Physik III Übung 10 (Ferienübung) - fkp.tu

Physik III
Übung 10 (Ferienübung)
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Die folgenden Aufgaben behandeln Stoff der letzten “Vorlesungswoche” vor dem Jahreswechsel
und allgemeine Wiederholungsaufgaben. Sie sind nicht Bonus-relevant (müssen nicht vorgerechnet oder abgegeben werden). Eine gewisse Relevanz für die Klausur ist aber nicht auszuschließen.
Wer möchte, kann Ergebnisse am Montag, den 14.01.2013 abgeben. Diese werden dann korrigiert. Dies ist aber freiwillig.
Stofflicher Einschub:
Das Auge hat ein begrenztes Auflösungsvermögen. Es kann zwei Objekte getrennt auflösen,
wenn das zentrale Beugungsmaxima des einen gerade im ersten Beugungsminima des anderen
liegt. Man kann dazu das Rayleigh’sche Kriterium der Auflösung definieren:
αk = 1.22
λ
p
Dabei ist p der Durchmesser der Pupille. Zwei Objekte müssen mindestens unter dem Winkel
αk erscheinen, um getrennt aufgelöst zu werden.
Aufgabe 1 Wer sieht die Löcher im Käse?
Vor dir liegt ein gigantisch großer Käse. Es ist ein Schweizer Emmentaler, erkennbar an seinen
Löchern im Abstand von d = 6 mm.
a) Der Käse wird mit Licht der Wellenlänge λ = 500 nm beleuchtet. Was ist die maximale
Entfernung, bei der du ihn zweifelsfrei als Schweizer Emmentaler identifizieren kannst? (Zum
identifizieren musst du die Löcher einzeln erkennen). Nimm einen Pupillendurchmesser von
p = 5 mm an.
b) Kannst du den Käse bei rotem oder bei violettem Licht aus größerer Entfernung eindeutig
identifizieren? Warum?
1
Aufgabe 2 Beugungsmuster am Doppelspalt
Licht mit einer Wellenlänge von 550 nm trifft auf zwei Spalte mit Breite 0.03 mm und Abstand
0.15 mm.
a) Wieviele Maxima des Strukturfaktors liegen in gesamten Breite des nullten Maximums des
Formfaktors? (Der Formfaktor ist das Beugungsbild des Einzelspaltes, der Strukturfaktor das
überlagerte Bild des Doppelspalts.)
b) Wie verhält sich die Intensität des dritten Strukturfaktor-Maximums auf einer Seite von der
Mitte zur Intensität des zentralen (nullten) Maximums?
Aufgabe 3 Hinter Gittern
Die Winkeldifferenz von zwei Linien mit den Wellenlängen λ und λ + ∆λ hinter einem Gitter
mit n Linien pro Längeneinheit wird näherungsweise durch
∆θ = Æ
∆λ
1
n2 m2
− λ2
gegeben. Zeige, dasss dies Stimmt. m ist Dabei die Ordnung der Linien.
Aufgabe 4 Fourier und Beugung
Wie Prof. Fujara in der Vorlesung dargestellt hat, kann man
mit Fouriertransformationen tolle Beugungsbilder berechnen. Wir
wollen das hier exemplarisch für den Formfaktor eines Einzelspalts mit Breite b tun. Wir schauen von oben auf die Anordnung,
in der das Licht sich parallel zur x-Achse bewegt. Der Spalt hat die
Dichtefunktion
¨
1 : − 2b < y < 2b , x = 0
ρ(x, y) =
0:
sonst
k1
α
k
k0
a) Berechne die eindimensionale Fouriertransformation in Richtung des Spaltes
ρ(x, k y ) =
Z∞
ρ(x, y)eik y y d y
−∞
Dabei ist ~k = k~1 − k~0 der sog. Streuvektor, die Differenz zwischen dem ausfallenden Wellenvektor
und dem einfallenden Wellenvektor und zeigt in Richtung des Streuwinkels, unter dem man das
Ganze betrachtet. Für das Beugungsbild ist nur die y-Komponente von ~k relevant, da nur sie in
Spaltrichtung geht.
b) Beweise, dass das Betragsquadrat der Fouriertransformierten ρ(x, k y ) proportional zum in
der Vorlesung hergeleiteten Beugungsmuster des Einzelspaltes ist, indem du k y durch sin α
ausdrückst. Wichtig hierbei ist, dass |~k0 | = |~k1 | gilt, die Streuung also elastisch ist.
2
c) (Hat nichts mit a) und b) zu tun:) Zeige mathematisch, dass das Betragsquadrat der Fouriertransformierten gleich der Fouriertransformierten der Pattersonfunktion
p( y) =
Z∞
f ( y 0 ) f ( y − y 0 )d y 0
−∞
ist.
Aufgabe 5 Die Farbenlehre
Folgende Szene spielt im Himmel oder wohin Leute wie Newton, Goethe und Huygens kommen.
Goethe: “Also, bester Sir Isaac, ich bleibe dabei: Die Farben sind nicht von vornherein im weißen Licht,
sondern sie werden erst durch die farbigen Dinge daraus erzeugt.”
Newton: “Jetzt lassen Sie mich erst fertig aufbauen. Das ist nicht meine ursprüngliche Anordnung,
weil ich hier kein Prisma auftreiben konnte. Aber hier habe ich eine Schwungfeder vom Erzengel
Gabriel, die tut’s auch. So. Ist das weißes Licht, das da vorn drauffällt? Gut. Jetzt halten Sie mal
Ihr Auge dorthin, Herr Geheimrat. Was sehen Sie?”
Goethe: “Ein prächtiges Grün.”
Newton: “Na, also.”
Goethe: “Jetzt sagen Sie mir bitte, was ist denn das eigentlich, grünes Licht?”
Huygens: Räuspert sich vernehmlich.
Newton: “Schon gut, Herr Kollege. Ich habe ja inzwischen auch dazugelernt. Also, das Grün, das Sie
gesehen haben, ist eine harmonische Welle mit der Wellenlänge 0.5 µm.”
Goethe: “Und Sie versichern, dass Sie die 0.5 µm nicht irgendwie hineingeschmuggelt haben in Ihre
Apparatur?”
Newton: “Allerdings, das versichere ich.”
Goethe: “Ha, mein Bester! Jetzt betrachten Sie den Renommieratavismus von Seiner Heiligkeit genauer.
Da sind doch periodische feine Seitenstrahlen, viel feiner als bei irdischen Flügelbesitzern, oder
nicht?”
Newton: “Natürlich. Aber nicht, wie Sie vielleicht denken, in 0.5 µm Abstand.”
Goethe: “Zugegeben. Aber von da, wo Sie mich hingestellt haben, liegt jeder Seitenstrahl um genau
0.5 µm weiter entfernt als der benachbarte. Sie haben also eine Periodizität von 0.5 µm in Ihrer
Apparatur. Kein Wunder, dass entsprechendes Licht herauskommt.”
Wer hat recht? Wie wäre die Lage, wenn Newton ein Prisma gehabt hätte?
3
Aufgabe 6 Magnetfeld des “L”
a
P
a) Wie groß ist der Betrag des Magnetfeldes am Punkt
P.
I
2a
Durch die Leiterschleife in der Abbildung (a = 4.7 cm)
fließt ein Strom I = 13 A.
b) In welche Richtung geht das Magnetfeld an diesem
Punkt?
a
a
Hinweis: 4.7 cm sind nicht lang!
Aufgabe 7 Space Talk
Du beobachtest ein geladenes Teilchen. Es ruht, denn es ist kein elektrisches Feld vorhanden.
Dafür existiert aber ein großräumiges Magnetfeld.
Ein Raumfahrer fliegt vorbei und beobachtet das gleiche Teilchen. Er funkt: “Da fliegt ein
geladenes Teilchen mit <kkrrkkzz>. Es herrscht ein Magnetfeld von <kkrrkkzz>. Trotz
der <kkrrkkzz> fliegt das Teilchen genau <kkrrkkzz>. Also muss ein <kkrrkkzz> herrschen, das die <kkrrkkzz> kompensiert, und zwar vom Betrag <kkrrkkzz> in der Richtung
<kkrrkkzz>.”
a) Was hat der Raumfahrer gesagt?
b) In seiner Rakete ist auch eine geladenes Teilchen. Wie verhält es sich für den Raumfahrer?
Warum?
c) Wie verhält sich das Teilchen in der Rakete für uns?
Aufgabe 8 Holzzylinder
Ein Holzzylinder der Masse m = 250 g und Länge L = 10 cm liegt auf einer schiefen Ebenen.
Um den Zylinder ist in longitudinaler Richtung eine Spule mit 10 Windungen gewickelt, so dass
die Achse des Zylinders in der Ebene der Spule liegt. Der Zylinder wird so losgelassen, dass
die Spulenebene parallel zur schiefen Ebene ist. Im ganzen Raum herrscht noch ein nach oben
gerichtetes vertikales Magnetfeld mit dem Betrag B = 0.5 T.
Wie groß muss der Strom durch die Spule mindestens sein, damit der Zylinder nicht die Ebene
hinabrollt?
4
Aufgabe 9 Lange Drähte
Zwei lange, gerade Drähte (Abstand zueinander d = 4 cm) sind von einem homogenen Isolator
mit der relativen Permeabilität µ r = 120 umgeben. Durch die Drähte fließen Ströme von je 40 A
in entgegengesetzen Richtungen.
a) Wie stark ist das Magnetfeld in der Mitte der Fläche zwischen beiden Drähten?
b) Welche Kraft wirkt pro Längeneinheit auf die Drähte?
Aufgabe 10 Rotation im Magnetfeld
Ein Metallstab (Länge l) rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um ein Ende. Ein homogenes Magnetfeld vom Betrag B steht senkrecht zur Rotationsebene.
a) Zeichne das Problem.
b) Ein Körper mit Ladung q befinde sich im Abstand r von der Drehachse. Zeige, dass auf ihn
die magnetische Kraft Fm = qBrω wirkt.
c) Zeige, dass zwischen den Enden des Stabes die Potentialdifferenz U = 21 Bωl 2 herrscht.
d) Zeichne eine radiale gerichtete Linie ein. Wir definieren θ als den Winkel zwischen der Linie
und dem Metallstab. Zeige, dass die Fläche des Kreisausschnittes, der von dieser Linie und dem
Stab begrenzt wird, A = 12 l 2 θ ist.
e) Berechne den magnetischen Fluss durch die in d) beschriebene Fläche. Zeige, dass du durch
Anwendung des Faraday’schen Induktionsgesetzes die Beziehung Uind = 12 Bωl 2 erhälst.
Aufgabe 11 Wechselstromkreis
S
R
~
U
L
C
RL
R
RL
L
C
Uma x
ν
10 Ω
30 Ω
150 mH
8 µF
100 V
10 Hz
a) Berechne mit Hilfe von Zeigerdiagrammen die Impedanz des Stromkreises, wenn der Schalter
S geschlossen ist.
b) Wie groß ist die Impedanz bei geöffnetem Schalter?
c) Welche Spannung fällt am Widerstand R L ab, wenn der Schalter offen/geschlossen ist?
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d) Welche Ergebnisse erhälst du für Aufgabe a) bis c) bei einer Wechselspannungsfrequenz von
1000 Hz.
e) Wir wollen die Anordnung als Tiefpassfilter verwenden. Muss dazu der Schalter geöffnet oder
geschlossen sein?
Aufgabe 12 Verschiebungsstrom
Links ist der Feldverlauf eines gleichförmigen elektrischen Feldes gezeigt. Berechne den Verschiebungsstrom durch eine
1.6 m2 große Fläche senkrecht zum Feld für
die verschiedenen Zeitintervalle (ignoriere
dabei die Knicke).
6
EH105 NCL
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
ZeitΜS
6