Mathematik für Informatiker III
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7. Aufgabenblatt vom Montag, den 06.Dezember 2010 zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker III
(Frank Hoffmann)
Abgabe: bis Montag, den 13.Dezember 2010, 1215
1. Komplement (2 Punkte)
Bestimmen Sie zum Lösungsraum U der linearen Gleichung x − y − z = 0 einen komplementären Unterraum U 0 im R3 , das heißt: U + U 0 = R3 , U ∩ U 0 = {0}.
2. Schwerpunkt (3 Punkte)
k
Der Schwerpunkt einer Punktmenge {P1 , P2 , . . . , Pk } ist durch S = P1 +...+P
definiert.
k
Dabei ist die Summe koordinatenweise zu bilden (also als Summe der Ortsvektoren der
Punkte). Wir betrachten nun den Schwerpunkt S von drei Punkten P1 , P2 , P3 in R2 .
Beweisen Sie, dass die Fläche des von P1 , P2 und S aufgespannten Dreiecks genau ein
Drittel der Fläche des von P1 , P2 , P3 aufgespannten Dreiecks ist.
3. Isometrie 1 (3 Punkte)
Ersetzen Sie in der folgenden reellen Matrix A die Sternchen durch konkrete Werte ,
so dass A zu einer Isometrie gehört. (Die Sternchen können zu verschiedenen Werten
gehören!) Begründen Sie kurz Ihr Vorgehen.
2 ∗ −4
1
4
A= · 4 ∗
6
4 ∗ −2
4. Isometrie 2 (2 Punkte)
Sei x ∈ Rn mit < x, x >= x21 + . . . + x2n = 1.
x1
.
A = E − 2
.
.
xn
Beweisen Sie, dass die Matrix
(x1 , . . . , xn )
orthogonal ist, dass heißt, eine Isometrie definiert.
5. Verständnis (2 Punkte)
Seien U, V Unterräume gleicher Dimension in einem euklidischen Vektorraum W . Zeigen
Sie, dass es eine Isometrie f : U → V gibt.
6. Erhard Schmidt (3 Punkte)
Bestimmen Sie nach dem Erhard Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren im R4
mit Standardskalarprodukt eine orthonormale Basis des Unterraums
U = Lin((−3, −3, 3, 3), (−5, −5, 7, 7), (4, −2, 0, 6))
7. Orthogonalprojektion (5 Punkte)
Bestimmen Sie die Matrix der Orthogonalprojektion auf den folgenden Unterraum im
R3
8
−4
U = Lin 0 3 ⊆ R3
3
−6
Welche Winkel bilden in U die Bilder der Standardbasisvektoren miteinander?
