§2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 15.5
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§2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
2.1
Topologische Räume
In der letzten Sitzung haben wir den Zusammenhangsbegriff auf allgemeine topologische Räume ausgedehnt und einige der Grundeigenschaften dieses Begriffs zusammengestellt. Damit sind wir beispielsweise in der Lage die Graßman-Mannigfaltigkeiten als
zusammenhängend zu erkennen.
Satz 2.16 (Die Graßman-Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend)
Sind K ∈ {R, C}, E ein endlichdimensionaler Vektorraum über K mit dim E > 1 und
1 ≤ k < dim E, so ist Gk (E) zusammenhängend.
Beweis: Dies ist Aufgabe (17).
Wir wollen nun einsehen, dass die nicht zusammenhängenden Räume in mehrere zusammenhängende Teile zerfallen, die sogenannten Zusammenhangskomponenten eines
Raumes.
Definition 2.12 (Die Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raums)
Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen zwei Punkte x, y ∈ X liegen in derselben
Zusammenhangskomponente von X, wenn es eine zusammenhängende Teilmenge C ⊆
X mit x, y ∈ C gibt. Dies ist eine Äquivalenzrelation auf X, reflexiv da einelementige
Mengen zusammenhängend sind, symmetrisch trivialerweise, und auch transitiv, denn
sind x, y ∈ X in derselben Zusammenhangskomponente und y, z ∈ X in derselben
Zusammenhangskomponente, so existieren zusammenhängende Mengen C, D ⊆ X mit
x, y ∈ C, y, z ∈ D, und nach Satz 15.(c) ist C ∪ D zusammenhängend mit x, z ∈ C ∪ D.
Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen Zusammenhangskomponenten
von X.
Damit ist ein Raum X die disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten, und wir wollen einsehen, dass die Zusammenhangskomponenten von X gerade die
maximalen zusammenhängenden Teilmengen von X sind.
Lemma 2.17 (Grundeigenschaften der Zusammenhangskomponenten)
Sei X 6= ∅ ein topologischer Raum. Dann sind die Zusammenhangskomponenten von
X genau die maximalen zusammenhängenden Teilmengen von X, und jede zusammenhängende Teilmenge von X ist in einer der Zusammenhangskomponenten von X
enthalten. Weiter ist jede Zusammenhangskomponente abgeschlossen in X.
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Beweis: Sei C ⊆ X zusammenhängend. Wir wollen zeigen, dass C in einer Zusammenhangskomponente enthalten ist. Für C = ∅ ist dies wegen X 6= ∅ klar. Sonst existiert
ein x ∈ C. Sei dann D die Zusammenhangskomponente von X mit x ∈ D. Da jedes
Element von C mit x in einer zusammenhängenden Menge liegt, sind die Elemente von
C alle äquivalent zu x, d.h. C ⊆ D.
Sei nun C eine Zusammenhangskomponente von X. Wähle ein x ∈ C. Dann besteht
C genau aus den zu x äquivalenten Punkten, also
[
C = {U ⊆ X : U ist zusammenhängend und x ∈ U },
und dies ist nach Satz 15.(c) zusammenhängend. Ist nun D ⊆ X zusammenhängend
mit C ⊆ D, so existiert eine Zusammenhangskomponente C 0 von X mit D ⊆ C 0 , also
auch C ⊆ C 0 , d.h. C 0 = C und D = C. Somit ist C eine maximale zusammenhängende
Teilmenge von X. Ist umgekehrt C ⊆ X maximal zusammenhängend, so existiert eine
Zusammenhangskomponente D von X mit C ⊆ D. Da D zusammenhängend ist folgt
C = D.
Es ist nur noch die Abgeschlossenheit der Zusammenhangskomponenten zu zeigen.
Sei also C eine Zusammenhangskomponente von X. Dann ist C zusammenhängend,
und nach Satz 15.(b) ist auch C ⊇ C zusammenhängend, d.h. C = C und C ist
abgeschlossen in X.
2.2
Mannigfaltigkeiten über Pseudogruppen
Zu Beginn dieses Kapitels hatten wir bereits angekündigt das wir differenzierbare Mannigfaltigkeiten als topologische Räume versehen mit einem System von Karten definieren wollen so, dass die Koordinatentransformationen zwischen diesen Karten in geeigneten Sinne differenzierbar sind. Tatsächlich wollen wir gleich etwas allgemeiner vorgehen, wir wollen auch sogenannte berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
die jeweiligen orientierten Varianten einführen. Man kann all diese unterschiedlichen
Begriffe, und eine große Anzahl weiterer Strukturen, in einem allgemeinen Rahmen behandeln, indem man die möglichen Koordinatentransformationen durch eine geeignete
Struktur beschreibt. Hierzu kann man etwa die nun zu definierenden Pseudogruppen
verwenden.
Definition 2.13 (Pseudogruppen)
Eine Pseudogruppe ist ein Paar (R, G) bestehend aus einem topologischen Raum R,
genannt der Modelraum, und einer Menge G von Homöomorphismen zwischen offenen
Teilmengen von R mit den folgenden Eigenschaften:
(P1) Für jede in R offene Menge U ⊆ R ist idU ∈ G.
(P2) Sind ϕ, ψ ∈ G, so ist auch ψ ◦ ϕ ∈ G.
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(P3) Für jedes ϕ ∈ G ist auch ϕ−1 ∈ G.
(P4) Sind ϕ ∈ G und U ⊆ R in R offen mit U ⊆ dom(ϕ) so ist ϕ|U ∈ G.
(P5) Sind U, U 0 ⊆ R zwei in R offene Mengen und ϕ : U → U 0 ein Homöomorphismus
so, dass es für jedes x ∈ U eine in R offene Menge W ⊆ R mit x ∈ W ⊆ U und
ϕ|W ∈ G gibt, so ist auch ϕ ∈ G.
Die ersten drei Axiome sind sozusagen der Gruppenteil“ und die anderen beiden
”
Axiome sollen ausdrücken das G lokal definiert“ ist, beispielsweise kann man (P5)
”
so aussprechen dass ein Homöomorphismus zwischen offenen Teilmengen von R der
lokal wie ein Element von G aussieht tatsächlich ein Element von G ist. In der Notation werden wir den Modelraum R in der Regel unterdrücken, also einfach von einer
Pseudogruppe G sprechen, und R bei Bedarf als den Modelraum von G einführen. Die
angegebenen fünf Axiome einer Pseudogruppe sind hier nicht minimal gewählt. Das
Axiom (P4) ist eher der Deutlichkeit halber angegeben, es folgt auch aus (P1) und
(P2). Sind nämlich ϕ ∈ G und U ⊆ G offen mit U ∈ dom(ϕ), so ist ϕ|U = ϕ ◦ idU
und dies ist bereits nach (P1) und (P2) in G. Weiter kann man das Axiom (P2) unter
Voraussetzung von (P4) durch die leicht abgeschwächte Version
(P20 ) Sind ϕ, ψ ∈ G mit im(ϕ) = dom(ψ), so ist auch ψ ◦ ϕ ∈ G
ersetzen. Um dies einzusehen müssen wir (P2) aus (P20 ) und (P4) folgern. Seien also
ϕ, ψ ∈ G gegeben. Dann haben wir die in R offenen Mengen U := ϕ−1 (im(ϕ)∩dom(ψ))
und V := im(ϕ)∩dom(ψ) und nach (P4) sind ϕ|U ∈ G und ψ|V ∈ G. Wegen im(ϕ|U ) =
im(ϕ) ∩ dom(ψ) = V = dom(ψ) ergibt (P20 ) damit ψ ◦ ϕ = (ψ|V ) ◦ (ϕ|U ) ∈ G.
Wir sind eigentlich nur an vier konkreten Beispielen von Pseudogruppen interessiert, die wir nun zusammen mit einigen weiteren Beispielen einführen wollen. Dass es
sich dabei jeweils um Pseudogruppen handelt ist in all diesen Beispielen völlig unproblematisch und wird daher nicht explizit ausgeführt.
1. Ist R ein topologischer Raum, so ist die Menge G überhaupt aller Homöomorphismen zwischen offenen Teilmengen von R eine Pseudogruppe mit dem Modelraum
R. Diese ist die größte Pseudogruppe mit Modelraum R.
2. Sei R wieder ein topologischer Raum. Dann gibt es auch eine kleinste Pseudogruppe mit dem Modelraum R, nämlich
G = {idU |U ⊆ R ist offen in R}.
3. Sind (R, G) eine Pseudogruppe und U ⊆ R eine in R offene Menge, so ist die
Einschränkung
G|U := {ϕ ∈ G| dom(ϕ) ⊆ U ∧ im(ϕ) ⊆ U }
eine Pseudogruppe mit Modelraum U .
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4. Nun seien n ∈ N und q ∈ N∗ gegeben. Dann ist
U, V ⊆ Rn sind beide offen im Rn und
n,q
C := ϕ : U → V ϕ : U → V ist ein C q -Diffeomorphismus
eine Pseudogruppe auf dem Modelraum R = Rn .
5. Seien wieder n ∈ N und q ∈ N∗ gegeben. Dann ist
C+n,q := {ϕ ∈ C n,q |∀(x ∈ dom(ϕ)) : det ϕ0 (x) > 0}
ebenfalls eine Pseudogruppe auf dem Modelraum R = Rn und es gilt C+n,q ⊆ C n,q .
6. Seien n ∈ N mit n ≥ 1, q ∈ N∗ und bezeichne H n = {x ∈ Rn |xn ≥ 0} den
n-dimensionalen Halbraum. Dann haben wir die Pseudogruppe
U, V ⊆ H n sind beide offen im H n und
n,q
H := ϕ : U → V ϕ : U → V ist ein C q -Diffeomorphismus
auf dem Modelraum R = H n .
7. Sind wieder n ∈ N mit n ≥ 1 und q ∈ N∗ so gibt es auch wieder eine positive Variante der vorigen Beispiels. Beachte hierzu das für jedes x ∈ H n stets
hCx H n i = Rn ist, sind also ϕ ∈ Hn,q und x ∈ dom(ϕ), so ist dϕx ein Endomorphismus des Rn und wir können von der Determinante von dϕx sprechen. Damit
erhalten wir die Pseudogruppe
n,q
H+
:= {ϕ ∈ Hn,q |∀(x ∈ dom(ϕ)) : det(dϕx ) > 0}
auf dem Modelraum R = H n .
8. Diesmal verwenden wir den Modelraum R = C und haben die Pseudogruppe
U, V ⊆ C sind offen in C und
1
H := ϕ : U → V ϕ : U → V ist biholomorph
auf dem Modelraum R = C. Wenn man holomorphe Funktionen in mehreren
Variablen als bekannt voraussetzen möchte kann entsprechend auch eine Pseudogruppe Hn auf dem Modelraum R = Cn eingeführt werden.
Wie schon erwähnt beschreibt eine Pseudogruppe die zulässigen Koordinatentransformationen eines System von Karten auf einer Mannigfaltigkeit, und als unseren nächsten
Schritt erfassen wir diese Systeme von Karten“ mit einem eigenen Begriff.
”
Definition 2.14 (Präatlanten über einer Pseudogruppe)
Seien G eine Pseudogruppe und M ein topologischer Raum. Ein G-Präatlas A auf M ist
eine Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen von M auf offene Teilmengen
des Modelraums von G mit den folgenden beiden Eigenschaften:
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(PA1) Es ist M =
S
ϕ∈A
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dom(ϕ).
(PA2) Für alle ϕ, ψ ∈ A ist ψ ◦ ϕ−1 ∈ G.
In anderen Worten soll jedes Element von M überhaupt im Definitionsbereich einer
Karte liegen, die gegebenen Karten erfassen also ganz M , und alle Koordinatentransformationen zwischen den Karten des Präatlas sollen aus der Pseudogruppe kommen. Wir
wollen uns auch für diesen Begriff einige Beispiele anschauen. Explizite Begründungen
dass es sich tatsächlich um Präatlanten handelt werden nur angegeben wenn dies nicht
direkt ersichtlich ist.
1. Seien (R, G) eine Pseudogruppe und U ⊆ R eine offene Teilmenge des Modelraums. Dann ist A := {idU } ein G-Präatlas auf U .
2. Sind G eine Pseudogruppe, M ein topologischer Raum, A ein G-Präatlas auf M
und U ⊆ M eine in M offene Menge, so ist auch
A|U := {ϕ|U ∩ dom(ϕ) : ϕ ∈ A}
ein G-Präatlas auf U .
3. Seien n, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d, q ∈ N∗ und M ⊆ Rd eine eingebettete,
n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des Rd . Dann ist der Atlas von M im
Sinne des §1 nach §1.Satz 2 ein C n,q -Präatlas auf M .
4. Seien n ∈ N mit n ≥ 1, q ∈ N∗ , U ⊆ Rn offen und f : U → R eine C q -Abbildung.
Weiter sei a ∈ R und für jedes x ∈ M := f −1 (a) ⊆ U sei f 0 (x) 6= 0. Setze
D := {x ∈ U |f (x) ≤ a}. Sind V, W ⊆ Rn offen mit V ⊆ U und ϕ : V → W ein
C q -Diffeomorphismus mit ϕ(V ∩ D) = W ∩ H n und ϕ(V ∩ M ) = W ∩ Rn−1 , so
nennen wir die Einschränkung ϕ|V ∩ D : V ∩ D → W ∩ H n eine Karte von D.
Wir behaupten das die Menge A all dieser Karten ein Hn,q -Präatlas auf D ist.
Zum Nachweis von (PA1) sei ein x ∈ D gegeben. Ist dann x ∈ D◦ , so wählen wir
ein > 0 mit B (x) ⊆ D und betrachten den C q -Diffeomorphismus ϕ : B (x) →
B (en ); y 7→ y − x + en . Wegen B (en ) ⊆ H n ist dieser eine Karte von D mit
x ∈ dom(ϕ). Ist dagegen x ∈ ∂D = M , so gibt es nach Aufgabe (8) eine Karte
ϕ von D mit x ∈ dom(ϕ). Damit ist (PA1) nachgewiesen und wir kommen zu
(PA2).
Seien also für i = 1, 2 offene Mengen Vi , Wi ⊆ Rn mit Vi ⊆ U und ein C q Diffeomorphismus ϕi : Vi → Wi mit ϕi (Vi ∩ D) = Wi ∩ H n und ϕi (Vi ∩ M ) =
Wi ∩ Rn−1 . Wir müssen zeigen das
n
n,q
ψ := (ϕ2 |V2 ∩ D) ◦ (ϕ1 |V1 ∩ D)−1 = (ϕ2 |V2 ∩ D) ◦ (ϕ−1
1 |W1 ∩ H ) ∈ H
ist. Zunächst ist V1 ∩ V2 ∩ D offen in V1 ∩ D, also ist dom(ψ) = ϕ1 (V1 ∩ V2 ∩ D)
offen in W1 ∩ H n , und da W1 ∩ H n offen in H n ist, ist dom(ψ) auch offen in H n .
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Analog ist auch im(ψ) = ϕ2 (V1 ∩ V2 ∩ D) offen in H n . Weiter ist ϕ1 (V1 ∩ V2 )
n
offen im Rn mit dom(ψ) ⊆ ϕ1 (V1 ∩ V2 ) und ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (V1 ∩ V2 ) → R ist eine
C q -Abbildung zwischen offenen Teilmengen des Rn mit ϕ2 ◦ ϕ−1
1 | dom(ψ) = ψ.
q
Damit ist ψ eine C -Abbildung, und ebenso ist auch
ψ −1 = (ϕ1 |V1 ∩ D) ◦ (ϕ2 |V2 ∩ D)−1
eine C q -Abbildung, d.h. ψ ist ein C q -Diffeomorphismus und wir haben ψ ∈ Hn,q
eingesehen.
5. Seien K ∈ {R, C}, E ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit n := dim E >
1, 1 ≤ k < n und setze d := (dimR K) · k(n − k). Wir behaupten das die Menge
−1 U ∈ Gk (E), C ≤ E mit E = C ⊕ U und φ : L(U, C)
A := φ ◦ ΦCU → Rd ist ein Isomorphismus reeller Vektorräume
ein C d,∞ -Präatlas auf Gk (E) ist. Seien U ∈ Gk (E), C ≤ E mit E = U ⊕ C und
φ : L(U, C) → Rd ein reeller Vektorraumisomorphismus. Beachte das es einen
solchen stets gibt, denn als Vektorraum über K hat L(U, C) die Dimension
dim L(U, C) = dim(U ) · dim(C) = k(n − k)
und als reeller Vektorraum wird damit dimR L(U, C) = k(n − k) dimR K = d.
−1
Nach Lemma 11.(c,d) ist dom(φ ◦ Φ−1
CU ) = Gk (E; C) offen in Gk (E), φ ◦ ΦCU :
Gk (E; C) → Rd ist ein Homöomorphismus und es gilt U ∈ Gk (E; C), also ist A
eine Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen von Gk (E) auf den Rd und
(PA1) ist erfüllt. Sind Schließlich U, U 0 ∈ Gk (E), C, C 0 ≤ E mit E = U ⊕C = U 0 ⊕
C 0 und φ : L(U, C) → Rd , φ0 : L(U 0 , C 0 ) → Rd reelle Vektorraumisomorphismen,
so ist
−1 −1
−1
(φ0 ◦ Φ−1
= φ0 ◦ (Φ−1
C 0 U 0 ) ◦ (φ ◦ ΦCU )
C 0 U 0 ◦ ΦCU ) ◦ φ
nach Lemma 11.(e) ein C ∞ -Diffeomorphismus.
Auf einen besonders wichtigen, und auch etwas übersichtlicheren, Spezialfall des letzten
Beispiels wollen wir noch gesondert hinweisen. Seien wieder K ∈ {R, C} und n ∈ N mit
n ≥ 1 gegeben. Die Graßman-Mannigfaltigkeit Pn K := G1 (K n+1 ) der eindimensionalen
Untervektorräume des K n+1 nennt man dann auch den n-dimensionalen projektiven
Raum über K, wobei sich n-dimensional“ hier auf eine geometrisch definierte Dimensi”
on und nicht auf die topologische Dimension“ bezieht. Die Elemente von Pn K werden
”
von Vektoren 0 6= x ∈ K n+1 erzeugt, und lassen sich damit in sogenannten homogenen
Koordinaten schreiben, d.h. man setzt für x = (x0 , . . . , xn ) ∈ K n+1 \{0}
[x0 , . . . , xn ] := K · (x0 , . . . , xn ).
Man spricht hier von homogenen Koordinaten da für x ∈ K n+1 \{0} und c ∈ K\{0}
stets
[cx0 , . . . , cxn ] = [x0 , . . . , xn ]
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gilt. Eindeutige Koordinaten erhält man indem eine Komponente auf 1 normiert wird,
allerdings ergibt sich dann nur noch eine Teilmenge von Pn K. Um den Zusammenhang
mit dem obigen Beispiel herzustellen, sei 0 ≤ j ≤ n gegeben und betrachte den ndimensionalen Untervektorraum
Cj := {x ∈ K n+1 |xj = 0} = he0 , . . . , ebj , . . . , en i
des K n+1 . Nach Lemma 11.(c) ist die Menge
Uj := G1 (K n+1 ; Cj ) = {hui|u ∈ K n+1 \{0}, K n+1 = Cj ⊕ hui}
= {hui|u ∈ K n+1 , uj 6= 0}
= {[x0 , . . . , xj−1 , 1, xj+1 , . . . , xn ]|x0 , . . . , xbj , . . . , xn ∈ K}
offen in Pn K. Weiter haben wir nach Lemma 11.(d) den Homöomorphismus
ΦCj ,hej i : L(hej i, Cj ) → Uj ,
und weiter haben wir einen Vektorraumisomorphismus
φj : K n → L(hej i, Cj ); x 7→ φj (x) : hej i → Cj ; tej 7→ t · (x0 , . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xn ).
Wir erhalten den Homöomorphismus ψj := ΦCj ,hej i ◦φj : K n → Uj , den wir nun konkret
angeben wollen. Sei also x ∈ K n gegeben. Dann ist ψj (x) = ΦCj ,hej i (φj (x)) der Graph
der linearen Abbildung φj (x) also
ψj (x) = {(tej + φj (x)(tej )|t ∈ K} = {(tx0 , . . . , txj−1 , t, txj , . . . , txn )|t ∈ K}
= K · (x0 , . . . , xj−1 , 1, xj , . . . , xn ) = [x0 , . . . , xj−1 , 1, xj , . . . , xn ],
Weiter ist ψj−1 ∈ U wobei A der C d,∞ -Präatlas auf Pn K = G1 (K n+1 ) des obigen Beispiels ist. Dabei ist d = n · dimR K und im komplexen Fall S
K = C identifizieren wir
K n = Cn = R2n . Es ist dom(ψj ) = Uj und wegen Pn K = nj=0 Uj ist damit bereits
{ψj−1 |0 ≤ j ≤ n} ein C d,∞ -Präatlas auf Pn K, etwas verkürzt kann man sagen das die
auf 1 in einer Koordinate normierten homogenen Koordinaten einen solchen Präatlas
auf dem projektiven Raum Pn K bilden.
Einige weitere Beispiele werden in den Übungen behandelt, wir wollen jetzt zur
nächsten Definition kommen. Auf M = R haben wir den C 1,∞ -Präatlas A0 = {idR },
dies aber nicht der einzige solche, beispielsweise ist auch A1 := {id(−∞,1) , id(0,∞) } ein
solcher. Dann ist zwar A0 6= A1 , die durch diese beiden gegebenen Strukturen will man
aber eigentlich nicht als unterschiedlich betrachten. Daher ist man zunächst versucht
von äquivalenten Präatlanten“ zu sprechen, es gibt allerdings einen eher technischen
”
Trick dies zu vermeiden. In jeder der angestrebten Äquivalenzklassen“ gibt es nämlich
”
einen eindeutigen, bezüglich Inklusion maximalen Präatlas und man entscheidet sich
nur noch diese maximalen Präatlanten zu betrachten. Um all dies zu beweisen, ist ein
weiter kleiner Begriff hilfreich.
Definition 2.15 (Verträglichkeit mit einem Präatlas)
Seien G eine Pseudogruppe mit dem Modelraum R, M ein topologischer Raum und A
ein G-Präatlas auf M .
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(a) Sind U ⊆ M in M offen, V ⊆ R in R offen und ϕ : U → V ein Homöomorphismus,
so heißt ϕ verträglich mit A wenn es für jedes x ∈ U ein ψ ∈ A und eine in M
offene Menge W ⊆ U ∩ dom(ψ) mit x ∈ W gibt so, dass ϕ ◦ ψ −1 |ψ(W ) ∈ G ist.
(b) Eine Menge A0 von Homöomorphismen offener Teilmengen von M auf offene Teilmengen von R heißt mit A verträglich wenn jedes ϕ ∈ A0 mit A verträglich ist.
Nach Axiom (P1) einer Pseudogruppe ist insbesondere jedes ϕ ∈ A mit A verträglich.
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