4.7 21 4.8 21 4.8.1 ekg und eeg 21 4.9 22 4.10 23

4.7
DIE ELEKTRISCHE SPANNUNG
4.8
DEFINITION POTENTIALFLÄCHE
4.8.1
EKG UND EEG
4.9
GAUßSCHER SATZ
4.10
ZWISCHENBILANZ
21
21
21
22
23
5 ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK
25
5.1
DAS ELEKTROSTATISCHE FELD LADUNGSSCHICHT
5.2
LEITER IM ELEKTROSTATISCHEN FELD
5.3
KONDENSATOR
5.3.1
KAPAZITÄT
5.3.2
SCHALTUNGEN MIT KONDENSATOREN
5.3.2A
PARALLELSCHALTUNG
5.3.2.B
SERIENSCHALTUNG
5.3.3
ENERGIE IM KONDENSATOR
5.4
GRADIENT DES ELEKTRISCHEN POTENTIALS
5.5
INFLUENZ
5.6
DIELEKTRIKA IM ELEKTRISCHEN FELD
5.6.1
ELEKTRISCHE POLARISATION
5.6.2
VERSCHIEBUNGSPOLARISATION
5.6.3
ORIENTIERUNGSPOLARISATION
5.7
PIEZOELEKTRISCHER EFFEKT
5.8
DAS ELEKTRISCHE FELD IM INNERN EINER HOMOGEN GELADENEN KUGEL
5.9
DAS ELEKTRISCHE FELD IM PLATTENKONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM
25
25
28
28
29
29
30
30
31
31
32
32
33
35
36
36
37
6. GLEICHSTROMKREISE
39
6.1
STROMDICHTE
6.2
ELEKTRISCHE WIDERSTÄNDE
6.2.1
DAS OHMSCHE GESETZ
6.2.2
WEITERE WIDERSTÄNDE
6.2.3
POTENTIOMETER:
6.3
KIRCHHOFFSCHE REGELN MIT ANWENDUNGEN
6.3.1
KIRCHHOFF
6.3.1A
PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN
6.3.1B
REIHENSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN
6.3.2
WHEATSTONESCHE BRÜCKE
6.3.3
AMPEREMETER
6.3.4
SPANNUNGSMESSUNG
6.3.5
BESTIMMUNG DES WERTES EINES WIDERSTANDES
6.3.6
RC- GLIED
6.3.1A
ENTLADUNG:
6.3.1B
AUFLADUNG
39
39
39
42
43
43
43
44
44
44
45
46
47
48
48
48
Seite 21
4.7
Die elektrische Spannung
Die Spannung U zwischen zwei Punkten des elektrischen Feldes ist gleich dem Quotienten aus
der Verschiebungsarbeit (von s 1 nach s 2 ) und der Probeladung q bzw. der Differenz der Potentiale Vi. Im Unendlichen soll das Potential gleich Null sein.
2 r
r
W
U = v 12 = Vs 2 − Vs1 = − ∫ Ed s
q
s1
s
J
= V (kurz könnte man sagen: Spannung =
C
r r
Arbeit pro Ladung). Wenn E konstant ist ⇒ U = − E ∆ s in V
Vs =−
in
Q r r
1s r r
s0 d s
FC d s =−∫
∫
4πε 0 s 2
q∞
s
v r
Q s ds
Q  1
Vs = −∫ Ed s = −
=−
−
4πε 0 ∞∫ s 2
4πε 0  s  ∞
Vs =
4.8
Q
in V
4πε 0 s
Definition Potentialfläche
Alle Punkte gleichen Potentials ergeben Potentialflächen. Für eine punktförmige Ladung sind
diese Potentialflächen Kugelschalen.
Die Feldlinien einer punktförmigen Ladung sind Radiallinien, die senkrecht zu den Äquipotentialflächen verlaufen. Die Coulombkraft tritt nur bei Existenz von mindestens zwei Ladungen
auf. Wenn Ladungen ruhen, beginnen die Feldlinien an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen. Sie enden nie im freien Raum!
Senkrecht zu den Äquipotentialflächen ändert sich das elektrische Feld am stärksten, weil sich
das Potential am stärksten ändert.
dW r v
= Ed s
q
r r
Das skalare Produkt vor Ed s ist am größten, wenn E und ds parallel liegen. Da es nur eine
Richtung geben kann, in der die Potentialänderung am größten ist, können Feldlinien sich nicht
schneiden!
4.8.1
EKG und EEG
Im menschlichen Körper laufen Prozesse ab, die Potentialschwankungen an der Körperoberfläche zur Folge haben. Solche Potentialdifferenzen können mit großflächigen Elektroden abgegriffen werden. Die Potentialdifferenz kann mit sehr empfindlichen Voltmetern gemessen werden. Zeichnet man den zeitlichen Verlauf der Spannungsschwankungen auf, erhält man ein
EEG (Elektroenzephalogramm).
Durch die Herztätigkeit entstehen im Brustkorb Äquipotentialflächen, die die Hautoberflächen
in Linien schneiden. Mit Elektroden werden an mehreren Stellen am Körper Potentialdifferenzen gemessen und aufgezeichnet (EKG = Elektrokardiogramm). Es gibt verschiedene Auswertungsmethoden des so gewonnenen EKG's.
Seite 22
4.9
Gaußscher Satz
Wenn Feldlinien nirgends frei enden, treten z.B. durch aufeinander folgenden Kugelschalen um
eine Punktladung gleich viele Feldlinien
hindurch. Rechnerisch bedeutet dies, daß das
r r
Produkt von E ⋅ A Ob konstant ist. D.h. in dem
Maße, wie E abnimmt, nimmt A zu.
r r
r r
E 1 ⋅ A Ob1 = E 2 ⋅ A Ob 2 = konstant. Das Produkt
r r
E ⋅ A Ob gibt den elektrischen Vektorfluß durch
die Oberfläche an.
r r
Berechnung von E 1 ⋅ A Ob1
r
dA n ist ein Vektor, dessen Länge den Flächeninhalt angibt und der senkrecht zur Fläche gerichtet ist.
r r
r
r
r r
E1 ⋅ A Ob = ∑ E1 ⋅ ∆A ni = ∫ E1 dA
i
r r
E1 ⋅ A OB = E1 ∫ dA=E1 ⋅ 4 π r 2
E1 ⋅ A Ob = E1 ⋅ 4 π r 2 =
E1 ⋅ A Ob =
Q
⋅ 4 π r2
2
4 π ε0 r
Q
2
in N m /C = V m
ε0
Q
1
ist unabhängig von r (funktioniert nur wegen der 2 - Abhängigkeit im Cour
ε0
lomb- Gesetz).
Der Term
Gaußscher Satz der Elektrostatik:
Der gesamte elektrische Fluß Φ aus einer geschlossenen Fläche heraus (Fläche A) ist
gleich der gesamten Ladung, die sich innerhalb der Fläche befindet, dividiert durch ε 0 .
r r Q
Φ = ∫ EdA =
in Vm
ε0
A
Die Gesamtladung Q ist gleich der Summe der N Teilladungen qi =>
Seite 23
r r 1
∫ EdA = ε0
A
N
qi
∑
i =1
Ist die Ladung im Volumen V kontinuierlich verteilt, kann als Ladungsdichte
ρQ =
Q
definiert werden.
V
Es folgt:
r r Q 1
Φ = ∫ EdA =
=
ρ QdV
ε 0 ε 0 ∫V
A
Q = ρ Q ⋅ V = ∫ ρ Q dV
V
r r 1
Φ = ∫ EdA = ∫ ρ Q dV in V m
ε0 V
A
[Φ ] = [E ⋅ A] =
N
⋅ m2 = V ⋅ m
As
r r
r
r
ε 0 ∫ EdA = Q oder mit D = ε 0 E
A
D ist die sogenannte dielektrische Verschiebungsdichte.
r r
∫ DdA = Q in C
4.10
Zwischenbilanz
Wichtige Beziehungen:
Lorentzkraft:
Coulombsches Gesetz:
elektrische Feldstärke:
Verschiebungsarbeit:
elektrisches Potential:
r
r
r r
r r
FL = q v × B oder FL = I s × B in N
v
C2
1 Q qr
FC =
⋅ 2 s0 in N mit ε 0 = 8,85419 ⋅ 10 −12
Nm 2
4πε 0 s
v
r FC
N
E=
in
q
C
r r
r r
Wv = − ∫ FC d s = − ∫ qEd s in Nm
V =
W v in J
= V (Volt)
q
A ⋅s
r r
V = − ∫ Ed s in J/C
Q
4πε 0 s
Potential:
V=
elektrische Spannung:
r r
U = V2 − V1 = ∆V = − E∆ s
elektrische Feldstärke:
r
∆V r
E=−
s0 in N/C
∆s
in V = J/C
Seite 24
Ladung ist auf Volumen τ verteilt
⇒ ρq =
∆Q
C
in 3 (Ladungsdichte)
∆τ
m
Ladung ist auf Fläche A verteilt
⇒ σq =
∆Q
C
in 2 (Flächenladungsdichte)
∆A
m
Das Potential berechnet sich aus der Formel:
Vs =
Q
mit
4πε 0 s
Q = ∫ ρ q dV bzw. Q = ∫ σ q dA
V
Es folgt:
2
(A: Fläche in m ,
A
V=
1
dτ
ρq
bzw.
∫
4πε 0 τ
s
V=
1
dA
σq
∫
4πε 0 A
s
τ: Volumen in m )
3
Der Beitrag eines kleinen Volumenelementes mit Ladungen zum elektrischen Gesamtfeld ist
dann:
1
1
∆τ r
∆A r
ρ q 2 es bzw.
σ q 2 es
4πε 0
s
4πε 0
s
Es folgt:
r
r
1
dA r
1
dτ r
E
E=
e
=
σ q 2 es
ρ
bzw.
s
∫
∫
2
q
4πε 0 A
s
4πε 0 τ
s
Elektrischer Fluß:
r r Q
Φ = ∫ EdA =
in N ⋅ m 2 = N ⋅ m ⋅ m = V ⋅ m mit
ε0
A ⋅s
C
A
Q 1
=
ρ QdV
ε 0 ε 0 V∫
Seite 25
5
ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK
5.1
Das elektrostatische Feld Ladungsschicht
r
Die ebene Ladungsschicht sei unendlich ausgedehnt. E muß senkrecht auf der Ebene stehen
und entgegengesetzt gleich sein. A1 und A2 sind Seitenflächen eines Volumens, das einen Teil
der Flächenladung umgibt.
r
r
E ist parallel zu allen anderen Flächen gerichtet. E hat nur x-Komponenten.
v v Q
E
∫ dA = ε0 = El A l + Er A r = 2AE
A
rechts
links
r −σ
Links: E L =
2ε 0
5.2
r
σ
Rechts: E R =
2ε 0
Leiter im elektrostatischen Feld
Aus dem glühelektrischen Effekt folgt:
es gibt in Leitern frei bewegliche Ladungen, und zwar die negativ geladenen Elektronen. Die
positiv geladenen Ionen sind unbeweglich. Kommt ein Leiter in ein Feld, bildet sich ein Gleichr
gewichtszustand, der dadurch gekennzeichnet ist, daß im Innern des Leiters E = 0 sein muß.
Sonst würde es einen Strom geben (nicht statische Situation).
Seite 26
Wegen des Gaußschen Satzes gilt:
v v
Q = ε 0 ∫ EdA = 0
A
Im Innern gibt es keine Ladungen.
Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche. Im Gleichgewicht stehen die Feldlinien senkr
recht auf der Leiteroberfläche. (Sonst würden Ladungen bewegt.). Da E senkrecht zur Oberfläche steht, ist die Wv (Arbeit) für eine Probeladung parallel zur Oberfläche gleich Null.
Die Oberfläche ist Äquipotentialfläche.
Q
ε0
r r
Φ = E A n 0 A ges ⇒
r r
Q
= ε 0E A n 0 = σ q
A ges
Φ=
oder
EA =
σq
ε0
=
∆q
ε 0 ∆A
Leiter im Feld:
ohne Leiter
mit Leiter
Es soll der Fluß berechnet werden (siehe folgende Abbildung)
N
r r
r
r
Φ = ∫ EdA = ∑ E A ∆A i + ⋅{
⋅ ⋅ ⋅ also Φ = E A ⋅ A ges ⋅ n 0
i =1
A
Wegen
Φ=
=0
r r
Q
Q
= ε 0 E A n 0 = σ q und wie zuvor:
ergibt sich
A
ε0
EA =
σq
ε0
Seite 27
Feld einer geladenen Metallkugel mit den Radius (RK und σq sind konstant):
E=
Das Potential ist:
Q
Q
=
ε 0 ⋅ A K ε 0 4π R K2
V=
Q
ε 0 4π R K
Q
Q

=
2 
ε 0 ⋅ A K ε 0 ⋅4πR K 
V
⇒E=
RK
Q

V=

ε 0 ⋅4πR K
E=
Es folgt:
E: elektrisches Feld; V: elektrisches Potential
Da nun einerseits die Leiteroberfläche gleiches Potential hat, andererseits RK nicht überall
gleich zu sein braucht, folgt:
Seite 28
5.3
Kondensator
5.3.1
Kapazität
Ein Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt gleich geladenen Metallen.
Die positive Arbeit WV (V wie Verschiebung), die man verrichten muß, um eine positive Ladung gegen das Feld zu bewegen, ist proportional zu Q. Damit ist auch U proportional zu Q,
daraus folgt:
Q=C⋅U
C ist eine Konstante und heißt Kapazität
C=
Die Einheit
Q
As
in
U
V
As
heißt Farad F
V
Die Oberflächen der beiden Metallkörper sind Äquipotentialflächen ⇒ Die Verschiebungsarbeit ist unabhängig vom gewählten Weg (und U ist konstant). Die Kapazität C ist also nur von
der geometrischen Anordnung abhängig.
Spezialfall Plattenkondensator:
Seite 29
d: Plattenabstand in m. Außerhalb der Platten heben sich die Felder auf! (Superposition bzw.
Überlagerung). Für eine Platte gilt (s. 5.1)
σq 

2ε 0 
σq 1 Q
= ⋅
 ⇒ E ges =
ε0 ε0 A
σq 
E2 =
2ε 0 
E1 =
W12 − qE ⋅ ( ∆s )
=
q
q
r r
r
r r
r
qE⋅ d
( s 2 − s1 ) = ∆ s = −d ⇒ U =
⇒
q
U = V2 − V1 =
U = E ⋅d in V
U=
d
1 Q
⋅ ⋅d =
⋅Q
ε0 A
ε0 ⋅ A
U=
Q
A
mit C = ε 0 ⋅ in F
C
d
Es folgt:
Falls zwischen die Platten ein sogenanntes Dielektrikum (Isolator) geschoben wird, kann die
Spannung um den Faktor ε r erhöht werden. ε r heißt relative Dielektrizitätskonstante und ist
dimensionslos. Falls ein Dielektrikum eine Rolle spielt, ist in allen Formel ε 0 durch ε 0⋅ ε r zu
A
ersetzen also z.B. C = ε 0 ε r ⋅ .
d
Die Kapazität C wird in Farad F gemessen.
A: Kondensatorfläche; d: Plattenabstand
5.3.2
Schaltungen mit Kondensatoren
Ein Kondensator wird durch eine Spannungsquelle aufgeladen.
U
C
Q = C ⋅ U bzw. C =
5.3.2a
Q
Q
bzw. U =
U
C
Parallelschaltung
U
Q gesamt = Q1 + Q 2
Die Spannung U ist an beiden Kondensatoren gleich =>
Seite 30
Q Q1 Q 2
=
+
⇒
U U
U
Cgesamt=C1 +C2
5.3.2.b
Serienschaltung
In diesem Fall sind die Ladungen gleich =>
Q Q
Q
+
=
und
C1 C 2 Cges
U = U1 + U 2 =
1
1
1
=
+
.
C ges C1 C 2
5.3.3
Energie im Kondensator
Ist ein Kondensator zum Teil aufgeladen, gilt:
U=
q
in J/C
C
Um dazu noch eine weitere Ladung dq aus dem Unendlichen auf den Leiter zu bringen, ist die
Verschiebungsarbeit
dWv = Udq =
q
dq in J
C
notwendig.
Um die Ladung Q auf die Kondensatorplatten zu bringen, ist die Gesamtarbeit Wv notwendig:
q
1 Q2 1
1
dq = ⋅
= CU 2 = QU
2 C 2
2
0C
Q
Wv (Q ) = ∫
Nun ist U = E d und C = ε 0 ⋅
A
:
d
1
A
1
WV = ⋅ ε 0 ⋅ E 2d 2 = ⋅ ε 0E 2 VPl mit Vpl = A d
2
d
2
Vpl ist das Volumen des Plattenkondensators. Als Energiedichte ergibt sich:
WV 1
= ⋅ ε 0E 2
VPl 2
Seite 31
5.4
Gradient des elektrischen Potentials
U = ∆V = V2 − V1 = − E ∆s in V
E=−
∆V
∆s
r
Der Vektor E ist dreidimensional zu behandeln ⇒
r
r
r
r
r r
r
r
(I)
∆V = − E∆ s = − E x i + E y j + E z k ⋅ ∆s x i + ∆s y j + ∆s z k
(
∆V = (E x ∆x + E y ∆y + E z ∆z ) mit
)(
)
∆x = ∆s x , ∆y = ∆s y und ∆z = ∆s z
r
=(x, y , z ) und damit V = V(x,y,z)
Nun ist das Potential V eine skalare Funktion des Ortes r=
Läßt man y und z konstant und ändert man x um ∆x , so gelangt man zum Ort (x+∆x, y, z).
∆Vx = V (x + ∆ x, y , z ) − V (x, y , z ) = − E x ∆x
Es folgt:
Ex = −
∆V (x, k 1 , k 2 )
∂V
=−
∆x
∂x
Ey = −
∂V
∂V
und E y = −
∂y
∂y
Analog folgt:
In Gleichung (I) eingesetzt folgt:
(
r
r
r
 ∂V r ∂V r ∂V r 
i+
j+
k  ⋅ ∆x i + ∆y j + ∆zk
∆V = −
∂y
∂z 
 ∂x
)
Die erste Klammer kann man aber auch wie folgt schreiben:
tor Nabla:
5.5
 ∂ r ∂ r ∂ r
j + k  ⋅ V = − grad V . Den Klammerausdruck nennt man Vek−  i +
∂y
∂z 
 ∂x
r  ∂ r ∂ r ∂ r
i+
j + k  . Dann ist:
∇ = 
∂y
∂z 
 ∂x
r
r
E = − gradV = −∇V
Influenz
In 5.2 wurde festgestellt, daß das Innere eines Leiters feldfrei ist. Bringt man einen Leiter in ein
r
E − Feld, bilden sich Influenzladungen. Das Feld der Influenzladung ist entgegengesetzt gleich
⇒ Im Innern gibt es kein Feld.
Bringt man eine positive Punktladung in die Nähe einer Metallplatte, so bildet sich ein Feld.
Seite 32
Dies ist ein Halbfeld des Dipols.
Man kann in die Ebene V = 0 eine Metallplatte bringen, ohne das Feld zu ändern. Andererseits
ist das Feld zwischen Ladung Q und Metallplatte richtig beschrieben, wenn man eine Bildlar
dung im Abstand a hinter der Metallplatte annimmt. Die Kraft F dieser Bildladung wird
Bildkraft genannt.
r
F=
q2 r
1
⋅ 2 e a in N
4πε 0 4a
Auf der Platte sitzen Ladungen, deren Summe = q ist.
q = ∫ σ q dA
A
5.6
Dielektrika im elektrischen Feld
5.6.1
Elektrische Polarisation
r
Man betrachtet Isolatoren (Dielektrika). im elektrischen Feld ( E − Feld).
Verschiebungspolarisation:
r
Ein äußeres E − Feld verschiebt bei an sich neutralen Atomen oder Molekülen die Ladungs-
Seite 33
schwerpunkte der positiven und negativen Ladung gegeneinander. Es entsteht ein induziertes
r
elektrisches Dipolmoment in Richtung von E .
Orientierungspolarisation:
Moleküle haben von sich aus ein Dipolmoment wie z.B. H2O. Diese Dipolmomente werden
ausgerichtet.
r
In beiden Fällen versteht man unter elektrischer Polarisation P (Polarisationsvektor) einer
r
Substanz das Verhältnis des gesamten Dipolmomentes p V des Volumens ∆V pro ∆ V.
r
v pV
r
P=
wobei p V die Summe aller Dipolmomente pi der einzelnen Moleküle ist.
V
5.6.2
Verschiebungspolarisation
Durch ein äußeres Feld werden Dipolmomente induziert. Für jedes einzelne Dipolmoment, das
induziert wird, gilt:
r
r
p prop. ε 0 E
r
r
p = α ε0E
α:
r
p:
r
E:
atomare Polarisierbarkeit in m3
induziertes Dipolmoment in Cm
elektrische Feldstärke in N/C
C2
Nm 2
ε 0 = 8,85419 ⋅ 10 −12
Atomare Polarisierbarkeit einiger Elemente
Element
H
-24
3
α in 10 cm 0,66
He
0,21
Li
12
Be
9,3
C
111,5
Ne
0,4
Na
27
Im elektrischen Feld werden positive und negative Ladungen um eine Strecke a getrennt (s.
Abschnitt 5.9).
Im Kondensator eingebracht bilden sich im Innern des Dielektrikums Dipolketten. Die Ladungen kompensieren sich gegenseitig bis auf die an den Kettenenden ⇒ auf der Oberfläche des
Q
in C/m2.
Dielektrikums entstehen Oberflächenladungen σ q =
A
n=
Dipolmomente N
Volumen V
Q = N⋅q = n ⋅V ⋅q
σq =
pD:
σq:
n:
D:
Q
V
AD
= n⋅q⋅ = n⋅q⋅
= n ⋅ q ⋅ D = n ⋅ pD
A
A
A
Dipolmoment in Cm
Ladungen/Fläche in C/m2
Anzahl/Volumen in 1/m3
Dicke des Dielektrikums in m
Seite 34
a
a
D
Aus der Flächenladungsdichte σq ergibt sich für den Isolator ein gesamtes Dipolmoment =
gesamte Oberflächenladungen ⋅ Dicke, also:
p V =σ q ⋅ A ⋅ D
Für die Polarisation folgt:
P=
pV σq ⋅ A ⋅ D
=
= σ q in C/m2
V
V
Man hätte auch wie folgt argumentieren können:
Das Dielektrikum läßt sich in D/a Schichten zerlegen ( a: Dipolabstand). In jeder Schicht sind
N Dipole. Alle Dipole im Volumen sind demnach:
pV =
D
D
⋅ N ⋅p = ⋅ N⋅q⋅a
a
a
Für die Polarisation folgt:
P=
pV D ⋅ N ⋅q N ⋅ q
=
=
= σq
V
V
A
Aus den Überlegungen folgt: P = σq also elektrische Polarisation = Oberflächenladung.
r
Die Polarisation ist außer bei Elektreten proportional zu E
r
r
P = ε0 ⋅ χe ⋅ E
r
r
r
r
r
Wegen p = α ε 0 E ist P = Np/V = n p = n α ε 0 E . Zwischen dielektrische Suzeptibilität χ e und
Polarisierbarkeit α besteht also der einfache Zusammenhang:
n α = χe
N: Anzahl aller Dipolmomente
3
V: Volumen in m
n:
Anzahl der Dipolmomente pro Volumen in 1/m3
r
P:
Elektrische Polarisation in C/m2
χ e:
dielektrische Suszeptibilität (ohne Dimension).
Das elektrische Feld wird durch ein Dielektrikum beeinflußt. Es gilt:
E = E0 - Ep
Seite 35
Ep: Feld der Polarisationsladungen (gebundene Ladungen)
E0: Feld ohne Dielektrikum
E0 =
σk:
σq:
σk
ε0
Oberflächenladung des Kondensators
Oberflächenladung des Dielektrikums
E=
σk σq σk
−
=
−χeE
ε0 ε0
ε0
σk
= E + χeE = E(1 + χ e )
ε0
σ k = ε 0 E(1 + χe ) Mit 1 + χ = ε r ⇒
ε = ε 0 (1 + χ e ) = ε 0 ε r
Im Folgenden steht ε als Abkürzung für das Produkt ε 0 ⋅ ε r steht.
σk = ε E =
Q
U
=ε
⇒
A
d
Q = CU mit C = ε
A
d
Material
εr
Wasser, flüssig, 1bar, 293K
Nitrobenzol, flüssig, 293 K
Wasser, gasf., 1bar, 383 K
Luft, gasf., 273 K
Glas, 293 K
Hartgummi, 293 K
Keramik, 293 K
Porzellan, 293 K
Paraffin, 293 K
SrTiO3 , 10 K
81
37
1,0126
1,00059
5-10
2,5-3,5
10-104
4
2,1
12000
Die Angaben schwanken in der Literatur stark.
5.6.3
Orientierungspolarisation
-10
Im Molekül gibt es permanente Dipole. Z.B. im HCl-Molekül ist das H-Atom um 0,2·10 m
gegen das Cl-Atom verschoben. Daraus resultiert ein permanentes Dipolmoment, das vier
Größenordnungen über dem induzierten Dipolmoment liegt. Die Theorie sagt aus, daß Verschiebungspolarisation sich nicht mit der Temperatur ändert, während Orientierungspolarisation geändert (wegen der Wärmebewegung der Dipole!) wird.
Wasser hat eine große Dielektrizitätskonstanten ε H 2O . Wirken Wassermoleküle auf z. B. NaCl
ein, wird die Feldstärke vermindert und damit die anziehende Kraft zwischen Na und Cl. Dies
nennt man Dissoziationsvermögen des Wassers.
r
r
U
U
U
F = qE oder F = q = q V wegen U = V
d
εd
ε
Seite 36
Uv:
U:
5.7
Spannung ohne Wasser
Spannung mit Wasser in V
Piezoelektrischer Effekt
Deformiert man Kristalle mit einer sogenannten polaren Achse, so wird er "polarisiert". D.h.
durch Krafteinwirkung treten im Kristall Dipolmomente auf, die an der Oberfläche Ladungen
bedingen. Legt man an einem Kristall Metallplatten an, kann man diese Ladungen bzw. Spannungen messen. Umgekehrt legt man Spannungen an, so bewirkt man Deformationen (Quarzuhrprinzip).
5.8
Das elektrische Feld im Innern einer homogen geladenen Kugel
Die geladene Kugel hat den Radius R0. Man berechnet nun den elektrischen Fluß durch eine
Kugelschale im Innern der Kugel. Dabei ist s der Abstand der Kugelschale vom Mittelpunkt.
Φ:
ε 0:
R0
s:
dV:
ρ q:
Fluß in N m2/C
-12
elektrische Feldkonstante in C /(N m2) (Wert = 8,85419 10 )
Radius der geladenen Kugel in m
Abstand in m
Volumenelement einer Kugel im Abstand s in m3
Ladungsdichte der Kugel in C/m3
dV =4πs 2 ds
3Q
ρq =
4πR 03
Φ=EA =
Φ=
1
ρ q dV
ε0 ∫
1
3Q
4πs 2 ds
∫
3
ε 0 4πR 0
Φ=EA =E4πs 2
Φ=
3Q
3Q 3 s
s 2 ds=
s
3 ∫
ε0 R0
3ε 0 R 30 0
Φ=
Qs 3
ε 0 R 03
Seite 37
Φ = EA= E4πs 2
E=
Qs 3
Qs
= 3
3
3
R 0 4πε 0 s R 0 4πε 0
An einer Stelle im Innern der homogen geladenen Kugel im Abstand s vom Mittelpunkt hat die
Feldstärke E den errechneten Wert.
Ein äußeres Feld würde die Homogenität der Ladungsverteilung innerhalb der Kugel solange
stören bis sich ein Gleichgewicht zwischen äußerem Feld und Kugelfeld einstellt. Dies sei bei
einer Feldstärke, die der beim Abstand s entspricht. Man könnte sagen, daß durch das äußere
Feld ein Dipol p entstanden ist. Es würde dann gelten:
r
r
p =Q s
r
r
p = R 03 4π ε 0 E
5.9
Das elektrische Feld im Plattenkondensator mit Dielektrikum
An einen Plattenkondensator ist die Spannung U gelegt. Ohne Dielektrikum gilt:
Q=CU
Mit einem Dielektrikum gilt:
Q = ε r C Ur
Ur = U/εεr also auch
Er = E/εεr
Die Spannung Ur ist kleiner geworden. Wenn man die Spannung wieder auf den Wert U bringt
(mit Dielektrikum), erhöht sich die Ladung auf den neuen Wert:
Qr = ε r Q
Man kann also Qr - Q mehr Ladungen auf die Platten bringen. Die dazu nötige Energie wird
von der Spannungsquelle geliefert:
W = ∆ Q U = U (Qr - Q) = U Q (εεr -1)
Die Energiedichte im Kondensator nimmt zu.
Ohne Dielektrikum ist die Energiedichte (s. Abschnitt 5.4):
WV 1
= ⋅ ε 0E 2
VPl 2
Mit Dielektrikum (Spannung U in beiden Fällen gleich groß):
WV 1
= ⋅ ε 0εr E2
VPl 2
Wenn man die Differenz ausrechnet, ergibt sich nur 0,5⋅∆Q⋅U, also nur die Hälfte der hineingesteckten Arbeit. In das Feld wurde zusätzlich die Energie
Wf =0,5 ∆ Q U = ½ W gespeichert.
Man kann vermuten, daß der Rest in mechanische Arbeit Wm umgewandelt worden ist. Man
beobachtet, daß dielektrische Flüssigkeiten, in die ein Kondensator senkrecht eingetaucht ist,
innerhalb des Kondensators um die Höhe h angehoben werden. Dann sollte:
Seite 38
W = Wf + Wm sein. Wobei
Wm = m g h ist.
Die Höhe h, um die die Flüssigkeit angehoben wird, läßt sich ausrechnen.
h = (U2 ε 0 (εεr-1))/(2 g d2 ρ ) (Skript Bormann p 73)
Seite 39
6.
GLEICHSTROMKREISE
Stromerzeugung wird erst später behandelt! Zunächst ist nur der Bandgenerator als Spannungsquelle bekannt.
6.1
Stromdichte
r
Unter Stromdichte G versteht man die Ladungsmenge Q, die pro Zeit senkrecht durch eine
r
Fläche A (Querschnittsfläche) ( A 0 ist der Vektor der Flächennormalen mit der Länge 1)
fließt.
r
A
Q r
A 0 in
G=
m2
t⋅A
Wegen Q = I ⋅ t folgt:
r I r
G = e0
A
r
r
e0 = A 0 ist der Einheitsvektor in Richtung der Flächennormale. Die Stromdichte ist im Gegensatz zu I ein Vektor. Wenn n die Anzahl N aller Ladungen pro Volumen V=A⋅⋅L ist (n in
1
2
r
, A: Fläche in m , L: Länge in m) und alle N Ladungen die gleiche Geschwindigkeit v
3
m
r
haben, fließen n ⋅ q ⋅ v Ladungen pro Sekunde durch die Querschnittsfläche A ⇒
r r
1
m
A
n ⋅ q ⋅ v = G . Dimensionsprobe: 3 ⋅ C ⋅ = 2
s m
m
r r
r r
r r
N
N
I = G ⋅ A = n ⋅q⋅ v⋅ A =
⋅ q ⋅ v ⋅ A (wegen n =
)
A⋅L
A⋅L
r
v r
I = N ⋅ q ⋅ L0
L
r
Wenn nicht alle Ladungen gleich schnell fließen, führt man eine mittlere Geschwindigkeit v
ein.
r
r
r
G = n ⋅ q ⋅ v ; wobei v Driftgeschwindigkeit heißt.
6.2
Elektrische Widerstände
6.2.1
Das Ohmsche Gesetz
Das Ohmsche Gesetz gilt vor allem für metallische Leiter. Es zeigt sich, daß die Spannung U
proportional zur Stromstärke I ist. Die Proportionalitätskonstante heißt elektrischer Widerstand R:
U = R ⋅ I mit R in
V
= Ω (Ohm)
A
Man stellt fest, daß R proportional zur Leiterlänge L und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Leiter A ist:
R=ρ
L
mit ρ in Ω ⋅ m
A
Seite 40
ρ heißt spezifischer Widerstand. ρ hängt vom Material und der Temperatur ab.
Unter Leitfähigkeit σ versteht man den Kehrwert von ρ:
1
in 1/Ω
Ω
ρ
r r
r r
Außerdem gilt: I=A ⋅ G ; und U=E ⋅ d
σ=
r r
L
U= R ⋅I = ρ⋅ ⋅I = ρ⋅L⋅G
A
r r
r r
E⋅d=ρ⋅ L ⋅G ⇒
r
r
E= ρ⋅G
r
r
G =σ⋅E
Für das Ohmsche Gesetz gibt es zwei gleichwertige Formulierungen:
r
r
G = σ ⋅ E oder U = R ⋅ I
Daraus ergibt sich auch:
r r
I= GA
Falls I nicht durch alle Flächenelemente mit gleicher Stärke fließt, muß integriert werden:
r r
I=∫ dA ⋅G
A
ρ in Ωcm bei Raumtemperatur:
Silber
2 ⋅ 10 -6
Kupfer
2 ⋅ 10 -6
Aluminium
3 ⋅ 10 -6
Messung
5 ⋅ 10 -6
Konstantan
50 ⋅ 10 -6
Graphit
1300 ⋅ 10 -6
Bernstein
10 20
Glas
NaCl - Lösung
1013 - 1017
≈ 10
Silizium
2 ⋅ 10 5
Kennlinie
r
Wie kommt so ein glatter Verlauf zustande? Im E -Feld werden geladene Teilchen beschleur
r
nigt. m ⋅ a = q ⋅E . Man stellt sich vor, daß im Leiter die Elektronen mit den Atomen zusammenstoßen und dabei ihre Energie wieder verlieren und so im Mittel nicht schneller werden.
Unmittelbar vor dem nächsten Stoß haben sie eine maximale Geschwindigkeit.
r
r
q r
v m = a ⋅ ∆t = E ⋅ ∆ t
m
r
1 q r
v m = ⋅ E ⋅ ∆t
2 m
Seite 41
r
wo v m die mittlere Geschwindigkeit ist.
r r 1 q2
r r
I = q ⋅ n ⋅ A ⋅ v = ⋅ ⋅ n ⋅ E ⋅ A ⋅ ∆t
2 m
r I r
r
1 q2
G = A 0 = ⋅ ⋅ n ⋅ E ⋅ ∆t
A
2 m
Nimmt man an, daß es auch eine mittlere Stoßzeit τ = ∆t gibt, folgt:
1 q2
⋅ ⋅ n ⋅ ∆t = konst
2 m
r
r
1 q2
G = σ E mit σ = ⋅ ⋅ n ⋅ ∆t
2 m
1
Ekin = mv m2
2
Diese Energie kann übertragen werden.
vm =
q
E ⋅ ∆t
m
1 q2
1 q2 2 2
Ekin = m 2 E 2 ∆t 2 =
E ∆t = ∆W
2 m
2m
Im Volumen A L sind N = n A L Teilchen => während der Zeit τ wird die Energie N Ekin
übertragen:
n⋅ A⋅L
1 q2 2 2 1 q2
E ∆t =(
n ⋅∆t ) ⋅(E 2 ∆tA ⋅ L ) =σ ⋅ (E ⋅ A ) ⋅ (E ⋅ L ) ⋅∆t
2
2m
2m
W = I ⋅ U ⋅∆t
Leistung =
N=
Arbeit
=N
Zeit
∆W
U2
= U ⋅ I = R ⋅ I2 =
in W (Watt)
∆t
R
Dies nennt man Ohmsche Heizleistung (Wärmewirkung des Stroms).
Das Ohmsche Gesetz gilt nur in bestimmten stoffabhängigen Grenzen. Widerstände sind im
allgemeinen temperaturabhängig.
R T = R 0 ⋅ (1 + αT )
T1:
Sprungtemperatur; wenn T<T1 => Supraleitung. Bei einigen Stoffen (Edelgase) ist:
α≈
1
-1
in K
273
Seite 42
6.2.2
Weitere Widerstände
Halbleiter
U
VDR-Widerstände: Voltage Dependent Resistor
Das Ohmsche Gesetz beschreibt eigentlich nur den
Sonderfall der ohmschen Widerstände. Die meisten Stoffe
haben ein nicht ohmsches Widerstandsverhalten.
PTC-Widerstände: Positiver Temperatur Coeffizient
Bei Metallen nimmt die
Schwingung der Atome mit
steigender Temperatur zu. Dadurch wird die gerichtete Strömung der freien Metallelektronen mehr gehindert. ⇒ R
wird größer.
Bei Halbleitern besonderer Art
kann die Temperaturabhängigkeit exponentiell sein ⇒ PTC
Bei Isolatoren ist R zunächst
sehr groß. Bei Erwärmung entstehen freie Elektronen ⇒ Widerstand wird klein (NTC).
Außerdem gibt es LDR-Widerstände: Lichtempfindliche Widerstände
T
NTC-Widerstände:
Negativer Temperatur Koeffizient
Seite 43
6.2.3
Potentiometer:
W = W1 + W2
qU = qU 1 + qU 2
U = U1 + U 2
R ges I = R 1I + R 2 I
R ges = R 1 + R 2
L = AB und x = AX
U x AX x
=
=
U
AB L
6.3
Kirchhoffsche Regeln mit Anwendungen
6.3.1
Kirchhoff
1.
Die Summe aller Ströme an einem Knotenpunkt ist Null. Dabei erhalten zufließende
Ströme ein +-Zeichen, abfließende ein -Zeichen.
∑I
2.
K
=0
Die Summe aller Teilspannungen in einem Stromkreis ist gleich der angelegten
Spannung.(Maschenregel).
∑U
K
= 0 = ∑ RKIK
Seite 44
6.3.1a
Parallelschaltung von Widerständen
I ges = I 1 + I 2 =
U
U
U
+
=
R 1 R 2 R ges
1
1
1
=
+
R ges R 1 R 2
6.3.1b
Reihenschaltung von Widerständen
U = U 1 + U 2 = R 1I + R 2 I = R ges I
R ges = R 1 + R 2
6.3.2
Wheatstonesche Brücke
Man kann den Kontakt bei Punkt D solange verschieben bis der Strom (s. Abbildung) über das
Amperemeter IA = 0 ist, es folgt: UCD = 0 => UAC=UAC und UCB=UDB , d.h.:
RI1 = R x I1 und R1I 2 = R 2 I 2
Seite 45
und damit
RI 1
RI
= x 1
R 1I 2 R 2I 2
Rx =
R 2R
R1
Wenn die spezifischen Widerstände ρ1 = ρ2 und die Querschnittsflächen A1 = A2 der
Widerstände R1 und R2 gleich sind, =>
R 1 l1
R ⋅ l2
= ⇒ Rx =
R2 l2
l1
6.3.3
Amperemeter
I
I
Der Gesamtstrom, der fließt, sei I. Über den Shunt soll der Strom I2 und über das Meßwerk I1
fließen.
I=
U
Ra + R I
I = I1 + I 2
Ist R I << R a ⇒ I ≈
U
Ra
U AB = R n I 2 
R nI 2 I 2
R
=
mit R n = I ⇒
 ⇒ I1 =
U AB = R I I 1 
RI
n
n
I = I1 + I 2 =
I2 =
I=
I
1
1+
n
I2
+ I2
n
I2
1

+ I2 = I21 + 
n
 n
I
und I 1 = I − I 2 = I −
1
1+
n
I − I2 1
=
I2
n
n=
I2
I − I2
Seite 46
z.B.: Ein Amperemeter zeigt Vollausschlag, wenn IA=1 mA =I1 ist. Soll der Gesamtstrom I
R
=10 mA gemessen werden können, so wird ein "Shunt" parallel geschaltet mit R n = I . Über
n
den Shunt sollen also 9 mA = I2 fließen.
n=
I2
9 mA
=
=9
I − I 2 10 mA − 9 mA
⇒ Rn =
6.3.4
RI
9
Spannungsmessung
R
U = R I I1 = R a I 2
I
I1 =
⇒
Ra
⋅ I2
RI
Wenn R I >> R a ⇒ I1 sehr klein und I 2 ≈ I .
R
V
R
a
RI
Wenn der Meßbereich erweitert werden soll, muß dem Innenwiderstand ein Widerstand vorgeschaltet weren.
(R v + R I )I 1 = R a I 2
(R v + R i )I 1
R II1
=
U
UI
Soll der Meßbereich verzehnfacht werden, so muß Rv + RI = 10 RI sein => Rv = 9 RI .
Seite 47
6.3.5
Bestimmung des Wertes eines Widerstandes
Bei dieser Schaltung wird der Strom Ix falsch gemessen, da das Amperemeter den Gesamtstrom I mißt (Stromfehlerschaltung).
U
U
U
x =
x
R = x=
x I
U
I−I
x
v I− x
R
v
I Rx −
Ux
Rx = Ux
Rv
I
1
1
−
=
Ux R v R x
Wenn Rx << Rv folgt:
also
I
1
1
=
+
Ux R v R x
I
1
≈
Ux R x
In dieser Schaltung mißt das Voltmeter die Gesamtspannung und daher den Spannungsabfall
Ux über den unbekannten Widerstand Rx falsch (Spannungsfehlerschaltung).
Rx =
Ux Ux − UA
=
Ix
Ix
U
= Rx + RA
Ix
Wenn nun Rx >> Ra ist, folgt: R x ≈
da
U
Ix
RAIx = UA
Seite 48
6.3.6
RC- Glied
6.3.1a
Entladung:
U C + U R = 0 ⇒ U C = −U R
Q
UC =
und
UR = I R
C
dQ
Q
= −I R = − R ⋅
dt
C
dQ
UC = −R
mit Q = C U C
dt
dU C
UC = R C
dt
Trennung der Variablen UC und t (mathematisches Verfahren):
dU C
1
=−
dt
UC
RC
ln U C = −
t
+ konst
RC
Zur Zeit t = 0 soll UC = U0 sein => die Integrationskonstante konst = ln U0
U
t
ln C = −
U0
RC
6.3.1b
t
⇒
−
UC
= e RC
U0
⇒
UC = U 0 ⋅ e
Aufladung
U0 = U C + U R = U C + I ⋅ R
U0 − U C =
dQ
dU C
R = C⋅R
dt
dt
dU C
dt
=
U 0 − U C RC
⇒
ln (U 0 − U C ) =
t
+b
RC
−
t
RC
Seite 49
Zur Zeit t = soll UC = 0 sein => b = -ln U0
− ln (U 0 − U C ) =
t
− ln U 0 also
RC
t
U0
= e RC
U 0 − UC
Es folgt:
t
−


R
UC = U 0  1 − e C 




 U0 
t
 =
ln
 U 0 − U C  RC