¨Ubungsblatt 6

Termersetzungsysteme
SS 2014
Übungsblatt 6
Abgabe der Lösungen: 4.06.2014
Aufgabe 1
Aussagenlogische Formeln
(5 Punkte)
Betrachten Sie das folgende TES hΣ, Ri über Σ = {> : 0 → 1, ⊥ : 0 → 1, ∧ : 2 → 1, ∨ : 2 →
1, ¬ : 1 → 1}:
¬> →
¬(x ∧ y) →
>∧y →
x∧>→
⊥∧y →
x∧⊥→
x∨y →
⊥
(¬y) ∨ (¬x)
y
x
⊥
⊥
¬(¬x ∧ ¬y)
¬⊥ →
¬(x ∨ y) →
⊥∨y →
x∨⊥→
>∨y →
x∨>→
¬¬x →
>
(¬x) ∧ (¬y)
y
x
>
>
x
Beweisen Sie, dass hΣ, Ri konvergent (also (SN) und (CR)) ist.
Aufgabe 2
1-Bit-Speicher
(8 Punkte)
Die folgende Spezifikation hΣ, Ei über Σ = {? : 2 → 1, !0 : 1 → 1, !1 : 1 → 1} formalisiert
Berechnungen über einem 1-Bit-Speicher:
x?x ≈
!0 (x?y) ≈
!1 (x?y) ≈
(!0 (x)?!1 (y)) ≈
!0 (!1 (x)) ≈
!1 (!0 (x)) ≈
x
!0 (x)
!1 (y)
x?y
!1 (x)
!0 (x)
1. Erstellen Sie ein konvergentes TES (Σ, R), so dass ≈E = (↔R )∗ (Konvergenz muss bewiesen
werden!)
2. Beweisen Sie, dass die Gleichungen
!0 (!0 (x)?y) ≈ !0 (x),
!1 (!0 (x)?!1 (y)) ≈ !1 (y),
(x?y)?(z?v) ≈ x?v,
(x† )† ≈ x
aus E folgen, indem sie Normalformen beiden Seiten der Gleichungen berechnen und vergleichen.
Dabei ist t† Abkürzung für !1 (x)?!0 (x).
3. Beweisen Sie, dass E ` !0 (x) ≈ !1 (x) nicht gilt.
Hinweis: Konstruieren Sie die Ersetzungsregeln so, dass sie genau die folgenden Normalformen
induzieren: x, x?z, !0 (x), !1 (x), !1 (x)?y, x?!1 (y), !1 (x)?!0 (y), wobei x, y, z ∈ Vars und x 6= z.
TES, SS 2014
Aufgabe 3
2-Bit-Speicher
(7 Punkte)
Ein Tensorprodukt von zwei Spezifikationen hΣ1 , E1 i und hΣ2 , E2 i mit Σ1 ∩ Σ2 = ∅ ist eine
Spezifikation hΣ1 , E1 i ⊗ hΣ2 , E2 i = hΣ1 ∪ Σ2 , E1 ⊗ E2 i, die folgende Gleichungen enthält:
• alle Gleichungen von E1 ;
• alle Gleichungen von E2 ;
• sogenannte Tensorgesetze: für alle f : n → 1 ∈ Σ1 , g : m → 1 ∈ Σ2 ,
f (g(x11 , . . . , x1m ), . . . , g(xn1 , . . . , xnm )) ≈ g(f (x11 , . . . , xn1 ), . . . , f (x1m , . . . , xnm ))
Für Σ1 ∩ Σ2 6= ∅ konstruieren wir hΣ̂2 , Ê2 i aus hΣ2 , E2 i durch disjunkte Umbenennung von
Funktionssymbolen gemäß f 7→ fˆ, so dass Σ1 ∩ Σ̂2 = ∅; wir setzen dann hΣ1 , E1 i ⊗ hΣ2 , E2 i =
hΣ1 ∪ Σ̂2 , E1 ⊗ Ê2 i.
Die Idee des Tensorprodukts ist, die Spezifikationen so zu kombinieren, dass sie füreinander
transparent sind. Z.B. die Spezifikation
hΣ, Ei = h{o : 0 → 1, s : 1 → 1, + : 2 → 1}, {x + o ≈ x, x + s(y) ≈ s(x + y)}i
beschreibt natürliche Zahlen. Jeder Grundterm über Σ ist zu einem Term der Form sn (o) äquivalent, und repräsentiert dann also die Zahl n. Der Tensorprodukt hΣ, Ei ⊗ hΣ, Ei spezifiziert
dann Paare von Zahlen. Konkret besteht E ⊗ E aus den folgenden Gleichungen:


x+o ≈x
x + s(y) ≈ s(x + y)
E

Ê


x+̂ô ≈ x
x+̂ŝ(y) ≈ ŝ(x+̂y)

Tensorgesetze













o ≈ ô
ô + ô ≈ ô
s(ŝ(x)) ≈ ŝ(s(x))
ŝ(x) + ŝ(y) ≈ ŝ(x + y)
s(ô) ≈ ô
s(x+̂y) ≈ s(x)+̂s(y)
(x+̂y) + (z +̂v) ≈ (x + z)+̂(y + v)
Die Grundterme über Σ ∪ Σ̂ sind zu Termen der Form ŝn (sm (o)) äquivalent und repräsentieren
also Paare hn, mi.
1. Bilden Sie den Tensorprodukt der Spezifikation aus Aufgabe 2 mit sich selbst.
2. Erstellen Sie ein konvergentes TES (Σ ∪ Σ̂, T ), so dass ≈E⊗E = (↔T )∗ .
3. Beweisen Sie, dass (Σ ∪ Σ̂, T ) (SN) ist.
4. Wie sehen die Normalformen unter T aus?
Hinweis: Um (SN) zu beweisen, verwenden Sie eine rekursive Pfadordnung mit der Rangfolge
(, Σ ∪ Σ̂) mit der Eigenschaft, dass f g für alle f ∈ Σ, g ∈ Σ̂.
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