¨Ubungsblatt 5 für Diskrete Methoden 33.) Es sei an die größte

Übungsblatt 5 für Diskrete Methoden
33.) Es sei an die größte Anzahl an Teilen, in die die Ebene durch n Geraden zerlegt werden kann.
Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen an auf und lösen Sie diese.
34.) Man bestimme die allgemeine Lösung der nicht-linearen Rekursion
xn+1 =
xn
,
1 + xn
n = 0, 1, 2, . . .
mit x0 6= −1, − 12 , − 13 , . . . , indem man eine geeignete Transformation yn = f (xn ) findet, welche
obige Rekursion auf eine lineare Rekursion für die Folge (yn )n∈N zurückführt.
35.) Zeigen Sie mit dem formalen Residuenkalkül:
X 2n
1
√
=
zn.
n
1 − 4z
n≥0
36.) Bestimmen Sie mit Hilfe der Langrange’schen Inversionsformel den Koeffizienten von z n in
f (z), wobei f (z) die Gleichung f (z) = zef (z) erfüllt.
P
37.) Die erzeugende Funktion P (z) = n≥0 Pn z n der Familie der ebenen Wurzelbäume (Pn bezeichnet dabei die Anzahl der ebenen Wurzelbäume mit n Knoten) erfüllt die Gleichung
P (z) =
z
.
1 − P (z)
Bestimmen Sie daraus mit Hilfe der Lagrange’schen Inversionsformel die Koeffizienten von
P (z).
38.) Es gelten die Bezeichnungen von Bsp. 37.). Es läßt sich zeigen (wird aber hier nicht verlangt), daß die mittlere Anzahl bn,r von Knoten im Abstand r zur Wurzel in einem ebenen
Wurzelbaum mit n Knoten durch folgende Formel bestimmt ist:
bn,r =
1 n
z r P (z)
[z ]
2r .
Pn
1 − P (z)
Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Lagrange’schen Inversionsformel eine geschlossene Formel
für diese Anzahlen bn,r .
39.) Die Familie der Motzkin-Bäume wird rekursiv so definiert: Ein Motzkin-Baum ist entweder
ein Endknoten, oder er besteht aus einem internen Knoten, an dem ein oder zwei Nachfolgebäume hängen, wobei im Falle von zwei Nachfolgebäumen deren Links-Rechts-Reihenfolge
relevant ist. Sei mn die Anzahl der Motzkin-Bäume mit genau n internen Knoten und M (z)
die zugehörige gewöhnliche erzeugende Funktion. Zeigen Sie
M (z) = 1 + zM (z) + zM (z)2 ,
und bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange’schen Inversionsformel die Koeffizienten mn .
40.) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen, die durch
n X
n
an =
bk
k
k=0
zusammenhängen.
Man P
zeige nun mit Hilfe von exponentiell erzeugenden Funktionen Â(z) =
P
zn
zn
n≥0 bn n! , daß dann gilt:
n≥0 an n! und B̂(z) =
n
X
n−k n
bn =
(−1)
ak .
k
k=0