Universität Würzburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Oliver Roth

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Oliver Roth, Sebastian Schleißinger
WS 2012/13
8. Übung zur Einführung in die Funktionalanalysis
8.1 Bestimmen Sie für den Linksshift L : l2 → l2 und den Rechtsshift R : l2 → l2 jeweils den
adjungierten Operator.
(4 Punkte)
Lösungshinweise:
P
P∞
Für x = (xn ), y = (yn ) ∈ l2 gilt hLx, yi = ∞
n=1 xn+1 yn = x1 · 0 +
n=1 xn+1 yn = hx, Ryi .
∗
∗
∗ ∗
Also ist L = R und nach Satz 3.19 gilt R = (L ) = L.
8.2 Es sei X ein normierter Raum und U ein Unterraum von X. Zeigen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind.
a) U liegt dicht in X.
b) Für alle L ∈ X 0 mit L|U ≡ 0 gilt L ≡ 0.
(4 Punkte)
Lösungshinweise:
a) ⇒ b): Es sei L ∈ X 0 mit L(x) = 0 für alle x ∈ U . Da L stetig ist und U dicht in X liegt,
folgt dann auch L(x) = 0 für alle x ∈ X.
b) ⇒ a). Es sei Y := U . Dann ist Y ein abgeschlossener Unterraum von X. Liegt U nicht dicht
in X, so gibt es ein x0 ∈ X\Y und nach Satz 4.3 ein L ∈ X 0 mit L ≡ 0 auf Y , aber L 6≡ 0 auf
X. Damit ist gezeigt: ¬a) ⇒ ¬b).
8.3 Wir betrachten im Folgenden die beiden Banachräume (l∞ , k · k∞ ) und (l1 , k · k1 ), wobei
(
)
∞
∞
X
X
l1 = (xn ) ⊂ K :
|xn | < ∞ , k(xn )k1 =
|xn |.
n=1
n=1
a) Zeigen Sie, dass für jedes y = (yj ) ∈ l∞ durch
ly (x) :=
∞
X
x ∈ l1 ,
xj yj ,
j=1
ein ly ∈ (l1 )0 gegeben ist.
b) Zeigen Sie, dass zu jedem l ∈ (l1 )0 ein y ∈ l∞ existiert mit l = ly .
c) Zeigen Sie, dass y 7→ ly eine lineare bijektive Isometrie von l∞ auf (l1 )0 definiert.
d) Es sei der Unterraum c0 := {(yj ) ∈ l∞ : yj → 0 für j → ∞} von (l∞ , || · ||∞ ) gegeben.
Zeigen Sie: Es gibt eine lineare bijektive Isometrie von l1 auf (c0 )0 .
(2+4+2+4 Punkte)
Lösungshinweise:
a) Es gilt für alle x ∈ l1
|ly (x)| ≤
∞
X
|xj | · |yj | ≤ ||y||∞ · ||x||1 .
j=1
Somit ist ly ∈ (l1 )0 und ||ly || ≤ ||y||∞ .
b) Sei l ∈ (l1 )0 und yj := l(ej ) für j ∈ N. Dann gilt |yj | ≤ ||l|| · ||ej ||1 = ||l||, also y ∈ l∞ mit
||y||∞ ≤ ||l||, d.h. ly ∈ (l1 )0 nach (a). Ferner ist ly = l, denn
!
∞
∞
∞
X
X
X
ly (x) =
xj y j =
xj l(ej ) = l
xj ej = l(x) ,
x ∈ l1 .
j=1
j=1
j=1
c) Aus a) und b) folgt ||ly || = ||y||∞ , d.h. die Abbildung l∞ 3 y 7→ ly ∈ (l1 )0 ist eine lineare
bijektive Isometrie.
d) Für y ∈ l1 sei ly wie in a) definiert. Dann gilt für alle x ∈ c0 zunächst |ly (x)| ≤ ||x||∞ ||y||1 ,
d.h. ly ∈ (c0 )0 und ||ly || ≤ ||y||1 . Nun sei l ∈ (c0 )0 und yj := l(ej ) für j ∈ N. Dann gilt
!
N
N
N
X
X
X
|yj | =
sign(yj )l(ej ) = l
sign(yj )ej ≤ ||l|| ,
j=1
j=1
j=1
d.h. y ∈ l1 mit ||y||1 ≤ ||l||. Definiert man ly wie oben, so ist ly ∈ (c0 )0 . Ferner ist wieder
l = ly , denn l(ej ) = ly (ej ) für alle j ∈ N und span{ej : j ∈ N} liegt dicht in c0 . Insgesamt
ist daher l1 3 y 7→ ly ∈ (c0 )0 eine lineare bijektive Isometrie.
Abgabe bis Mittwoch, 12.12.2012, vor Beginn der Vorlesung im HS 4. Bearbeitungen sollen einzeln
oder zu zweit abgegeben werden. Bei mehreren Blättern bitte Heftklammern verwenden!