Funktionalanalysis

PD. Dr. P. H. Lesky / A. Thumm
12. November 2016
Übungen zur Funktionalanalysis
Blatt 4
Aufgabe 1
Sei E ein Vektorraum und L1 , L2 ⊂ E lineare Unterräume mit E = L1 ⊕ L2 , d.h.
jedes x ∈ E besitzte eine eindeutige Darstellung x = x1 + x2 mit xi ∈ Li . Zeigen Sie,
dass die Projektionen Pi : E → Li mit Pi x = xi stetig sind, falls E Banachraum und
beide Unterräume L1 , L2 abgeschlossen in E sind.
Hinweis: Betrachten Sie T : L1 × L2 → E mit T (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
Aufgabe 2
Gegeben sei L = R2 , die Vektoren u = (1, 0) und v = (−2, 1), sowie die sublineare
Abbildung p : L → R mit p(x1 , x2 ) = |x1 | + |x2 |. Auf dem, von u aufgespannten
Unterraum M = Ru ist die lineare Abbildung f : M → R gegeben durch f (λ · u) = λ.
a) Zeigen Sie, dass f auf M durch p beschränkt ist.
b) Zeigen Sie, dass die lineare Fortsetzung F : L → R von f entlang v mit F (v) = 0,
d.h. F (λ · u + µ · v) = λ nicht durch p beschränkt ist.
c) Bestimmen Sie die beiden Größen
sup (f (x) − p(x − v))
x∈M
und
inf (p(x + v) − f (x))
x∈M
und geben Sie verschiedene p-beschränkte Fortsetzungen F von f entlang v an.
Aufgabe 3
Sei E ein normierter Raum, L ein linearer Unterraum und x0 ∈ E mit
d(x0 , L) = inf kx0 − xk > 0.
x∈L
Weisen Sie die Existenz eines stetigen Funktionals f : E → R mit den Eigenschaften
f ≡ 0 auf L, f (x0 ) = d(x0 , L) und kf k ≤ 1 nach.
— Bitte wenden. —
Banach-Limiten
Sei S : `∞ → `∞ der Shift-Operator x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) 7−→ Sx = (x2 , x3 , x4 , . . . ). Eine
lineare Abbildung b : `∞ → C heißt Banach-Limes, falls sie die folgenden drei Eigenschaften
für alle x = (xn )n∈N ∈ `∞ erfüllt:
b ist positiv: Es gilt bx ≥ 0 falls xn ≥ 0 für alle n ∈ N ist.
b ist normiert: Es gilt bx = c falls xn = c für alle n ∈ N ist.
b ist shift-invariant: Es gilt stets bSx = x.
Aufgabe 4
Sei b ein Banach-Limes.
a) Zeigen Sie, dass b stetig ist mit Operatornorm kbk = 1.
Hinweis: Zeigen Sie |bx| ≤ kxk∞ zunächst für positive reelle, dann für beliebige reelle
und schließlich für beliebige komplexe Folgen x ∈ `∞ .
b) Folgern Sie, dass b den Limes-Operator fortsetzt, d.h. für jede konvergente Folge
x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ `∞ gilt bx = lim xn .
n→∞
Aufgabe 5
Weisen Sie die Existenz von Banach-Limiten nach.
Anleitung: Definieren Sie b zunächst auf den Unterräumen C = {x ∈ `∞ | x konstant}
und W = {y − Sy | y ∈ `∞ }. Finden Sie dann mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach
eine Fortsetzung auf `∞ mit kbk = 1, die reelle Folgen auf reelle Zahlen abbildet.