¨Uber Kleines und Großes in Mathematik und Informatik

Über Kleines und Großes in
Mathematik und Informatik
Thomas Risse
Institut für Informatik & Automation, IIA
FB E&I, Hochschule Bremen, HSB
• kleine und große (natürliche) Zahlen
• auf das Größenverhältnis kommt es an
• (Wachstum von) Aufwand messen
• Je mehr Prozessoren desto mehr Leistung?
• das Große im Kleinen, das Kleine im Großen
• geht’s noch größer? . . .
c [email protected]
24. Oktober 2006
Einführungsveranstaltung
Th. Risse, HSB – Kleines und Großes
1. zum Hintergrund
disclaimer
• subjektiv, Schlaglicht-artig, assoziativ, . . .
mein Hintergrund
• Mathematik, Computer-Architektur, Kryptographie,
generative Computer-Graphik, digitale Bildverarbeitung . . .
Ihr Hintergrund
• Interesse an Informatik, Mathematik-Vorbereitungskurs . . .
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Th. Risse, HSB – Kleines und Großes
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2. Zählen
1,2,3, ... N = {1, 2, 3, . . .}, Pythagoräer, GF(2)
• 0-dimensional:
1-dimensional:
2-dimensional:
3-dimensional:
Punkte
Strecken, Kurven
Ebenen, Flächen
Körper im Raum, Volumina
• 4-dimensional: Objekte im Raum-Zeit-Kontinuum (Cinema4D)
• 10 Finger
• M = {e1 , e2 , . . . , en } ⇒ Kardinalität card(M ) = n
Die Menge P(M ) aller Teilmengen einer Menge M heißt PotenzMenge von M . Es gilt
card P(M ) = 2card(M )
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3. große Zahlen
• mit 16 bit kann man die 216 = 65536 natürlichen Zahlen
0, 1, 2, . . . , 216 − 1 = 65535 darstellen
• mit 32 bit kann man die 232 natürlichen Zahlen
0, 1, 2, . . . , 232 − 1 = 4(210 )3 − 1 > 4(103 )3 = 4 · 109 darstellen
• Schulden des Landes Bremen z.Zt. ca 13 Mrd e = 13 · 109 e,
s. Schulden-Uhr, laut WK angeblich +33 e/sec ???
• Schulden des Bundes z.Zt. ca 1.5 Billionen e = 1.5 · 1012 e
www.bundesbank.de/ .. zeitreihen .. bu1131,
www.steuerzahler.de,
www.susannealbers.de/schulden-seite.html )
• Anzahl der Atome eines Menschen 7 · 1027 , der Erde 6 · 1049 ,
der Sonne 1057 , der Milchstrasse 1068 , des Universums 1078
• gibt es größere natürliche Zahlen als n ?
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4. kleine (und große) Zahlen
0 < 1, −1 < 0 usw. Z = {0, ±1, ±2, . . .}
Wie steht’s mit kleinen positiven Zahlen? Q = {Brüche}
• Rechner können (normalerweise) nur Brüche darstellen:
nämlich als Gleitpunkt-Zahlen:
Mantisse × BasisExponent
• numerische Überraschungen:
es gibt , a, b, c mit
1+=1
(a + b) + c 6= a + (b + c)
angenommen Mantisse = x.yz mit x 6= 0
a = 1.00 × 100 = 1
b = 5.00 × 10−3
5.00 × 10−3
1.00
+5.00 × 10−3
+0.005
1.005=1.00
ˆ
10.00 × 10−3 =0.01
ˆ
c = 5.00 × 10−3
1.00
+0.01
1.01
hier kommt’s also auf das Verhältnis von groß zu klein an . . .
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5. (Wachstum von) Aufwand messen
Wie aufwändig ist ein bestimmtes Verfahren?
(Das Aufwandsmaß soll unabhängig vom eingesetzten Rechner sein!)
Z.B. Sortieren von Objekten ihrer Größe nach
Personen, Skat-Karten, Telefon-Buch, invertiertes Telefon-Buch
Der Aufwand hängt ab von der Anzahl n der zu sortierenden Objekte.
• naives Verfahren: Aufwand ist proportional zu n2
• bessere Verfahren: Aufwand ist proportional zu n log n
für z.B. n = 1000
viele weitere Beispiele:
• Strassen- n2.8 ≈ nld 7 statt n3 für naive Matrix-Multiplikation
• FFT in der Nachrichten-Technik, Bildverarbeitung etc.
• Algorithmen zum Knacken z.B. der RSA-Verschlüsselung
c
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6. Wieviele Prozessoren?
• dual/multiple core wird gerade Mode: p = 2, 4
• 1980: DAP (Distributed Array Processor), ICL: p = 64 × 64
• top of top500: IBM Blue Gene/L: p = 216 × 2 = 131072
Was ist zu erwarten, wenn p Prozessoren zur Lösung eines Problems
zur Verfügung stehen?
Laufzeit für Monoprozessor
Beschleunigungsfaktor β =
≤p
Laufzeit für Multiprozessor
Z.B. p = 2m Prozessoren (Pi )i=0,1,...,p−1 stehen zur Verfügung,
um p = 2m Zahlen (ai )i=0,1,...,p−1 aufzusummieren:
1. Runde: P2i berechnet Zwischensumme s2i = a2i + a2i+1
2. Runde: P4i berechnet Zwischensumme s4i = s4i + s4i+2
usw.
β = (p − 1)/ldp = (2m − 1)/m < p = 2m
c
linear speed up wird i.A. nicht erreicht!
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7. das Große im Kleinen, das Kleine im Großen
Granat
Fluorit
Farn
Farn
• Silhouette einer Linde sieht aus wie ein Linden-Blatt.
• Basalt-Säulen sehen aus wie Basalt-Kristalle.
• Wolken sehen im Großen aus wie im Kleinen . . .
Benoit Mandelbrot: Die Natur ist fraktal!
• Erzeugung von ’natürlich aussehenden Objekten’ (Bäume, Berge, Seen, . . . ), fraktale Kompression
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8. Größer geht’s nimmer?
card(2N) < card(N) < card(Z) inuitiv vermutet – leider zu Unrecht
• ins vollbesetzte Hilbert-Hotel passt immer noch ein weiterer Gast
• ins vollbesetzte Hilbert-Hotel passen immer noch n weitere Gäste
• ins vollbesetzte Hilbert-Hotel passen immer noch ∞ weitere Gäste
card(2N) = card(N) = card(Z)
Georg Cantor: card(N) = card(Q)
Es gilt card(P(M )) > card(M ) auch für ’unendliche Mengen’: Angenommen f : M → P(M ) surjektiv. Sei T = {m ∈ M : m 6∈ f (m)}.
Laut Voraussetzung gibt es mo mit T = f (mo ). Dann gilt mo ∈ T =
f (mo ) ⇐⇒ mo 6∈ f (mo ) Widerspruch!
1 falls n ∈ T
N ⊃ T ↔ (an )n mit an =
↔ x = 0.a1 a2 a3 . . . ∈
0 falls n 6∈ T
[0, 1] ⊂ R folgt R ⊃ P(N) also card(R) ≥ card P(N) > card(N).