Definitionen - Abelsche Gruppe

Definitionen - Abelsche Gruppe
Menge A, Abbildung ◦, algebraische Struktur (A, ◦)
Halbgruppe: (A, ◦) mit (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
Kommutativ: a ◦ b = b ◦ a
Neutrales Element e: a ◦ e = e ◦ a = a
Monoid: (A, ◦) ist Halbgruppe mit neutralem Element
Invertierbar: a ∈ A falls ∃a0 ∈ A : a0 ◦ a = a ◦ a0 = eA
Gruppe: (G, ◦) ist Monoid, in dem jedes Element
invertierbar ist
Abelsch: (G, ◦) ist Gruppe mit ◦ kommutativ
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 1/1
Abel
Niels Henrik Abel (* 5. August 1802 auf der Insel
Finnøy; † 6. April 1829 in Froland, Norwegen) war ein
norwegischer Mathematiker.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 2/1
Definitionen und Charakterisierung - Ring und Körper
Ring: (R, +, ·) falls (R, +) Abelsche Gruppe und (R, ·)
Monoid und ∀a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c
Körper: (K, +, ·) ist Ring, kommutativ mit neutralem
Element Addition 0K und Multiplikation 1K mit 0K 6= 1K
und alle a 6= 0K invertierbar
Endlicher Körper: |K| endlich, auch Galois-Körper
Satz: Sei p eine Primzahl und m eine natürliche Zahl.
Ein Körper hat entweder pm oder unendlich viele
Elemente. Bis auf Isomorphie existiert genau ein
Körper mit pm Elementen.
Satz: (Fq , +, ·) ist ein Körper, wenn q eine Primzahl ist.
Euklidischer Algorithmus: Für beliebige a, b ∈ N 6= 0
existieren v, w ∈ N mit ggT (a, b) = a · w + b · v .
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 3/1
Primitives Element und Eulersche Φ-Funktion
Element α ∈ Fp , das mit aj , j = 1...p − 1 genau alle
Elemente a 6= 0 erzeugt
Eulersche Φ(m) = |{i|ggT (i, m) = 1}| mit 1 ≤ i < m.
Φ(1) = 1.
Satz: Ist p Primzahl, dann ist Φ(p) = p − 1
Satz: Sei q ∈ N, a ∈ Fq und ggT (a, q) = 1, dann aΦ(q) = 1
mod q
Satz: Jedes Galoisfeld besitzt mindestens ein primitives
Element.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 4/1
Definitionen - Körpererweiterungen
Sei R Ring. Dann ist R[x] die Menge der Polynome mit
Variable x und Koeffizienten aus R.
Sei K Körper und p(x) ∈ K[x] vom Grad n heißt
irreduzibel falls es keine a(x), b(c) ∈ K[x] mit Grad k ,
0 < k < n gibt, so dass p(x) = a(x)b(x).
Der Erweiterungskörper Fqm ist die Menge aller
Polynome aus Fq [x] vom Grad kleiner m. Die Modulo
Rechnung funktioniert hier mit irreduziblen Polynomen,
d.h. wir bilden den Rest der Division eines Polynoms
durch das irreduzible Polynom vom Grad m, um wieder
in Fqm zu landen.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 5/1
Beispiel - Körpererweiterungen I
F23 = F8 mit p(x) = x3 + x2 + 1: Addition
+8%;8;
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 6/1
Beispiel - Körpererweiterungen II
F23 = F8 mit p(x) = x3 + x2 + 1: Multiplikation
∗8%;8;
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 7/1
Primitives Polynom
Sei p(x) ein irreduzibles Polynom mit grad m, pi ∈ Fq .
Ein Element x ∈ Fpm heißt primitives Element, wenn alle
Potenzen von α mod p(α) alle pm − 1 Elemente (ohne
0) als Erweiterungskörper erzeugen. Ein Polynom heißt
primitiv, wenn es ein primitives Element als Nullstelle
besitzt.
α
α
α
α%
α0
α
α)
!:+!! K$!+!!
8
8
+
8
+ 8 + 8
+ 8
8 + 8
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 8/1
Rechnen in Erweiterungskörpern
Die Darstellung der Elemente als eine Potenz des
primitiven Elements vereinfacht die Multiplikation. Für
Körper (Fp [x] mod p(x), + mod p(x), · mod p(x)) primitiv
über Fp und grad(p(x)) = m gilt:
r
s
α ·α =α
(r+s)
mod pm −1
.
Beispiel: In einem vorhergehenden Beispiel wurde
gezeigt, dass (x2 + 1) · (x2 + x + 1) = 1 ist. Ersetzt man
die Polynome durch die entsprechende Potenz des
primitiven Elements, so erhält man:
(x1 + 1) = α3
3
4
α ·α =α
(3+4)
und (x2 + x + 1) = α4
mod (23 −1)
= α7
mod 7
= α0 = 1.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 9/1
Eigenschaften von Erweiterungskörpern
Konjugiert komplexe Wurzeln
2
m−1
p
p
p
α, α , α , ..., α
Ordnung eines Elements: Sei β ∈ Fpm und n die kleinste
Zahl mit β n = 1, so heißt n die Ordnung von β . Ist
n = pm − 1, so ist β ein primitives Element oder auch
n-te primitive Einheitswurzel.
m
p
x
− x ist das Produkt über alle über Fp irreduziblen
Polynome vom Grad s mit s teilt m, 1 ≤ s < m.
Sei a, b ∈ Fpm mit p Primzahl. Dann gilt
pi
pi
(a + b) = a + b
bi
mod p
für i = 0, ..., m.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 10/1
Modulo p(x) und modulo p
Gegeben ein Polynom q(x) =
PK
k und Primzahl p
q
x
k
k=0
Was ist q(x) mod p(x) über F2 ?
Beispiel: x4 + x3 + x + 1 mod x3 + x2 + 1 = x, Rest 1
Was ist q(x) mod p?
Beispiel: (2x4 + 3x3 + 10x + 3) + (3x5 + 14x3 + 10x + 4)
mod 17 = 3x5 + 2x4 + 3x + 7
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 11/1
Konstruktion von Minimalpolynomen
Ein Polynom in Fq [x] vom Grad m heißt normiert, wenn
der Koeffizient von xm gleich 1 ist.
Sei α primitiv in Fqm . Das Minimalpolynom von αi ∈ Fqm
über Fq ist das normierte Polynom kleinsten Grades
mi (x) ∈ Fq [x] mit mi (αi ) = 0.
Sei α primitiv in Fqm . Das Minimalpolynom von αs ∈ Fqm
über Fq ist
Y
(x − αj ).
ms (x) =
j∈Ks
Kreisteilungsklasse Ki = {iq j mod n, j = 0...m − 1}.
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 12/1
Fundamentalsatz der Algebra
Pk−1
Satz: Ein Polynom A(x) = `=0 A` x` vom Grad k − 1
mit Koeffizienten Ai ∈ Fp hat höchstens k − 1
verschiedene Nullstellen αj ∈ Fp .
Beweis: Ist α ∈ Fp eine Nullstelle von A(x), so enthält
A(x) den Linearfaktor (x − α), d.h. A(x) = (x − α)A ∗ (x)
mit grad(A(x)) = grad(A ∗ (x)) + 1 usw...
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 13/1
Schwartz-Zippel-Satz
Satz: p(x) sei Polynom in n Variablen x1 , ..., xn mit Grad
d ≥ 0 über Fp . Sei S eine endliche Untermenge von Fp
und r1 , ..., rn zufällig aus S gewählt. Dann
d
P r [p(r1 , r2 , ..., rn ) = 0] ≤
.
|S|
Für n = 1 folgt der Satz aus dem Fundamentalsatz der
Algebra. Der Rest folgt per vollständiger Induktion...
6. Vorlesung - Theorie der endlichen Körper – p. 14/1