Definitionen - Fakultät Mathematik

Definitionen
Wenn im Text ein Begriff fett gedruckt ist, dann soll damit deutlich gemacht werden, dass er an dieser Stelle eingeführt wird. Gewöhnlich geschieht das durch eine Definition, wobei wir nicht so streng formal sind, wie man es in
einer Vorlesung für Mathematikstudenten wäre. Eine Definition fehlt bei den undefinierten Grundbegriffen (z.B. „Menge“) und bei Begriffen, die wir als bekannt voraussetzen (z.B.
„ganze Zahl“). Umfangreichere Definitionen werden als solche gekennzeichnet.
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Gleichheitszeichen
Wir verwenden zwei Gleichheitszeichen:
und
Das Zeichen = bezeichnet eine Aussage, während := für
Definitionen verwendet wird. Beispielsweise ist
festgelegt wird, dass
eine (für jede natürliche Zahl ) richtige Aussage, während
durch
eine Abkürzung für
ist.
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Die Menge aller reellen Zahlen (Dezimalzahlen).
Die Menge aller komplexen Zahlen.
aller ganzen
Die Menge aller rationalen Zahlen
(Bruchzahlen).
Die Menge
Zahlen.
aller natürlichen Zahlen.
Die Menge
Häufig benutzte Mengennamen
Ø
oder
:
Die leere Menge, die kein Element hat.
Diese Abkürzungen werden weltweit einheitlich benutzt, mit einer Einschränkung: Viele Autoren zählen, anders als wir, die
Null zu den natürlichen Zahlen.
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bedeutet:
ist ein Element der Menge
bedeutet:
ist nicht Element der Menge
.
.
bedeutet:
ist eine Teilmenge von , d.h.
jedes Element der Menge ist auch Element der
Menge .
bezeichnet die Anzahl der Elemente von , auch
Mächtigkeit oder Kardinalität von
genannt. Manche Autoren verwenden das Symbol
Symbole der Mengensprache
.
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Mengenangabe durch Aussondern
Bedingung
Die allgemeine Form dieser Schreibweise ist folgende:
Damit ist folgendes gemeint: Man schreibt eine öffnende
Mengenklammer, dann eine Angabe, aus welcher Menge die Elemente gewählt werden, dann einen senkrechten
Strich und danach die Aussonderungsbedingung, die mit einer schließenden Klammer beendet wird. Die so angegebene Menge hat als Elemente genau diejenigen Elemente von
, die die angegebene Bedingung erfüllen.
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Beispiel einer Mengenkonstruktion
ist dasselbe wie die Menge
Die Elemente dieser Menge sind selbst Mengen, nämlich
genau die sechs zweielementigen Teilmengen der Menge
.
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über
bezeichnet die Anzahl aller -elementigen Teilmengen
einer -elementigen Menge.
wird Binomialkoeffizient genannt
Das Symbol
und „ über “ gelesen.
Es kommt vor in der Binomischen Formel
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Induktionsbeweis
Satz 1 Die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer
-elementigen Menge ist
Der Beweis erfolgt durch Induktion über :
1. Für den Fall
ist die Behauptung offenbar richtig:
eine Menge mit Null Elementen, also die leere Menge,
hat Null zweielementige Teilmengen. Das ist die
Induktionsverankerung.
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Induktionsschritt
2. Im Induktionsschritt beweisen wir nun: wenn
die Behauptung für einen Zahl richtig ist, dann ist sie
auch für
richtig:
-elementige Menge
Betrachte eine beliebige
und gib, zur leichteren Formulierung des Folgenden,
einen Namen, sagen wir .
einem Element von
hat genau zweielementige Teilmengen, die als
Element enthalten, nämlich genau die Mengen der
mit
,
.
Form
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. . . weiter im Beweis
Die übrigen zweielementigen Teilmengen von
sind
. Diese
genau die zweielementigen Teilmengen von
, hat Elemente und nach der
Menge, also
Induktionsannahme genau
zweielementige Teilmengen. Die Anzahl der
ist deshalb gleich
zweielementigen Teilmengen von
und dies ist dasselbe wie
, was zu beweisen war.
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Dreieckzahlen
Man erkennt (und beweist ohne Mühe), dass für alle
Die Zahlen der Form
nennt man auch die
Dreieckzahlen. Die ersten Werte sind
gilt.
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Hilfssatz 1
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Satz 2 Die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer
-elementigen Menge ist
(lies: „ Fakultät“
Dabei ist
speziell
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Das Pascalsche Dreieck
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einer Menge
ist die Menge
.
Für endliche Mengen gilt
Die Potenzmenge
aller Teilmengen von
Potenzmenge
.
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Teilmengen der Menge cd cp ls mv
cp
ls
Nr.
mv
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cd cp ls
cd cp mv
cd cp
cd ls mv
cd ls
cd mv
cd
cp ls mv
cp ls
cp mv
cp
ls mv
ls
mv
cd
Tischtennisturnierplan
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Paare als Mengen
nennt man ein Paar mit den
und . Als Abkürzung verwendet man
.
Die Menge
Komponenten
Es ist also
.
und
Die Teilmengen von
schen
Man hat
Damit definiert man nun die Produktmenge zweier
Mengen und als
nennt man Relationen zwi-
.
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Mengenoperationen
und
Sind
Mengen, dann bezeichnet
die Vereinigungsmenge von und , deren
Elemente genau diejenigen sind, die in mindestens
einer dieser beiden Mengen Element sind.
die Differenzmenge von und , also diejenige
Menge, die diejenigen Elemente von enthält, die nicht
Elemente von sind, und keine weiteren Elemente.
die Schnittmenge (den Durchschnitt) von
und . Die Elemente des Durchschnitts sind genau
diejenigen, die sowohl Element von als auch von
sind.
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Allgemeine Mengenoperationen
Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung kann
man auch für mehr als zwei Mengen verwenden. Statt
kann man dann gleichwertig
schreiben oder auch
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Indexmenge
Entsprechend definiert man
für alle
eine Menge, deren Elemente Teilmengen einer Menge
sind, dann ist
Ist
.
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Rechenregeln für Mengenoperationen
Idempotenz:
,
,
Kommutativität:
,
Assoziativität:
,
Distributivität:
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Paare
nennt man ein Paar mit den
und . Als Abkürzung verwendet man
.
Die Menge
Komponenten
Es ist also
.
nennt man Relationen
Man hat
Die Teilmengen von
zwischen und .
Damit definiert man nun die Produktmenge zweier
Mengen und als
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