Vorkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Vorkurs
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Fabian Kleine
Lehrstuhl für Angewandte Mikroökonomie
fabian.kleine[at]uni-erfurt.de
Inhalt
1 Grundlagen der Algebra
2 Algebraische Ausdrücke
3 Grundzüge der Mengenlehre
4 Folgen und Reihen
5 Differentialrechnung
6 Grundzüge der Finanzmathematik
WS 2009/2010 Universität Erfurt
1
Literatur
Cramer, E. Und J. Neslehová (2005): Vorkurs Mathematik – Arbeitsbuch zum
Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, 2. Auflage, Springer
Verlag Berlin.
Gerlach, S. Und C. Steuer (2002): Rechentrainer, 1. Auflage Studeo Verlag Berlin.
Ohse, D. (2000): Elementare Algebra und Funktionen – Ein Brückenkurs zum
Studium, 2. Auflage, Verlag Vahlen München.
Schwarze, J. (2000): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Band 1
Grundlagen, 11. Auflage, Verlag Neue Wirtschafts-Briefe Herne/ Berlin.
Sydsaeter, K. und P. Hammond (2008): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
– Basiswissen mit Praxisbezug, 3. Auflage, Pearson Studium München.
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1 Grundlagen der Algebra
1.1 Zahlenbegriffe
Natürliche Zahlen ℕ : 1, 2, 3, 4, …
Ganze Zahlen ℤ : …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 , …
Rationale Zahlen ℚ : Division zweier Zahlen aus ℤ
Irrationale Zahlen: unendliche Dezimalzahlen (z.B.  )
Reelle Zahlen ℝ : Rationale und irrationale Zahlen.
Komplexe Zahlen ℂ : Erweiterung von ℝ um imaginäre Zahl i , i 2 =−1
(Komplexe Zahlen werden hier nicht behandelt)
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1.2 Rechnen mit reellen Zahlen
1.2.1 Fakultät:
Das Produkt der ersten n ℕ :
n !=1⋅2⋅3⋅4⋅⋅⋅n−1⋅n .
1.2.2 Binomialkoeffizient:
Der Binomialkoeffizient gibt an auf wie viele Arten man k Objekte aus einer
Menge von n Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne
Beachtung der Reihenfolge).
n!
n :=
für nk und n , k ∈ℕ 0 .
 n− K ! k !
k

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1.2.3 Binomische Formeln und Binomischer Satz:
Die bekanntesten Binomischen Formeln sind die so genannten ersten
Binomischen Formeln:
2
2
2
 ab =a 2abb
 a−b2 =a 2−2abb2
2
2
aba−b=a −b
Daneben gelten auch die so genannten gemischten Binimischen Formeln:
x  y ⋅ x − y = x 2− y 2
2
2
3
3
 x  y ⋅ x − x⋅ y  y = x  y
2
2
3
3
 x − y ⋅ x  x⋅ y  y = x − y

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5
Binomischer Satz :
(Allgemeine Formulierung der Binomischen Formeln)
Für n∈ℕ 0 und x , y ∈ℝ gilt:
n

 x yn = ∑ n x n−k y k .
k =0 k
Pascalsches Dreieck
0
 x± y =1
 x± y1= x± y
2
2
2
 x± y = x ±2xy y
 x± y3= x 3±3x 2 y3xy 2 ± y 3
 x y4 = x 4 ±4x 3 y6x 2 y 2±4xy 3 y 4
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1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
6
1.2.4 Brüche
a
mit a , b ∈ℤ und b ≠0 .
b
a ist der Zähler und b ist der Nenner des Bruches.
Ein Bruch ist der Quotient
Erweitern und Kürzen eines Bruches:
a⋅ f a
= mit a , b ∈ℤ , f ∈ℝ , b , f ≠0
b⋅ f b
a
a:q q a
= =
mit a , b∈ℤ , q∈ℝ , b , q≠0
b:q b b
q
In Differenzen und Summen darf nicht gekürzt werden!
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Multiplikation von Brüchen:
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Division von Brüchen:
a
a c b a d a⋅d
: = = ⋅ =
b d c b c b⋅c
d
Addition von Brüchen:
a c a±c
a c a⋅d c⋅b a⋅d ±c⋅b
± =
±
=
bzw. ± =
, mit b⋅d als Hauptnenner
b b
b
b d b⋅d d⋅b
b⋅d
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1.2.5 Potenzen
Das n-fache Produkt einer Zahl mit sich selbst ergibt die n-te Potenz dieser Zahl:
n
a⋅a⋅a⋅...⋅a =a a ist die Basis und n der Exponent.

n−mal
1
und x 0 =1 .
n
x
Für eine beliebige Basis x , y ∈ℝ ∖ {0 } und p , q ∈ℚ gilt:
x p y p = xy p
xp
p−q
=
x
xq
p q
pq
x x =x
xp
x p
= 
y
yp
 x p q = x p⋅q
−n
Beachte: x =
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1.2.6 Wurzeln
n x= x 1/n , x≥0, n∈ℕ . x ist der Radikant und n der Wurzelexponent.
+
Für x ∈ℝ , n∈ℕ und m∈ℤ gilt:
n
x
m
=x
m
n
.
Für beliebige x , y0, n , m∈ℕ und p , q ∈ℚ gilt:
n
p m
pmqn
mn
nm
pmqn
= x
 x ⋅ x = x
n x p÷m x q=nm x pm−qn
q nm
m n
p
pq


x
=
x


n p n p n p
 x ⋅ y =  xy
p
n x p = n x
n
y
 yp
q
 
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1.2.7 Logarithmen
Ist a y = x a ∈ℝ + ∖ {1 } ; x∈ℝ + ; y∈ℝ , so heißt y=log a  x  Logarithmus von x zur
Basis a .
Anmerkungen:
1.Logarithmus ist ein Synonym für Exponent.
y
2.Der Potenzwert x in a = x heißt auch Numerus.
3.Der Numerus muss stets positiv sein, denn es gibt zu einer positiven Basis a
keine Hochzahl, so dass die entstehende Potenz Null oder negativ wird.
Alternative Definition:
Der Logarithmus von x zur Basis a ist derjenige (eindeutig bestimmte)
Exponent y , mit dem man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
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Häufig verwendete Logarithmen:
Dekadischer Logarithmus: a=10
Natürlicher Logarithmus: a=e≈2.7182...
log 10 x≡log x
log e x≡ln x
Für jede beliebige Basis a∈ℝ + ∖ {1 } und die stets positiven Numeri x und y
gilt:
log a  xy=log a xlog a y
log a  x / y=log a x−log a y
r
log a x =r⋅log a x r ∈ℝ
log a 1/ x=−log a x
n
1/ n
log a   x=log a x =1/ n log a x
Speziell gilt:
log 10 x =x
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ln e x = x
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1.2.8 Das Summenzeichen
Das Summenzeichen  steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte
Addition:
n
ama m1am2 ...an−1 a n := ∑ ai ,
i=m
n≥m , n∈ℤ
.
Dabei ist:
• i der Summationsindex
• m die untere Summationsgrenze
• n die obere Summationsgrenze
• ai das allgemeine Summenglied
Beispiel: arithmetisches Mittel (Mittelwert)
n
x =1/n ∑ x i
i=1
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Rechenregeln für Summen:
n
∑ a=aa...a
=n⋅a
i=1
n−mal
n
n
j =k
j=k
∑ c⋅a j =cak cak 1...can=c⋅ak ...an=c⋅∑ a j
n
n
n
j=k
j=k
j=k
∑ a j b j =∑ a j ∑ b j
n
m
n
∑ a j =∑ a j  ∑ a j
j=k
j=k
k ≤mn
m1
Doppelsummen:
n
m
∑ ∑ aij=a11a12a13...a1m a 21... a 2m...a n1...a nm
i=1 j=1
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1.2.9 Produktzeichen
Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte
Multiplikation:
n
ak⋅a k1⋅ak 2 ⋯a n−1⋅a n :=∏ ai ,
n≥k ,
k , n∈ℤ .
i=k
Dabei ist:
• i der Multiplikationsindex
• k die untere Multiplikationsgrenze
• n die ober Multiplikationsgrenze
• ai das allgemeine Glied
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Rechenregeln für Produkte:
n
n
n
∏ cai=c ∏ ai
i=1
i=1
n
n
n
∏ ai bi = ∏ ai ⋅ ∏ bi 
i=1
i=1
i=1
n
n
für ai =bi gilt also ∏ a2i = ∏ ai 
i=1
2
i=1
Fakultät schreibt man als Produkt folgendermaßen:
n
n !=∏ i.
i=1
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2 Algebraische Ausdrücke
Klassifizierung von Ausdrücken:
Ganze rationale Ausdrücke
(Polynome)
Addition, Subtraktion,
Multiplikation
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Gebrochen rationale
Ausdrücke
Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division
Algebraische Ausdrücke
Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division,
Wurzeln
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2.1 Ganze rationale Ausdrücke (Polynom n-ten Grades)
Der ganze rationale Ausdruck mit der Variable x
a 0a 1⋅x a2⋅x 2...an⋅x n
heißt Polynom n-ten Grades.
a i ∈ℝ heißen die Koeffizienten des Polynoms;
jeder einzelne Summand wird als Glied bezeichnet.
Der höchste Exponent determiniert den Grad des Polynoms.
Addition und Multiplikation von Polynomen findet gliedweise statt.
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Faktorzerlegung von Polynomen
Zerlegung eine Polynomes in ein Produkt von Polynomen.
Beispiel:
2x 4 −5x 2 −12= 2x2 3⋅ x−2⋅ x2
Grund:
Kürzen von Brüchen, Lösen von Gleichungen
Methode:
Man findet Zerlegungen, indem man vom Distributivgesetz gebrauch macht um
gemeinsame Faktoren zu finden und auszuklammern.
Binomische Formeln können gegenebefalls als Hilfsmittel dienen.
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Faktorenzerlegung bei Polynomen zweiten Grades:
Polynom: x 2 bxc
2
2
x bx c=x  p⋅ xq= x  pq⋅x p⋅q
 p⋅q=c und pq=b
Vorzeichenuntersuchung:
Fall 1: c0  p⋅q=c0 beide müssen gleiches Vorzeichen haben
1a: b0  pq0 also muss gelten p ,q0
1b: b0  pq0 also muss gelten p ,q0
Fall 2: c0  p⋅q=c0 beide müssen verschieden Vorzeichen haben
2a: pq=b0 für p0 und q0 muss gelten: ∣p∣∣q∣
2b: pq=b0 für p0 und q0 muss gelten: ∣p∣∣q∣
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2.2 Gebrochen rationale Ausdrücke
Ein gebrochen rationaler Ausdruck ist stets darstellbar als
a 0a 1⋅x ... a n⋅x n
b0 b1⋅x...bm⋅x
m
d.h. als Quotient zweier Polynome ( so genanntes Zähler- und Nennerpolynom).
Multiplikation:
Beide Zähler und beide Nenner werden miteinander multipliziert.
Division:
Zähler wird mit dem reziproken Ausdruck des Divisors multipliziert.
Addition:
Zähler und Nenner werden so erweitert, dass sie den selben Hauptnenner
besitzen.
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2.3 Algebraische Ausdrücke
Ausdrücke, in denen die Variable im Radikant einer Wurzel auftritt, werden als
algebraische Ausdrücke bezeichnet.
Hier gelten die Beziehungen zwischen Wurzeln und Potenzen sowie die Potenzund Wurzelgesetze! (siehe Kapitel 1.2.5 und 1.2.6)
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3 Mengenlehre
3.1 Begriff der Menge:
Eine Menge ist ein Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte
unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen Elemente der
Menge.
Ist ein Objekt a Element der Menge A , so schreibt man a∈ A .
Ist ein Objekt b nicht Element der Menge A , so schreibt man b ∉ A .
Objekte einer Menge beschreibt man durch Aufzählung der Elemente in
geschweiften Klammern { } oder durch Beschreibung der erforderlichen
Eigenschaften M ={x | x hat die Eigenschaft E } .
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3.2 Weitere Definitionen:
Grundmenge  : Alle Elemente für eine bestimmte Betrachtungsweise.
•
Leere Menge { } (auch ∅ ) enthält keine Elemente.
•
Mächtigkeit ist die Anzahl n A der Elemente einer Menge.
•
Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen sind einander gleich ( A= B ) wenn jedes
Element aus A auch Element von B und zugleich jedes Element von B auch
Element von A ist.
•
Teilmenge: Ist jedes Element von A auch ein Element von B , so ist A eine
Teilmenge von B ( A⊂ B ).
Für alle Mengen gilt: { } ⊂ A , A⊂ A .
•
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 ={x | x∉ M ∧ x∈} ist Komplement zu M ⊂ .
Komplementärmenge: M
 = M , ∅=


Es gilt: M
.
, =∅
•
Potenzmenge: Die Menge aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A :
P  A= { x | x⊂ A } . Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge A
(mit n A=m ): n P  A=2m .
•
Zerlegung einer Menge: Eine Menge Z von nicht leeren Teilmengen von A (
Z i ∈Z , i=1,2... , n mit Z i ⊂ A ) heißt Zerlegung von A , wenn jedes a∈ A in
genau einer Teilmenge Z i liegt.
•
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25
3.3 Mengenoperationen
Durchschnitt (Schnittmenge): A∩ B={x | x∈ A∧ x ∈B}
Menge aller Elemente die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
•
Ist der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ( A∩ B=∅ ), so heißen A
und B disjunkt (elementfremd).
Vereinigung: A∪ B= { x | x ∈ A∨ x∈ B }
Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.
•
Differenz von Mengen: A∖ B= { x | x ∈ A∧ x∉ B }
Menge aller Elemente von A , die nicht in B enthalten sind.
•
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3.4 Produkte von Mengen:
n-Tupel:
Es sei n eine natürliche Zahl und a1 ,... , a n seien nicht notwendig verschieden
Elemente gewisser Mengen. Die Darstellung ( a1 ,... , a n ) heißt ein aus diesen
Elementen gebildetes n-Tupel und ai i=1,... , n seine i-te Koordinate.
Für n=2 spricht man von einem geordneten Paar, für n=3 von einem Tripel,
für n=4 von einem Quadrupel etc.
Kartesisches Produkt:
Das kartesische Produkt  A× B zweier Mengen A , B ist die Menge aller
geordneten Paare a , b mit a∈ A und b ∈B .
A× B= {a , b| a∈ A∧b∈ B }
Für das kartesische Produkt gilt das Kommutativgesetz nicht: A× B≠ B× A .
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4 Folgen und Reihen
4.1 Zahlenfolgen
Eine Funktion, durch die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnet wird,
heißt Zahlenfolge und wird mit {a n }n∈ℕ oder auch an n∈ℕ bezeichnet. Die an
heißen Glieder der Zahlenfolge und a1 Anfangsglied.
4.1.1 Arithmetische Folge
Eine Folge {a n }n∈ℕ , bei der für jedes n∈ℕ gilt:
an1 −a n=d=const. , heißt arithmetische Folge.
4.1.2 Geometrische Folge
Eine Folge {a n }n∈ℕ , bei der für jedes n∈ℕ gilt:
an1
=q=const. , heißt geometrische Folge.
an
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4.1.3 Monotonie und Beschränktheit von Folgen
Die Folge heißt:
monoton wachsend wenn gilt: an ≤a n1 .
•
monoton fallend wenn gilt: an ≥an1 .
•
Haben alle Folgenglieder den gleichen Wert, so heißt die Folge konstant.
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl B gibt, so dass alle
Folgenglieder im Intervall [−B , B ] liegen, d.h. −B≤an ≤B ∀ n .
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4.1.4 Grenzwert einer Zahlenfolge
Sei { x n }n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen einen
Wert a∈ℝ , falls gilt: zu jedem 0 gibt es eine natürliche Zahl n ∈ℕ , so
dass
∣x n−a∣ für alle n≥ 
n  .
a heißt Grenzwert oder Limes der Folge
Eine Folge
{ x n }n∈ℕ
Ist a=0 , so wird
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{ x n }n∈ℕ
.
heißt divergent, falls sie nicht konvergiert.
{ x n }n∈ℕ
Nullfolge genannt.
30
4.2 Reihe
Gegeben sei eine Zahlenfolge
{a n }
∞
. a1 a 2 a3 ...= ∑ an heißt unendliche
n=1
Reihe oder kurz Reihe. Die a n heißen Glieder der Reihe.
Arithmetische und geometrische Reihe
Eine arithmetische (geometrische) Reihe ist eine Reihe, deren Glieder den
Gesetzen einer arithmetischen (geometrischen) Folge gehorchen.
N-te Partialsumme der arithmetischen Reihe:
n
n
s n := ∑ ai = ∑ [ a1i−1d ]= [ 2a 1n−1d ]= a1a n 
i=1
i=1
2
2
n
n
N-te Partialsumme der geometrischen Reihe:
n
n
n
1−q
i−1
s n :=∑ ai= ∑ a1 q =a1
1−q
i=1
i=1
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5 Grundlagen der Differentialrechnung
5.1 Motivation
Neben der reinen funktionalen Zuordnung von Variablen spielt insbesondere in
ökonomischen Anwendungen die Frage der Änderungstendenz einer Funktion
eine große Rolle. (z.B. Kostenfunktion und Grenzkosten, Gewinnfunktion und
Grenzerlös, etc.)
Die Ableitungsfunktion
Existiert zu einer Funktion y= f  x in jedem Punkt x eines Intervalls I (mit
I ∈D  f  ) die (erste) Ableitung f '  x , so heißt f (in I ) differnzierbar.
Die Funktion f ' , die jedem x∈ I die zugehörige (erste) Ableitung f '  x von
f zuordnet, heißt abgeleitete Funktion von f oder Ableitungsfunktion von f .
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Beispiel:
f x=2x 2
f '  x=4x
200
180
160
140
120
100
80
f(x)
60
f'(x)
40
20
0
-20
-40
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Die Ableitungsfunktion ordnet jeden Wert x 0 den Anstieg der Tangente an x 0
zu.
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5.2 Ableitungen von Funktionen
f  x
c
xn
Parameterbereich
c ∈ℝ
n∈ℕ
1/ x n
n∈ℕ
n x
x
r
e
x
x
r
ln  x
log a x
sin  x 
cos x 
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Definitionsbereich
ℝ
ℝ
f '  x
0
nx
n−1
n1
−n/ x
n∈ℕ gerade
ℝ ∖ {0 }
0, ∞
n∈ℕ ungerade
ℝ
1/ n  x
r ∈ℝ ∖ { 0 }
0, ∞
rx
ℝ
ex
r0
ℝ
a∈0, ∞∖ {1 }
0, ∞
0, ∞
ln r⋅r
1/ x
1/ln  a⋅1/ x
ℝ
ℝ
cos x 
−sin  x
n
n−1
n
n−1
1/ n  x
, x≠0
r−1
x
34
5.3 Ableitungsregeln
Faktorregel:
Die Ableitung von c⋅ f , c∈ℝ , ist gegeben durch
c⋅f  x ' =c⋅f '  x  .
Summenregel:
Die Ableitung von f  g ist gegeben durch
 f  x  g  x ' = f '  x  g '  x .
Produktregel:
Die Ableitung von f ⋅g ist gegeben durch
 f  x⋅g  x' = f '  x⋅g  x f  x⋅g '  x .
Quotientenregel:
Die Ableitung von f / g ist gegeben durch
'
f  x
f '  x⋅g  x− f  x⋅g '  x
=
.
2
g  x
 g  x
1.
2.
3.
4.
 
Kettenregel:
5.
Sei g differenzierbar an der Stelle x und f
differenzierbar an der Stelle g  x , ist f ° g
differenzierbar mit
 f  g  x '= g '  x⋅ f '  g  x .
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Exkurs: Taylorpolynom / endliche Taylorreihe
Das Ziel des Taylorpolynomes ist es, „komplizierte“ Funktionen durch „einfache“
Polynome zu approximieren.
Gegeben sei die n - mal differenzierbare Funktion f :ℝ  ℝ . Das
Taylorpolynom in x 0 ∈ D f vom Grad n ist durch den folgenden Ausdruck
n
f '  x 0
f ' '  x 0
f
 x 0
P  x= f  x 0 
 x− x 0
 x−x 0 2...
 x− x 0 n
1!
2!
n!
gegeben. Häufig spricht man auch von einer endlichen Taylorreihe der Ordnung
n .
Fehlerabschätzung / Restglied R n
Ist die Funktion f : ℝ ℝ als n1 mal differenzierbar gegeben, so gilt für die
Differenz zwischen der Funktion und ihrem Taylorpolynom die folgende Beziehung
f n1  x 
R n  x= f  x−P  x=
 x− x 0 n1 , mit x zwischen x und x 0 .
n1 !
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6 Grundlagen der Finanzmathematik
!Dieser Teil der Folien ist ab Montag dem 12.10.2009 online!
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