Ferienkurs Experimentalphysik 3 - TUM

Physik-Department
Ferienkurs zur Experimentalphysik 3
Matthias Golibrzuch,Daniel Jost
Montag
Technische Universität München
Inhaltsverzeichnis
1 Elektromagnetische Wellen
1
1.1
Maxwell-Gleichungen im Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Wellenfunktion und Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Wellenpakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Polarisation
4
3 Brechung und Reexion
6
3.1
Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Snellius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Reflexions- und Transmissionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5
Brewsterwinkel und Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Inhaltsverzeichnis
4 Oszillatormodell und Brechungsindex
4.1
10
Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Ausbreitung in anisotropen Medien
11
11
1
1 Elektromagnetische Wellen
1.1 Maxwell-Gleichungen im Medium
Licht ist eine elektromagnetische Welle. In der Optik werden Probleme behandelt, in
denen sich diese elektromagnetische Welle in Medien fortpflanzt. Zunächst wollen
wir daher aus dem was wir über Elektrodynamik wissen Ausdrücke für diese elektromagnetische Welle in Medien herleiten. Die Maxwell-Gleichungen im Medium sind
gegeben durch
∇·D = ρ
∇ × H = ∂t D + j
.
∇·B = 0
∇ × E = − ∂t B
Die dielektrische Verschiebung D hängt mit dem elektrischen Feld im Vakuum E über
die dielektrische Konstante e0 und der Polarisation P zusammen:
D = e0 E + P
(1)
Die Polarisation P kann man mittels Einführung der Suszeptibilität χ schreiben als
P = e0 χE.
(2)
D = (1 + χ)e0 E = ee0 E
(3)
Gleichung 1 liest sich dann:
Für den magnetischen Fluss B im Vakuum kann man ähnliche Überlegungen anstellen.
Hier übernimmt die die Magnetisierung M die Rolle der Polarisation und man erhält
einen Ausdruck für das magnetische Feld H im Medium:
H=
1
B−M
µ
(4)
µ ist die relative Permeabilität. Zwei Annahmen können nahezu immer in der klassischen Optik getroffen werden um die Maxwellgleichungen weiter zu vereinfachen:
1. Die relative Permeabilität ist µ = 1, weil von nichtmagnetischen Medien ausgegangen wird.
2. Die Medien sind nichtleitend: ρ = 0 und j = 0.
Wellengleichungen für E und B erhält man durch Anwendung des Rotationsoperators
auf die Maxwellgleichungen und Einsetzen ineinander:
2
∇2 E = µ0 ee0 ∂∂tE2
2
∇2 B = µ0 ee0 ∂∂tB2
(5)
1
Elektromagnetische Wellen
Die Konstanten e0 und µ0 sind mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gekoppelt:
c0 = √
1
µ 0 e0
(6)
In einem Medium lässt sich der so genannte Brechungsindex einführen. Die Lichtgeschwindigkeit in einem Medium ist um einen Faktor geringer als im Vakuum und der
Brechungsindex quantifiziert dies:
n=
√
e
(7)
1.2 Wellenfunktion und Dispersionsrelation
Ebenfalls aus der Elektrodynamik bekannt sind die einfachsten Lösungen der Wellengleichungen. Man kann mit ebenen Wellen ansetzen:
E(r, t) = E0 cos(kr − ωt + ϕ).
(8)
k ist der Wellenvektor in dessen Richtung sich die Welle ausbreitet, ω die Kreisfrequenz
und ϕ ein Phasenfaktor.
Einsetzen der ebenen Welle in die Wellenfunktion ergibt die optische Dispersionsrelation:
k = n·
2π
ω
=
c0
λ
(9)
Die Wellenlänge λ lässt sich wie bekannt schreiben als
λ=
2π
2πc0
=
k
nω
(10)
Die Maxwellgleichungen liefern uns ferner zwei wichtige Folgerungen:
1. Elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht zueinander.
2. Die Amplituden der Felder sind gekoppelt:
B=
1
c0
1
k
(e × E) = (ek × E) E0 = B0 = √
B0
ω k
c0
n
ee0 µ0
2
(11)
1
Elektromagnetische Wellen
Abbildung 1: Elektromagnetische Welle.
1.3 Poynting-Vektor
Der Poynting-Vektor S
S=
1
(E × B) = e0 c20 (E × B) = c0 e0 E02 cos2 (kz − ωt)ez
µ0
(12)
beschreibt die Energiestromdichte oder Energie pro Zeit pro Fläche, die senkrecht zum
Vektor k steht. Die Lichtintensität ist dann über das zeitliche Mittel des Betrags des
Poynting-Vektors S gegeben:
I = hSi = e0 c0 h|E|2 i =
1
e0 c0 E02
2
(13)
Licht überträgt auch Impuls auf eine Fläche. Daraus ergibt sich ein Strahlungsdruck:
PS =
I
c0
(14)
Reflexion führt durch Impulserhaltung zu einer Verdopplung des Strahlungsdrucks.
1.4 Wellenpakte
Da mit Lösungen der Wellengleichung E1 und E2 aufgrund des Superpositionsprinzips
Lösungen E1 + E2 konstruiert werden können, erhält man mit sich zeitlich und räumlich
unterscheidenden Wellenfunktionen so genannte Wellenpakete. Diese Wellenpakete
können Fourier-transformiert werden:
1
E( t ) = √
2π
Z ∞
−∞
E(ω ) exp[−iωt)dω
3
(15)
2
Polarisation
Mit Rücktransformation:
1
E( ω ) = √
2π
Z ∞
−∞
E(t) exp[iωt]dt
(16)
Abbildung 2: Wellenpaket als Überlagerung einzelner Wellen mit einhüllender Funktion.
Wenn Wellenpakete aus Wellen mit unterschiedlichen Amplituden zusammengebastelt sind, unterscheiden sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und die der
Hüllkurve. Hierzu die Distinktion der Phasengeschwindigkeit vph und Gruppengeschwindigkeit vgr :
c0
ω0
=
k0
n
(17)
k · c0 dn
c0
− 2
n
n dk
(18)
vph =
vgr =
2 Polarisation
Elektromagnetische Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wenn man o. B.
d. A. den Wellenvektor entlang z legt, kann man beispielsweise für das elektrische Feld
schreiben:

E0x cos(kz − ωt)




E=
E
cos
(
kz
−
ωt
+
e
)
0y


0
(19)
e ist der Phasenunterschied zwischen x und y - Richtung. Natürliches Licht ist unpolarisiert. Die beiden Komponenten des E-Feldes stehen in keiner Beziehung zueinander.
Aber ihr Mittel ist gleich groß. Interessanter sind die drei unterscheidbaren Polarisationen:
4
2
Polarisation
• Elliptisch polarisiertes Licht erhält man, wenn die Phasendifferenz e 6= π/2 + mπ
ist und für die Amplitudenprojektionen in x und y Richtung gilt | E0x | 6= | E0y |.
• Zirkular polarisiertes Licht erhält man für e = π/2 + mπ, m = 0, 1, 2, ..., | E0x | =
| E0y | = E0 :

cos(kz − ωt)




E = E0 
±
sin
(
kz
−
ωt
)


0
(20)
• Linear polarisiertes Licht ist gegeben durch e = 0 oder e = ±n · 2π, E0x und E0y
schwingen in Phase und die Richtung des E-Feldes wird durch einen konstanten
Vektor beschrieben:

E0x

 

E=
 E0y  cos(kz − ωt) = E0 cos(kz − ωt)
0
5
(21)
3
Brechung und Reflexion
Polarisatoren können die Polarisation von Licht ändern. Polarisatoren stellen aber auch
Grenzflächen zwischen Medien verschiedener Dichten dar. An diesen Grenzflächen
entstehen Reflexions- und Brechungseffekte.
3 Brechung und Reexion
Die Maxwellgleichungen geben Randbedingungen vor, mittels derer man den Übergang
zwischen Medien unterschiedlicher Dichten an deren Grenzfläche beschreiben kann.
Die so genannte Einfallsebene steht senkrecht zu dieser Grenzfläche. Betrachtet man
zwei isolierende, isotrope und nicht-magnetische Medien 1 und 2, dann gilt:
• Beim Übergang von 1 nach 2 gibt es keinen Sprung in den Komponenten der
dielektrischen Verschiebung D = ee0 E die senkrecht zur Grenzfläche stehen, also:
(1)
(2)
D⊥ = D⊥
(22)
• Die Tangentialkomponenten des E-Feldes sind stetig:
(1)
(2)
E|| = E||
(23)
• Die Normalkomponenten des B-Feldes sind stetig:
(1)
(2)
B⊥ = B⊥
(24)
• Die Tangentialkomponenten des Magnetfelds H = 1/µµ0 B sind stetig:
(1)
(2)
H|| = H||
6
(25)
3
Brechung und Reflexion
Aus diesen Randbedingungen ergibt sich, dass sich die Frequenz an der Grenzfläche
nicht ändert:
ωe = ωr = ωt
(26)
Außerdem muss der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel sein:
θe = θr
(27)
3.1 Fermatsches Prinzip
Das Fermatsche Prinzip besagt, dass Licht in einem inhomogenen Medium immer
einen extremalen Weg von einem Punkt zum anderen nimmt. Das kann derjenige
sein, der am schnellesten ist. Die Lichtgeschwindigkeit ist vom Medium abhängig. Die
Gesamtzeit t(r ) gegeben ist durch:
t (r ) =
ri
∑ ti = ∑ ci
=
1
c0
∑ Wi
(28)
Wi ist der optische Weg und ist offensichtlich gegeben durch
Wi = ni · ri .
(29)
Der Brechungsindex im Medium i ist dann ni und die zurückgelegte Strecke ri . Nach
Fermat muss dann gelten:
dt
=0
dr
(30)
3.2 Snellius
Mit Einfalls- und Transmissionswinkeln θe und θt gilt
k e sin θe = k t sin .θt
7
(31)
3
Brechung und Reflexion
Dann kann man mittels k e /k t = ne /nt das Snelliussche Brechungsgesetz schreiben als:
ne
sin θe
=
sin θt
nt
(32)
3.3 Fresnel
Die Randbedingungen aus den Maxwellgleichungen lassen es auch zu Aussagen über
die Intensitäten an der Grenzfläche zu treffen. Gehen wir zunächst von senkrechtem
Lichteinfall aus. Dann gibt es zunächst zwei Prozesse: Transmission und Reflexion.
Dazu korrespondieren Transmissionskoeffizient t und Reflexionskoeffizient t. Für die
elektrischen Feldstärken gelten dann
E0r =
ne − t
E0e = rE0e
ne + nt
(33)
und
E = tE0e .
(34)
Falls der Lichteinfall nicht senkrecht stattfindet, kann man zwei Fälle unterscheiden:
1. Das E-Feld ist parallel zur Grenzfläche und steht senkrecht auf der Einfallsebene. Das B-Feld hat also Komponenten sowohl parallel als auch senkrecht zur
Grenzfläche.
8
3
Brechung und Reflexion
2. Das B-Feld steht parallel zur Grenzfläche und senkrecht auf der Einfallsebene. Das
E-Feld hat dann Komponenten sowohl senkrecht als auch parallel zur Grenzfläche.
Einiger Rechenaufwand unter Berücksichtigung von k ⊥ E ⊥ H ergibt dann verschiedene Koeffizienten, i. e. die Fresnel-Formeln:
r⊥ =
E0r
sin(θe − θt )
=−
E0e
sin(θe + θt )
(35)
t⊥ =
E0t
2 sin θt cos θe
=
E0e
sin(θe + θt )
(36)
E0r
tan(θe − θt
=
E0e
θe + θt
2 sin θt cos θe
=
sin(θe + θt ) cos(θe − θt )
r|| =
t|| =
E0t
E0e
(37)
(38)
3.4 Reexions- und Transmissionskoezient
Die reflektierte und transmittierte Leistung wird durch den Reflexionsgrad R und
den Transmissionsgrad T angegeben. Senkrechte und parallele Anteile des Reflexionsund Transmissionsgrades hängen mit den senkrechten und parallelen Anteilen des
Reflexions- und Transmissionskoeffizienten zusammen:
R|| = |r|| |2
R ⊥ = |r ⊥ |2
T|| = 1 − |r|| |2
T⊥ = 1 − |r⊥ |2
(39)
Für den einfachen Fall des senkrechten Lichteinfalls ist der Reflexionsgrad gegeben
über die Brechungsindizes der Medien:
Ir
R=
=
Ie
ne − nt
ne + nt
2
(40)
3.5 Brewsterwinkel und Totalreexion
Reflexions- und Transmissionskoeffizienten verschwinden für bestimmte Winkel und
Brechungszahlen. Der Reflexionskoeffizient wird Null bei einem E|| -Feld, wenn θt + θe =
π/2. Der Brewsterwinkel ist so definiert:
tan θ B =
nt
ne
(41)
Licht von einem optisch dichteren Medium, das auf eine Grenzfläche fällt mit ne > nt
wird totalreflektiert für Winkel θTR < π/2. Hier ist der Transmissionswinkel θt > π/2.
nt
nt
sin θTR =
oder θTR = arcsin
(42)
ne
ne
9
4
Oszillatormodell und Brechungsindex
4 Oszillatormodell und Brechungsindex
Der Brechungsindex
n(ω ) = 1/
q
e(ω )
(43)
bestimmt die Ausbreitung von Licht in einem Medium. Auf dem Weg durch das
Medium wechselwirkt Licht mit der Elektronensuppe im Festkörper. Die Elektronen
ihrerseits wechselwirken mit den Atomen. Wenn man das elektrische Feld als treibende Kraft betrachtet und die Wechselwirkung der Elektronen mit den Atomen als
Dämpfung, kann man mit einem gedämpften, getriebenen Oszillator ansetzen:
e
E0 exp[iωt]
me
(44)
e
1
E(t)
2
me (ω0 − ω 2 ) + iγω
(45)
ẍ + γ ẋ + ω 2 x = −
Als Lösung erhält man:
x (t) = −
Letztlich kann man eine frequenzabhängige dielektrische Funktion schreiben als
e(ω ) = 1 +
1
e2
e0 m e 2
.
N
(ω0 − ω 2 ) + iγω
(46)
In optisch verdünnten Medien kann man die dielektrische Funktion in den komplexen
Brechungsindex nc = n R + in I umwandeln:
nR = 1 +
nI = −
ω02 − ω 2
e2 N
2e0 me (ω02 − ω 2 )2 + γ2 ω 2
e2 N
γω
2e0 me (ω02 − ω 2 ) + γ2 ω 2
(47)
(48)
Für Frequenzbereiche in hinreichender Entfernung von der Resonanzfrequenz vereinfacht sich der Brechungsindex zu
nR ≈ 1 −
2
ωPl
e2 N 1
=
1
−
2e0 me ω 2
2ω 2
(49)
mit der Plasmafrequenz ωPl . In Metallen bewegen sich die Elektronen frei und die
Dämpfung entfällt, also ω0 = 0. Dann gilt:
s
n≈
1−
10
2
ωPl
ω2
(50)
5
Ausbreitung in anisotropen Medien
4.1 Absorption
Es stellt sich die Frage, was der imaginäre Anteil des Brechungsindex für eine physikalische Bedeutung hat. Betrachtet man eine ebene Welle
E(z, t) = E0 exp[iωt − ikz]
(51)
ergibt sich durch Einsetzen von k = ω/c(n R + in I ) zunächst:
h
i
h ωn i
h
ω
ωn R i
I
E(z, t) = E0 exp iωt − i (n R + in I )z = E0 exp
z · exp iωt − i
z
c
c
c
(52)
Der Imaginärteil in der vorderen Exponentialfunktion ist vorzeichenbehaftet, weswegen
die Amplitude insgesamt abfällt. Das ist die Definition von Absorption des Lichts. Die
Lichtintensität in Abhängigkeit von der Eindringtiefe ist
2ωn I z
I (z) = I (0) exp
= I (0) exp (− az)
c
(53)
zusammen mit dem Extinktionskoeffizienten:
a=
e2 N
γω 2
2e0 me c (ω02 − ω 2 )2 + γ2 ω 2
(54)
5 Ausbreitung in anisotropen Medien
Die dielektrische Funktion kann nicht nur frequenzabhängig sein sondern auch von der
Einfallrichtung des Lichts abhängen. In diesem Fall spricht man von einem anisotropen
Medium. In diesen Medien kommt es zu einer Aufspaltung von ordentlichem (o)
und außerordentlichen (e) Strahl. Der außerordentliche Strahl breitet sich entlang der
optischen Achse aus. Anwendungen findet man in Kompensatorplatten, λ/2- und
λ/4-Plättchen. Linear polarisiertes Licht beispielsweise, kann durch unterschiedliche
Brechungsindizes in x- und y-Richtung in zirkular polarisiertes Licht umgewandelt
werden. Da die Frequenz an der Grenzfläche gleich bleiben muss (Randbedingungen),
kommt es wegen des Wegunterschieds ∆l zu einer Phasenverschiebung ∆φ der beiden
Strahlkomponenten.
∆l = d(n0 − n0e )∆φ = k0 d − k0e d =
2πd
(n0 − n0e )
λ
(55)
Ein λ/4-Plättchen der Dicke d sorgt für eine Phasenverschiebung von π/2, sodass
hinter dem Plättchen zirkular polarisiertes Licht austritt. λ/2-Plättchen drehen den
Drehsinn zirkular oder elliptisch polarisierter Wellen.
11