Universität Würzburg Mathematisches Institut Dr. J. Jordan Wintersemester 2014 15.12.2014 11 . Übung zur Lineare Algebra Abgabe: 22.12.2014, 14:13 Uhr, In der Vorlesung. 11.1 (2 Punkte) Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ein Unterraum von V . Zeigen Sie: Gilt U ⊕ U ⊥ = V , so gilt auch (U ⊥ )⊥ = U . Lösungshinweise: Ist x ∈ U , so gilt für alle u ∈ U ⊥ : ϕ(x, u) = 0, also ist x ∈ (U ⊥ )⊥ . Nun sei x ∈ (U ⊥ )⊥ , also ϕ(x, u) = 0 für alle u ∈ U ⊥ . Wegen V = U ⊕ U ⊥ ist x = x1 + x2 mit x1 ∈ U und x2 ∈ U ⊥ . Insbesondere folgt aus ϕ(x, x2 ) = 0, dass ϕ(x2 , x2 ) = 0 (denn ϕ(x1 , x2 ) = 0) und damit x2 = 0, also x ∈ U . 11.2 (5+6 Punkte) Es sei V ein Vektorraum über einen Körper K. a) Es sei π : V → V eine lineare Abbildung mit π 2 = π. Zeigen Sie: α) Bild(π) ⊕ Kern(π) = V. β) Ist dim(V ) < ∞, so ist π diagonalsierbar. b) Es seien U und W Unterräume welche die Bedingung U ⊕ W = V erfüllen. Zeigen Sie: α) Zu jedem x ∈ V gibt es ein eindeutiges xU ∈ U und ein eindeutiges xW ∈ W , so dass x = xU + xW . β) Die Abbildung πu : V → V , x 7→ xU ist linear und es gilt πU2 = πU . γ) Für die Abbildung πu : V → V , x 7→ xU gilt Kern(πU ) = W und Bild(πU ) = U . Lösungshinweise: a, α) Es gilt Bild(π) + Kern(π) = V , denn x = (x − π(x)) + π(x) , |{z} | {z } x∈Kern(π) x∈Bild(π) da π(x − π(x)) = π(x) − π 2 (x) = 0. Ist x ∈ Bild(π), so gibt es ein y ∈ V mit x = π(y). Wegen π 2 = π folgt x = π(y) = π(π(y)) = π(x). Ist x ∈ Bild(π) ∩ Kern(π), so folgt x = π(x) = 0. Es gilt also Bild(π) ⊕ Kern(π). β) Kern(π) ist der Eigernraum zum Eigenwert 0. Wegen π(π(x)) = 1 · π(x) ist Bild(π) der Eigenraum zum Eigenwert λ = 1. Mit Korollar 8.15 und Aufgabenteil α folgt die Diagonalsierbarkeit. b, a) Aus U + W = V folgt, dass sich x als Summe zweier Elemente aus U und W darstellen lässt. Gäbe es zwei solche Darstellungen x = xU + xW = x̃U + x̃W so folgt xU − x̃U = x̃W − xW ∈ U ∩ W . Wegen U ∩ W = ∅ folgt xU = x̃U und xW = x̃W . β) Es sei x = xU + xW und y = yU + yW mit xU , yU ∈ U und XW , yW ∈ W . Für α, β ∈ K gilt dann π(αx + βy) = π(αxU + βyU +αxW + βyW ) = αxU + βyU = απ(x) + βπ(y). | {z } ∈U Außerdem ist π 2 (x) = π(π(x)) = π(xU ) = xU = π(x). γ) x ∈ Kern(π) genau dann, wenn π(x) = 0 also wenn xU = 0 und damit x ∈ W . y ∈ Bild(πU ) genau dann, wenn y = xU ∈ U für ein x ∈ V . 11.3 (2+2 Punkte) Es sei R2 versehen mit dem Standardskalarprodukt. a) Es seien a, b, c, d ∈ R2 , b, d 6= 0 und G1 = a + Rb und G2 = c + Rd. Gibt es eine Isometrie f ∈ Iso(R2 ) mit f (G1 ) = G2 ? b) Es sei A = {x ∈ R2 | x1 ≥ 0; x2 ≥ 0} und B = {x ∈ R2 | x1 ≥ 0}. Gibt es eine Isometrie f ∈ Iso(R2 ) mit f (A) = B? Lösungshinweise: a) Wegen a + bR = a + kbkb 2 R sei o.B.d.A kak2 = kbk2 = 1. Aus Satz 9.20 ist bekannt: f (x) = T x + v mit v ∈ R2 und T ∈ O2 (R). Also ist f (a + bR) = RT (b) + T a + v. Wir müssen also nur zeigen, dass es ein T ∈ O2 (R) mit T a = c gibt. Mit der Wahl v = c − T a gilt dann f (G1 ) = G2 . Es sei α der (gegen den Uhrzeigersinn gemessene) Winkel zwischen a und c, dann gilt für die Matrix cos(α) − sin(α) T = , sin(α) cos(α) T a = c. Außerdem ist T T > = E also T ∈ O2 (R). b) Es gibt keine solche euklidische Bewegung. Gäbe es ein solches f ∈ ISO(R2 ), so wäre auch f −1 eine Isometrie mit f −1 (B) = A. Insbesondere wäre f −1 (Re1 ) ∈ B. Aus Satz 9.20 folgt aber f −1 (x) = T x + b mit T ∈ O2 (R) und b ∈ R2 . Also ist f −1 (Re1 ) = RT e1 + b eine Gerade. Ein Widerspruch zu f −1 (Re1 ) ∈ B.