4.7 DIE ELEKTRISCHE SPANNUNG 4.8 DEFINITION POTENTIALFLÄCHE 4.8.1 EKG UND EEG 4.9 GAUßSCHER SATZ 4.10 ZWISCHENBILANZ 21 21 21 22 23 5 ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK 25 5.1 DAS ELEKTROSTATISCHE FELD LADUNGSSCHICHT 5.2 LEITER IM ELEKTROSTATISCHEN FELD 5.3 KONDENSATOR 5.3.1 KAPAZITÄT 5.3.2 SCHALTUNGEN MIT KONDENSATOREN 5.3.2A PARALLELSCHALTUNG 5.3.2.B SERIENSCHALTUNG 5.3.3 ENERGIE IM KONDENSATOR 5.4 GRADIENT DES ELEKTRISCHEN POTENTIALS 5.5 INFLUENZ 5.6 DIELEKTRIKA IM ELEKTRISCHEN FELD 5.6.1 ELEKTRISCHE POLARISATION 5.6.2 VERSCHIEBUNGSPOLARISATION 5.6.3 ORIENTIERUNGSPOLARISATION 5.7 PIEZOELEKTRISCHER EFFEKT 5.8 DAS ELEKTRISCHE FELD IM INNERN EINER HOMOGEN GELADENEN KUGEL 5.9 DAS ELEKTRISCHE FELD IM PLATTENKONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM 25 25 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 33 35 36 36 37 6. GLEICHSTROMKREISE 39 6.1 STROMDICHTE 6.2 ELEKTRISCHE WIDERSTÄNDE 6.2.1 DAS OHMSCHE GESETZ 6.2.2 WEITERE WIDERSTÄNDE 6.2.3 POTENTIOMETER: 6.3 KIRCHHOFFSCHE REGELN MIT ANWENDUNGEN 6.3.1 KIRCHHOFF 6.3.1A PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN 6.3.1B REIHENSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN 6.3.2 WHEATSTONESCHE BRÜCKE 6.3.3 AMPEREMETER 6.3.4 SPANNUNGSMESSUNG 6.3.5 BESTIMMUNG DES WERTES EINES WIDERSTANDES 6.3.6 RC- GLIED 6.3.1A ENTLADUNG: 6.3.1B AUFLADUNG 39 39 39 42 43 43 43 44 44 44 45 46 47 48 48 48 Seite 21 4.7 Die elektrische Spannung Die Spannung U zwischen zwei Punkten des elektrischen Feldes ist gleich dem Quotienten aus der Verschiebungsarbeit (von s 1 nach s 2 ) und der Probeladung q bzw. der Differenz der Potentiale Vi. Im Unendlichen soll das Potential gleich Null sein. 2 W U v12 Vs 2 Vs1 Ed s q s1 s J V (kurz könnte man sagen: Spannung = C Arbeit pro Ladung). Wenn E konstant ist U E s in V Vs in 1s Q FC d s s0 d s q 4 0 s 2 s Q s ds Q 1 Vs Ed s 4 0 s 2 4 0 s Vs 4.8 Q in V 4 0 s Definition Potentialfläche Alle Punkte gleichen Potentials ergeben Potentialflächen. Für eine punktförmige Ladung sind diese Potentialflächen Kugelschalen. Die Feldlinien einer punktförmigen Ladung sind Radiallinien, die senkrecht zu den Äquipotentialflächen verlaufen. Die Coulombkraft tritt nur bei Existenz von mindestens zwei Ladungen auf. Wenn Ladungen ruhen, beginnen die Feldlinien an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen. Sie enden nie im freien Raum! Senkrecht zu den Äquipotentialflächen ändert sich das elektrische Feld am stärksten, weil sich das Potential am stärksten ändert. dW Ed s q Das skalare Produkt vor Ed s ist am größten, wenn E und ds parallel liegen. Da es nur eine Richtung geben kann, in der die Potentialänderung am größten ist, können Feldlinien sich nicht schneiden! 4.8.1 EKG und EEG Im menschlichen Körper laufen Prozesse ab, die Potentialschwankungen an der Körperoberfläche zur Folge haben. Solche Potentialdifferenzen können mit großflächigen Elektroden abgegriffen werden. Die Potentialdifferenz kann mit sehr empfindlichen Voltmetern gemessen werden. Zeichnet man den zeitlichen Verlauf der Spannungsschwankungen auf, erhält man ein EEG (Elektroenzephalogramm). Durch die Herztätigkeit entstehen im Brustkorb Äquipotentialflächen, die die Hautoberflächen in Linien schneiden. Mit Elektroden werden an mehreren Stellen am Körper Potentialdifferenzen gemessen und aufgezeichnet (EKG = Elektrokardiogramm). Es gibt verschiedene Auswertungsmethoden des so gewonnenen EKG's. Seite 22 4.9 Gaußscher Satz Wenn Feldlinien nirgends frei enden, treten z.B. durch aufeinander folgenden Kugelschalen um eine Punktladung gleich viele Feldlinien hindurch. Rechnerisch bedeutet dies, daß das Produkt von E A Ob konstant ist. D.h. in dem Maße, wie E abnimmt, nimmt A zu. E1 A Ob1 E 2 A Ob 2 = konstant. Das Produkt E A Ob gibt den elektrischen Vektorfluß durch die Oberfläche an. Berechnung von E1 A Ob1 dA n ist ein Vektor, dessen Länge den Flächeninhalt angibt und der senkrecht zur Fläche gerichtet ist. E1 A Ob E1 A ni E1 dA i E1 A OB E1 dA=E 1 4 r 2 E1 A Ob = E1 4 r 2 = E1 A Ob = Q 4 r2 2 4 0 r Q in N m2/C = V m 0 Q 1 ist unabhängig von r (funktioniert nur wegen der 2 - Abhängigkeit im Cour 0 lomb- Gesetz). Der Term Gaußscher Satz der Elektrostatik: Der gesamte elektrische Fluß aus einer geschlossenen Fläche heraus (Fläche A) ist gleich der gesamten Ladung, die sich innerhalb der Fläche befindet, dividiert durch 0 . Q EdA in Vm 0 A Die Gesamtladung Q ist gleich der Summe der N Teilladungen qi => Seite 23 1 EdA 0 A N qi i 1 Ist die Ladung im Volumen V kontinuierlich verteilt, kann als Ladungsdichte Q Q definiert werden. V Es folgt: Q 1 EdA QdV 0 0 V A Q Q V QdV V 1 EdA Q dV in V m 0 V A E A N m2 V m As 0 EdA Q oder mit D = 0 E A D ist die sogenannte dielektrische Verschiebungsdichte. DdA Q in C 4.10 Zwischenbilanz Wichtige Beziehungen: Lorentzkraft: FL q v B oder FL I s B in N Coulombsches Gesetz: FC Verschiebungsarbeit: 1 Q q C2 2 s0 in N mit 0 8,85419 1012 4 0 s Nm2 FC N in E C q Wv FC d s qEd s in Nm elektrisches Potential: V elektrische Feldstärke: Wv in J V (Volt) As q V Ed s in J/C Q 4 0 s Potential: V elektrische Spannung: U V2 V1 V E s elektrische Feldstärke: V E s0 in N/C s in V = J/C Seite 24 Ladung ist auf Volumen verteilt q Q C in 3 (Ladungsdichte) m Ladung ist auf Fläche A verteilt q Q C in 2 (Flächenladungsdichte) A m Das Potential berechnet sich aus der Formel: Vs Q mit 4 0 s Q q dV bzw. Q q dA V Es folgt: (A: Fläche in m2, V 1 d q bzw. 4 0 s V 1 dA q 4 0 A s A : Volumen in m3) Der Beitrag eines kleinen Volumenelementes mit Ladungen zum elektrischen Gesamtfeld ist dann: 1 1 A q 2 es bzw. q 2 es 4 0 s 4 0 s Es folgt: E Elektrischer Fluß: 1 d 1 dA q 2 es bzw. E q 2 es 4 0 s 4 0 A s Q EdA in N m 2 N m m V m mit 0 C As A Q 1 QdV 0 0 V Seite 25 5 ANWENDUNG DER GESETZE DER ELEKTROSTATIK 5.1 Das elektrostatische Feld Ladungsschicht Die ebene Ladungsschicht sei unendlich ausgedehnt. E muß senkrecht auf der Ebene stehen und entgegengesetzt gleich sein. A1 und A2 sind Seitenflächen eines Volumens, das einen Teil der Flächenladung umgibt. E ist parallel zu allen anderen Flächen gerichtet. E hat nur x-Komponenten. Q E dA 0 El A l Er A r 2AE A rechts links Links: E L 2 0 5.2 Rechts: E R 2 0 Leiter im elektrostatischen Feld Aus dem glühelektrischen Effekt folgt: es gibt in Leitern frei bewegliche Ladungen, und zwar die negativ geladenen Elektronen. Die positiv geladenen Ionen sind unbeweglich. Kommt ein Leiter in ein Feld, bildet sich ein Gleichgewichtszustand, der dadurch gekennzeichnet ist, daß im Innern des Leiters E = 0 sein muß. Sonst würde es einen Strom geben (nicht statische Situation). Seite 26 Wegen des Gaußschen Satzes gilt: Q 0 EdA 0 A Im Innern gibt es keine Ladungen. Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche. Im Gleichgewicht stehen die Feldlinien senk recht auf der Leiteroberfläche. (Sonst würden Ladungen bewegt.). Da E senkrecht zur Oberfläche steht, ist die Wv (Arbeit) für eine Probeladung parallel zur Oberfläche gleich Null. Die Oberfläche ist Äquipotentialfläche. Q 0 E A n 0 A ges Q 0E An 0 q A ges q EA oder 0 q 0 A Leiter im Feld: ohne Leiter mit Leiter Es soll der Fluß berechnet werden (siehe folgende Abbildung) N EdA E A A i also E A A ges n 0 i 1 A Wegen 0 Q Q 0 E A n 0 q und wie zuvor: ergibt sich A 0 EA q 0 Seite 27 Feld einer geladenen Metallkugel mit den Radius (RK und q sind konstant): E Das Potential ist: Q Q 0 A K 0 4 R K2 V= Q 0 4 R K Q Q 2 0 A K 0 4R K V E RK Q V= 0 4R K E Es folgt: E: elektrisches Feld; V: elektrisches Potential Da nun einerseits die Leiteroberfläche gleiches Potential hat, andererseits RK nicht überall gleich zu sein braucht, folgt: Seite 28 5.3 Kondensator 5.3.1 Kapazität Ein Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt gleich geladenen Metallen. Die positive Arbeit WV (V wie Verschiebung), die man verrichten muß, um eine positive Ladung gegen das Feld zu bewegen, ist proportional zu Q. Damit ist auch U proportional zu Q, daraus folgt: Q=CU C ist eine Konstante und heißt Kapazität C Die Einheit Q As in U V As heißt Farad F V Die Oberflächen der beiden Metallkörper sind Äquipotentialflächen Die Verschiebungsarbeit ist unabhängig vom gewählten Weg (und U ist konstant). Die Kapazität C ist also nur von der geometrischen Anordnung abhängig. Spezialfall Plattenkondensator: Seite 29 d: Plattenabstand in m. Außerhalb der Platten heben sich die Felder auf! (Superposition bzw. Überlagerung). Für eine Platte gilt (s. 5.1) q 2 0 q 1 Q Eges q 0 0 A E2 2 0 E1 W12 qE ( s ) q q qE d ( s2 s1 ) s d U q U V2 V1 U E d in V U 1 Q d d Q 0 A 0 A U Q A mit C 0 in F C d Es folgt: Falls zwischen die Platten ein sogenanntes Dielektrikum (Isolator) geschoben wird, kann die Spannung um den Faktor r erhöht werden. r heißt relative Dielektrizitätskonstante und ist dimensionslos. Falls ein Dielektrikum eine Rolle spielt, ist in allen Formel 0 durch 0r zu A ersetzen also z.B. C 0 r . d Die Kapazität C wird in Farad F gemessen. A: Kondensatorfläche; d: Plattenabstand 5.3.2 Schaltungen mit Kondensatoren Ein Kondensator wird durch eine Spannungsquelle aufgeladen. U C Q C U bzw. C 5.3.2a Q Q bzw. U U C Parallelschaltung U Q gesamt Q1 Q 2 Die Spannung U ist an beiden Kondensatoren gleich => Seite 30 Q Q1 Q 2 U U U Cgesamt C1 C2 5.3.2.b Serienschaltung In diesem Fall sind die Ladungen gleich => Q Q Q und C1 C2 Cges U U1 U 2 1 1 1 . Cges C1 C2 5.3.3 Energie im Kondensator Ist ein Kondensator zum Teil aufgeladen, gilt: U q in J/C C Um dazu noch eine weitere Ladung dq aus dem Unendlichen auf den Leiter zu bringen, ist die Verschiebungsarbeit dWv Udq q dq in J C notwendig. Um die Ladung Q auf die Kondensatorplatten zu bringen, ist die Gesamtarbeit Wv notwendig: q 1 Q2 1 1 dq CU 2 QU 2 C 2 2 0C Q Wv (Q) Nun ist U = E d und C = 0 WV A : d 1 A 1 0 E 2d 2 0 E 2 VPl mit Vpl = A d 2 d 2 Vpl ist das Volumen des Plattenkondensators. Als Energiedichte ergibt sich: WV 1 0E2 VPl 2 Seite 31 5.4 Gradient des elektrischen Potentials U V V2 V1 E s in V E V s Der Vektor E ist dreidimensional zu behandeln (I) V E s E x i E y j E z k s x i s y j s z k V E x x E y y E z z mit x s x , y s y und z s z Nun ist das Potential V eine skalare Funktion des Ortes rx, y, z und damit V = V(x,y,z) Läßt man y und z konstant und ändert man x um x , so gelangt man zum Ort (x+x, y, z). Vx Vx x, y, z Vx, y, z Ex x Es folgt: Ex Vx, k 1 , k 2 V x x Ey V V und E y y y Analog folgt: In Gleichung (I) eingesetzt folgt: V V V V i j k x i y j zk y z x Die erste Klammer kann man aber auch wie folgt schreiben: tor Nabla: 5.5 i j k V grad V . Den Klammerausdruck nennt man Veky z x i j k . Dann ist: y z x E grad V V Influenz In 5.2 wurde festgestellt, daß das Innere eines Leiters feldfrei ist. Bringt man einen Leiter in ein E Feld, bilden sich Influenzladungen. Das Feld der Influenzladung ist entgegengesetzt gleich Im Innern gibt es kein Feld. Bringt man eine positive Punktladung in die Nähe einer Metallplatte, so bildet sich ein Feld. Seite 32 Dies ist ein Halbfeld des Dipols. Man kann in die Ebene V = 0 eine Metallplatte bringen, ohne das Feld zu ändern. Andererseits ist das Feld zwischen Ladung Q und Metallplatte richtig beschrieben, wenn man eine Bildladung im Abstand a hinter der Metallplatte annimmt. Die Kraft F dieser Bildladung wird Bildkraft genannt. F q2 1 2 e a in N 4 0 4a Auf der Platte sitzen Ladungen, deren Summe = q ist. q q dA A 5.6 Dielektrika im elektrischen Feld 5.6.1 Elektrische Polarisation Man betrachtet Isolatoren (Dielektrika). im elektrischen Feld ( E Feld). Verschiebungspolarisation: Ein äußeres E Feld verschiebt bei an sich neutralen Atomen oder Molekülen die Ladungs- Seite 33 schwerpunkte der positiven und negativen Ladung gegeneinander. Es entsteht ein induziertes elektrisches Dipolmoment in Richtung von E . Orientierungspolarisation: Moleküle haben von sich aus ein Dipolmoment wie z.B. H2O. Diese Dipolmomente werden ausgerichtet. In beiden Fällen versteht man unter elektrischer Polarisation P (Polarisationsvektor) einer Substanz das Verhältnis des gesamten Dipolmomentes p V des Volumens V pro V. pV wobei p V die Summe aller Dipolmomente pi der einzelnen Moleküle ist. P V 5.6.2 Verschiebungspolarisation Durch ein äußeres Feld werden Dipolmomente induziert. Für jedes einzelne Dipolmoment, das induziert wird, gilt: p prop. 0 E p 0 E : p: E: atomare Polarisierbarkeit in m3 induziertes Dipolmoment in Cm elektrische Feldstärke in N/C C2 Nm2 0 8,85419 1012 Atomare Polarisierbarkeit einiger Elemente Element H -24 3 in 10 cm 0,66 He 0,21 Li 12 Be 9,3 C 111,5 Ne 0,4 Na 27 Im elektrischen Feld werden positive und negative Ladungen um eine Strecke a getrennt (s. Abschnitt 5.9). Im Kondensator eingebracht bilden sich im Innern des Dielektrikums Dipolketten. Die Ladungen kompensieren sich gegenseitig bis auf die an den Kettenenden auf der Oberfläche Q des Dielektrikums entstehen Oberflächenladungen q in C/m2. A n Dipolmomente N Volumen V Q Nq nV q q pD: q: n: D: Q V AD nq nq n q D n pD A A A Dipolmoment in Cm Ladungen/Fläche in C/m2 Anzahl/Volumen in 1/m3 Dicke des Dielektrikums in m Seite 34 a a D Aus der Flächenladungsdichte q ergibt sich für den Isolator ein gesamtes Dipolmoment = gesamte Oberflächenladungen Dicke, also: p V q A D Für die Polarisation folgt: p V q A D q in C/m2 V V P Man hätte auch wie folgt argumentieren können: Das Dielektrikum läßt sich in D/a Schichten zerlegen ( a: Dipolabstand). In jeder Schicht sind N Dipole. Alle Dipole im Volumen sind demnach: pV D D Np Nqa a a Für die Polarisation folgt: P pV D N q N q q V V A Aus den Überlegungen folgt: P = q also elektrische Polarisation = Oberflächenladung. Die Polarisation ist außer bei Elektreten proportional zu E P 0 e E Wegen p 0 E ist P Np/V n p n 0 E . Zwischen dielektrische Suzeptibilität e und Polarisierbarkeit besteht also der einfache Zusammenhang: n = e N: Anzahl aller Dipolmomente V: Volumen in m3 n: Anzahl der Dipolmomente pro Volumen in 1/m3 P: Elektrische Polarisation in C/m2 e: dielektrische Suszeptibilität (ohne Dimension). Das elektrische Feld wird durch ein Dielektrikum beeinflußt. Es gilt: E = E0 - E p Seite 35 Ep: Feld der Polarisationsladungen (gebundene Ladungen) E0: Feld ohne Dielektrikum E0 k: q: k 0 Oberflächenladung des Kondensators Oberflächenladung des Dielektrikums E k q k e E 0 0 0 k E eE E(1 e ) 0 k 0 E(1 e ) Mit 1 r 0 (1 e ) 0 r Im Folgenden steht als Abkürzung für das Produkt 0 r steht. k E Q U A d Q CU mit C A d Material r Wasser, flüssig, 1bar, 293K Nitrobenzol, flüssig, 293 K Wasser, gasf., 1bar, 383 K Luft, gasf., 273 K Glas, 293 K Hartgummi, 293 K Keramik, 293 K Porzellan, 293 K Paraffin, 293 K SrTiO3 , 10 K 81 37 1,0126 1,00059 5-10 2,5-3,5 10-104 4 2,1 12000 Die Angaben schwanken in der Literatur stark. 5.6.3 Orientierungspolarisation -10 Im Molekül gibt es permanente Dipole. Z.B. im HCl-Molekül ist das H-Atom um 0,2·10 m gegen das Cl-Atom verschoben. Daraus resultiert ein permanentes Dipolmoment, das vier Größenordnungen über dem induzierten Dipolmoment liegt. Die Theorie sagt aus, daß Verschiebungspolarisation sich nicht mit der Temperatur ändert, während Orientierungspolarisation geändert (wegen der Wärmebewegung der Dipole!) wird. Wasser hat eine große Dielektrizitätskonstanten H 2O . Wirken Wassermoleküle auf z. B. NaCl ein, wird die Feldstärke vermindert und damit die anziehende Kraft zwischen Na und Cl. Dies nennt man Dissoziationsvermögen des Wassers. U U U F qE oder F q q V wegen U V d d Seite 36 Uv: U: 5.7 Spannung ohne Wasser Spannung mit Wasser in V Piezoelektrischer Effekt Deformiert man Kristalle mit einer sogenannten polaren Achse, so wird er "polarisiert". D.h. durch Krafteinwirkung treten im Kristall Dipolmomente auf, die an der Oberfläche Ladungen bedingen. Legt man an einem Kristall Metallplatten an, kann man diese Ladungen bzw. Spannungen messen. Umgekehrt legt man Spannungen an, so bewirkt man Deformationen (Quarzuhrprinzip). 5.8 Das elektrische Feld im Innern einer homogen geladenen Kugel Die geladene Kugel hat den Radius R0. Man berechnet nun den elektrischen Fluß durch eine Kugelschale im Innern der Kugel. Dabei ist s der Abstand der Kugelschale vom Mittelpunkt. : 0 : R0 s: dV: q: Fluß in N m2/C -12 elektrische Feldkonstante in C /(N m2) (Wert = 8,85419 10 ) Radius der geladenen Kugel in m Abstand in m Volumenelement einer Kugel im Abstand s in m3 Ladungsdichte der Kugel in C/m3 dV 4s 2 ds 3Q q 4R 03 EA 1 q dV 0 1 3Q 4s 2 ds 3 0 4R 0 EA E4s 2 3Q 3Q 3 s s 2 ds s 3 0 R0 3 0 R 03 0 Qs 3 0 R 03 Seite 37 EAE4s 2 E Qs 3 Qs 3 3 3 R 0 4 0 s R 0 4 0 An einer Stelle im Innern der homogen geladenen Kugel im Abstand s vom Mittelpunkt hat die Feldstärke E den errechneten Wert. Ein äußeres Feld würde die Homogenität der Ladungsverteilung innerhalb der Kugel solange stören bis sich ein Gleichgewicht zwischen äußerem Feld und Kugelfeld einstellt. Dies sei bei einer Feldstärke, die der beim Abstand s entspricht. Man könnte sagen, daß durch das äußere Feld ein Dipol p entstanden ist. Es würde dann gelten: p Q s p R 03 4 0 E 5.9 Das elektrische Feld im Plattenkondensator mit Dielektrikum An einen Plattenkondensator ist die Spannung U gelegt. Ohne Dielektrikum gilt: Q=CU Mit einem Dielektrikum gilt: Q = r C Ur Ur = U/r also auch Er = E/r Die Spannung Ur ist kleiner geworden. Wenn man die Spannung wieder auf den Wert U bringt (mit Dielektrikum), erhöht sich die Ladung auf den neuen Wert: Q r = r Q Man kann also Qr - Q mehr Ladungen auf die Platten bringen. Die dazu nötige Energie wird von der Spannungsquelle geliefert: W = Q U = U (Qr - Q) = U Q (r -1) Die Energiedichte im Kondensator nimmt zu. Ohne Dielektrikum ist die Energiedichte (s. Abschnitt 5.4): WV 1 0E2 VPl 2 Mit Dielektrikum (Spannung U in beiden Fällen gleich groß): WV 1 0 r E2 VPl 2 Wenn man die Differenz ausrechnet, ergibt sich nur 0,5QU, also nur die Hälfte der hineingesteckten Arbeit. In das Feld wurde zusätzlich die Energie Wf =0,5 Q U = ½ W gespeichert. Man kann vermuten, daß der Rest in mechanische Arbeit Wm umgewandelt worden ist. Man beobachtet, daß dielektrische Flüssigkeiten, in die ein Kondensator senkrecht eingetaucht ist, innerhalb des Kondensators um die Höhe h angehoben werden. Dann sollte: Seite 38 W = Wf + Wm sein. Wobei Wm = m g h ist. Die Höhe h, um die die Flüssigkeit angehoben wird, läßt sich ausrechnen. h = (U2 0 (r-1))/(2 g d2 ) (Skript Bormann p 73) Seite 39 6. GLEICHSTROMKREISE Stromerzeugung wird erst später behandelt! Zunächst ist nur der Bandgenerator als Spannungsquelle bekannt. 6.1 Stromdichte Unter Stromdichte G versteht man die Ladungsmenge Q, die pro Zeit senkrecht durch eine Fläche A (Querschnittsfläche) ( A 0 ist der Vektor der Flächennormalen mit der Länge 1) fließt. Q A G A 0 in tA m2 Wegen Q I t folgt: I G e0 A e0 A0 ist der Einheitsvektor in Richtung der Flächennormale. Die Stromdichte ist im Gegensatz zu I ein Vektor. Wenn n die Anzahl N aller Ladungen pro Volumen V=AL ist (n in 1 , A: Fläche in m2, L: Länge in m) und alle N Ladungen die gleiche Geschwindigkeit v 3 m haben, fließen n q v Ladungen pro Sekunde durch die Querschnittsfläche A 1 m A n q v G . Dimensionsprobe: 3 C 2 s m m N N I G A nq v A q v A (wegen n ) AL AL v I N q L0 L Wenn nicht alle Ladungen gleich schnell fließen, führt man eine mittlere Geschwindigkeit v ein. G n q v ; wobei v Driftgeschwindigkeit heißt. 6.2 Elektrische Widerstände 6.2.1 Das Ohmsche Gesetz Das Ohmsche Gesetz gilt vor allem für metallische Leiter. Es zeigt sich, daß die Spannung U proportional zur Stromstärke I ist. Die Proportionalitätskonstante heißt elektrischer Widerstand R: U R I mit R in V (Ohm) A Man stellt fest, daß R proportional zur Leiterlänge L und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Leiter A ist: R L mit in m A Seite 40 heißt spezifischer Widerstand. hängt vom Material und der Temperatur ab. Unter Leitfähigkeit versteht man den Kehrwert von : 1 in 1/ Außerdem gilt: I=A G ; und U=E d L U = R I = I = LG A Ed=L G E= G G = E Für das Ohmsche Gesetz gibt es zwei gleichwertige Formulierungen: G = E oder U = R I Daraus ergibt sich auch: I= GA Falls I nicht durch alle Flächenelemente mit gleicher Stärke fließt, muß integriert werden: I= dA G A in cm bei Raumtemperatur: Silber 2 10 -6 Kupfer 2 10 -6 Aluminium 3 10 -6 Messung 5 10 -6 Konstantan 50 10 -6 Graphit 1300 10 -6 Bernstein 10 20 Glas 1013 - 1017 NaCl - Lösung Silizium 10 2 10 5 Kennlinie Wie kommt so ein glatter Verlauf zustande? Im E -Feld werden geladene Teilchen beschleu nigt. m a q E . Man stellt sich vor, daß im Leiter die Elektronen mit den Atomen zusammenstoßen und dabei ihre Energie wieder verlieren und so im Mittel nicht schneller werden. Unmittelbar vor dem nächsten Stoß haben sie eine maximale Geschwindigkeit. q v m a t E t m 1 q v m E t 2 m Seite 41 wo v m die mittlere Geschwindigkeit ist. 1 q2 I q n A v n E A t 2 m I 1 q2 G A 0 n E t A 2 m Nimmt man an, daß es auch eine mittlere Stoßzeit = t gibt, folgt: 1 q2 n t konst 2 m 1 q2 G = E mit = n t 2 m 1 Ekin mv m2 2 Diese Energie kann übertragen werden. vm Ekin q E t m 1 q2 2 2 1 q2 2 2 m 2 E t E t W 2 m 2m Im Volumen A L sind N = n A L Teilchen => während der Zeit wird die Energie N Ekin übertragen: nAL 1 q2 2 2 1 q2 E t ( n t ) (E2 tA L) (E A) (E L) t 2 m2 2m W I U t Leistung = N Arbeit N Zeit W U2 U I R I2 in W (Watt) t R Dies nennt man Ohmsche Heizleistung (Wärmewirkung des Stroms). Das Ohmsche Gesetz gilt nur in bestimmten stoffabhängigen Grenzen. Widerstände sind im allgemeinen temperaturabhängig. R T R 0 1 T T1: Sprungtemperatur; wenn T<T1 => Supraleitung. Bei einigen Stoffen (Edelgase) ist: 1 in K-1 273 Seite 42 6.2.2 Weitere Widerstände Halbleiter U VDR-Widerstände: Voltage Dependent Resistor Das Ohmsche Gesetz beschreibt eigentlich nur den Sonderfall der ohmschen Widerstände. Die meisten Stoffe haben ein nicht ohmsches Widerstandsverhalten. PTC-Widerstände: Positiver Temperatur Coeffizient Bei Metallen nimmt die Schwingung der Atome mit steigender Temperatur zu. Dadurch wird die gerichtete Strömung der freien Metallelektronen mehr gehindert. R wird größer. Bei Halbleitern besonderer Art kann die Temperaturabhängigkeit exponentiell sein PTC Bei Isolatoren ist R zunächst sehr groß. Bei Erwärmung entstehen freie Elektronen Widerstand wird klein (NTC). Außerdem gibt es LDR-Widerstände: Lichtempfindliche Widerstände T NTC-Widerstände: Negativer Temperatur Koeffizient Seite 43 6.2.3 Potentiometer: W W1 W2 qU qU 1 qU 2 U U1 U2 R gesI R 1I R 2 I R ges R 1 R 2 L AB und x AX U x AX x U AB L 6.3 Kirchhoffsche Regeln mit Anwendungen 6.3.1 Kirchhoff 1. Die Summe aller Ströme an einem Knotenpunkt ist Null. Dabei erhalten zufließende Ströme ein +-Zeichen, abfließende ein -Zeichen. I 2. K 0 Die Summe aller Teilspannungen in einem Stromkreis ist gleich der angelegten Spannung.(Maschenregel). U K 0 RKIK Seite 44 6.3.1a Parallelschaltung von Widerständen I ges I 1 I 2 U U U R 1 R 2 R ges 1 1 1 R ges R 1 R 2 6.3.1b Reihenschaltung von Widerständen U U1 U 2 R1I R 2I R gesI R ges R1 R 2 6.3.2 Wheatstonesche Brücke Man kann den Kontakt bei Punkt D solange verschieben bis der Strom (s. Abbildung) über das Amperemeter IA = 0 ist, es folgt: UCD = 0 => UAC=UAC und UCB=UDB , d.h.: RI1 RxI1 und R1I 2 R 2I 2 Seite 45 und damit RI1 RI x 1 R1I 2 R 2I 2 Rx R 2R R1 Wenn die spezifischen Widerstände 1 = 2 und die Querschnittsflächen A1 = A2 der Widerstände R1 und R2 gleich sind, => R l2 R1 l1 Rx l1 R2 l2 6.3.3 Amperemeter I I Der Gesamtstrom, der fließt, sei I. Über den Shunt soll der Strom I2 und über das Meßwerk I1 fließen. I U Ra RI I I1 I 2 Ist R I R a I U Ra U AB R n I 2 R RnI 2 I 2 mit R n I I1 n U AB R I I1 RI n I I1 I 2 I2 I I 1 1 n I2 I2 n I2 1 I2 I2 1 n n und I 1 I I 2 I I I2 1 I2 n I 1 1 n n I2 I I2 Seite 46 z.B.: Ein Amperemeter zeigt Vollausschlag, wenn IA=1 mA =I1 ist. Soll der Gesamtstrom I R =10 mA gemessen werden können, so wird ein "Shunt" parallel geschaltet mit R n I . n Über den Shunt sollen also 9 mA = I2 fließen. n I2 9 mA 9 I I 2 10 mA 9 mA Rn 6.3.4 RI 9 Spannungsmessung RI U R I I1 R a I 2 I1 Ra I2 RI Wenn R I R a I1 sehr klein und I 2 I . R V R a RI Wenn der Meßbereich erweitert werden soll, muß dem Innenwiderstand ein Widerstand vorgeschaltet weren. R v R I I 1 R a I 2 R v R i I 1 R I I1 U UI Soll der Meßbereich verzehnfacht werden, so muß Rv + RI = 10 RI sein => Rv = 9 RI . Seite 47 6.3.5 Bestimmung des Wertes eines Widerstandes Bei dieser Schaltung wird der Strom Ix falsch gemessen, da das Amperemeter den Gesamtstrom I mißt (Stromfehlerschaltung). U U U x x R x x I U II x v I x R v I Rx Ux Rx Ux Rv I 1 1 Ux R v Rx Wenn Rx << Rv folgt: also I 1 1 Ux R v Rx I 1 Ux Rx In dieser Schaltung mißt das Voltmeter die Gesamtspannung und daher den Spannungsabfall Ux über den unbekannten Widerstand Rx falsch (Spannungsfehlerschaltung). Rx Ux Ux UA Ix Ix U Rx RA Ix Wenn nun Rx >> Ra ist, folgt: da Rx R AI x UA U Ix Seite 48 6.3.6 RC- Glied 6.3.1a Entladung: U C U R 0 U C U R Q UC = und UR I R C Q dQ I R R C dt dQ UC R mit Q C U C dt dU C UC = R C dt Trennung der Variablen UC und t (mathematisches Verfahren): dU C 1 dt UC RC ln U C t konst RC Zur Zeit t = 0 soll UC = U0 sein => die Integrationskonstante konst = ln U0 U t ln C U0 RC 6.3.1b t UC e RC U0 UC U0 e Aufladung U 0 UC U R UC I R U0 UC dU C dQ R C R dt dt dU C dt U 0 U C RC ln U 0 U C t b RC t RC Seite 49 Zur Zeit t = soll UC = 0 sein => b = -ln U0 ln U 0 U C t ln U 0 also RC t U0 e RC U 0 UC Es folgt: t U C U 0 1 e RC U0 t ln U 0 UC RC