ELEKTROSTATIK zeitunabhängige Felder zeitunabhängige Felder
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zeitunabhängige Felder ELEKTROSTATIK integrale Form 1 EX-II SS2007 2 ! ! · dS != 1 E "0 S ! ! · d!s = 0 E differentielle Form " ρ dV ! ·E ! = 1ρ ∇ "0 ! ×E ! =0 ∇ C 3 ! S 4 ! C zeitunabhängige Felder integrale Form 1 2 " 1 ! ! ρ dV E · dS = "0 S wirbelfreies Quellenfeld ! ! E · d!s = 0 ! differentielle Form ! ·E ! = 1ρ ∇ "0 ! ×E ! =0 ∇ ! ·B ! =0 ∇ ! · dS !=0 B " ! · d!s = µ0 !j · dS ! B ! ×B ! = µ0 !j ∇ Feld einer Punktladung Q Feld muss kugelsymmetrisch sein. # $% $& ! "! " Feldstärke hat denselben Wert an jedem Punkt der Kugeloberfläche. ! ( C 3 ! ! · dS !=0 B ! ·B ! =0 ∇ S 4 ! " quellenfreies Wirbelfeld ! · d!s = µ0 !j · dS ! B ! ×B ! = µ0 !j ∇ C ! und B̄ kommen in getrennten Gleichungen vor E Wir fordern: Feld hat nur eine radiale Komponente ' Feld einer Punktladung Q Satz von Gauss " ! ! ·E ! dV = ! · dS != ∇ E V S Coulombsches Gesetz Probeladung q in diesem Feld Q !0 # $% $& ! "! ' ! E !r |E| 4πr2 = " Q !0 q ! ( ! = E r 1 Q # 4π"0 r 2 |r| ! = E radialer Einheitsvektor Wir fordern: Feld hat nur eine radiale Komponente Dielektrizitätskonstante Q r 1 Q # 4π"0 r 2 |r| + ! F! = q E F! = r 1 qQ # 4π"0 r 2 |r| Definition der Ladungsmenge Strom = Ladungsmenge pro Sekunde. 1 4π"0 = 10−7 c2 AN2 Definition F! = r 1 qQ # 4π"0 r 2 |r| c = 3 · 108 m/s N ·m 1 = 9 · 109 4π"0 C2 !0 = 8.85 · 10−12 2 A·s V ·m Größe Strom Ladung Einheit Ampere Coulomb Abkürzung A C Ladung eines Elektrons Umrechnung 1 A = 1 C/s 1C = 1As q = e = 1.602 · 10−19 C Messung der Ladung ! Messung der Ladung A ! B C , -&. / 0 ! 12 $3 14 ! 1 ! " hν hν " ! D ! " hν /8 ' ' ' /* ' ' ' = ' ( ! : 2 ; < ) * ' ' ' ( ! 5 " 6 2 7 " 6 1 * ' +! # ! $% && $ "#= . $ > ? > 9 > "#@ . $ > ? > 9 A 9 "# $ %& '$ ( Drehmoment durch Abstoßung = Drehmoment durch Schwerkraft Strom, der über einen Widerstand fließt: ssen äte me ung r e G e d Bei der Lad g a r t e den B Q= Definition des E-Feldes !∞ 0 I(t)dt. Definition des E-Feldes definiert über die Kraft auf eine Probeladung q 1 q·Q êR 4π#0 R2 ! = F! (R) ! E R êR q Q ! $" Feld definiert auch ohne Probeladung geprüft von 10 # ! R) ! = E( # r1 Q R−# 1 # r1 |2 |R−# # r1 | 4π"0 | R−# ! Ursprung des Koordinatensystems ! R) ! = 1 Q êR E( 4π#0 R2 −17 # &' " ! = q · E( ! R) ! F! (R) êR ist der Einheitsvektor, der zum Ort der Probeladung zeigt % 3 m bis 10 m ! − !r1 = R X Y Z − x1 y1 z1 = X − x1 Y − y1 Z − z1 Position von Q Position von q Superpositionsprinzip Superpositionsprinzip !2 + E !3 + . . . !1 + E = E ! Qi ! ri ) = fc 3 (R − ! d i i ! R) ! E( !2 + E !3 + . . . !1 + E = E ! Qi ! ri ) = fc 3 (R − ! d i i ! R) ! E( $# ! " # Ladungsdichte Punktladung Feld eines geladenen Drahtes Ladungsverteilung Gesamtladung des Drahtes Q = ρAL = λL ! "$ % & % ! $" * ( ! #" # '( &' rP & " # " i λ dx ! ! ' % ) % Q= ! R) ! = fc E( ! ! r R−! r)dV ! r |3 ρ(! V |R−! ! ! "# $ % V ρ("r) dV - xi dx dx ! r E(P, i) = fc λ 3 !rP i = fc λ 2 rP i (xi + r2 )3/2 0 (1) Feld eines geladenen Drahtes Feld eines geladenen Drahtes Gesamtladung des Drahtes Q = ρAL = λL Gesamtladung des Drahtes Q = ρAL = λL * * ( ( & & λ dx ' % λ dx ' % ) ) % % ! "# ! "# $ % $ $ ! ) = fc λ E(P - x dx (x2 +r 2 )3/2 r dx (x2 +r 2 )3/2 0 $ % unendlich langer Draht : r ! L 0 ( = fc 2λ 1/ 1 + (2r/L)2 r 0 Flächenladungsdichte Ey = fc 2λ r homogen geladene Platte Horizontalkomponenten kompensieren sich auf Null ! ! "$ % ! = fc σ dS2 êb dE b " ! #$ " + dS = r dr dϕ + + + + + + + + + + ++++++++++++++++ ! "# Q= ! ! & S σ dS % b = a/ cos α ) ' ( " ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ dr dα = a cos2 α dEv = fc σ 2π sinα dα homogen geladene Platte homogen geladene Platte Horizontalkomponenten kompensieren sich auf Null Horizontalkomponenten kompensieren sich auf Null ! = fc σ dS2 êb dE b ! " ! ! " ! #$ #$ dS = r dr dϕ ! ! & % & b = a/ cos α ' ( dr dα " ) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ = dEv = fc σ 2π sinα dα Ev = σ/2"0 ' ( a cos2 α Ev = σ/2"0 0 ≤ α ≤ π/2 % " ) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ! Im Halbraum unterhalb der Platte ist E ebenso groß, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. homogen geladene Platte Plattenkondensator Horizontalkomponenten kompensieren sich auf Null ! ! !! ! ! " #$ # " ! $ " #$ # ! ! % !! " ! " #$ # % ! " #$ # & " $ " #$ # % Ev = σ/2"0 ' ( !!! % ! ) $ " #$ # % #$ % !!! " $ " #$ # ! " #$ # % % % Randeffekte ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Abstand zwischen den Platten klein gegenüber ihrer Ausdehnung : Die Normalkomponente der Feldstärke macht beim Durchgang durch die geladene Platte einen Sprung um σ/"0 . E = σ/"0 Elektrischer Kraftfluss Was Ladungen so tun: Ein Maß für die räumliche Dichte der elektrischen Feldlinien • Elektrische Ladungen verändern den leeren Raum. ! " ! r). • Sie sind Ursache für das Vektorfeld E(! ! · dS ! dΦel = E # ! ist durch die Kraft • Die Stärke und Richtung von E ! r). auf eine Probeladung q bestimmt, F! (!r) = q E(! Φel = ! ! · dS ! E S • Feldlinien veranschaulichen dieses Feld. • Die Tangente an die Feldlinie gibt die Kraftrichtung an. Elektrischer Kraftfluss durch eine Kugeloberfläche Elektrostatisches Potential ! · dS ! dΦel = E Arbeit, die notwendig ist um eine Ladung q im ! vom Ort a nach b zu verschieben: elektrischen Feld E Φel ! r̂ ! · dS 2 S r " π " 2π 1 2 = fc Q r sin θ dθ dϕ r2 o 0 Q . = f c Q 4π = %0 = fc Q ! ! # ! W = # " " " Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt nur von der Gesamtladung im Volumen ab. ! a b F! (r) · d!r = q ! a b ! E(r) d!r Elektrostatisches Potential Elektrostatisches Potential Die Coulombkraft ist eine Zentralkraft. → konservatives Kraftfeld (W unabhängig vom Weg) Die Gesamtarbeit für jeden geschlossenen Weg ist Null. Für solche Kraftfelder lässt sich ein Potential definieren. Arbeit, die notwendig ist um eine Ladung q im ! vom Ort a nach b zu verschieben: elektrischen Feld E W = ! " ! b F! (r) · d!r = q a ! ! b ! E(r) d!r ! " a φ(P ) = ! # % $ ! W = fc qQ # ! r2 r1 ! " d!r = fc qQ r2 " 1 1 − r1 r2 # Energie wird gewonnen (W > 0), wenn sich gleichnamige Ladungen voneinander weg bewegen (r2 > r1 ). Potentialdifferenz und Spannung ! Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten " ! φ(P1 ) − φ(P2 ) = # % ! P2 P1 ! ! # ! " Definition: Das elektrostatische Potential φ am Ort P ist gleich der Energie q · φ, die notwendig ist, um eine Probeladung q von P ins Unendliche zu bringen. Potentialdifferenz und Energie Eine Probeladung, die eine Potentialdifferenz U durchläuft, erfährt eine Änderung der potentiellen Energie " ! # % " " E(r) · d"r $ " E(r) · d"r nennt man die elektrische Spannung: # ∞ P % ! $ ! # ! $ ! ∆Epot = −q · U # ! " Da die Gesamtenergie konstant ist, folgt U = φ(P1 ) − φ(P2 ) ∆Ekin = −∆Epot = q · U Definition der Spannung ∆Epot = −q · U [U ] = Geschwindigkeiten von Elektronen Nach einer Beschleunigung über die Potentialdifferenz U [Energie] kg · m2 · s−2 = = Volt [Ladung] A·s 1 me v 2 = e U 2 ⇒ v= ! √ 2eU = 6 · 105 U [m/s] me Einheit Elektronenvolt 1 eV ist die Energie, die ein Elektron gewinnt, wenn es eine Potentialdifferenz von U = 1 V durchläuft: 1 eV = 1.6022 · 10−19 C · V = 1.6022 · 10−19 J Ruheenergie elementarer Teilchen Elektrostatisches Potential E = M c2 Die Coulombkraft ist eine Zentralkraft. → konservatives Kraftfeld (W unabhängig vom Weg) Die Gesamtarbeit für jeden geschlossenen Weg ist Null. Für solche Kraftfelder lässt sich ein Potential definieren. ! Teilchen Elektron Proton Neutron Ruheenergie Ee = me c2 Ep = mp c2 En = mn c2 Energie-Äquivalent [M eV ] 0.511 938.279 939.573 " ! φ(P ) = # ! ∞ " E(r) · d"r P % ! $ # ! " Definition: Das elektrostatische Potential φ am Ort P ist gleich der Energie q · φ, die notwendig ist, um eine Probeladung q von P ins Unendliche zu bringen. Nabla Operator Gradient eines skalaren Feldes f Vector Differential-Operator Konvention für mathematische Notation grad f kartesisch: ! := ∇ ! := ∇ ! ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z 3 ! i=1 !ei " = (∂x , ∂y , ∂z ) ∂ ∂xi = (∂x , ∂y , ∂z ) f = ! Einheitsvektor in Richtung der maximalen f -Zunahme " ! " diese maximale · Zunahme ! = ∂f !ex + ∂f !ey + ∂f !ez ∇f ∂x ∂y ∂z Gradient des Potentials Laplace Operator elektrische Feldstärke = Gradient des Potentials ! = −grad φ = −∇ ! φ=− E ! f := ∇ ! ∂φ ∂φ ∂φ , , ∂x ∂y ∂z ! ·E ! = 1ρ ∇ "0 ! ·E ! = −∇ ! · (grad φ) = −∆φ = ρ ∇ $0 " definiert als die Divergenz des Gradienten http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian defined as the divergence of the gradient: skalarer Operator ! ·∇ ! !2 =∇ ∆=∇ in kartesischen Koordinaten ∂2 ∂2 ∂2 ∆= + 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z Poisson Gleichung ∆φ = − ρ #0 Wenn keine Ladungen im betrachteten Raum vorhanden sind, wird daraus die Laplace-Gleichung ∆φ = 0 Äquipotentialflächen Laplace Gleichung The Dirichlet problem for Laplace's equation consists in finding a solution ! on some domain D such that on the boundary of D is equal to some given function The Neumann boundary conditions for Laplace's equation specify not the function itself on the boundary of D, but its normal derivative. Physically, this corresponds to the construction of a potential for a vector field whose effect is known at the boundary of D alone. Feld eines geladenen Drahtes Flächen auf denen φ("r) konstant ist * ( & # $ # % ' % ) % Ey = fc 2λ r ! "# $ % ! " homogen geladene Platte ! " ! #$ ! & % Äquipotentialflächen sind orthogonal zu den Feldlinien. Bei Verschiebung entlang einer Äquipotentialfläche wird keine Arbeit verrichtet. Ev = σ/2"0 ' ( ) " ++++++++++++++++++++++++ Feld einer geladenen Hohlkugel ! ! "# Hohlkugel trägt die Flächenladungsdichte σ. Feld einer geladenen Hohlkugel Hohlkugel trägt die Flächenladungsdichte σ. $ Gesamtladung: Q = 4πR2 σ % ' ( & Für Kugelfläche r > R gilt Φel = $ Gesamtladung: Q = 4πR2 σ % ! ! ! "# ' ( & ) ) Für Kugelfläche r < R gilt ! · dS ! = |E| ! 4πr E 2 & $ # " ! ! · dS != 1Q E "0 S ! ' ( & S Feld einer geladenen Hohlkugel Gesamtladung: Q = 4πR2 σ " ' ( & ! · dS !=0 E S & $ # & $ # # & $ Leiter im elektrischen Feld ! ! "# $ Der Feldstärkesprung an der Kugeloberfläche von |E| = 0 im Inneren auf den Wert von |E| = fc Q/R2 = σ/"0 auf der Oberfläche, entspricht der Flächenladungsdichte, in Inneren feldfrei % ' ( & ) & $ # ! " #$ % " & " ' ( " )*" ' + & ! " #$ % " & " ' ( " )*" ' " ' ( & 2 σ = Q/(4πR ) # $ & Im einem Leiter gibt es frei bewegliche Ladungen. ! verschiebt diese Ladungen Die Kraft F! = q E bis sich ein Gegenfeld aufbaut, welches das äußere Feld gerade kompensiert. Leiter im elektrischen Feld Versuche zur Influenz (1) in Inneren feldfrei ! " #$ % " & " ' ( " )*" ' + & ! " #$ % " & " ' ( " )*" ' Zwei Metallplatten berühren sich im Feld eines Plattenkondensators. Das Innere von Leitern ist feldfrei, die Ladungen sitzen auf der Oberfläche des Leiters. eit senh sses) e (Faraday Käfig) w Ab romflu (in s St eine Bei Aufbringen der Ladung von Außen ist nur die Maximalspannung der Ladungsquelle ereichbar. Sich berührende Leiter haben gleiches Potential. Ladungsteilung unter den Leitern gemäß ihrer Kapazität Ladung zu tragen. " " ! " ! ! " ! " # $ % ! " ! " ! ! " Versuche zur Influenz (3) ! ! ! Becher-Elektrometer: ! ! ! ! ! ! ! " ! Einbringen einer Ladung liefert Ausschlag ohne Berührung. (Influenz). ! " ! Ladungstrennung möglich ! Zwischen den Metallplatten entsteht ein feldfreies Gebiet. Versuche zur Influenz (2) ! " ! " ! " ! " ! " " ! " ! " ! ! " ! " " ! ! ! ! ! ! ! ! Q=C ·U ! ! Versuche zur Influenz (4) Versuche zur Influenz (5) Aufladung auf beliebig hohe Spannung ist möglich, wenn die Ladung innen eingebracht wird. ! ! ! ! Der Innenraum bleibt dabei feldfrei. (Prinzip des Van-de-Graff Generators). !" # $% &# ' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Der endliche Isolationswiderstand erlaubt den Ladungsabfluss und begrenzt so die maximal erreichbare Spannung.
