HM1 WS 2004/05 Blatt 1 - Höhere Mathematik an der TUM
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Technische Universität München Zentrum Mathematik WS 2004/05 Blatt 1 Prof. Dr. G. Kemper Dr. F. Himstedt Höhere Mathematik 1 für Informatiker Hausaufgaben (Abgabetermin: Donnerstag 28.10.2004, 8:30 Uhr) H 1 Formeln (ca. 7 Punkte) Drücken Sie die folgenden umgangssprachlichen Sätze mit Hilfe der Zeichen ∀, ∃, =⇒, ⇐⇒, und “, oder “, nicht “und gängigen weiteren mathematischen Symbolen wie ” ” ” z.B. +, ·, N, Z, . . . aus. Negieren Sie außerdem die Aussagen (e), (f), (g). (a) Zu allen natürlichen Zahlen x und y gibt es eine natürliche Zahl z mit x + y = z. (b) Jede ganze Zahl ist gerade oder ungerade. (c) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y und umgekehrt. (d) Kein x ist kleiner als y. (e) n ist eine Primzahl. (f) Es gilt x + z < y + z, falls x < y und x, y, z beliebige natürliche Zahlen sind. (g) Es gibt genau eine Lösung x ∈ N der Gleichung x2 = 1. H 2 Ein paar Aussagen (ca. 7 Punkte) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (Begründungen brauchen Sie nicht anzugeben.) (a) (∃a ∈ R : a14 − 9a = 5) oder (∀b ∈ R : b14 − 9b 6= 5). (b) (∃a ∈ Z : a12 + 8a = 3) und (∃b ∈ Z : b2 + 2 = 0). (c) ∀x : (x ∈ x oder x 6∈ x). (d) ∀a, b ∈ N ∃c ∈ N : a ≤ c − b. (e) ∀a ∈ Z : (a2 = −1 =⇒ (a = 1 oder a = −1)). (f) ∀a, b ∈ R : (a < b =⇒ ∃c ∈ R : a < c < b). (g) ∀a, b ∈ N : (a < b =⇒ ∃c ∈ R : a < c < b). H 3 Das Extensionalitätsaxiom (ca. 3 Punkte) Prüfen Sie nach, ob in den folgenden Beispielen das Extensionalitätsaxiom gilt. Was bedeutet =“ in diesen Beispielen (vgl. Def. 1 und die anschließenden Beispiele aus der ” Vorlesung)? (a) Die Objekte seien 10 Schiffbrüchige, die auf einer einsamen Insel gestrandet sind, und es gelte S ∈ T genau dann, wenn der Schiffbrüchige S den Schiffbrüchigen T rasiert. (Wir setzen voraus, dass die Schiffbrüchigen kein Rasierzeug dabei haben und sich somit weder selbst noch gegenseitig rasieren können.) (b) Die Objekte seien Asterix, Obelix und Idefix, und die ∈–Beziehung sei: ist der ” Hund von“. Also ist Idefix ∈ Obelix und sonst ist keiner der drei der Hund von irgend jemandem. H 4 Ist doch logisch, oder? (ca. 3 Punkte) Geheimrat Gelb, Frau Blau, Herr Grün und Oberst Schwarz werden eines Mordes verdächtigt. Genau einer bzw. eine von ihnen hat den Mord begangen. Da das Opfer erwürgt wurde, ist davon auszugehen, dass das Opfer und der Täter bzw. die Täterin sich zur Tatzeit im gleichen Raum aufgehalten haben. Beim Verhör sagen die Verdächtigen Folgendes aus: Geheimrat Gelb: Ich war es nicht. Der Mord ist im Salon passiert. Frau Blau: Ich war es nicht. Ich war zur Tatzeit mit Oberst Schwarz zusammen in einem Raum. Herr Grün: Ich war es nicht. Frau Blau, Geheimrat Gelb und ich waren zur Tatzeit nicht im Salon. Oberst Schwarz: Ich war es nicht. Aber Geheimrat Gelb war zur Tatzeit im Salon. Unter der Annahme, dass die Unschuldigen die Wahrheit gesagt haben, finde man den Täter bzw. die Täterin. (Hinweis: Diese Aufgabe hat nichts mit Mengenlehre zu tun.) Informationen zur Organisation der Übung Hausaufgaben: Sie erhalten jeden Donnerstag ein Aufgabenblatt. Die mit einem Z gekennzeichneten Aufgaben werden in der Zentralübung besprochen, die mit einem H gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben - diese sollten jeweils zum nächsten Donnerstag von Ihnen gelöst und bis 8:30 Uhr abgegeben werden. Ihre Lösungsvorschläge zu den Hausaufgaben können Sie in den Briefkästen im Kellergeschoss des Gebäudes FMI (Boltzmannstraße 3, Fakultäten Mathematik und Informatik) neben dem Raum -1.1.33A (d.h. gegenüber den Spinten mit den Nummern 71-94) abgeben. Sie sollten zur Lösung der Hausaufgaben Arbeitsgemeinschaften bilden. Für die Abgabe der Ausarbeitungen gilt dabei: Bis zu drei Personen können gemeinsam abgeben. Geben Sie bitte Ihre Hausaufgaben in einem DIN-A4-Schnellhefter ab, auf dem deutlich lesbar Ihr Name, Ihre Matrikelnummer sowie Nummer und Tutor der Übungsgruppe stehen, in der Ihr Schnellhefter zurückgegeben werden soll. Verwenden Sie hierzu bitte das Deckblatt, das Sie von http://www-hm.ma.tum.de/ws0405/in1/haus.html herunterladen können. Sollten Sie zu mehreren abgeben, vergessen Sie bitte nicht, alle Namen, Matrikelnummern und Gruppennummern der Beteiligten auf dem Deckblatt einzutragen. Die korrigierten Hausaufgaben erhalten Sie in den Tutorgruppen zurück. Wegen der großen Anzahl von Teilnehmern an der Veranstaltung bitten wir darum, von Anfragen per E-Mail abzusehen. Wir haben für Sie ein Forum für Diskussionen zwischen Teilnehmern, Tutoren und Veranstaltern unter http://www-hm.ma.tum.de/ws0405/in1/ eingerichtet. Unter dieser URL stellen wir Ihnen zahlreiche weitere Informationen zu dieser Vorlesung zur Verfügung.
