Blatt 8

Prof. Dr. P. Recher Thermodynamik und Quantenstatistik
WS 2012
K. Janzen
Blatt 8
Abgabe am 18. 12. 2012
1. Viel Harmonie
Die Energieniveaus eines quantenmechanischen Oszillators der Frequenz ω sind gegeben
durch
1
εn = n +
~ω
n = 0, 1, 2, . . . .
2
Ein System bestehe aus N 1 ungekoppelten, unterscheidbaren Oszillatoren. Die Gesamtenergie kann dann in der Form
1
E = N ~ω + M ~ω
2
M = 0, 1, 2, . . .
geschrieben werden.
a) Bestimmen Sie die mikrokanonische Entropie S(E).
Tipp: Überlegen Sie sich, wieviele Möglichkeiten es gibt, N −1 identische Trennwände
und M identische Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Beispiel einer solchen Anordnung für M = 7 und N = 5 ist
• • •|| • •| • •|
.
b) Welche Beziehung besteht zwischen der Temperatur T und der Energie E des
Systems für M 1? Verwenden Sie die Stirling’sche Formel. Welche Situation
liegt im Limes T → 0 vor?
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Energie E und der Temperatur T für
klassische harmonische Oszillatoren? Zeigen Sie, dass das Resultat aus Teilaufgabe
b) im Limes ~ → 0 diesen Zusammenhang reproduziert.
2. Virialsatz kanonisch
Betrachten Sie ein klassisches System mit 2N Freiheitsgraden
{qi , pj ; i, j = 1, . . . , N } ≡ {xk ; k = 1, . . . , 2N },
das sich im Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T befindet. Die Hamiltonfunktion des Systems ist durch H({pj , qi }) = T ({pj }) + V ({qi }) gegeben.
∗ Zeigen Sie, dass
∂H
xi
∂xj
= k T δij
gilt, mit der Annahme, dass exp(−βH({pj , qi })) für große pj und qi stark abfällt.
∗∗ Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren kinetischen Energie
N
X
p2j
T ({pj }) =
2m
j=1
1
und der mittleren potentiellen Energie des Systems, wenn V eine homogene Funktion vom Grad α > 0 ist?
Hinweis : Eine Funktion f heißt homogen vom Grad α, wenn
f (λx1 , λx2 , . . . , λxN ) = λα f (x1 , x2 , . . . , xN )
für alle λ > 0 gilt. Es ist hilfreich, die Homogenitätsbeziehung nach λ zu differenzieren.
3. Ultrarelativistisches klassisches ideales Gas
Die Energie-Impuls-Beziehung für ein relativistisches Teilchen ist durch
E 2 = c2 p2 + m2 c4
gegeben. Dabei ist p = |~p| der Betrag des Impulses, m die Masse des Teilchens, und c
die Lichtgeschwindigkeit. Im ultrarelativistischen Grenzfall kann die Ruheenergie vernachlässigt werden, und man erhält die Beziehung E = c|~p|. Betrachten Sie ein klassisches Gas nicht-wechselwirkender, ultrarelativistischer Teilchen in einem Volumen V
mit Einteilchen-Hamilton-Funktionen H(~p, ~q) = c|~p|. Berechnen Sie mit Hilfe der mikrokanonischen Gesamtheit die Entropie S(E, V, N ) und daraus die thermische und die
kalorische Zustandsgleichung des Gases.
Für die Berechnung des Phasenraumvolumens können Sie wie folgt vorgehen:
a) Zeigen Sie, dass für das im 3N -dimensionalen Raum durch die Ungleichung
|~x1 | + |~x2 | + · · · + |~xN | ≤ E
definierte Volumen BN (E) die Rekursionsbeziehung
Z
E
2
rN
BN −1 (E − rN )drN
BN (E) = 4π
0
gilt.
b) Leiten Sie eine Formel für Integrale der Form
Sie das Volumen BN (E) berechnen können.
2
Ra
0
r2 (a − r)n dr her, mit deren Hilfe