe Konjugation mit (x + iy)∗ = x − iy und den Betrag mit |x + iy| = x2 + y 2 ,
d.h. |z|2 = z ∗ z.
a. Zeigen Sie:
eiπ = −1,
|eiy | = 1,
|ex+iy | = ex ,
|(x + iy)z|2 = (x2 + y 2 )|z|2
b. Berechnen Sie die folgenden Real- und Imaginärteile:
ℜ(x + iy),
ℜ(eix ),
ℜ(log(x + iy)),
Aufgabe 1.2. Vektorräume
a. Definieren Sie was ein reeller/komplexer Vektorraum ist.
1
ℑ((x + iy)ex+iy )
b. Welche der folgenden Mengen sind reelle/komplexe Vektorräume? (Bzgl. welcher
Addition/Skalarmultiplikation?)
{(x, y) ∈ R2 | x = 2y}, {(x, y) ∈ R2 | x = y 2 }, C ∞ (R), {f ∈ C ∞ (R) | f ′ = λf + µ}
Hierbei bezeichnet C ∞ (R) die Menge der Glatten Funktionen von R nach C und es sei
λ ∈ C und µ ∈ C.
c. Geben Sie für alle endlichdimensionalen Vektorräume aus Teil b eine Basis an.
Aufgabe 1.3. Skalarprodukt
a. Was sind die definierenden Eigenschaften eines reellen Skalarproduktes? Was ist eine
Orthonormalbasis (ONB)?
b. Sei {e1 , . . . , en } eine P
ONB des Vektorraums
Pn V bzgl dem Skalarprodukt h, i und v, w ∈ V
n
mit Komponenten v = i=1 vi ei und
Pw = i=1 wi ei .
Zeigen Sie vi = hv, ei i und hv, wi = ni=1 vi wi .
c. Sei nun V ein komplexer Vektorraum mit hermitschem Skalarprodukt und v, w ∈ V .
Folgern Sie aus hv, wi = (hw, v, i)∗ , dass ||v||2 := hv, vi ∈ R. Welche weiteren Eigenschaften
hat ein hermitsches Skalarprodukt?
d. Sei {e1 , . . . , en } eine ONB des komplexen Vektorraumes V . Zeigen Sie, dass {eix1 e1 , . . . , eixn en }
für beliebige xi ∈ R ebenfalls eine ONB ist.
Aufgabe 1.4. Eine neue Naturkonstante
a. Geben Sie das Planksche Wirkungsquantum h in SI Einheiten an.
b. Kombinieren Sie die Newtonsche Gravitationskonstante G, die Lichtgeschwindikkeit
c und h zu einer Längen-, Massen-, und Zeitskala. Was ist die physikalische Bedeutung
dieser Skalen?
c. Zeigen Sie, dass h/e2 die Dimension eines elektrischen Wiederstandes hat.
d. ∗ Was ist die physikalische Bedeutung von h/e2 ?
Hinweis: Teilaufgaben mit einem ∗ gehen über die Vorlesung hinaus. Die Nichtbearbeitung
dieser Aufgabenteile ist akzeptabel.
e. Geben Sie eine grobe Abschätzung für den Radius eines Atoms basierend auf einer klassischen Vorstellung von Elektron und Proton als Planetensystem aber unter Einbeziehung
von h.
2
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Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 2
Abgabe bis 22.04.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 2.1. Orthonormalbasen (ONB)
Seien {e1 , e2 } und {f1 , f2 } ONB von C2 mit Standardskalarprodukt.
a. Was lässt sich allein aufgrund von Orthogonalität und Normierung über die Komponenten
von f1/2 bezüglich {e1 , e2 } sagen?
b. Sei g : C2 → C2 die komplex lineare Abbildung, die durch g(e1 ) = f1 und g(e2 ) = f2
definiert ist. Zeigen Sie, dass g † g = ✶2 wobei ✶2 die 2x2 Einheitsmatrix bezeichnet und g †
die komplex konjugierte und transponierte Matrix von g.
Hinweis: Verwenden Sie die Bedingungen an die Koeffizienten von g aus Teil a. Sie können
alternativ die Matrixkoeffizienten von g † g auch als
g†g
= hg(ei ), g(ej )i
(1)
i,j
berechnen.
c. Zeigen Sie, dass eine beliebige complex lineare Abbildung g : C2 → C2 genau dann
{e1 , e2 } auf eine ONB abbildet, wenn g † g = ✶.
Hinwes: Auch hier ist Gleichung (1) möglicherweise hilfreich.
Aufgabe 2.2. Stern-Gerlach mit mehr Zuständen
Betrachten Sie den Stern-Gerlach Versuch mit einer anderen Atomsorte. Die zu untersuchende Atomsorte habe die Eigenschaft, daß der Strahl im Stern-Gerlach-Magneten in drei
Teilstrahlen aufgespalten werden, wieder einer in + Richtung, einer in − Richtung und
zusätzlich einer, der auf die Magnetfelder gar nicht reagiert (0-Richtung). Benutzt man die
in der Vorlesung eingeführte Notation, so kann dieser Stern-Gerlach-Magnet repräsentiert
werden wie in Abb.1.
+
0
−
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Stern-Gerlach Magneten mit anderer Atomsorte
a. Ist der Stern-Gerlach-Magnet in z-Richtung orientiert, ordnen wir den drei Teilstrahlen
die Atomzustände ψ + , ψ − und ψ 0 zu. Mit welchen experimentellen Anordnungen von
Stern-Gerlach-Magneten könnte man zeigen, daß diese Zustände paarweise orthogonal
sind?
1
b. Analog zur Vorlesung werden wieder drei Stern-Gerlach-Magnete hintereinander geschaltet. Die Aufspaltung des Strahls im ersten und letzten Magneten erfolgt entlang der
z-Achse des Systems, die Aufspaltung im mittleren Magneten erfolgt entlang der y-Achse.
In den folgenden drei Skizzen sind jeweils Teile des Strahls blockiert, wodurch die Anzahl
der Teilchen, die den jeweiligen Versuchsteil passieren, abnimmt. Stellen Sie die in den
Skizzen in Abb.2 definierten nicht negativen
Koeffizienten
β, γ, δ, ǫ, ζ (alle ≤ 1) durch
+ −
α,
0
+
−
0
geeignete Skalarprodukte der Vektoren ψ , ψ , ψ und ϕ , ϕ , ϕ dar, wobei letztere
den Teilstrahlen eines in y-Richtung orientierten Magneten entsprechen.
Ν
αΝ
βαΝ
Ν
γΝ
δγΝ
Ν
εΝ
ζεΝ
Abbildung 2: Skizzen zur Definition der sechs Koeffizienten
Aufgabe 2.3. Stern-Gerlach in x-Richtung
Neben der Polarisation in z- und y-Richtung senkrecht zum Strahl, die Sie aus der Vorlesung
kennen, ist es auch möglich die Silberatome in Strahlrichtung zu polarisieren, d.h. senkrecht
zu sowohl z- als auch y-Richtung.
a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein in Strahlrichtung polarisiertes Atom in einem in
z-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach Magneten nach oben oder unten abgelenkt? Wie
sind die Wahrscheinlichkeiten für Ablenkung nach Rechts/Links in einem Stern-Gerlach
Magneten in y-Richtung?
Hinweis: Rotationssymmetry
b. Zeigen Sie, dass die beiden Polarisationsrichtung parallel und anti-parallel zum Strahl
(“vorwärts” und “rückwärts”) eine weitere Orthonormalbasis, Bx = {ϑ± }, zusätzlich zu den
beiden bekannten Bz = {Ψ± } und By = {ϕ± = √12 (Ψ+ ± Ψ− )} bilden und geben Sie die
Komponenten von Bx bzgl. Bz an. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand von Aufgabe 2.1 c.
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 3
Abgabe bis 29.04.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Regeländerung: Ab sofort dürfen Sie die bearbeiteten Übungsblätter in Gruppen von
maximal 3 Personen abgeben.
Aufgabe 3.1. Hermitesche Adjunktion
a. Wie ist die hermitesche Adjunktion eines Operators definiert?
b. A und B seien Operatoren auf einen Hilbertraum H, c ∈ C und |ψi , |φi ∈ H. Zeigen
Sie:
hψ| A |φi∗ = hφ| A† |ψi .
[Hinweis: Die letzte Gleichung ist gleichbedeutend zu hψ| Aφi∗ = φ A† ψ .]
(cA)† = c∗ A† ,
(A + B)† = A† + B † ,
(AB)† = B † A† ,
c. Der Operator A sei bzgl. einer ONB durch die Matrix M gegeben. Zeigen Sie, dass dann
A† bzgl. derselben ONB durch die komplex konjugierte und transponierte Matrix (M ∗ )T
gegeben ist.
Aufgabe 3.2. Hermitesche Operatoren
a. Was ist ein hermitescher Operator?
b. A, B und C seien hermitesche Operatoren, A zudem invertierbar und n eine natürliche
Zahl. Welche der folgenden Operatoren sind hermitesch?
A + B,
A − B,
AB,
AB + BA,
AB − BA,
i(AB − BA),
An ,
A−1 ,
ABC, i(ABC − CBA) .
P
c.
i ai |φi i hφi | sei die Spektraldarstellung des hermiteschen Operators A. Ferner sei f (x)
ein Polynom mit reellen Koeffizienten (auf R). Wie lauten die Spektraldarstellungen von
A−1 , An und f (A)?
d. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell und seine Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.
Aufgabe 3.3. Stern-Gerlach-Magnet
Die Achsen x,y und z seien orthogonal zueinander, die Achse n sei gegen z durch Drehung um
die Achse x um den Winkel φ gekippt. Ein Stern-Gerlach-Magnet sei längs n ausgerichtet. Es
wird beobachtet, dass in diesem Magneten z+ polarisierte Ag-Atome mit Wahrscheinlichkeit
p in die positive n-Richtung abgelengt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit q werden
im Magneten y+ polarisierte Atome in diese Richtung abgelenkt?
[Hinweis: Argumentieren Sie zuerst, dass aus Symmetriegünden x± polarisierte Atome
im Magneten mit jeweils Wahrscheinlichkeit 1/2 in positiver wie negativer n-Richtung
abgelenkt werden sollten.]
1
Aufgabe 3.4. Zustand eines Atoms?
Angenommen, es stünde Ihnen ein einziges Silberatom zur Verfügung, und Sie wüssten, dass
dieses Atom entweder im Zustand ψ+ (z+ polarisiert) oder im Zustand φ+ (y+ polarisiert)
ist. Können Sie durch ein einziges Stern-Gerlach-Experiment mit Sicherheit entscheiden, in
welchem Zustand sich das Atom vor dem Experiment befand? Hilft es Ihnen weiter, wenn
Sie beliebig viele Stern-Gerlach-Experimente an dem Atom ausführen dürfen? Wie sieht es
aus, wenn Sie statt einem nun 10 Silberatome bekommen, und Sie davon ausgehen können,
dass sich diese 10 Atome entweder alle im Zustand ψ+ oder alle im Zustand φ+ befinden?
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 4
Abgabe bis 29.04.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 4.1. Rechnen mit Kommutatoren
a. A, B und C seien Operatoren. Zeigen Sie:
[A, B]† = [B † , A† ] ,
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B ,
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 .
b. Nun gelte zudem [A, [A, B]] = 0. Ferner sei n eine natürliche Zahl und f (x) ein Polynom.
Zeigen Sie:
[f (A), B] = f ′ (A)[A, B] .
[An , B] = nAn−1 [A, B] ,
Aufgabe 4.2. Unbestimmtheit der Komponenten des magnetischen Moments
B = {|ψ+ i , |ψ− i} sei die Eigenbasis der Observable µz . D.h. |ψ+ i und |ψ− i bezeichnen die
Zustände von z+ bzw. z− polarisierten Atomen und es gilt
µz = µ0 |ψ+ i hψ+ | − µ0 |ψ− i hψ− | .
a. Zeigen Sie, dass die Observablen µx , µy und µz in Matrixschreibweise bzgl. B durch
1 0
0 1
0 −i
,
µz = µ 0
,
µy = µ 0
µx = µ0
0 −1
1 0
i 0
gegeben sind.
b. Zeigen Sie, dass
[µx , µy ] = −2iµ0 µz ,
[µy , µz ] = −2iµ0 µx ,
[µz , µx ] = −2iµ0 µy .
c. Berechnen Sie nun die Standardabweichungen (∆µx )ψ und (∆µy )ψ der Observablen
µx und µy bei Messungen an Atomen in Zuständen |ψi = |ψ+ i und |ψi = √12 (|ψ+ i +
|ψ− i). Welche Aussage macht die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation jeweils über
(∆µx )ψ (∆µy )ψ ? Was ergibt Ihre Rechnung?
Aufgabe 4.3. Zeitabhängiger Hamilton-Operator
Die Bewegungsgleichung
iψ̇ = Hψ
ist Norm-erhaltend genau dann wenn H hermitesch. In diesem Fall ist eine Observable A
genau dann eine Erhaltungsgröße der durch dieser Gleichung gegebenen Dynamik wenn
[H, A] = 0. Verallgemeinern und beweisen Sie diese Aussagen für eine Bewegungsgleichung
mit einem explizit zeitabhängigen Operator H(t).
1
Aufgabe 4.4. Energie-Shift
H sei der Hamilton-Operator eines quantenmechanischen Systems, E1 , E2 , E3 , . . . sein
(diskretes) Spektrum und U (t) der entsprechende Zeitentwicklunsoperator. Ein weiterer
Hamilton-Operator H̃ (für dasselbe System) gehe aus H durch eine Verschiebung der
Energieskala um −E0 hervor. D.h.
H̃ = H + E0
(≡ H + E0 1) .
Wie lautet das Spektrum von H̃ und wie hängt der zu H̃ gehörige Zeitentwicklunsoperator
Ũ (t) mit U (t) zusammen? Hat der Energie-Shift beobachtbare Konsequenzen?
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 5
Abgabe bis 13.05.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 5.1. Kernspintomographie
In der Kernspintomographie werden, grob gesagt, Wasserstoffatome anhand des magnetischen Moments des Wasserstoffkerns, des Kernspins µN , detektiert. Wesentlich für
die Funktionsweise des Tomographen sind neben einem sehr starken konstanten Magnetfeld B0 = −B0 ez ein schwaches, in der xy-Ebene rotierendes Wechselfeld B1 (t) =
−B1 sin(ω̃t)ex − B1 cos(ω̃t)ey . Der Effekt des Wechselfeldes B1 (t) auf den Zustand des
Kernspins ist Gegenstand dieser Aufgabe.
a. Die quantenmechanische Beschreibung des Kernspins ist analog derjenigen des magnetischen Moments des Silberatoms im Stern-Gerlach-Experiment. D.h. wenn |ψ+ i und
|ψ− i z+ und z− polarisierte Zustände des Kernspins
beschreiben, dann sind y± polari√
sierte Zustände durch |ϕ
√± i = (|ψ+ i ± |ψ− i)/ 2 gegeben, x± polarisierte Zustände durch
|χ± i = (|ψ+ i ± i |ψ− i)/ 2. Zeigen Sie, dass dann die Komponenten des Kernspins durch
die Observablen
µ̂x = iµN (|ψ− ihψ+ | − |ψ+ ihψ− |) ,
µ̂y = µN (|ψ− ihψ+ | + |ψ+ ihψ− |) ,
µ̂z = µN (|ψ+ ihψ+ | − |ψ− ihψ− |) ,
gegeben sind und damit der zeitabhängige Hamilton-Operator
H(t) = B0 µ̂z + B1 cos(ω̃t)µ̂y + B1 sin(ω̃t)µ̂x
in die Form
H = B0 µ̂z + µN B1 ( e−iω̃t |ψ+ ihψ− | + e+iω̃t |ψ− ihψ+ | )
gebracht werden kann.
b. Verwenden Sie den Ansatz |ψ(t)i = α+ (t) |ψ+ i + α− (t) |ψ− i um zu zeigen, dass die
Schrödinger-Gleichung für |ψ(t)i für die Koeffizienten α+ (t) und α− (t) die Differentialgleichungen
ω1
ω
α̇+ = −i α+ − i e−iω̃t α−
2
2
und
ω
ω1
α̇− = +i α− − i e+iω̃t α+
2
2
impliziert. Hierbei ist ω = 2|B0 |µN /~ die Larmor-Frequenz und ω1 = 2|B1 |µN /~.
c. Lösen Sie die Differentialgleichungen in b für den Fall ω̃ = ω (Resonanz) mittels des
Ansatzes
ωt
ωt
α+ (t) = g(t)e−i 2 und α− (t) = f (t)e+i 2 .
Diskutieren Sie anhand der so bestimmbaren Koeffizientenfunktionen α± (t) die Dynamik
des Anfangzustandes |ψ(t0 = 0)i = |ψ− i. Welcher Zustand liegt zur Zeit t1 = π/ω1 bzw.
zur Zeit t2 = 2π/ω1 vor?
1
Aufgabe 5.2. Unbestimmtheit von Ort und Impuls einer Murmel
Auf einm Billardtisch befinden sich 20 Murmeln von jeweils Masse 1g und Durchmesser 1cm
hintereinander auf einer Geraden ruhend angeordnet, jweils im 10cm Abstand voneinander.
Nun wird Die erste Murmel mit Geschwindigkeit 1m/s zentral auf die zweite gestoßen,
diese übernimmt durch den elastischen Stoß den Impuls der ersten und beweget sich damit
auf die dritte Murmel zu. Das setzt sich so fort bis zur letzten Murmel. Dabei ist zu
beachten, dass sich eine geringe anfängliche Auslenkung in transversaler Richtung von
Stoß zu Stoß verstärkt. Jemand behauptet, dass durch diesen Effekt alleich schon die
quantenmechanische Unbestimmtheit von Ort und Impuls der ersten Murmel es unmöglich
macht, die Richtung der letzten Kugel vorherzusagen. Widerlegen oder stützen Sie diese
Behauptung durch eine quantitative Abschätzung.
Aufgabe 5.3. Wellenfunktionen
Zustände |ψi, |ϕi und |χi eines Teilchens in einer Dimension seien durch Wellenfunktionen
x2
ψ(x) = α e− 4σ2 ,
ϕ(x) = ψ(x − y),
χ(x) = eikx ψ(x)
gegeben, ein weiterer Zustand |ϑi sei die Superposition |ϑi = β(|ψi + |χi). α und β sind
reell positive Normierungskonstanten, die ebenfalls reell positive Konstanten σ und y haben
die Dimension Länge, k die Dimension 1/Länge.
a. Zeigen Sie, dass
Z
∞
e
−ax2 +bx
dx =
−∞
r
π b2 /4a
e
a
(1)
für a > 0 und b ∈ R.
R∞
√
2
Hinweis: Wenn Sie −∞ e−x dx = π nicht selbst zeigen können dürfen Sie dies verwenden.
Falls Sie mit Grundzüfen der Funktionentheorie vertraut sind, zeigen Sie, dass (1) auch für
alle b ∈ C gilt.
b. Bestimmen Sie die Normierungskonstanten α, β, sowie die Skalarprodukte hϕ|ψi, hχ|ψi,
hϑ|ψi und skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der vier Zustände für
σ = 1, y = 3 und k = 10.
c. Bestimmen Sie die Erwartungswerte von Ort x̂ und Impuls p̂ in den Zuständen
|ψi , |ϕi , |χi und |ϑi. Berechnen Sie schließlich die Standardabweichungen (∆x)ψ und
(∆p)ψ und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Vorhersage der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation.
R
R
2
2
Hinweis: xn e−λx dx = (∂µ )n µ=0 e−λx +µx dx für λ > 0.
Aufgabe 5.4. Freies Teilchen
Wir betrachten ein freies Teilchen der Masse m, dessen quantenmechanische Dynamik
bekanntlich durch die Schrödingergleichung mit Hamiltonoperator H = |p̂|2 /2m bestimmt
ist. Hierbei ist p̂ = (p̂x , p̂y , p̂z ) der dreidimensionale Impulsoperator. r̂ = (x̂, ŷ, ẑ) sei der
dreidimensionale Ortsoperator.
a. Welche der folgenden Observablen sind Erhaltungsgrößen?
x̂,
p̂x ,
x̂p̂x + p̂x x̂,
x̂p̂x − p̂x x̂,
x̂p̂y + ŷ p̂x ,
x̂p̂y − ŷ p̂x ,
p̂2x + p̂2y .
b. Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen im Zustand |ψ(t = 0)i = |ψ0 i mit Wellenfunktion
ψ0 (r) =
|r|2
1
− 2
4σ .
e
(2πσ 2 )3/4
Wie lautet die Wellenfunktion ψ(r, t) des Zustands |ψ(t)i zur Zeit t > 0?
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 6
Abgabe bis 20.05.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 6.1. Translation und Impuls
Die quantenmechanische Dynamik eines Teilchens in einer Dimension sei durch einen
Hamiltonoperator H gegeben. Ta sei der aus der Vorlesung bekannte Translationsoperator.
H ist per definitionem translationsinvariant genau dann wenn hHiψ = hHiTa ψ für alle
a ∈ R und ψ ∈ H.
a. Zeigen Sie, dass H genau dann translationsinvariant ist wenn Ta HTa−1 = H für alle
a ∈ R.
b. K sei der Generator der Translationen Ta , d.h. Ta = e−iKa . Zeigen Sie, dass H genau
dann translationsinvariant ist wenn K erhalten ist.
Aufgabe 6.2. Impulsdarstellung
{|ki}k∈R bezeichne die Impulsbasis für ein Teilchen in einer Dimension; d.h. |ki mit
Wellenfunktion hx|ki = eikx istRein Impulseigenvektor zum Eigenwert (Impuls) ~k mit
dk
|ki hk| = 1H .
Wellenzahl k und es gilt zudem 2π
a. Zeigen Sie:
hk|ψi =
Z
dx e−ikx ψ(x) =: ψ̃(k) ,
∂
hk|ψi ,
∂k
Z
dk
∂
hx̂iψ =
ψ̃(k)∗ i
ψ̃(k) ,
2π
∂k
Z
dk
ψ̃(k)∗ ~k ψ̃(k) .
hp̂iψ =
2π
hk|x̂|ψi = i
b. Was ist die physikalische Bedeutung des Operators eix̂q ? (q ∈ R)
Aufgabe 6.3. Rotation und Drehimpuls
Der quantenmechanische Impuls kann als Generator der Translationen definiert werden.
Dass der quantenmechanische Drehimpuls ebenso als Generator der Rotationen aufgefasst
werden ist Gegenstand dieser Aufgabe. Zur Vereinfachung betrachten wir hier aber nur
Rotationen um die Achse e3 , beschrieben durch die Matrix


cos α − sin α 0
Dα =  sin α cos α 0 
0
0
1
1
wobei α den Drehwinkel bezeichnet. Der entsprechende Operator Rα auf H ist dann durch
seine Wirkung
Rα |ri := |Dα ri
auf einen Ortszustand |ri = |x1 , x2 , x3 i definiert; explizit in Koordinaten also
Rα |x1 , x2 , x3 i := |x1 cos α − x2 sin α, x1 sin α + x2 cos α, x3 i
a. Zeigen Sie anhand der bekannten Eigenschaften der Rotationen Dα , dass
Rα
unitär
R0 = 1
Rα+β = Rα Rβ = Rβ Rα
Rα−1 = R−α .
b. Zeigen Sie mittels a), dass es einen hermitschen Operator iI gibt, so dass
∂α Rα = IRα = Rα I
und folgern Sie, dass Rα = eαI .
c. Zeigen Sie nun, dass L3 := i~I eine Observabdale ist, die genau dann bzg. der Dynamik
eines Hamiltonians H eine Erhaltungsgröße ist, wenn H Rotationsinvariant ist.
d. Zeigen Sie schließlich, dass die Observable L3 durch Orts- und Impulsoperatoren gemäß
L3 = x̂1 p̂2 − x̂2 p̂1
dargestellet werden kann
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 7
Abgabe bis 3.6.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 7.1. Dynamik der Erwartungswerte
Ein Teilchen der Masse m in einer Dimension unterliege der Kraft F (x) = −∂x V (x).
Seine quantenmechanische Dynamik ist dann über die Schrödingergleichung durch den
Hamiltonoperator H = p̂2 /2m+V (x̂) gegeben. ψ(t) sei die Lösung der Schrödingergleichung
zu einem Anfangszustand ψ0 bei t = 0. Im folgenden bezeichne hAit den Erwartungswert
der Observablen A im Zustand ψ(t), also hAit = hAiψ(t) .
a. Zeigen Sie:
d
hp̂it = hF (x̂)it ,
dt
d
hp̂it
hx̂it =
,
dt
m
m
d2
hx̂it = hF (x̂)it .
dt2
b. Nun sei xkl (t) die klassische Bahn als Lösung der Newton-Gleichtung
mẍkl (t) = F (xkl (t))
zum Anfangsort hx̂i0 und zur Anfangsgeschwindigkeit hp̂i0 /m bei t = 0. Unter welchen
Bedingungen an ψ(t) und F ist xkl (t) eine gute Näherung für den Erwartungswert hx̂it ?
Hinweis: Entwickeln Sie F (x) um hx̂it bis in zweite Ordnung.
2
2
c. Schließlich betrachten wir mit V (x) = mω
2 x speziell den eindimensionalen harmonischen
Oszillator der Frequenz ω. ψ(t) sei wieder die Lösung der Schrödingergleichung zum
Anfangszustand ψ0 bei t = 0. Zeigen Sie, dass
hx̂it = hx̂i0 cos ωt +
hp̂i0
sin ωt .
mω
Aufgabe 7.2. Quantisierung des Drehimpulses
L̂3 = i~∂α Rα |0 (= x̂1 p̂2 − x̂2 p̂1 ) ist die e3 -Komponente des quantenmechanischen Bahndrehimpulses eines Teilchens (vgl. Aufgabe 6.4.).
a. Zeigen Sie, dass in Ortsdarstellung mittels Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) die Wirkung
von L̂3 durch
(L̂3 ψ)(r, ϕ, z) = −i~∂ϕ ψ(r, ϕ, z)
gegeben ist.
b. Untersuchen Sie das Eigenwertproblem
(L̂3 ψ)(r, ϕ, z) = l3 ψ(r, ϕ, z)
mittels des Ansatzes ψ(r, ϕ, z) = f (ϕ)g(r, z). Folgern Sie insbesondere, dass als Eigenwerte
von L̂3 nur ganzzahlige Vielfache von ~ möglich sind (und damit die e3 -Komponente des
Bahndrehimpulses in ganzzahligen Vielfachen von ~ quantisiert ist).
1
Aufgabe 7.3. Teilchen im Gummikasten
Wir betrachten in dieser Aufgabe wieder die Bewegung eines Teilchens in einer Dimension
im Kasten [0, π]. Anders als in der Vorlesung seien die Wände nun aber “weich” und etwa
durch das unter b. aufgeführte Potenzial beschrieben.
a. Zur Vorbereitung betrachten wir die freie, zeitunabhängige Schödingergleichung auf
]0, π[ unter der Randbedingung verschwindender Ableitungen der Wellenfunktion an den
Rändern, d.h. ∂x Ψ(0) = ∂x Ψ(π) = 0. Der Wert der Wellenfunktion kann dort aber beliebig
sein. Lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung unter dieser Randbedingung, d.h.
bestimmen Sie alle erlaubten Energien und die zugehörigen Eigenzustände, und vergleichen
Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten mit der klassischen und mit denen der Kiste mit
harten Wänden. Was fällt (vor allem am Rand) auf?
b. In der Realität werden die Wände eines Kastens
Wir betrachten nun das einfache Modell
 2
mω 2

 2 x
V (x) = 0

 mω2
2
2 (x − π)
durch ein glattes Potential beschrieben.
x<0
0<x<π
x>π
~
mit harmonischen Wänden. Zur Vereinfachung der folgenden Rechnung sei ω = n2 m
für
n ∈ N.
2
2
Zeigen Sie zunächst, dass der gewöhnliche harmonische Oszillator V (x) = mω
2 x eine
Gaußfunktion als Eigenfunktion zum Eigenwert E = ~ω/2 hat. Verwenden Sie diese als
Lösung im Bereich der Wände. Die Forderung, dass ψ stetig differenzierbar auf R sein
soll, führt zu einem neuen Randwertproblem auf [0, π]. Bestimmen sie die Lösung und
vergleichen Sie mit Teil a. Was passiert für n → ∞?
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 8
Abgabe bis 3.6.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 8.1. Virialsatz
Ein Teilchen der Masse m unterliege einer konservativen Kraft F = − grad V . Der Virialsatz
besagt, dass in einem stationären Zustand (d.h. Energieeigenzustand) ϕ des Teilchens
der Erwartungswert der kinetischen Energie T = |p|2 /2m mit dem des Virials − 21 r · F(r)
übereinstimmt:
1
hT iϕ = − hr · F(r)iϕ
2
Beweisen Sie diese Relation indem Sie den Ausdruck h[H, r · p]iϕ untersuchen. Was ergibt
sich speziell für V (r) = α|r|2 und V (r) = β|r|−1 ? Wie lautet der Virialsatz der klassischen
Mechanik?
Aufgabe 8.2. Harmonischer Oszillator I
Wir betrachten einen eindimensionalen Harmonischen Oszillator der Frequenz ω und Masse
m, |ni bezeichne den nten Energieeigenzustand.
a. Konstruieren Sie eine Superpostion der Zustände |0i und |1i mit maximalen Ortserwartungswert hxi. Welchen Impulserwartungswert besitzt dieser Zustand?
b. Angenommen, der Oszillator ist im Zustand aus a zur Zeit t = 0, in welchem Zustand
befindet er sich zur Zeit t > 0? Bestimmen Sie zudem die Erwartungswerte von Ort und
Impuls für t > 0.
Aufgabe 8.3. Harmonischer Oszillator II
Ein Teilchen der Masse m in einer Dimension sei dem Potenzial
(
∞
: x≤0
V (x) =
1
2 : x>0
2 kx
ausgesetzt. Wie lauten die Eigenenergieen des Systems? Wie groß ist der Ortserwartungswert
im Grundzustand?
Aufgabe 8.4. Gebundenes Teilchen in einer Dimension
Wir betrachten eine Teilchen der Masse m in einer Dimension, dass durch das Potential
V (x) = −uδ(x),
wobei u positiv, gebunden wird. Bestimmen Sie die Wellenfunktion und die Bindungsenergie
des Grundzustands. Gibt es angeregte gebundende Zustände des Teilchens?
1
Aufgabe 8.5. Baker-Campbell-Hausdorff Formel
Seien H ein (komplexer) Vektorraum, End(H) der Vektorraum der linearen Abbildungen
von H nach H und X, Y ∈ End(H) hermitsche Operatoren.
a. Zeigen Sie, dass die gewöhnliche Differentialgleichung (mit Werten in End(H))
∂t f (t) = [X, f (t)]
für eine Funktion f : R → End(H) mit f (0) = Y eindeutig durch f (t) = AdetX Y gelöst
wird, wobei
Ad g : End(H) → End(H)
Y 7→ gY g −1
die (lineare) adjungierte Wirkung von g auf Y bezeichnet. Folgern Sie, dass
AdeX = eadX ,
(1)
wobei adx Y = [X, Y ], d.h.
eX Y e−X = Ad eX (Y ) = ead X (Y ) = Y + [X, Y ] +
1
1
[X, [X, Y ]] + [X, [X, [X, Y ]]] + . . .
2!
3!
b. Verwenden Sie (1) um zu zeigen, dass für [X, [X, Y ]] = 0 die Funktion g(t) = etX etY
die Differentialgleichung
∂t g(t) = (X + Y + t[X, Y ])g(t)
erfüllt. Folgern Sie, dass
1
eX eY = eX+Y + 2 [X,Y ]
und, falls auch [Y, [X, Y ]] = 0,
1
eX+Y = eX eY e− 2 [X,Y ] .
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 9
Abgabe bis 17.6.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 9.1. Streuung am δ-Potenzial
Ein Teilchen der Masse m werde am Potenzial
V (x) = −uδ(x)
gestreut, wobei u > 0. Bestimmen Sie die Transmissionswahrscheinlichkeit T des Teilchens
als Funktion der Teilchenenergie E > 0. Wie verhält sich T für E → ∞ und E → 0? Was
ist die relevante Energieskala des Systems? Was ändert sich für negatives u?
Aufgabe 9.2. Feldemission
Unter dem Einfluss eines starken elektrischen Felds senkrecht zur Oberfläche eines Metalls
werden Leitungselektronen aus dem Metall gelöst. Zur Beschreibung dieses als Feldemission
bezeichneten Phänomens verwenden wir ein vereinfachtes 1D Modell-Potenzial
(
−W
: x<0
(Metall, feldfrei)
V (x) =
−eEx : x > 0
(Vakuum + elektr. Feld) ,
wobei W > 0 die Austrittsarbeit, E die elekrische Feldstärke und e die Elementarladung
bezeichnet (eE positiv). Zudem nehmen wir an, dass sich im Metall Elektronen bei einer
Energie −W < E < 0 befinden und diese die Potenzialbarriere an der Metalloberfläche
(Skizze!) durchtunneln. Das Resultat ist ein Tunnelstrom I = I0 T , wobei I0 ein konstanter
Parameter und T die durch E und V (x) bestimmte Transmissionswahrscheinlichkeit ist.
Bestimmen Sie mittels der Gamov-Näherung
Z
1 p
T = exp(−
8m(V (x) − E) dx)
~
den Tunnelstrom als Funktion von E, W und E. Angenommen W = 3eV und E = −1eV ,
ab welcher elektrischen Feldstärke E können Sie mit einem signifikannten Tunnelstrom
rechnen?
Aufgabe 9.3. Elektron-Reflexion am Metall
Ein Strahl monoenergetische Elektronen wird senkrecht auf eine Metalloberfläche gerichtet.
Im Metall liegt das Potenzial −W = −8eV vor, die Elektronen im Strahl haben die Energie
+0.1eV . Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die Elektronen an der Metalloberfläche
reflektiert?
1
Aufgabe 9.4. Harmonischer Oszillator (Wiederholung)
Wir betrachten einen eindimensionalen Harmonischen Oszillator der Frequenz ω, |ni
bezeichne den nten Energieeigenzustand.
a. Bestimmen Sie unter Verwendung der Operatoren b und b† die Matrixelemente
hn|x|mi,
hn|p|mi,
hn|xp + px|mi,
hn|x2 |mi,
hn|p2 |mi.
b. Verifizieren Sie für den Harmonischen Oszillator die Aussage des Virialsatz über die
Erwartungswerte von potenzieller und kinetischer Energie in einem Energieeigenzustand
|ni.
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt j
Abgabe bis 24.6.2015
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Aufgabe 10.1.
Lineares Potenzial
Bestimmen Sie in WKB-Näherung die Eigenenergien eines Teilchens der Masse m im
Potenzial V (x) = γ|x|. Skizzieren Sie ferner die Wahrscheinlichkeitsamplitude des 10ten
Eigenzustands (verwenden Sie dazu Einheiten in denen ~ = 1, γ = 1, m = 1).
Aufgabe 10.2.
Teilchen im Gummikasten II
Bestimmen Sie in WKB-Näherung die Eigenenergien En eines Teilchens der Masse m im
Potenzial
 2
mω 2

x<0
 2 x
V (x) = 0
0<x<L

 mω2
2
x>L.
2 (x − L)
Zeigen Sie insbesondere, dass in guter Näherung
 2
~
π 2
 2m
falls
(n + 12 )2 ,
L
En =

falls
~ω(n + 21 ),
wobei l0 =
p
n+
1
2
≪ L2 /l02 ,
n+
1
2
≫ L2 /l02 ,
~/mω. Interpretieren Sie dieses Ergebnis.
Dreidimensionale Drehungen
Aufgabe 10.3.
a. Wie lauten die infinitesimalen Erzeugenden I1 , I2 und I3 für Drehungen D1 , D2 und
D3 um die Achsen e1 , e2 und e3 ?
b. Zeigen Sie, dass D1,α = eαI1 und allgemeiner, für Drehungen um eine beliebige Achse
n̂, Dn̂,α = eαn̂·I , wobei n̂ · I = n1 I1 + n2 I2 + n3 I3 .
c. Zeigen Sie, dass [I1 , I2 ] = I3 .
d. Zeigen Sie, dass
D1,α D2,β = D3,αβ D2,β D1,α + O(α, β)3 .
Aufgabe 10.4.
Drehimpuls
J sei ein Drehimpulsoperator mit den Komponenten J1 , J2 , J3 . Ferner sei J2 = J22 + J22 + J32 ,
J+ = J1 + iJ2 und J− = J1 − iJ2 . a. Wie lauten die fundamentalen Drehimpulsvertauschungsrelationen?
1
b.
Zeigen Sie:
[J2 , Jl ] = 0,
[J+ , J− ] = 2~J3 ,
[J3 , J+ ] = ~J+ ,
[J3 , J− ] = −~J− ,
[J2 , J± ] = 0.
c. Zeigen Sie: sind in einem System zwei Komponenten des Drehimpulses J erhaltend, so
ist es auch die dritte.
2
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 11
Abgabe bis 1.7.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 11.1. Drehimpuls-Erwartungswerte
Ein System befinde sich in einem Drehimpulseigenzustand |j, mi. Bestimmen Sie die
Erwartungswerte der Drehimpuls-Operatoren J 2 , J3 , J1 und J12 in diesem Zustand. Welche
Werte können die Drehimpulsquantenzahlen j und m annehmen?
Aufgabe 11.2. Pauli-Matrizen und Spin-1/2
a. Wie lauten die Pauli-Matrizen und was haben sie mit den Spin-Operatoren eines
Spin-1/2-Teilchens zu tun?
√
b. Der Spin eines Elektrons sei im Zustand |ψi = |↑i−i|↓i
Bestimmen Sie die Erwartungs2
2
2
2
werte von S , S1 , S2 , S3 , S1 und S2 des Elektron-Spins.
c. Ein Silberatom besitzt bekanntlich einen (Gesamt-)Spin 1/2. In einem zweistufigen
Stern-Gerlach-Experiment werden die Spins von Silberatomen zuerst in e3 -Richtung positiv
polarisiert. Dann werden die polarisierten Atome durch einen zweiten Stern-GerlachMagneten geschickt, dessen Ausrichtung e′3 mit e3 den Winkel π/3 einschließt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit werden die Atome im zweiten Magneten in positive e′3 -Richtung abgelenkt?
Aufgabe 11.3. Spin-1-Teilchen
Stellen Sie die Spin-Operatoren S 2 , S3 , S± , S1 und S2 eines Teilchen mit Spin s = 1 bzgl.
einer geeigneten Basis durch 3 × 3 Matrizen dar. Wählen Sie die Basis so, dass die S3
entsprechende Matrix diagonal ist.
Aufgabe 11.4. Spin-Präzession
Aufgrund seines Spin-1/2 besitzt ein Elektron ein magnetisches Moment
µspin = g
e
s.
2mc
Hierbei sind e bzw. m Elektronladung und -masse, c die Lichtgeschwindigkeit und g ≈ 2.0023
das gyromagnetische Verhältnis (Landé-Faktor) des Elektrons, s = (s1 , s2 , s3 ) ist der
Elektron-Spin. In einem konstanten Magnetfeld B wird die Spin-Dynamik eines (ortsfesten)
Elektrons durch den Hamiltonian
H = −µspin · B
beschrieben. Zeigen Sie, dass diese Dynamik zu einer Präzession des Elektron-Spins um
die Achse B̂ mit der Larmor-Frequenz ω = geB/(2mc) führt. [Hinweis: Deuten Sie den
Zeitentwicklungsoperator U (t) des Spin-Zustands als zeitabhängige Rotationsoperation
RD(t) .]
1
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 12
Abgabe bis 8.7.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 12.1. Spin-1-Teilchen
Zeigen Sie, dass die quadrierten Spin-Projektionen S12 , S22 und S32 eines Spin-1-Teilchen
kommensurabel sind und bestimmen Sie eine gemeinsame Eigenbasis. Wie lauten die
möglichen Messwerte dieser Observablen? Haben Sie eine Idee, wie man zumindest zwei
dieser Observablen simultan mittels Stern-Gerlach-Magnete messen könnte?
Aufgabe 12.2. Teilchen auf einer Kugelschale
a. Ein Teilchen der Masse m bewege sich im Potenzial


∞ r < R
V (r) = 0 R < r < R + a


∞ R+a<r,
und ist damit zwischen zwei Kugelschalen mit Radien R und R + a gefangen. Bestimmen
Sie das Energiespektrum des Teilchens im Grenzfall a ≪ R. Vernachlässigen Sie dazu in
der stationären Schrödingergleichung alle Terme von Ordnung a/R und betrachten Sie die
Lösungen dieser Gleichung. Stellen Sie die Eigenzustände mittels Kugelflächenfunktionen
dar.
b. Nun wirke auf das Teilchen zusätzlich ein (schwaches) homogenes Magnetfeld B. Wie
lautet jetzt das Energiespektrum?
Aufgabe 12.3. Teilchen auf einem Kreisring
Ein quantenmechanischens Teilchen der Masse m und mit Elementarladung e bewege sich
auf einem Kreisring mit Radius R und Symmetrieachse ez . ϕ sei die Winkelkoordinate des
Teilchens auf dem Ring. Zudem sei das Teichen einem Magnetfeld B mit Vektorpotenzial
A = Ar er + Aϕ eϕ + Az ez ausgesetzt.
a. Begründen Sie, dass der Hamiltonian des Teilchen durch
2
1
e
−i~ ∂
H=
− Aϕ
2m
R ∂ϕ c
gegeben ist.
b. Bestimmen Sie für das Vektorpotenzial
( Br
A(r) =
2 eϕ
BR2
8r eϕ
r < R/2
r ≥ R/2
das Magnetfeld B(r) und den magnetischen Fluss Φ durch den Ring. Vergewissern Sie
sich, dass das Magnetfeld auf dem Ring verschwindet und damit keinerlei Einfluss auf das
Teilchen haben sollte.
1
c. Bestimmen Sie für das Vektorpotenzial aus b. das Energiespektrum des Teilchens.
Ermitteln Sie insbesondere seine Grundzustandsenergie als Funktion des Flusses Φ. Hilfreich
ist dabei die Verwendung des Flussquantums Φ0 = 2π~c/e ≡ hc
e . Skizzieren Sie schließlich
die Grundzustandsenergie als Funktion von Φ/Φ0 .
d. Ist es physikalisch plausibel, dass die Grundzustandsenergie des Teilchens vom magnetischen Fluss Φ abhängt, obwohl am Ort des Teilchens kein Magnetfeld vorhanden ist? Gibt
es einen analogen Effekt in der klassischen Physik?
2
Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
PD Dr. Rochus Klesse
Dr. Sebastian Schmittner
Quantenphysik – Übungsblatt 13
Abgabe bis 15.7.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015
Aufgabe 13.1. Persistente Ströme
a. Die Wellenfunktion ψ(r, t) beschreibe ein Teilchen der Ladung q und Masse m im
elektromagnetischen Feld gegeben durch die Potenziale A(r, t) und ϕ(r, t). Zeigen Sie, dass
die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(r, t) des Teilchens durch
j=
1
q
Re ψ ∗ (−i~∇ − A)ψ
m
c
gegeben ist.
b. Wir betrachten wieder das mit e geladene Teilchen auf einem Kreisring aus Aufgabe
12.3. Der Kreisring werde durch den in 12.3 b gegebenen magnetischen Fluss Φ durchsetzt
und das Teilchen befinde sich im Grundzustand. Welche elektrische Stromdichte trägt das
Teilchen in diesem Zustand? Skizzieren Sie diese Stromdichte als Funktion von Φ/Φ0 . Wie
könnte man die Stromdichte im Ring messen?
Aufgabe 13.2. Stark-Effekt
Wir betrachten noch einmal das Teilchen auf dem Kreisring aus Aufgabe 12.3. Jetzt werde
zusätzlich zum Magnetfeld ein homogenes elektrisches Feld der Stärke E senkrecht zu ez
angelegt. Ermitteln Sie die daraus resultierenden Änderungen der Energieniveaus mittels
Störungstheorie zweiter Ordnung in E.
Aufgabe 13.3. Niveauabstoßung
Für ein Quantensystem mit zweidimensionalen Hilbertraum sei ein Hamiltonoperator
H = H0 + V gegeben, mit
−ǫ 0
0 ∆
H0 =
und
V =
0 ǫ
∆∗ 0
bzgl. einer ONB {|ϕ0 i , |ϕ1 i}. ǫ betrachten wir als einen variablen (reellen) Systemparameter,
∆ ist eine komplexe Konstante.
a. Bestimmen Sie die exakten Eigenwerte und Eigenzustände von H. Skizzieren Sie die
Eigenwerte als Funktion von ǫ für ∆ = 0 und für ∆ 6= 0.
b. Fassen Sie nun V als Störung des Hamiltonoperators H0 auf. Wie lauten die Energien
und Eigenzustände in zweiter bzw. erster Ordnung Störungstheorie? Vergleichen Sie mit
den exakten Ergebnissen aus a in den Bereichen |ǫ| ≫ |∆| und |ǫ| . |∆|.
1